本發(fā)明涉及磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制的技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及一種基于FIR濾波器和分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法，用于對磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的諧波電流進(jìn)行抑制，為磁懸浮飛輪在“超靜”衛(wèi)星平臺(tái)上的應(yīng)用提供技術(shù)支持。

背景技術(shù)：

磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有無摩擦、長壽命和主動(dòng)振動(dòng)可控等特性，在磁懸浮飛輪、磁懸浮陀螺以及磁懸浮分子泵等方面有良好的應(yīng)用。由于加工精度有限，磁懸浮轉(zhuǎn)子不可避免地會(huì)存在質(zhì)量不平衡，在高速轉(zhuǎn)動(dòng)過程中會(huì)產(chǎn)生與轉(zhuǎn)速頻率相同的同頻控制電流；另一方面，由于傳感器檢測面、被檢測面上電或者磁特性不一致，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)即使沒有不平衡量，傳感器檢測信號(hào)中仍然含有同頻及倍頻噪聲，這就是傳感器諧波，傳感器諧波會(huì)引發(fā)諧波控制電流。由磁懸浮轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡和傳感器諧波所產(chǎn)生的諧波控制電流，會(huì)使磁軸承產(chǎn)生諧波振動(dòng)力，進(jìn)而傳遞到基座影響超靜衛(wèi)星平臺(tái)的姿態(tài)控制精度。

諧波振動(dòng)抑制可以分為零電流、零位移和零振動(dòng)三類，其中零電流可以用最少的計(jì)算量和功耗抑制大部分的振動(dòng)，本發(fā)明將磁懸浮轉(zhuǎn)子的諧波電流視為擾動(dòng)進(jìn)行諧波電流抑制，實(shí)現(xiàn)零電流?，F(xiàn)有技術(shù)主要針對單一頻率的干擾進(jìn)行抑制，對于諧波擾動(dòng)抑制研究相對較少，主要可以分為兩類。第一類方法針對不同頻率的振動(dòng)并聯(lián)多個(gè)濾波器，如并聯(lián)多個(gè)陷波器或多個(gè)LMS(Least Mean Square,LMS)濾波器等。該方法不能針對所有振動(dòng)同時(shí)抑制，計(jì)算量大，且需要考慮不同濾波器間的收斂速度問題，設(shè)計(jì)起來比較復(fù)雜。第二類方法無需并聯(lián)多個(gè)濾波器便可實(shí)現(xiàn)對不同頻率成分振動(dòng)的同時(shí)抑制，如重復(fù)控制算法。現(xiàn)有的應(yīng)用于磁懸浮轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)的重復(fù)控制算法均沒有頻率自適應(yīng)能力，只能實(shí)現(xiàn)某些固定轉(zhuǎn)速下的諧波電流抑制，本發(fā)明提出一種頻率自適應(yīng)重復(fù)控制器以實(shí)現(xiàn)磁懸浮轉(zhuǎn)子的諧波電流抑制。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的為：克服現(xiàn)有技術(shù)的不足，發(fā)明一種基于FIR濾波器和分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法，通過在線更新分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器系數(shù)實(shí)現(xiàn)諧波電流抑制。

本發(fā)明采用的技術(shù)方案為：一種基于FIR濾波器和分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法，包括以下步驟：

步驟(1)建立含質(zhì)量不平衡和傳感器諧波的磁懸浮轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型

磁懸浮飛輪通過主動(dòng)磁軸承控制轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮，令O表示磁軸承定子的幾何中心，G表示轉(zhuǎn)子的幾何中心，I表示轉(zhuǎn)子的質(zhì)心，以O(shè)為中心建立慣性坐標(biāo)系OXYZ，(x,y)表示轉(zhuǎn)子幾何中心G在慣性坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值，由于轉(zhuǎn)子具有對稱結(jié)構(gòu)，故在X方向上對其諧波擾動(dòng)來源以及控制算法進(jìn)行分析與研究，

