本發(fā)明涉及一種非圓同步帶傳動的設(shè)計方法，具體涉及一種變松弛量自補償?shù)膱A—偏心圓—非圓三輪同步帶傳動設(shè)計方法。

背景技術(shù)：

傳動機構(gòu)改變了輸入輸出構(gòu)件的運動形式和速度，以滿足不同工作環(huán)境要求，其中非勻速傳動機構(gòu)占據(jù)非常重要地位，常見的有連桿機構(gòu)、凸輪機構(gòu)、非圓齒輪機構(gòu)等。相對于連桿機構(gòu)和凸輪機構(gòu)，非圓齒輪機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動平穩(wěn)、傳遞功率較大、容易實現(xiàn)動平衡等優(yōu)點，因此已成功應(yīng)用于加工機床、自動機械、運輸、儀器儀表、泵類、流量計、紡織機械和農(nóng)業(yè)機械上。但是非圓齒輪傳動只適合用于中心距較小、潤滑方便的非勻速傳動場合，因此適合于大中心距、潤滑不方便和低制造成本場合的非圓撓性件(帶/鏈)傳動應(yīng)運而生。其中非圓鏈傳動的多邊形效應(yīng)明顯，因此在對非勻速傳動比變化規(guī)律有嚴格要求時就受到限制；同時普通的摩擦式帶傳動由于彈性滑動而不能保證準確的傳動比規(guī)律。

目前的非圓帶(鏈)傳動，都只有2個非圓的帶(鏈)輪——主動輪和從動輪，在傳動過程中由于其節(jié)曲線是非圓，帶(鏈)的松弛量是實時變化的，因此就不能同時保證工作所要求的非勻速傳動比變化規(guī)律和帶(鏈)的實時張緊。實際應(yīng)用中為了補償在傳動中帶(鏈)的松弛量變化，通過附加彈簧以實現(xiàn)張緊，由于在一個運動周期中其張緊力是變化的，而且隨著非勻速特性的加劇張緊力的變化幅度越大，這樣反過來會影響非勻速傳動的精度，并且動力學(xué)特性變差；因此在實際工程中，非圓帶(鏈)傳動很少應(yīng)用于精確的負載高速傳動場合。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是針對現(xiàn)有技術(shù)的不足，提出一種變松弛量自補償?shù)膱A—偏心圓—非圓三輪同步帶傳動設(shè)計方法，為非圓同步帶輪在實際應(yīng)用中提供了一整套完善的設(shè)計理論基礎(chǔ)，實現(xiàn)大中心距之間的非勻速直接精確傳動。該設(shè)計方法首先建立同步帶主從動輪的節(jié)曲線方程，并利用切極坐標理論計算主從動同步帶輪傳動比；然后計算同步帶的周長，根據(jù)同步帶周長松弛量變化通過迭代方法計算非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線的各項參數(shù)。

為解決上述技術(shù)問題，本發(fā)明的技術(shù)方案是：

本發(fā)明的具體步驟如下：

步驟一、根據(jù)傳動規(guī)律確定圓型主動同步帶輪節(jié)曲線與偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線方程；

圓型主動同步帶輪為勻速轉(zhuǎn)動的輸入構(gòu)件，為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線的動坐標系x₁o₁y₁中x₁軸到靜坐標系xo₁y中x軸的轉(zhuǎn)角，θ₁為p₁到動坐標系x₁o₁y₁中x₁軸的切角，圓型主動同步帶輪切極坐標方程：

p₁＝r₁ (1)

s＝2π×r₁ (2)

式中，p₁為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線的切徑，r₁為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線的半徑，s為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線的周長。

偏心圓從動同步帶輪為輸出構(gòu)件，其節(jié)曲線切極坐標方程：

p₂＝r₂+e₂×cos(θ₂) (3)

式中，p₂為偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線切徑，θ₂為切徑p₂到動坐標系x₂o₂y₂中x₂軸的切角，e₂為偏心圓從動同步帶輪的偏心距，r₂為偏心圓半徑。

步驟二、計算圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪初始位置的傳動比：

初始位置，圓型主動同步帶輪節(jié)曲線的動坐標系x₁o₁y₁中x₁軸到靜坐標系xo₁y中x軸的轉(zhuǎn)角偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線的動坐標系x₂o₂y₂中x₂軸到靜坐標系xo₁y中x軸的轉(zhuǎn)角根據(jù)切極坐標理論得：

