本發(fā)明涉及含連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域，特別涉及考慮材料彈性模量和載荷的不確定性對結(jié)構(gòu)的剛度的影響以及基于位移的非概率可靠度指標約束下連續(xù)體結(jié)構(gòu)的可靠性拓撲優(yōu)化方案的制定。

背景技術(shù)：

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計集計算力學(xué)、數(shù)學(xué)規(guī)劃、計算機科學(xué)以及其他工程學(xué)科于一體，是綜合性、實用性很強的理論、方法和技術(shù)，是近代設(shè)計方法的重要發(fā)展。目前，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計應(yīng)用的領(lǐng)域涉及航空、航天、機械、土木、水利、橋梁、汽車、鐵路、船舶、輕工、紡織、能源以及軍事工業(yè)等諸多領(lǐng)域，使得結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計變得越來越重要。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計分為三個層次：尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化。與尺寸優(yōu)化和幾何優(yōu)化相比，結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化取得的經(jīng)濟效益更大。因此，針對連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化研究具有重要的理論意義和工程實用價值。

然而，隨著科技水平的不斷進步，工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的復(fù)雜程度在不斷增加，不確定性的表現(xiàn)也越來越突出。一方面，材料的制造加工工藝造成的材料屬性的分散性不可避免，另一方面，結(jié)構(gòu)服役的環(huán)境也越來越惡化，這些不確定因素對結(jié)構(gòu)的性能會產(chǎn)生重要的影響。拓撲優(yōu)化作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的概念設(shè)計階段，其優(yōu)化設(shè)計結(jié)果對最終的結(jié)構(gòu)形式有著決定性的影響，因此在拓撲優(yōu)化設(shè)計階段考慮不確定性的影響是十分必要的。實際結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)的使用性能往往要求結(jié)構(gòu)具有一定的剛度，這種對結(jié)構(gòu)剛度的要求可以體現(xiàn)為對結(jié)構(gòu)某位置的位移量大小的要求。因此，研究位移約束下的連續(xù)體結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計方法具有重大意義。

當前，國內(nèi)外學(xué)者與工程技術(shù)人員對考慮連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化分析與設(shè)計研究主要集中在兩個方面：(1)以結(jié)構(gòu)柔順度為目標函數(shù)，以結(jié)構(gòu)體積為約束的確定性拓撲優(yōu)化問題；(2)以結(jié)構(gòu)重量為目標函數(shù)，以結(jié)構(gòu)位移為約束的非概率可靠性拓撲優(yōu)化問題。上述工作一定程度上豐富了連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計研究。但是上述工作主要是針對確定性的拓撲優(yōu)化問題，對考慮不確定性的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題研究較少，而且已經(jīng)提出的非概率可靠性拓撲優(yōu)化設(shè)計方法使得結(jié)構(gòu)的安全余量過大，結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟效益受損，大大限制了其理論的工程實用化進程。

由于實際工程中貧信息、少數(shù)據(jù)的情況時有發(fā)生，建立以非概率理論框架為基礎(chǔ)的位移約束下的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計方法具有顯著的現(xiàn)實意義。目前，相關(guān)研究工作尚不成熟，現(xiàn)有連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計方案經(jīng)常無法嚴格滿足所需的應(yīng)用要求，亦或是安全冗余度過大，造成嚴重的資源浪費與時間成本損耗。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明要解決的技術(shù)問題是：克服現(xiàn)有技術(shù)的不足，提供一種基于級數(shù)展開的連續(xù)體結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化方法。本發(fā)明充分考慮實際工程問題中普遍存在的不確定性因素，以提出的非概率可靠性度量指標作為優(yōu)化模型的約束條件，所得到的設(shè)計結(jié)果更加符合真實情況，工程適用性更強。

本發(fā)明采用的技術(shù)方案實現(xiàn)步驟如下：一種基于級數(shù)展開的連續(xù)體結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化方法，該方法包括如下步驟：

第一步：考慮結(jié)構(gòu)材料的彈性模量和載荷的不確定性，采用帶罰因子的固體各向同性微結(jié)構(gòu)/材料插值模型(Solid Isotropic Material with Penalization，簡稱SIMP)，以結(jié)構(gòu)的最小重量為優(yōu)化目標，以結(jié)構(gòu)的某些位置位移的非概率可靠性指標作為約束，建立相應(yīng)的非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型如下：

