本發(fā)明屬于超材料設(shè)計(jì)相關(guān)技術(shù)領(lǐng)域，更具體地，涉及一種適用于具有功能梯度及拉脹屬性的超材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法。

背景技術(shù)：

超材料是指具有人工設(shè)計(jì)的微結(jié)構(gòu)且呈現(xiàn)出天然材料不具備或者較少具備的超常物理屬性的復(fù)合材料。拉脹材料是一類具有負(fù)泊松比的新型力學(xué)超材料，它具有受拉時(shí)垂直方向膨脹(受壓時(shí)垂直方向收縮)的非常規(guī)力學(xué)特性，以此增強(qiáng)材料的剪切模量、吸能能力、抗裂性和斷裂韌性，擁有正泊松比材料所不具備的功能特點(diǎn)。

基于拉脹超材料的工程產(chǎn)品應(yīng)具備多功能性，例如艦艇的防護(hù)結(jié)構(gòu)和車輛防撞結(jié)構(gòu)，更加強(qiáng)調(diào)特殊功能性和承載性的綜合：一方面，產(chǎn)品在受沖擊時(shí)，拉脹效應(yīng)(負(fù)泊松比效應(yīng))使得材料瞬間朝受沖擊處聚集，從而吸收更多能量，防止結(jié)構(gòu)被破壞；另一方面，產(chǎn)品必須具備足夠的剛度以保障結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性及靜、動(dòng)態(tài)性能。通常來講，拉脹超材料的細(xì)觀多孔微結(jié)構(gòu)必須滿足疏松，以實(shí)現(xiàn)其中鉸鏈機(jī)構(gòu)的收縮與伸展，進(jìn)而呈現(xiàn)出拉脹特性，然而這也導(dǎo)致基于拉脹超材料的工程結(jié)構(gòu)在承載時(shí)缺乏剛度。相應(yīng)地，本領(lǐng)域存在著發(fā)展一種能夠同時(shí)考慮拉脹屬性及足夠剛度的超材料拓?fù)鋬?yōu)化方法的技術(shù)需求。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

針對(duì)現(xiàn)有技術(shù)的以上缺陷或改進(jìn)需求，本發(fā)明提供了一種適用于具有功能梯度及拉脹屬性的超材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法，其同時(shí)考慮微結(jié)構(gòu)構(gòu)型在空間上的變化、不同性能指標(biāo)的綜合以及宏觀載荷與邊界條件對(duì)為微結(jié)構(gòu)的影響等多個(gè)關(guān)鍵因素，解決了基于仿真、試驗(yàn)或者實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)方法無法實(shí)現(xiàn)或者實(shí)現(xiàn)成本過高的問題，使得經(jīng)拓?fù)鋬?yōu)化后的超材材料結(jié)構(gòu)同時(shí)具有拉脹屬性及足夠的剛度。

為實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明提供了一種適用于具有功能梯度及拉脹屬性的超材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法，其包括以下步驟：

(1)將待優(yōu)化的超材料結(jié)構(gòu)沿著所述超材料結(jié)構(gòu)的梯度方向進(jìn)行分層，并采用加權(quán)法建立每層的、同時(shí)考慮微觀結(jié)構(gòu)拉脹屬性及宏觀結(jié)構(gòu)剛度屬性的多目標(biāo)優(yōu)化模型；

(2)通過每層的微結(jié)構(gòu)的體積比來控制所述超材料結(jié)構(gòu)整體在一個(gè)方向上的拉脹屬性及剛度屬性呈梯度形式分布；

(3)計(jì)算每層設(shè)計(jì)域上的微觀位移、宏觀位移、以及每層微結(jié)構(gòu)的等效彈性屬性，計(jì)算所述多目標(biāo)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)及體積約束函數(shù)的敏度；

(4)基于計(jì)算獲得的敏度，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法更新設(shè)計(jì)變量，進(jìn)而判斷所述目標(biāo)函數(shù)是否收斂，若收斂，則輸出最優(yōu)宏微觀結(jié)構(gòu)構(gòu)型及分布，否則轉(zhuǎn)至步驟(3)。

進(jìn)一步地，采用加權(quán)法建立每層的、同時(shí)考慮微觀結(jié)構(gòu)拉脹屬性及宏觀結(jié)構(gòu)剛度屬性的多目標(biāo)優(yōu)化模型包括以下子步驟：