式中，p₁(θ₁₂)和p₂(θ₂₁)分別為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線與偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線公切線上切點C₁、C₂的切徑值，p₁(θ₁₃)和p₃(θ₃₁)分別為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線與非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線公切線上切點C₆、C₅的切徑值，p₂(θ₂₃)和p₃(θ₃₂)分別為偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線與非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線公切線上切點C₃、C₄的切徑值，θ₁₂₀為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線切徑p₁(θ₁₂)與偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線切徑p₂(θ₂₁)到各自動坐標系水平軸的轉(zhuǎn)角初值，θ₁₃₀為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線切徑p₁(θ₁₃)與非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線切徑p₃(θ₃₁)到各自動坐標系水平軸的轉(zhuǎn)角初值，θ₂₃₀為偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線切徑p₂(θ₂₃)與非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線切徑p₃(θ₃₂)到各自動坐標系水平軸的轉(zhuǎn)角初值，θ₁₂、θ₁₃分別為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線上切點C₁、C₆對應(yīng)切徑到動坐標系x₁o₁y₁中x₁軸的切角，θ₂₁、θ₂₃分別為偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線上切點C₂、C₃對應(yīng)切徑到動坐標系x₂o₂y₂中x₂軸的切角，θ₃₁、θ₃₂分別為非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線上切點C₄、C₅對應(yīng)切徑到動坐標系x₃o₃y₃中x₃軸的切角，L₁為圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪中心距，L₂為偏心圓從動同步帶輪與非圓張緊同步帶輪中心距，L₃為圓型主動同步帶輪與非圓張緊同步帶輪中心距；

初始位置圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪瞬時傳動比為：

步驟三、計算任意時刻圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪之間的公切線段長度T₁₂、偏心圓從動同步帶輪與非圓張緊同步帶輪之間的公切線段長度T₂₃、圓型主動同步帶輪與非圓張緊同步帶輪之間的公切線段長度T₁₃。

初始時刻，設(shè)定非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線為給定半徑的圓，圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪之間的公切線段長度T₀、偏心圓從動同步帶輪與非圓張緊同步帶輪之間的公切線段長度T₁、圓型主動同步帶輪與非圓張緊同步帶輪之間的公切線段長度T₂分別為：

式中，p₁'、p'₂、p'₃分別為p₁、p₂、p₃的一階微分。

當圓型主動同步帶輪轉(zhuǎn)過角度偏心圓從動同步帶輪相應(yīng)轉(zhuǎn)過角度圓型主動同步帶輪節(jié)曲線上切點C₁、C₆對應(yīng)的弧長變化量為s₁、s₆，偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線上切點C₂、C₃對應(yīng)的弧長變化量為s₂、s₃，非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線上切點C₄、C₅對應(yīng)的弧長變化量為s₄、s₅。則有：

式中，p"₁(θ₁)為p₁(θ₁)的二階微分，p"₂(θ₂)為p₂(θ₂)的二階微分，p"₃(θ₃)為p₃(θ₃)的二階微分，θ₃為非圓張緊同步帶輪切徑p₃到動坐標系x₃o₃y₃中x₃軸的轉(zhuǎn)角。

任意時刻圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪之間的公切線段長度T₁₂、偏心圓從動同步帶輪與非圓張緊同步帶輪之間的公切線段長度T₂₃、圓型主動同步帶輪與非圓張緊同步帶輪之間的公切線段長度T₁₃分別為：

式中，p'₁(θ₁₂)、p'₁(θ₁₃)分別為p₁(θ₁₂)、p₁(θ₁₃)的一階微分，p'₂(θ₂₁)、p'₂(θ₂₃)分別為p₂(θ₂₁)、p₂(θ₂₃)的一階微分，p'₃(θ₃₂)、p'₃(θ₃₁)分別為p₃(θ₃₂)、p₃(θ₃₁)的一階微分；為偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線的動坐標系x₂o₂y₂中x₂軸到靜坐標系xo₁y中x軸的轉(zhuǎn)角，為偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線的動坐標系x₃o₃y₃中x₃軸到靜坐標系xo₁y中x軸的轉(zhuǎn)角。