其中，V是優(yōu)化區(qū)域的體積，ρ_i和V_i分別為第i個單元的相對密度和體積，N為優(yōu)化區(qū)域劃分的單元總數(shù)，ρ為單元相對密度的下限。K為單元的總體剛度矩陣，u為單元的總體位移列向量，F(xiàn)為總體載荷列向量。是第j個位移約束點的實際位移區(qū)間值，是第j個位移約束的容許位移區(qū)間值，m為位移約束的個數(shù)。R_s是非概率集合可靠性指標，是第j個位移約束對應(yīng)的目標非概率可靠度。對于SIMP模型，單元的彈性模量是材料相對密度的函數(shù)：

其中P＞1是懲罰因子，用于實現(xiàn)對中間密度單元的懲罰。按照經(jīng)驗，一般取P＝3，E₀是完全實心材料的彈性模量。

第二步：以區(qū)間量來表征材料的彈性模量和載荷的不確定性，由材料彈性模量的名義值和載荷的名義值得到相應(yīng)的位移的名義值，并運用泰勒級數(shù)展開定理將結(jié)構(gòu)位移在名義位移值處進行一階泰勒展開，得到位移關(guān)于材料彈性模量和載荷的線性表達式，從而得到考慮材料彈性模量和載荷不確定性下的結(jié)構(gòu)位移的上下界和上下界所對應(yīng)的材料彈性模量和載荷值；

第三步：由第二步得到的位移上下界，計算相應(yīng)的非概率可靠性指標，并判定結(jié)構(gòu)位移約束的可靠性指標是否達到要求，非概率可靠性指標的計算如下：

其中，R^I為位移的容許區(qū)間值，S^I為位移的實際區(qū)間值。R為位移的容許區(qū)間值的下界，為位移的容許區(qū)間值的上界。S為位移的實際區(qū)間值的下界，為位移的實際區(qū)間值的上界。

第四步：在原非概率可靠性指標的基礎(chǔ)上建立優(yōu)化特征位移指標，從而改善原問題的收斂性。優(yōu)化特征位移定義為實際失效平面到目標失效平面的移動位移，而目標失效平面是與原實際失效平面平行，其可靠度等于目標非概率可靠度的失效平面。在第三步的基礎(chǔ)上，計算相應(yīng)的優(yōu)化特征位移。利用優(yōu)化特征位移可以將原優(yōu)化模型改寫為：

其中，d為優(yōu)化特征位移；

第五步：根據(jù)第二步得到的結(jié)構(gòu)位移的表達式，對設(shè)計變量進行求導(dǎo)，并運用基于技術(shù)展開的伴隨向量法得到位移上下界對設(shè)計變量的靈敏度。然后利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，先求解優(yōu)化特征位移關(guān)于位移上下界的靈敏度，然后再求解位移上下界關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度，將兩者相乘即得到位移的優(yōu)化特征位移對設(shè)計變量的靈敏度；

第六步：利用第四步中得到的優(yōu)化特征位移值以及第五步中得到的優(yōu)化特征位移對設(shè)計變量的靈敏度代入MMA算法中，設(shè)置相關(guān)的經(jīng)驗參數(shù)并對原拓撲優(yōu)化問題進行求解，得到新的設(shè)計變量；

第七步：判定新的設(shè)計變量是否滿足收斂性條件。收斂性的兩個條件為結(jié)構(gòu)的位移可靠度滿足約束以及設(shè)計變量迭代前后的變化量小于一個給定的值。若滿足收斂性條件，則將已經(jīng)完成的迭代次數(shù)增加一，并返回第二步，否則，迭代過程結(jié)束。

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比的優(yōu)點在于：

本發(fā)明提供了位移約束下的連續(xù)體結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化新思路，在對連續(xù)體結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化設(shè)計時，可以充分考慮不確定性對結(jié)構(gòu)性能的影響，在保證結(jié)構(gòu)剛度滿足可靠度約束的前提下可大大降低結(jié)構(gòu)重量，提高性能的同時，降低設(shè)計周期和經(jīng)濟成本。與傳統(tǒng)的拓撲優(yōu)化方法相比，本方法提出了基于級數(shù)展開的伴隨向量法，本方法和實際工程結(jié)合更加緊密，具有更加重大的意義。

附圖說明

圖1是本發(fā)明基于級數(shù)展開的連續(xù)體結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化方法的流程圖；

圖2是本發(fā)明提出的非概率可靠性模型中的應(yīng)力-強度非概率集合干涉模型示意圖；

圖3是應(yīng)力-強度干涉模型的標準化空間示意圖；

圖4是本發(fā)明提出的優(yōu)化特征位移的臨界斜率示意圖。

具體實施方式

下面結(jié)合附圖以及具體實施方式進一步說明本發(fā)明。

如圖1所示，本發(fā)明提出了一種基于級數(shù)展開的連續(xù)體結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化方法，包括以下步驟：