(a)分別建立柔度優(yōu)化模型及拉脹屬性優(yōu)化模型，其中所述柔度優(yōu)化模型的宏觀目標(biāo)函數(shù)由每層微結(jié)構(gòu)的柔度值之和來表示，所述拉脹屬性優(yōu)化模型的微觀目標(biāo)函數(shù)由彈性材料矩陣中分量的線性組合來表示；

(b)采用歸一化指數(shù)加權(quán)準(zhǔn)則對(duì)所述柔度優(yōu)化模型及所述拉脹屬性優(yōu)化模型進(jìn)行加權(quán)處理；

(c)將所述宏觀目標(biāo)函數(shù)及所述微觀目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行線性加權(quán)，以得到所述多目標(biāo)優(yōu)化模型。

進(jìn)一步地，所述宏觀目標(biāo)函數(shù)f^ma如以下公式所示：

式中，m＝1,2,…,m，表示m層微結(jié)構(gòu)中的第m層；上標(biāo)ma表示宏觀量；上標(biāo)mi表示微觀量；表示第m層的宏觀位移；表示第m層的微觀位移；表示第m層的宏觀應(yīng)變；表示微結(jié)構(gòu)等效彈性矩陣；表示微觀水平集函數(shù)；ω^ma表示宏觀域。

進(jìn)一步地，所述微觀目標(biāo)函數(shù)如以下公式所示：

式中，分別對(duì)應(yīng)材料彈性矩陣中的分量，通過控制優(yōu)化過程中出現(xiàn)鉸鏈機(jī)構(gòu)形式的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)，通過增加結(jié)構(gòu)的剪切性能。

進(jìn)一步地，所述多目標(biāo)優(yōu)化模型jm由以下公式表示：

式中，exp(·)表示指數(shù)函數(shù)；加權(quán)因子wm,a和wm,b分別表示宏觀目標(biāo)函數(shù)和微觀目標(biāo)函數(shù)在m層的權(quán)重，wm,a和wm,b之和等于1；分別代表宏觀、微觀目標(biāo)函數(shù)的最小值、最大值；q＝2是歸一化指數(shù)加權(quán)準(zhǔn)則的指數(shù)常數(shù)。

進(jìn)一步地，所述超材料結(jié)構(gòu)的每層由多個(gè)單元設(shè)計(jì)域組成，每個(gè)單元設(shè)計(jì)域上設(shè)置有連接域，相鄰兩層的所述單元設(shè)計(jì)域通過對(duì)應(yīng)的所述連接域相連接。

進(jìn)一步地，相鄰兩個(gè)所述單元設(shè)計(jì)域的連接域的位置相對(duì)應(yīng)，所有所述連接域沿所述超材料結(jié)構(gòu)的梯度方向設(shè)置，且相鄰兩個(gè)單元設(shè)計(jì)域上的連接域的尺寸一致。

總體而言，通過本發(fā)明所構(gòu)思的以上技術(shù)方案與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明提供的適用于具有功能梯度及拉脹屬性的超材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法主要具有以下有益效果：

(1)所述拓?fù)鋬?yōu)化方法將待優(yōu)化的超材料結(jié)構(gòu)沿著所述超材料結(jié)構(gòu)的梯度方向進(jìn)行分層，使得分層后的超材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題被分解為層優(yōu)化問題，且多個(gè)層優(yōu)化并行進(jìn)行，增加了宏觀結(jié)構(gòu)整體剛度；

(2)所述拓?fù)鋬?yōu)化方法采用加權(quán)法建立同時(shí)考慮微觀結(jié)構(gòu)拉脹屬性及宏觀結(jié)構(gòu)剛度屬性的多目標(biāo)優(yōu)化模型繼而進(jìn)行優(yōu)化，使得優(yōu)化后的超材料同時(shí)具備拉脹屬性及足夠的剛度；

(3)所述超材料結(jié)構(gòu)的每層由多個(gè)單元設(shè)計(jì)域組成，每個(gè)單元設(shè)計(jì)域上設(shè)置連接域，相鄰兩層的單元設(shè)計(jì)域通過對(duì)應(yīng)的所述連接域相連接，保證了微結(jié)構(gòu)之間的連續(xù)性；

(4)所有連接域沿超材料結(jié)構(gòu)的梯度方向設(shè)置，且相鄰兩個(gè)單元設(shè)計(jì)域上的連接域的尺寸一致，保證了微結(jié)構(gòu)的數(shù)值精度和周期性。