步驟四、計算任意時刻圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪的傳動比；

圓型主動同步帶輪勻速轉(zhuǎn)動，根據(jù)式(1)、(3)、(9)、(10)解得p₁，p₂，則圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪的瞬時傳動比為：

步驟五、計算任意時刻同步帶周長；

圓型主動同步帶輪節(jié)曲線與非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線公切線上切點記為C₆，C₁與C₆間的弧長為c₁₁，偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線與非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線公切線上切點記為C₃，C₂與C₃間的弧長為c₂₂，非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線與偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線公切線上切點記為C₄，非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線與圓型主動同步帶輪節(jié)曲線公切線上切點記為C₅，C₄與C₅間的弧長為c₃₃。

任意時刻，同步帶周長為：

C＝T₁₂+T₁₃+T₂₃+c₁₁+c₂₂+c₃₃ (13)

步驟六、非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線算法。

迭代算法如下：

(a)設(shè)定非圓張緊同步帶輪轉(zhuǎn)動中心，非圓張緊同步帶輪的半徑設(shè)置為變量，非圓張緊同步帶輪半徑初始值給定，記為r_3-0，根據(jù)式(13)計算帶長初始值記為C₀。

(b)圓型主動同步帶輪轉(zhuǎn)過1°，根據(jù)傳動比要求計算偏心圓從動同步帶輪轉(zhuǎn)過相應(yīng)的角度，非圓張緊同步帶輪的轉(zhuǎn)角與圓型主動同步帶輪相同。在保證同步帶周長C不變的前提下，根據(jù)式(13)反求圓型主動同步帶輪轉(zhuǎn)過1°時對應(yīng)的非圓張緊同步帶輪半徑r_3-1，即對應(yīng)時刻的p₃。

(c)重復(fù)(b)358次，得到圓型主動同步帶輪轉(zhuǎn)過2°，3°，…，359°時對應(yīng)的非圓張緊同步帶輪半徑分別為r_3-2，r_3-3，……，r_3-359。

(d)至此得到360個同心圓，按(a)、(b)和(c)中的非圓張緊同步帶輪半徑，每隔1°取一個圓的半徑，順次取360個半徑，以設(shè)定非圓張緊同步帶輪轉(zhuǎn)動中心為圓心，將所取360個半徑的外端點順次連接，組成一個封閉的非圓。

(e)將(d)中得到的非圓非圓張緊同步帶輪的各時刻的向徑按比例放大或縮小，使得新得到的非圓非圓張緊同步帶輪的周長與圓型主動同步帶輪及偏心圓從動同步帶輪的周長均相等。

(f)將(e)所求得的非圓非圓張緊同步帶輪的各時刻的向徑代入式(13)計算各個時刻的帶長。

(g)若各個時刻的帶長與初始帶長之差的絕對值均小于預(yù)設(shè)值，則進行步驟(k)，否則進行步驟(h)。

(h)在帶長最大位置對應(yīng)時刻點的前后5°，減小非圓非圓張緊同步帶輪各自向徑值的1～5％，在帶長最小位置對應(yīng)時刻點的前后5°，增加非圓非圓張緊同步帶輪各自向徑值的1～5％，然后用B樣條進行擬合得到新的非圓非圓張緊同步帶輪。

(i)將經(jīng)(h)后的非圓非圓張緊同步帶輪各時刻的向徑按比例放大或縮小，使得新得到的非圓非圓張緊同步帶輪的周長與圓型主動同步帶輪及偏心圓從動同步帶輪的周長均相等。

(j)將經(jīng)(i)后的非圓非圓張緊同步帶輪向徑代入式(13)計算得到各時刻對應(yīng)同步帶帶長，若各時刻對應(yīng)同步帶帶長與同步帶周長初始值之差的絕對值均小于預(yù)設(shè)值，進行步驟(k)，否則回到(h)。

(k)建立非圓非圓張緊同步帶輪的各時刻的向徑與對應(yīng)轉(zhuǎn)角關(guān)系即為非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線方程。