(1)考慮結(jié)構(gòu)材料的彈性模量和載荷的不確定性，采用帶罰因子的固體各向同性微結(jié)構(gòu)/材料插值模型(Solid Isotropic Material with Penalization，簡稱SIMP)，以結(jié)構(gòu)的最小重量為優(yōu)化目標，以結(jié)構(gòu)的某些位置位移的非概率可靠性指標作為約束，建立相應(yīng)的非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型如下：

其中，V是優(yōu)化區(qū)域的體積，ρ_i和V_i分別為第i個單元的相對密度和體積，N為優(yōu)化區(qū)域劃分的單元總數(shù)，ρ為單元相對密度的下限。K為單元的總體剛度矩陣，u為單元的總體位移列向量，F(xiàn)為總體載荷列向量。是第j個位移約束點的實際位移區(qū)間值，是第j個位移約束的容許位移區(qū)間值，m為位移約束的個數(shù)。R_s是非概率集合可靠性指標，是第j個位移約束對應(yīng)的目標非概率可靠度。對于SIMP模型，單元的彈性模量是材料相對密度的函數(shù)：

其中P＞1是懲罰因子，用于實現(xiàn)對中間密度單元的懲罰。按照經(jīng)驗，一般取P＝3，E₀是完全實心材料的彈性模量。

(2)以區(qū)間量來表征材料的彈性模量和載荷的不確定性，由材料彈性模量的名義值和載荷的名義值得到相應(yīng)的位移的名義值，并運用泰勒級數(shù)展開定理將結(jié)構(gòu)位移在名義位移值處進行一階泰勒展開，得到位移關(guān)于材料彈性模量和載荷的線性表達式，從而得到考慮材料彈性模量和載荷不確定性下的結(jié)構(gòu)位移的上下界和上下界所對應(yīng)的材料彈性模量和載荷值，具體實施方式如下：

假設(shè)材料參數(shù)和載荷環(huán)境在一個范圍較小的區(qū)間范圍內(nèi)變化，其不確定參數(shù)設(shè)為a＝(a₁,a₂,…,a_m)，不確定參數(shù)的中心值為μ＝(μ₁,μ₂,…,μ_m)。

對某點位移進行泰勒展開，有：

令則(3)式轉(zhuǎn)化為：

對于靜力平衡方程：

KU＝F (5)

在(5)式兩邊同時對某個不確定參數(shù)a_i求導(dǎo)，得到：

對(6)式中的不確定參數(shù)取中心值，得到：

令則有：

利用差分法，對(7)進行分析，可得：

式中，為參數(shù)μ_i的攝動，為不確定參數(shù)為時對應(yīng)的剛度矩陣(載荷列向量)，。K_μ(F_μ)為中心值處的剛度矩陣(載荷列向量)。

將(9)式代入(7)式，有：

從式(10)中解出β_i，有：

將(11)式代入(8)式，可得：

將式(12)代入(4)式，可得：

根據(jù)(a_i-μ_i)前面多項式的符號的正負可以確定位移上下界所對應(yīng)a_i的取值。例如要求位移u的上界，如果為正，則a_i應(yīng)取上界；若為負，則a_i應(yīng)取下界。此時代入計算可得位移u的上界。

(3)由第二步得到的位移上下界，計算相應(yīng)的非概率可靠性指標，并判定結(jié)構(gòu)位移約束的可靠性指標是否達到要求，非概率可靠性指標的計算如下：

其中，R^I為位移的容許區(qū)間值，S^I為位移的實際區(qū)間值。R為位移的容許區(qū)間值的下界，為位移的容許區(qū)間值的上界。S為位移的實際區(qū)間值的下界，為位移的實際區(qū)間值的上界。

(4)在運用MMA算法求解拓撲優(yōu)化問題時，第2節(jié)所述非概率可靠度的梯度信息存在缺陷，即在設(shè)計域中存在梯度信息為零的區(qū)域(可靠度為0或1)，會造成一定的數(shù)值困難，在原非概率可靠性指標的基礎(chǔ)上建立優(yōu)化特征位移指標，從而改善原問題的收斂性。

優(yōu)化特征位移d的定義為：原失效平面到目標失效平面的移動位移。其中目標失效平面是與原失效平面平行的平面，并且其可靠度為目標值。由于可靠度一般接近1，故目標失效平面一般位于不確定域的右下角，圖4為兩種臨界情況。