附圖說明

圖1是本發(fā)明較佳實(shí)施方式提供的適用于具有功能梯度及拉脹屬性的超材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法的流程圖；

圖2是圖1中的適用于具有功能梯度及拉脹屬性的超材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法涉及的分層設(shè)計(jì)示意圖；

圖3是圖1中的適用于具有功能梯度和拉脹屬性的超材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法涉及的超材料的不同單元設(shè)計(jì)域的連接示意圖；

圖4是采用采用圖1中的適用于具有功能梯度和拉脹屬性的超材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化的矩形梁初始設(shè)計(jì)域的示意圖；

圖5是圖4中的矩形梁經(jīng)過優(yōu)化后的超材料示意圖；

圖6是圖4中的矩形梁在一個(gè)梯度方向的放大圖。

具體實(shí)施方式

為了使本發(fā)明的目的、技術(shù)方案及優(yōu)點(diǎn)更加清楚明白，以下結(jié)合附圖及實(shí)施例，對(duì)本發(fā)明進(jìn)行進(jìn)一步詳細(xì)說明。應(yīng)當(dāng)理解，此處所描述的具體實(shí)施例僅僅用以解釋本發(fā)明，并不用于限定本發(fā)明。此外，下面所描述的本發(fā)明各個(gè)實(shí)施方式中所涉及到的技術(shù)特征只要彼此之間未構(gòu)成沖突就可以相互組合。

請(qǐng)參閱圖1至圖3，本發(fā)明較佳實(shí)施方式提供的適用于具有功能梯度及拉脹屬性的超材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法，所述拓?fù)鋬?yōu)化方法是一系統(tǒng)的優(yōu)化方法，其同時(shí)考慮微結(jié)構(gòu)構(gòu)型在空間上的變化、不同性能指標(biāo)的綜合以及宏觀載荷與邊界條件對(duì)為微結(jié)構(gòu)的影響等多個(gè)關(guān)鍵因素，解決了基于仿真、試驗(yàn)或者實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)方法無法實(shí)現(xiàn)或者實(shí)現(xiàn)成本過高的問題，使得經(jīng)拓?fù)鋬?yōu)化后的超材料同時(shí)具有拉脹屬性及足夠的剛度。

本實(shí)施方式中，所述的適用于具有功能梯度及拉脹屬性的超材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法主要具有以下有益效果：

步驟一，將待優(yōu)化的超材料結(jié)構(gòu)沿著所述超材料結(jié)構(gòu)的梯度方向進(jìn)行分層，使得分層后的超材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化被分解為層優(yōu)化，并采用加權(quán)法建立同時(shí)考慮微觀結(jié)構(gòu)拉脹屬性及宏觀結(jié)構(gòu)剛度屬性的多目標(biāo)優(yōu)化模型。

具體地，將待優(yōu)化的超材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行分層，將超材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題分為多個(gè)子優(yōu)化問題，對(duì)每一層建立一種同時(shí)考慮微觀結(jié)構(gòu)拉脹屬性和宏觀結(jié)構(gòu)剛度屬性的多目標(biāo)優(yōu)化模型。

對(duì)于一個(gè)被分為m層的超材料結(jié)構(gòu)，宏觀目標(biāo)函數(shù)由每一層微結(jié)構(gòu)的柔度值之和表示：

式中，m＝1,2,…,m，表示m層微結(jié)構(gòu)中的第m層；上標(biāo)ma表示宏觀量；上標(biāo)mi表示微觀量；表示第m層的宏觀位移；表示第m層的微觀位移；表示第m層的宏觀應(yīng)變；表示微結(jié)構(gòu)等效彈性矩陣；表示微觀水平集函數(shù)；ω^ma表示宏觀域。

考慮各向同性和各向正交異性材料的微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，第m層微結(jié)構(gòu)的拉脹屬性可表示為：

式中，分別對(duì)應(yīng)材料彈性矩陣中的分量，通過控制優(yōu)化過程中出現(xiàn)鉸鏈機(jī)構(gòu)形式的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)，通過增加結(jié)構(gòu)的剪切性能。

為建立多種性能屬性的多目標(biāo)優(yōu)化模型，首先采用歸一化指數(shù)加權(quán)準(zhǔn)則對(duì)各單目標(biāo)優(yōu)化模型(柔度優(yōu)化模型及拉脹屬性優(yōu)化模型)進(jìn)行處理。