步驟七、計算非圓張緊同步帶輪的齒廓；

1)非圓張緊同步帶輪齒廓包絡(luò)過程中刀具位置的算法

首先將建好的齒條刀具模型放置在初始位置，此時刀具節(jié)線切非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線于點D₀，連接O₃D₀交非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線于點G₀，點G₀與D₀重合。保持非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線不動，若刀具繞圓心O₃旋轉(zhuǎn)至切非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線于D₁，連接O₃D₁交非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線于點G₁，若P_b為刀具節(jié)線上相鄰刀齒齒距，為保證兩者轉(zhuǎn)過距離相等，則每切好一個完整齒，刀具D₀點就平移P_b到當前齒廓包絡(luò)點，若刀具沿同一方向繼續(xù)繞圓心O₃旋轉(zhuǎn)至切非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線于D₂，連接O₃D₂交非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線于點G₂，若此時則其中N₁為已經(jīng)切好的完整齒數(shù)。

2)非圓張緊同步帶輪齒廓包絡(luò)過程中刀具角度的算法

在計算前先確定點G₀、點D₀以及刀具在點D₀對應(yīng)的齒形狀態(tài)，通過三次非均勻B樣條對非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線上的點進行擬合細化。包絡(luò)點需均勻分布在整個非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線上，包絡(luò)點的個數(shù)N₂則根據(jù)實際精度需求確定，且N₂＝k1×360，k1＞3，求取某包絡(luò)點的切線的斜率就用該包絡(luò)點與相鄰包絡(luò)點所確定的直線的斜率代替，從而確定該包絡(luò)點的切線方程。

3)點G₀到非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線上除G₀外的任意一個包絡(luò)點E對應(yīng)的刀具旋轉(zhuǎn)半徑r及齒廓包絡(luò)角θ的求解步驟：

過G₀做非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線的切線t₀，過轉(zhuǎn)動中心O₃做t₀的垂線交t₀于點F₀。同理，過包絡(luò)點E做非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線的切線t，過轉(zhuǎn)動中心O₃做t的垂線交t于點F。

分別計算切線t₀與t的方程，繼而求解得到轉(zhuǎn)動中心O₃到切線t₀和t的距離r₀和r，以及點F₀與F的坐標值。

利用兩點間距離公式求得F₀與F間的距離l，則在△F₀O₃F中利用余弦公式求得∠F₀O₃F＝α，若沿逆時針方向包絡(luò)，則齒廓包絡(luò)角θ＝α。若沿順時針方向包絡(luò)，則齒廓包絡(luò)角為θ＝π-α。

本發(fā)明具有的有益效果：

1、本發(fā)明為變松弛量自補償?shù)膱A—偏心圓—非圓三輪同步帶傳動在實際應(yīng)用中提供了一整套完善的設(shè)計理論基礎(chǔ)，能夠應(yīng)用于所有圓—偏心圓—非圓三輪同步帶傳動機構(gòu)，促進了圓—偏心圓—非圓三輪同步帶傳動的推廣使用。

2、本發(fā)明中主動輪節(jié)曲線為圓，從動輪節(jié)曲線為偏心圓的同步帶傳動系統(tǒng)，傳動比設(shè)計簡單；圓型主動同步帶輪節(jié)曲線的半徑、偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線的半徑和偏心距為可調(diào)量，通過三個量的調(diào)節(jié)可以改變主動輪和從動輪節(jié)曲線的形狀，滿足特定非勻速要求的傳動。

3、本發(fā)明中的非圓張緊同步帶輪為自由節(jié)曲線的非圓同步帶輪，可以實時補償圓型主動同步帶輪和偏心圓從動同步帶輪傳動過程中產(chǎn)生的帶松弛變化量，實現(xiàn)大中心距之間的非勻速直接精確傳動。