根據(jù)牛頓第二定律，磁懸浮轉(zhuǎn)子在X方向的動(dòng)力學(xué)方程如下：

其中，表示轉(zhuǎn)子在X方向的加速度，m表示轉(zhuǎn)子質(zhì)量，f_x表示磁軸承在X方向的軸承力，f_u表示轉(zhuǎn)子的不平衡力，可表示如下：

f_u＝meΩ²cos(Ωt+φ)

其中e表示轉(zhuǎn)子幾何中心與質(zhì)心之間的偏差，Ω表示轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，φ表示轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量的初始相位；

當(dāng)轉(zhuǎn)子在磁軸承中心位置小范圍懸浮時(shí)，磁軸承的電磁力可近似表示為線性化方程：

f_x≈K_xx+K_ii

其中K_x和K_i分別表示磁軸承位移剛度和電流剛度，i表示磁軸承線圈控制電流；

由于機(jī)械加工精度和材料的不均勻因素的影響，磁懸浮轉(zhuǎn)子的位移傳感器檢測面會(huì)出現(xiàn)圓度不理想、材質(zhì)不均勻、剩磁特性不同的現(xiàn)象，位移傳感器的輸出將會(huì)出現(xiàn)同頻和倍頻的多諧波信號(hào)：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中x(t)表示轉(zhuǎn)子幾何中心真實(shí)的坐標(biāo)值，x_s(t)表示傳感器的輸出值，x_d(t)為傳感器輸出值與真實(shí)值的誤差，可表示如下：

其中l(wèi)表示諧波次數(shù)，c_l表示諧波系數(shù)，θ_l表示諧波初始相位；

將i、x_d(t)、f_u依次進(jìn)行拉普拉斯變換可得I(s)、X_d(s)、F_u(s)，則磁軸承電流I(s)的傳遞函數(shù)可表示如下：

其中，G_c(s)表示反饋控制器的傳遞函數(shù)，G_w(s)表示功放環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，G_p(s)表示磁懸浮轉(zhuǎn)子的傳遞函數(shù)，R(s)表示參考輸入信號(hào)，K_s表示傳感器增益；

綜合以上分析可得，轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡以及傳感器誤差會(huì)使磁軸承產(chǎn)生諧波控制電流，從而產(chǎn)生諧波振動(dòng)力；

步驟(2)設(shè)計(jì)基于FIR濾波器和分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器的諧波電流抑制算法進(jìn)行磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制

以諧波電流為控制目標(biāo)，將諧波電流i輸入至重復(fù)控制器，重復(fù)控制器是基于內(nèi)模原理實(shí)現(xiàn)輸入信號(hào)中諧波量的消除，在實(shí)際磁軸承控制系統(tǒng)中，采樣頻率與諧波電流基頻的比值一般不為整數(shù)，現(xiàn)有的針對磁軸承諧波電流抑制的重復(fù)控制器只能對其整數(shù)部分進(jìn)行補(bǔ)償，諧波電流抑制精度大大降低，針對這一不足，采用FIR濾波器和分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器相結(jié)合的方式實(shí)現(xiàn)諧波電流的抑制，F(xiàn)IR濾波器是具有線性相位特性的低通濾波器，分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器由分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器近似得到，通過分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器系數(shù)的在線更新，可以實(shí)現(xiàn)諧波電流抑制。

更進(jìn)一步的，所述的步驟(2)諧波電流抑制算法為：

利用整數(shù)延時(shí)環(huán)節(jié)、FIR濾波器和分?jǐn)?shù)階延時(shí)環(huán)節(jié)相串聯(lián)，T_s是采樣周期；是采樣周期的整數(shù)延時(shí)環(huán)節(jié)；F(s)是具有線性相位的FIR濾波器，滯后相位與頻率ω成比例關(guān)系，可以獲知并進(jìn)行補(bǔ)償，解決了低通濾波器相位滯后帶來的影響；是采樣周期的分?jǐn)?shù)階延時(shí)環(huán)節(jié)，由分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器近似得到，采用以上三者相串聯(lián)的形式，一方面可以消除低通濾波器相位滯后帶來的誤差，增大系統(tǒng)帶寬；另一方面可以消除采樣頻率與諧波擾動(dòng)信號(hào)基頻的比值不為整數(shù)情況下帶來的誤差，實(shí)現(xiàn)磁軸承諧波電流抑制。

