本發(fā)明屬于先進制造技術(shù)領(lǐng)域，涉及到銑削切削過程中顫振穩(wěn)定域建模方法，尤其是在數(shù)控機床上球頭銑刀切削過程中顫振穩(wěn)定域葉瓣圖建模方法。

背景技術(shù)：

作為國家經(jīng)濟增長支柱的制造業(yè)是一個傳統(tǒng)的領(lǐng)域，它已經(jīng)發(fā)展了上百年，建立了比較系統(tǒng)的理論體系，積累了豐富的實踐經(jīng)驗，但隨著科學技術(shù)水平的提高，機械制造業(yè)面臨著新的挑戰(zhàn)，迫使機械制造技術(shù)向著高速、高效和高精度方向發(fā)展。

高速銑削加工是先進制造技術(shù)中最重要的基礎(chǔ)技術(shù)之一，是目前最重要、應用最普遍的加工方式，然而在高速銑削過程中不合適的切削參數(shù)導致的切削顫振嚴重地影響到了加工效率、精度、質(zhì)量以及穩(wěn)定性，是制約高速銑削技術(shù)快速發(fā)展的關(guān)鍵因素。

國內(nèi)外學者對切削顫振進行了大量探索，研究了多種顫振形成的機理，其中再生型顫振是人們認為產(chǎn)生切削過程中產(chǎn)生顫振最直接、最根本的原因。如圖1所示，再生型顫振理論指出，由于機床結(jié)構(gòu)振動，當?shù)毒哌M行切削時，工件的已加工表面會留下表面振紋，當?shù)毒咴僖淮吻邢鞯竭@些遺留有振紋的工件表面時，瞬時切削厚度由名義切削厚度和動態(tài)切削厚度疊加組成，這種切削厚度的變化引起切削力的波動，反過來又引起切削刀具和工件之間的相對振動，使刀具和工件在切削過程中產(chǎn)生振動位移，從而再次在工件已加工表面留下振紋，根據(jù)前后兩次振紋之間的相位差，在靠近但不等于加工系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)模態(tài)的顫振頻率處，隨著加工系統(tǒng)的切削厚度不斷增長，造成切削力和振動位移的不斷上升現(xiàn)象，切削力向振動系統(tǒng)輸入能量，這種情況越來越強，就會形成強烈的自激振動，這種自激振動就是再生顫振，圖2為再生顫振機理模型。

目前，避免切削顫振最有效辦法是在加工前構(gòu)建銑削顫振穩(wěn)定域葉瓣圖，即在給定切削條件下，繪制出軸向臨界切削深度隨主軸轉(zhuǎn)速變化的函數(shù)關(guān)系。葉瓣圖的構(gòu)建能夠為加工前切削參數(shù)的選擇提供指導，可以有效防止加工中顫振的發(fā)生。

球頭銑刀是典型的點接觸加工刀具，具有很好的法矢自適應性，是高速銑削加工中應用最廣的刀具之一，因此構(gòu)造出針對球頭銑刀加工過程中的穩(wěn)定性葉瓣圖意義重大。然而目前顫振穩(wěn)定域葉瓣圖建模方法如zoa法和在它基礎(chǔ)上發(fā)展起來的時域法主要是針對圓柱形銑刀，球頭形的銑刀的方法很少，同時傳統(tǒng)方法在建模過程中無法精準確定瞬時參與切削的刀齒數(shù)目和參與切削刀齒的實際切削部位，而只能以三軸數(shù)控機床平面加工的工件為對象進行葉瓣圖構(gòu)建，同時在建模過程中將銑刀切削刃的螺旋角視為零度來進行簡化，這些都嚴重影響了葉瓣圖的適用范圍，降低了葉瓣圖精準度。因此如何針對球頭銑刀提出一種適用范圍廣，精準度高的顫振穩(wěn)定域葉瓣圖方法將是一個亟待解決的問題。