4、本發(fā)明采用切極坐標理論計算傳動比的精確值，易于編程實現(xiàn)，求解精度高，方便快捷。

附圖說明

圖1是本發(fā)明的傳動原理圖；

圖2是本發(fā)明實施例中圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪的傳動比變化曲線圖；

圖3是采用本發(fā)明實施例中的非圓張緊同步帶輪的節(jié)曲線時同步帶帶長變化曲線圖；

圖4是本發(fā)明實施例中偏心圓從動同步帶輪的節(jié)曲線示意圖；

圖5是本發(fā)明實施例中非圓張緊同步帶輪的節(jié)曲線示意圖。

圖6(a)、6(b)、6(c)分別是本發(fā)明實施例中非圓張緊同步帶輪齒廓加工刀具的三個位置圖；

圖7是本發(fā)明實施例中非圓張緊同步帶輪齒廓圖；

圖8是本發(fā)明實施例中非圓張緊同步帶輪齒廓包絡(luò)角及旋轉(zhuǎn)半徑圖。

具體實施方式

下面結(jié)合附圖及實施案例對本發(fā)明作進一步說明。

圓—偏心圓—非圓三輪同步帶傳動設(shè)計方法，具體步驟如下：

步驟一、如圖1所示，給定圓型主動同步帶輪1節(jié)曲線半徑r₁＝30mm，圓型主動同步帶輪節(jié)曲線切徑p₁＝r₁，非圓張緊同步帶輪3為根據(jù)同步帶周長松弛量變化擬合的非圓帶輪；三個輪中每兩個輪的中心距均為100mm，三個輪為等周長封閉凸曲線，根據(jù)下面公式計算圓型主動同步帶輪節(jié)曲線的周長：

s＝2π×r₁＝188.4956mm (1)

給定偏心圓從動同步帶輪2節(jié)曲線半徑r₂＝30mm，偏心距e₂＝15mm，根據(jù)圓型主動同步帶輪節(jié)曲線與偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線周長相等的原則確定偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線的切極坐標方程為：

p₂＝30+e₂×cos(θ₂) (2)

偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線如圖4所示。

步驟二、計算圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪初始位置的傳動比：

初始位置，圓型主動同步帶輪節(jié)曲線的動坐標系x₁o₁y₁中x₁軸到靜坐標系xo₁y中x軸的轉(zhuǎn)角偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線的動坐標系x₂o₂y₂中x₂軸到靜坐標系xo₁y中x軸的轉(zhuǎn)角根據(jù)切極坐標理論得：

式中，θ₁₂₀為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線切徑p₁(θ₁₂)與偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線切徑p₂(θ₂₁)到各自動坐標系水平軸的切角初值，θ₁₃₀為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線切徑p₁(θ₁₃)與非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線切徑p₃(θ₃₁)到各自動坐標系水平軸的切角初值，θ₂₃₀為偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線切徑p₂(θ₂₃)與非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線切徑p₃(θ₃₂)到各自動坐標系水平軸的切角初值，p₁(θ₁₂)和p₂(θ₂₁)分別為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線與偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線公切線上切點C₁、C₂的切徑值，p₁(θ₁₃)和p₃(θ₃₁)分別為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線與非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線公切線上切點C₆、C₅的切徑值，p₂(θ₂₃)和p₃(θ₃₂)分別為偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線與非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線公切線上切點C₃、C₄的切徑值，θ₁₂、θ₁₃分別為圓型主動同步帶輪節(jié)曲線上切點C₁、C₆對應(yīng)切徑到動坐標系x₁o₁y₁中x₁軸的切角，θ₂₁、θ₂₃分別為偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線上切點C₂、C₃對應(yīng)切徑到動坐標系x₂o₂y₂中x₂軸的切角，θ₃₁、θ₃₂分別為非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線上切點C₄、C₅對應(yīng)時刻切徑到動坐標系x₃o₃y₃中x₃軸的切角，L₁為圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪中心距，L₂為圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪中心距，L₃為圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪中心距；

根據(jù)式(4)，初始位置圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪瞬時傳動比i₁₂₀＝1。

步驟三、計算圓型主動同步帶輪、偏心圓從動同步帶輪和非圓張緊同步帶輪每兩輪之間的公切線段長度。

初始時刻，設(shè)定非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線為給定半徑的圓，圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪兩切點之間的公切線段長度T₀、偏心圓從動同步帶輪與非圓張緊同步帶輪兩切點之間的公切線段長度T₁與圓型主動同步帶輪與非圓張緊同步帶輪兩切點之間的公切線段長度T₂分別為：

代入數(shù)據(jù)解得T₀＝110mm，T₁＝109mm，T₂＝116mm。

圓型主動同步帶輪轉(zhuǎn)過1°時，圓型主動同步帶輪節(jié)曲線上切點C₁、C₆對應(yīng)的弧長變化量為s₁、s₆，偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線上切點C₂、C₃對應(yīng)的弧長變化量為s₂、s₃，非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線上切點C₄、C₅對應(yīng)的弧長變化量為s₄、s₅。則有：