更進(jìn)一步的，該諧波電流抑制算法以參考輸入信號(hào)R(s)和等效諧波擾動(dòng)信號(hào)D(s)作為輸入，磁軸承線圈電流I(s)作為輸出的靈敏度函數(shù)S₂(s)可表示如下：

其中，表示除去重復(fù)控制器時(shí)以電流I(s)作為輸出的靈敏度函數(shù)，C(s)表示相位補(bǔ)償器。低通濾波器F(s)的截止頻率ω_c大于有效諧波擾動(dòng)的最高頻率ω_max，在ω∈(0,ω_max)范圍內(nèi)F(s)的幅值衰減很小，可近似認(rèn)為|F(s)|＝1。

本發(fā)明基本原理：對磁懸浮飛輪來講，高頻振動(dòng)會(huì)降低衛(wèi)星平臺(tái)的指向精度和穩(wěn)定度，必須加以抑制。其中，振動(dòng)的主要來源是質(zhì)量不平衡和傳感器諧波。本發(fā)明針對諧波電流進(jìn)行抑制，減小諧波振動(dòng)。由于質(zhì)量不平衡和傳感器諧波的存在，導(dǎo)致控制電流中含有諧波，即諧波電流，從而使磁懸浮飛輪中含有諧波振動(dòng)。通過建立含質(zhì)量不平衡和傳感器諧波的磁懸浮轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，分析諧波電流，提出一種頻率自適應(yīng)重復(fù)控制器以實(shí)現(xiàn)磁懸浮轉(zhuǎn)子高轉(zhuǎn)速下的諧波電流抑制，重點(diǎn)從三個(gè)方面進(jìn)行研究：與延時(shí)環(huán)節(jié)串聯(lián)的具有線性相位特性的FIR低通濾波器設(shè)計(jì)，F(xiàn)IR濾波器滯后相位可以獲知，以便于后續(xù)進(jìn)行分析和補(bǔ)償；分?jǐn)?shù)階延時(shí)濾波器設(shè)計(jì)，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速改變時(shí)，可通過改變分?jǐn)?shù)階延時(shí)濾波器的系數(shù)實(shí)現(xiàn)小數(shù)部分補(bǔ)償；相位補(bǔ)償環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，采用重構(gòu)譜和小增益理論進(jìn)行穩(wěn)定性分析，通過設(shè)計(jì)相位補(bǔ)償環(huán)節(jié)以保證穩(wěn)定性，最終實(shí)現(xiàn)磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流的抑制，

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比的優(yōu)點(diǎn)在于：

(1)為了有效抑制磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的諧波電流，本發(fā)明提出一種基于FIR濾波器和分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法，能實(shí)現(xiàn)定轉(zhuǎn)速下的諧波電流抑制，適用于存在質(zhì)量不平衡和傳感器諧波的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制。

(2)本發(fā)明將FIR低通濾波器和分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器結(jié)合使用，應(yīng)用FIR濾波器的線性相位特性和分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器系數(shù)在線更新實(shí)現(xiàn)諧波電流的抑制。

附圖說明

圖1為本發(fā)明的流程圖；

圖2為磁懸浮飛輪結(jié)構(gòu)示意圖，其中，1為徑軸一體位移傳感器，2為徑向磁軸承，3為軸向磁軸承，4為慣性軸，5為幾何軸，6為磁懸浮轉(zhuǎn)子；

圖3為傳感器諧波示意圖；

圖4為X通道磁軸承轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)框圖；

圖5為改進(jìn)插入式重復(fù)控制器系統(tǒng)框圖；

圖6為拉格朗日插值多項(xiàng)式幅頻特性曲線，其中，圖6(a)為n＝2時(shí)拉格朗日插值多項(xiàng)式幅頻特性曲線，圖6(b)為n＝3時(shí)拉格朗日插值多項(xiàng)式幅頻特性曲線；