式中，exp(·)表示指數(shù)函數(shù)；加權(quán)因子wm,a和wm,b分別表示宏觀目標(biāo)函數(shù)和微觀目標(biāo)函數(shù)在m層的權(quán)重，wm,a和wm,b之和等于1；分別代表宏觀、微觀目標(biāo)函數(shù)的最小值、最大值；q＝2是歸一化指數(shù)加權(quán)準(zhǔn)則的指數(shù)常數(shù)。

同時(shí)考慮微觀結(jié)構(gòu)拉脹屬性和宏觀結(jié)構(gòu)剛度屬性的多目標(biāo)優(yōu)化模型通過對(duì)兩種目標(biāo)函數(shù)的線性加權(quán)得到，所述多目標(biāo)優(yōu)化模型由以下公式表示：

步驟二，通過每層的微結(jié)構(gòu)的體積比來控制所述超材料整體結(jié)構(gòu)在某一方向上的拉脹屬性及剛度屬性呈梯度形式分布。具體地，超材料結(jié)構(gòu)的每層由周期性微結(jié)構(gòu)組成，通過微結(jié)構(gòu)的體積比控制拉脹材料整體在某一方向上的拉脹屬性和剛度屬性呈梯度形式分布；超材料結(jié)構(gòu)的第m層微結(jié)構(gòu)的最大體積分?jǐn)?shù)定義如下：

式中，[v1,vm]表示體積約束范圍，ξ＝1時(shí)體積分?jǐn)?shù)呈線性變化，否則體積分?jǐn)?shù)呈非線性變化。

步驟三，對(duì)每層微結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行微觀有限元分析及宏觀有限分析以獲得設(shè)計(jì)域上的宏觀位移及微觀位移，同時(shí)計(jì)算每層微結(jié)構(gòu)的等效彈性屬性，進(jìn)而計(jì)算所述多目標(biāo)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)及體積約束函數(shù)的敏度。

具體地，首先，對(duì)每層微結(jié)構(gòu)進(jìn)行微觀有限元分析，以獲得設(shè)計(jì)域上的微觀位移。微觀有限元模型的雙線性能量形式和線性載荷形式分別表示為：

式中，表示微觀平衡方程的弱形式；和分別為定義在微觀設(shè)計(jì)域內(nèi)的周期性位移；dpqrs為微觀實(shí)體材料的彈性矩陣；和分別為微觀擾動(dòng)應(yīng)變；為單位測(cè)試應(yīng)變；h為heaviside函數(shù)。

之后，通過數(shù)值均勻化方法計(jì)算每一層微結(jié)構(gòu)的等效彈性屬性。在水平集方法的框架下，用數(shù)值均勻化方法來近似計(jì)算每一層微結(jié)構(gòu)的等效彈性屬性，二維結(jié)構(gòu)中的等效彈性量計(jì)算公式如下所示：

式中，i,j,k,l＝1,2；dpqrs為微觀實(shí)體材料的彈性矩陣；上標(biāo)mi表示微觀量；ω^mi微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域；|ω^mi|表示微觀結(jié)構(gòu)的面積；φ^mi是微觀水平集函數(shù)；是單位測(cè)試應(yīng)變(對(duì)于二維問題，包括水平單位應(yīng)變、豎直單位應(yīng)變和剪切單位應(yīng)變)。

接著，采用計(jì)算獲得的等效彈性模量對(duì)每層微結(jié)構(gòu)進(jìn)行宏觀有限元分析以獲得設(shè)計(jì)域上的宏觀位移及柔度值。宏觀有限元模型的雙線性能量形式和線性載荷形式分別表示為：

式中，a^ma(u^ma,v^ma,u^mi,φ^mi)＝l^ma(v^ma)表示宏觀平衡方程的弱形式；p表示體積力；τ是應(yīng)用在邊界γ^ma上的牽引力；u^ma和v^ma分別是定義在ω^ma域上的非周期性位移。

最后，基于計(jì)算獲得的所述微觀位移、宏觀位移及等效彈性屬性來計(jì)算所述多目標(biāo)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)及體積約束函數(shù)的敏度。所述目標(biāo)函數(shù)的敏度計(jì)算公式如下所示：

式中，為參數(shù)化水平集方法中徑向基插值函數(shù)的擴(kuò)展系數(shù)。

所述體積約束函數(shù)的敏度計(jì)算公式如下所示：

步驟四，基于計(jì)算獲得的敏度，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法更新設(shè)計(jì)變量(水平基函數(shù))以達(dá)到微結(jié)構(gòu)優(yōu)化的目的，進(jìn)而判斷所述目標(biāo)函數(shù)是否收斂，若收斂，則輸出最優(yōu)宏微觀結(jié)構(gòu)構(gòu)型及分布，否則轉(zhuǎn)至步驟三。