式中，p"₁(θ₁)為p₁(θ₁)的二階微分，p"₂(θ₂)為p₂(θ₂)的二階微分，p"₃(θ₃)為p₃(θ₃)的二階微分，θ₃為非圓張緊同步帶輪切徑p₃到動坐標系x₃o₃y₃中x₃軸的角。

任意時刻三段公切線段長度分別為：

式中，p'₁(θ₁₂)、p'₁(θ₁₃)分別為p₁(θ₁₂)、p₁(θ₁₃)的一階微分，p'₂(θ₂₁)、p'₂(θ₂₃)分別為p₂(θ₂₁)、p₂(θ₂₃)的一階微分，p'₃(θ₃₂)、p'₃(θ₃₁)分別為p₃(θ₃₂)、p₃(θ₃₁)的一階微分；為偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線的動坐標系x₂o₂y₂中x₂軸到靜坐標系xo₁y中x軸的轉(zhuǎn)角，為偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線的動坐標系x₃o₃y₃中x₃軸到靜坐標系xo₁y中x軸的轉(zhuǎn)角。

步驟四、計算任意時刻圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪的傳動比；

圓型主動同步帶輪勻速轉(zhuǎn)動，根據(jù)式(1)，(2)得p₁，p₂，則瞬時傳動比為：

根據(jù)式(8)、(9)、(10)，計算圓型主動同步帶輪旋轉(zhuǎn)一周時，圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪傳動比變化如圖2。

步驟五、計算任意時刻同步帶周長；

圓型主動同步帶輪節(jié)曲線與非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線公切線上切點記為C₆，C₁與C₆間的弧長為c₁₁，偏心圓從動同步帶輪節(jié)曲線與非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線切點記為C₃，C₂與C₃間的弧長為c₂₂，非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線與從動輪節(jié)曲線公切線上切點記為C₄，非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線與主動輪節(jié)曲線公切線上切點記為C₅，C₄與C₅間的弧長為c₃₃。

任意時刻，同步帶周長為：

C＝T₁₂+T₁₃+T₂₃+c₁₁+c₂₂+c₃₃ (12)

初始時刻，根據(jù)公式(12)計算同步帶初始周長C₀＝662.8301mm；

依據(jù)上面的方法順次計算圓型主動同步帶輪轉(zhuǎn)動一周時各個時刻同步帶帶長，各個時刻同步帶帶長變化曲線如圖3。

步驟六、非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線算法。

迭代算法如下：

(a)已知非圓張緊同步帶輪轉(zhuǎn)動中心，非圓張緊同步帶輪的半徑設(shè)置為變量r₃＝p₃，非圓張緊同步帶輪半徑初始值記為r_3-0＝30mm，同步帶初始周長記為C₀＝662.8301mm。

(b)圓型主動同步帶輪轉(zhuǎn)過根據(jù)圖2中圓型主動同步帶輪與偏心圓從動同步帶輪傳動比關(guān)系，偏心圓從動同步帶輪轉(zhuǎn)過相應(yīng)的角度非圓張緊同步帶輪的轉(zhuǎn)角與圓型主動同步帶輪相同在保證同步帶周長不變的前提下，計算r_3-1＝30.6729mm。

(c)重復(fù)(b)358次，得到r_3-2，r_3-3，……，r_3-359。

(d)至此得到360個同心圓，按(a)、(b)和(c)中的非圓張緊同步帶輪半徑，每隔1°取一個圓的半徑，順次取360個半徑，以設(shè)定非圓張緊同步帶輪轉(zhuǎn)動中心為圓心，將所取360個半徑的外端點順次連接，組成一個封閉的非圓。

(e)將(d)中得到的非圓非圓張緊同步帶輪的各點的向徑按比例放大或縮小，使得新得到的非圓非圓張緊同步帶輪的周長與圓型主動同步帶輪及偏心圓從動同步帶輪的周長均相等。