圖7為簡化后的改進(jìn)重復(fù)控制器系統(tǒng)方框圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合附圖以及具體實(shí)施例進(jìn)一步說明本發(fā)明。

如圖1所示，一種基于FIR濾波器和分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法的實(shí)施過程是：首先建立含質(zhì)量不平衡和傳感器諧波的磁懸浮轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，然后設(shè)計(jì)一種基于FIR濾波器和分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法。

(1)建立含質(zhì)量不平衡和傳感器諧波的磁懸浮轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型

磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，O表示磁軸承定子的幾何中心，G表示轉(zhuǎn)子的幾何中心，I表示轉(zhuǎn)子的質(zhì)心。以O(shè)為中心建立慣性坐標(biāo)系OXYZ，(x,y)表示轉(zhuǎn)子幾何中心G在慣性坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。由于轉(zhuǎn)子具有對稱結(jié)構(gòu)，故在X方向上對其諧波擾動(dòng)來源以及控制算法進(jìn)行分析與研究。

根據(jù)牛頓第二定律，磁懸浮轉(zhuǎn)子在X方向的動(dòng)力學(xué)方程如下：

其中，表示轉(zhuǎn)子在X方向的加速度，m表示轉(zhuǎn)子質(zhì)量，f_x表示磁軸承在X方向的軸承力，f_u表示轉(zhuǎn)子的不平衡力，可表示如下：

f_u＝meΩ²cos(Ωt+φ)

其中e表示轉(zhuǎn)子幾何中心與質(zhì)心之間的偏差，Ω表示轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，φ表示轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量的初始相位。

當(dāng)轉(zhuǎn)子在磁軸承中心位置小范圍懸浮時(shí)，磁軸承的電磁力可近似表示為線性化方程：

f_x≈K_xx+K_ii

其中K_x和K_i分別表示磁軸承位移剛度和電流剛度，i表示磁軸承線圈控制電流。

由于機(jī)械加工精度和材料的不均勻等因素的影響，磁懸浮轉(zhuǎn)子的位移傳感器檢測面會(huì)出現(xiàn)圓度不理想、材質(zhì)不均勻、剩磁特性不同的現(xiàn)象，如圖3所示，位移傳感器的輸出將會(huì)出現(xiàn)同頻和倍頻的多諧波信號(hào)：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中x(t)表示轉(zhuǎn)子幾何中心真實(shí)的坐標(biāo)值，x_s(t)表示傳感器的輸出值，x_d(t)為傳感器輸出值與真實(shí)值的誤差，可表示如下：

其中l(wèi)表示諧波次數(shù)，c_l表示諧波系數(shù)，θ_l表示諧波初始相位。

磁軸承X方向平動(dòng)控制系統(tǒng)如圖4所示，將i、x_d(t)、f_u依次進(jìn)行拉普拉斯變換可得I(s)、X_d(s)、F_u(s)，則磁軸承電流I(s)的傳遞函數(shù)可表示如下：

其中，G_c(s)表示反饋控制器的傳遞函數(shù)，G_w(s)表示功放環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，G_p(s)表示磁懸浮轉(zhuǎn)子的傳遞函數(shù)，R(s)表示參考輸入信號(hào)，K_s表示傳感器增益；

結(jié)合以上分析可得，轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡以及傳感器誤差會(huì)使磁軸承產(chǎn)生諧波控制電流，從而產(chǎn)生諧波振動(dòng)力。

(2)設(shè)計(jì)基于FIR濾波器和分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法

針對步驟(1)線圈電流中存在諧波電流這一問題，本發(fā)明采用一種基于FIR濾波器和分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法。如圖5所示，其中T_s是采樣周期；是采樣周期的整數(shù)延時(shí)環(huán)節(jié)；F(s)是具有線性相位的FIR濾波器，滯后相位與頻率ω成比例關(guān)系，可以獲知并進(jìn)行補(bǔ)償，解決了低通濾波器相位滯后帶來的影響；是采樣周期的分?jǐn)?shù)階延時(shí)環(huán)節(jié)，由分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器近似得到。采用以上三者相串聯(lián)的形式，一方面可以消除低通濾波器相位滯后帶來的誤差，增大系統(tǒng)帶寬；另一方面可以消除采樣頻率與諧波擾動(dòng)信號(hào)基頻的比值不為整數(shù)情況下帶來的誤差，實(shí)現(xiàn)定轉(zhuǎn)速下的磁軸承諧波電流抑制。