首先計算臨界情況下失效平面的斜率，設(shè)η為目標可靠度。對于k₁，有(2×2/k₁×1/2)/4＝1-η，解得k₁＝1/2(1-η)，同理可得k₂＝2(1-η)，針對原失效平面斜率k取值的不同情況，使用直線間的距離公式，并定義原失效平面在目標失效平面上方的距離為正，反之為負，給出距離d的表達式為：

當d＞0時，失效平面在與目標非概率可靠度η對應(yīng)的目標失效平面上方，此時由于安全區(qū)域的面積小于目標值，對應(yīng)的非概率可靠度R_s＜η，不滿足要求。當d≤0時，失效平面在與目標非概率可靠度η對應(yīng)的目標失效平面下方，此時由于安全區(qū)域的面積大于等于目標值，對應(yīng)的非概率可靠度R_s≥η，滿足設(shè)計要求。

(5)根據(jù)第二步得到的結(jié)構(gòu)位移的表達式，對設(shè)計變量進行求導(dǎo)，并運用基于技術(shù)展開的伴隨向量法得到位移上下界對設(shè)計變量的靈敏度。然后利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，先求解優(yōu)化特征位移關(guān)于位移上下界的靈敏度，然后再求解位移上下界關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度，將兩者相乘即得到位移的優(yōu)化特征位移對設(shè)計變量的靈敏度。

將(4)式對某個單元密度求導(dǎo)，有：

等式(14)右邊第一項可以通過傳統(tǒng)的伴隨向量法進行求解。在式(5)兩端同時對x求導(dǎo)，可得：

對(15)式中的剛度矩陣取中心值，有：

計算可得：

利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有：

引入伴隨向量λ₁，滿足：

將式(19)代入式(18)，并且利用剛度矩陣的對稱性，可得：

等式(14)右端第一項求解完成。下面求解等式右端第二項，主要求解部分。

在(10)式兩邊同時對x求導(dǎo)，可得：

將式(16)代入式(21)進行化簡，可得：

從式(22)中解出有：

利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，并將式(23)代入，有：

將式(17)代入式(24)，可得：

對于等式(25)右端的第一項和第二項中的部分，可利用伴隨向量法進行求解，引入伴隨向量λ₂，滿足：

可得：

對于等式(25)右端的第三項中的部分，可引入伴隨向量λ₃，滿足：

可得：

將式(27)和式(29)代入式(25)，有：

下面介紹如何求解伴隨向量λ₃，引入中間伴隨向量滿足：

將式(31)與式(28)結(jié)合考慮，有：

將式(32)兩端同時左乘以可得：

在式(33)中，虛擬載荷為可作為虛擬載荷；

由于：

故有：

將式(20)式(30)代入式(14)，有：

根據(jù)(36)式，代入位移上下界所對應(yīng)的a_i的取值，可得位移上下界關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度。

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，其約束函數(shù)d對設(shè)計變量的靈敏度為：

其中：

式中而A,B中的X為

(6)利用第四步中得到的優(yōu)化特征位移值以及第五步中得到的優(yōu)化特征位移對設(shè)計變量的靈敏度代入MMA算法中，設(shè)置相關(guān)的經(jīng)驗參數(shù)并對原拓撲優(yōu)化問題進行求解，得到新的設(shè)計變量；

(7)判定新的設(shè)計變量是否滿足收斂性條件。收斂性的兩個條件為結(jié)構(gòu)的位移可靠度滿足約束以及設(shè)計變量迭代前后的變化量小于一個給定的值。若滿足收斂性條件，則將已經(jīng)完成的迭代次數(shù)增加一，并返回第二步，否則，迭代過程結(jié)束。

綜上所述，本發(fā)明提出了一種基于級數(shù)展開的連續(xù)體結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化方法。首先，根據(jù)Qiu的非概率可靠性模型建立位移約束下的連續(xù)體結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型；其次，運用泰勒級數(shù)展開法得到位移約束點位移的上下界；運用基于級數(shù)展開的伴隨向量法求解位移上下界的靈敏度；采用優(yōu)化特征位移代替原來的可靠性指標來改善問題的收斂性，并利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得到優(yōu)化特征位移關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度；最后，利用已有信息構(gòu)造原問題的近似模型，采用MMA算法進行迭代計算，直至滿足約束條件和收斂條件。

以上僅是本發(fā)明的具體步驟，對本發(fā)明的保護范圍不構(gòu)成任何限制；其可擴展應(yīng)用于位移約束下的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域，凡采用等同變換或者等效替換而形成的技術(shù)方案，均落在本發(fā)明權(quán)利保護范圍之內(nèi)。

本發(fā)明未詳細闡述部分屬于本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知技術(shù)。