(f)將(e)所求得的各個時刻的半徑值代入式(12)計算各個時刻的帶長。

(g)若各個時刻的帶長與初始帶長之差的絕對值均小于預(yù)設(shè)值，則進行步驟(k)，否則進行步驟(h)。

(h)在帶長最大位置對應(yīng)時刻點的前后5°，減小非圓非圓張緊同步帶輪各自向徑值的3％，在帶長最小位置對應(yīng)時刻點的前后5°，增加非圓非圓張緊同步帶輪各自向徑值的3％，然后用B樣條進行擬合得到新的非圓非圓張緊同步帶輪。

(i)將經(jīng)(h)后的非圓非圓張緊同步帶輪各點的向徑按比例放大或縮小，使得新得到的非圓非圓張緊同步帶輪的周長與圓型主動同步帶輪及偏心圓從動同步帶輪的周長均相等。

(j)將經(jīng)(i)后的非圓非圓張緊同步帶輪向徑代入式(12)計算得到各點對應(yīng)同步帶帶長，若各點對應(yīng)同步帶帶長與同步帶周長初始值之差的絕對值均小于預(yù)設(shè)值，進行步驟(k)，否則回到(h)。

(k)三個輪的節(jié)曲線及相位角、轉(zhuǎn)動中心都確定，建立非圓非圓張緊同步帶輪的各時刻的向徑與對應(yīng)轉(zhuǎn)角關(guān)系即為非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線方程。計算后的非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線如圖5。

步驟七、計算非圓張緊同步帶輪的齒廓；

1)非圓張緊同步帶輪齒廓包絡(luò)過程中刀具位置的算法

如圖6(a)、(b)、(c)所示，首先將建好的齒條刀具模型放置在初始位置，此時刀具節(jié)線切非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線于點D₀，連接O₃D₀交非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線于點G₀，點G₀與D₀重合。保持非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線不動，若刀具繞圓心O₃旋轉(zhuǎn)至切非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線于D₁，連接O₃D₁交非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線于點G₁，若P_b為刀具節(jié)線上相鄰刀齒齒距，為保證兩者轉(zhuǎn)過距離相等，則每切好一個完整齒，刀具D₀點就平移P_b到當前齒廓包絡(luò)點，若刀具沿同一方向繼續(xù)繞圓心O₃旋轉(zhuǎn)至切非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線于D₂，連接O₃D₂交非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線于點G₂，若此時則其中N₁為已經(jīng)切好的完整齒數(shù)。

2)非圓張緊同步帶輪齒廓包絡(luò)過程中刀具角度的算法

在計算前先確定點G₀、點D₀以及刀具在點D₀對應(yīng)的齒形狀態(tài)，通過三次非均勻B樣條對非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線上的點進行擬合細化。包絡(luò)點需均勻分布在整個非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線上，包絡(luò)點的個數(shù)N₂則根據(jù)實際精度需求確定，且N₂＝k1×360，k1＞3，求取某包絡(luò)點的切線的斜率就用該包絡(luò)點與相鄰包絡(luò)點所確定的直線的斜率代替，從而確定該包絡(luò)點的切線方程。

3)點G₀到非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線上除G₀外的任意一個包絡(luò)點E對應(yīng)的刀具旋轉(zhuǎn)半徑r及齒廓包絡(luò)角θ的求解步驟：

如圖8所示，過G₀做節(jié)曲線的切線t₀，過轉(zhuǎn)動中心O₃做t₀的垂線交t₀于點F₀。同理，過包絡(luò)點E做非圓張緊同步帶輪節(jié)曲線的切線t，過轉(zhuǎn)動中心O₃做t的垂線交t于點F。

分別計算切線t₀與t的方程，繼而求解得到轉(zhuǎn)動中心O₃到切線t₀和t的距離r₀和r，以及點F₀與F的坐標值。

利用兩點間距離公式求得F₀與F間的距離l，則在△F₀O₃F中利用余弦公式求得∠F₀O₃F＝α，若沿逆時針方向包絡(luò)，則齒廓包絡(luò)角θ＝α。若沿順時針方向包絡(luò)，則齒廓包絡(luò)角為θ＝π-α。

非圓同步帶輪齒廓如圖7所示。

該實施例中同步帶理論帶長變化量為12.7085mm，為同步帶總長度的1.92％，因為帶需要張緊，可以滿足實際使用要求。