為了增加宏觀結(jié)構(gòu)的整體剛度，所有層的優(yōu)化都并行進(jìn)行。每層由多個(gè)單元設(shè)計(jì)域組成，每個(gè)單元設(shè)計(jì)域上設(shè)置連接域d，相鄰兩層的單元設(shè)計(jì)域通過對(duì)應(yīng)的所述連接域d相連接，以保證微結(jié)構(gòu)之間的連續(xù)性。本實(shí)施方式中，相鄰兩個(gè)單元設(shè)計(jì)域的連接域d的位置相對(duì)應(yīng)，所有連接域d沿超材料結(jié)構(gòu)的梯度方向f設(shè)置，且相鄰兩個(gè)單元設(shè)計(jì)域上的連接域d的尺寸一致，以保證微結(jié)構(gòu)的數(shù)值精度和周期性。預(yù)先設(shè)定的連接域d在優(yōu)化過程中被設(shè)置為非設(shè)計(jì)域。

請(qǐng)參閱圖4至圖6，以下以一個(gè)具體實(shí)例來對(duì)本發(fā)明進(jìn)行進(jìn)一步的詳細(xì)說明。以一個(gè)長(zhǎng)l＝30cm寬h＝10cm的矩形梁為例，下邊界中點(diǎn)處有一集中載荷f＝50n，上邊界固定約束，結(jié)構(gòu)分為10層，梯度方向?yàn)閥軸方向，體積分?jǐn)?shù)沿y軸負(fù)方向逐漸增大。本實(shí)例中僅考慮各向正交異性的微結(jié)構(gòu)，宏觀結(jié)構(gòu)離散為30×10＝300個(gè)四節(jié)點(diǎn)單元。每一層上的微結(jié)構(gòu)離散為40×40＝1600個(gè)四點(diǎn)節(jié)單元。

為實(shí)現(xiàn)功能梯度屬性，每一層的微結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)在梯度方向上從0.25到0.55呈非線性變化，取ξ＝2，10層微結(jié)構(gòu)的體積分?jǐn)?shù)約束分別為0.25、0.2537、0.2648、0.2833、0.3039、0.3406、0.3833、0.4315、0.4870、0.55。同時(shí)考慮微觀結(jié)構(gòu)拉脹屬性和宏觀結(jié)構(gòu)剛度屬性的多目標(biāo)優(yōu)化模型中取wm,a＝0.4和wm,b＝0.6

優(yōu)化后得到的具有拉脹屬性的超材料如圖5所示，圖6所示為一放大的矩形梁的超材料體積單元示意圖，總?cè)岫戎礷^ma＝157.9代表體積單元由一系列典型的具有拉脹屬性的超材料組成；正交各向異性微結(jié)構(gòu)的泊松比v12＝-1.147，v21＝-0.2608；每一層的微結(jié)構(gòu)之間有較好的連接性，由于采用的基于參數(shù)化水平集的拓?fù)鋬?yōu)化方法，微結(jié)構(gòu)具有光滑的邊界。

本發(fā)明提供的適用于具有功能梯度及拉脹屬性的超材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法，其將待優(yōu)化的超材料結(jié)構(gòu)沿著所述超材料結(jié)構(gòu)的梯度方向進(jìn)行分層，使得分層后的超材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題被分解為多個(gè)子優(yōu)化問題，且多個(gè)子化問題并行優(yōu)化，增加了宏觀結(jié)構(gòu)整體剛度。同時(shí)，所述拓?fù)鋬?yōu)化方法采用加權(quán)法建立同時(shí)考慮微觀結(jié)構(gòu)拉脹屬性及宏觀結(jié)構(gòu)剛度屬性的多目標(biāo)優(yōu)化模型繼而進(jìn)行優(yōu)化，使得優(yōu)化后的超材料同時(shí)具備拉脹屬性及足夠的剛度。

本領(lǐng)域的技術(shù)人員容易理解，以上所述僅為本發(fā)明的較佳實(shí)施例而已，并不用以限制本發(fā)明，凡在本發(fā)明的精神和原則之內(nèi)所作的任何修改、等同替換和改進(jìn)等，均應(yīng)包含在本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。