以參考輸入信號(hào)R(s)和等效諧波擾動(dòng)信號(hào)D(s)作為輸入，磁軸承線圈電流I(s)作為輸出的靈敏度函數(shù)S₂(s)可表示如下：

其中，表示除去重復(fù)控制器時(shí)以電流I(s)作為輸出的靈敏度函數(shù)，C(s)表示相位補(bǔ)償器。低通濾波器F(s)的截止頻率ω_c大于有效諧波擾動(dòng)的最高頻率ω_max，在ω∈(0,ω_max)范圍內(nèi)F(s)的幅值衰減很小，可近似認(rèn)為|F(s)|＝1。

1.FIR低通濾波器分析

將FIR濾波器替換普通的低通濾波器，是因?yàn)镕IR濾波器既能滿足低通濾波器的特性，并且其相位與頻率成線性關(guān)系，F(xiàn)IR濾波器的通用表達(dá)式如下：

其中M表示FIR濾波器的階數(shù)，a_i表示FIR濾波器的系數(shù)。當(dāng)a_i滿足偶對稱時(shí)，F(xiàn)IR濾波器的相位可表示如下：

其中，表示比例系數(shù)，T_s＝0.0002s表示系統(tǒng)采樣周期。

設(shè)計(jì)過程如下：

a)、本發(fā)明應(yīng)用的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子最高轉(zhuǎn)速4800rpm，有效諧波擾動(dòng)主要表現(xiàn)在同頻、二倍頻…七倍頻，也就是有效諧波擾動(dòng)的最高頻率ω_max＝3519rad/s。為了保證一定的穩(wěn)定裕度和諧波抑制精度，F(xiàn)IR濾波器的截止頻率ω_c應(yīng)該大于有效諧波擾動(dòng)的最大頻率，但是截止頻率ω_c過大會(huì)破壞系統(tǒng)穩(wěn)定性，本發(fā)明中采用其中表示系統(tǒng)采樣頻率，則有ω_c＝6283rad/s。

b)、FIR濾波器的過渡帶寬應(yīng)該盡可能小，由于在FIR設(shè)計(jì)方法中，三角窗函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)最小的過渡帶寬，在本發(fā)明中，采用三角窗函數(shù)方法設(shè)計(jì)FIR濾波器，其過渡帶寬BW可表示如下：

從上式可以看出，F(xiàn)IR濾波器階次M越高，過渡帶寬越小。但是，隨著M的升高，F(xiàn)IR濾波器的系數(shù)增多，計(jì)算量也將急劇升高。本發(fā)明中過渡帶寬要求不大于對應(yīng)的選取FIR濾波器階次M＝9。

2.分?jǐn)?shù)階延時(shí)環(huán)節(jié)分析

在工程應(yīng)用中，分?jǐn)?shù)階延時(shí)環(huán)節(jié)無法直接應(yīng)用，需要找到一種替換形式。分?jǐn)?shù)階延時(shí)環(huán)節(jié)可用一種拉格朗日插值多項(xiàng)式來近似表示：

其中系數(shù)D_k可表示如下：

多項(xiàng)式與分?jǐn)?shù)階延時(shí)環(huán)節(jié)的差值R_n可表示如下：

其中ξ∈[T_k,T_k+1]，T_k和T_k+1分別表示第k個(gè)和第k+1個(gè)采樣時(shí)刻。從上式可以看出，隨著拉格朗日插值多項(xiàng)式階數(shù)n的增大，R_n逐漸減小，即拉格朗日插值多項(xiàng)式的近似程度逐漸升高，但是，隨著n的增大，算法計(jì)算量大幅度增大。在實(shí)際工程中，應(yīng)該綜合考慮差值R_n和算法計(jì)算量兩個(gè)因素，下面分別給出n＝2和n＝3兩種情況下A從0到0.9變化時(shí)的拉格朗日插值多項(xiàng)式幅頻特性曲線。

圖6(a)和圖6(b)兩圖分別給出在n＝2和n＝3兩種情況下拉格朗日插值多項(xiàng)式的幅頻特性曲線，拉格朗日插值多項(xiàng)式的截止頻率均高于系統(tǒng)截止頻率，并且在本系統(tǒng)截止頻率范圍(0,ω_c)內(nèi)，當(dāng)n＝2時(shí)，多項(xiàng)式最大幅值衰減僅為-0.565dB，與分?jǐn)?shù)延時(shí)環(huán)節(jié)的近似程度極高，完全可以滿足差值R_n盡量小的要求，并且計(jì)算量也相對較小，所以在本發(fā)明中選取n＝2。

3.穩(wěn)定性分析

根據(jù)對FIR濾波器和分?jǐn)?shù)階延時(shí)環(huán)節(jié)的分析可知，當(dāng)ω∈(0,ω_c)時(shí)，F(xiàn)IR濾波器的相位幅值|F(z)|≈1，分?jǐn)?shù)階延時(shí)環(huán)節(jié)通過拉格朗日插值多項(xiàng)式近似表示后，多項(xiàng)式的相位為-A·T_sω，幅值在對加入算法后的系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，可作如下近似：

其中T表示磁懸浮轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)周期。

當(dāng)ω∈(0,ω_c)時(shí)，可將圖5進(jìn)行簡化，如圖7所示：其中相位補(bǔ)償函數(shù)C(s)可以表示為：

其中K_rc表示改進(jìn)重復(fù)控制器增益，K_f(s)表示在低頻段和中頻段的相位補(bǔ)償函數(shù)，表示高頻段的相位補(bǔ)償函數(shù)。

由圖7可以得出加入改進(jìn)重復(fù)控制器后系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，表示如下：

M(s)-N(s)e^-Ts＝0

其中，M(s)＝1+G_c(s)G_w(s)G_p(s)K_s，N(s)＝1+C(s)G_w(s)+G_c(s)G_w(s)G_p(s)K_s。

加入改進(jìn)重復(fù)控制器后的系統(tǒng)重構(gòu)譜函數(shù)R(ω)可表示如下：

重構(gòu)譜函數(shù)可以作為一種判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的依據(jù)：根據(jù)最小增益理論可知，對于一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果加入重復(fù)控制器后系統(tǒng)重構(gòu)譜函數(shù)能滿足下式所述的條件，則新的系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。

R(ω)＜1，ω∈(0,ω_c)

定義函數(shù)G(s)：

其中G(s)|_{s＝j(luò)ω}＝L(ω)e^iθ(ω)，加入重復(fù)控制器后系統(tǒng)的穩(wěn)定條件可等效為：

其中令λ(ω)＝θ(ω)+θ_b(ω)+N_hT_sω，將上式通過歐拉公式展開如下：

|K_rcL(ω)·K_b(ω)cosλ(ω)+jK_rcL(ω)·K_b(ω)sinλ(ω)+1|＜1

將上式等號(hào)兩邊的式子同時(shí)平方可得：

[K_rcL(ω)·K_b(ω)]²＜-2K_rcL(ω)·K_b(ω)cosλ(ω)

由于同時(shí)滿足K_rc＞0、L(ω)＞0、K_b(ω)＞0，所以上式可化簡如下：

K_rcL(ω)·K_b(ω)＜-2cosλ(ω)

為了保證上式是有解的，必須保證cosλ(ω)＜0，即

90°＜λ(ω)＜270°

綜上所述，通過串聯(lián)合適的相位補(bǔ)償函數(shù)和增益系數(shù)，可以保證加入算法后系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

本發(fā)明說明書中未作詳細(xì)描述的內(nèi)容屬于本領(lǐng)域?qū)I(yè)技術(shù)人員公知的現(xiàn)有技術(shù)。