球頭銑刀和工件的接觸區(qū)域是指在加工過程中刀具切入工件的區(qū)域。高速銑削條件下，在單齒切削周期內(nèi)，球頭銑刀可以認為是圓弧切削，因此銑刀-工件接觸區(qū)域蘊含著在該單齒切削周期內(nèi)銑刀瞬時參與切削的刀刃數(shù)目和參與切削刀刃的實際切削部位等眾多信息。

由于與球頭銑刀軸線垂直的平面和銑刀球頭坐標值存在一一映射關(guān)系，因此將刀具與工件的接觸區(qū)域和刀齒的切削刃投影到該平面，獲取單齒切削周期不同時刻的刀刃投影與接觸區(qū)域投影邊界的相交情況，就能夠得到構(gòu)建葉瓣圖時所需要的球頭銑刀瞬時參與切削的刀刃數(shù)目和參與切削刀刃的實際切削部位等信息。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明提供一種球頭銑刀加工過程中顫振穩(wěn)定域葉瓣圖構(gòu)建方法。以銑削系統(tǒng)二階動力學方程的全離散時域求解法為主線，在球頭銑刀單齒切削周期內(nèi)是圓弧切削和時滯周期等于單齒切削周期的基礎(chǔ)上，通過球頭銑刀與工件的接觸區(qū)域投影邊界方程和切削刃不同時刻的投影方程的關(guān)系，提取出在一個時滯周期內(nèi)不同時刻參與切削的刀刃數(shù)目和參與切削刀刃的實際切削部位，構(gòu)建出球頭銑刀切削過程中顫振穩(wěn)定域葉瓣圖。

本發(fā)明的技術(shù)方案如下：

一種球頭銑刀加工過程中顫振穩(wěn)定域葉瓣圖構(gòu)建方法，包括以下步驟：

步驟1，建立球頭銑刀刀具-工件動力學方程

如圖3所示，將球頭銑刀刀具-工件系統(tǒng)簡化為二自由度系統(tǒng)，僅考慮進給方向x和法向y方向的刀具振動因素，建立如下所示的動力學方程：

其中，mtx為刀具系統(tǒng)x方向的模態(tài)質(zhì)量，mty為刀具系統(tǒng)x方向的模態(tài)質(zhì)量；ξx為刀具系統(tǒng)x方向的阻尼系數(shù)，ξy為刀具系統(tǒng)y方向的阻尼系數(shù)；ωnx刀具系統(tǒng)x方向的固有頻率，ωny刀具系統(tǒng)y方向的固有頻率；ftx(t)和fty(t)分別為作用在銑刀刀齒上的動態(tài)切削力在x，y方向上的分量。

步驟2，求解球頭銑刀刀齒上的動態(tài)切削力ftx(t)和fty(t)

2.1)建立球頭銑刀幾何模型

如圖4所示，建立球頭銑刀第j刀刃上第i個切削微元的幾何模型，表示如下：

其中，r為球頭銑刀半徑；β切削刃螺旋角；t為切削過程中的時間(s)；k為第j刀刃上第i個切削微元的軸向接觸角，在一個切削刃上所能取值范圍為[0，π/2]；ψji(k)為第j刀刃上第i個切削微元徑向滯后角；φ10(t)為第一個切削刃端點處轉(zhuǎn)動的角度，n為刀具轉(zhuǎn)速(r/min)；φji(t)為第j刃上的第i個微元處瞬時徑向接觸角；nf為切削刃數(shù)目；xji(t)，yji(t)，zji(t)表示球頭銑刀第j刀刃上第i個切削微元在所建立的坐標系下的坐標值，第j刀刃上第i個切削微元t時刻在坐標系下所對應的xji(t)，yji(t)，zji(t)值與其在該時刻所對應的軸向角k存在一一映射關(guān)系。

2.2)計算球頭銑刀瞬時動態(tài)切削力

球頭銑刀第j刀刃上第i個切削微元(軸向角為k)所受的切向力dft,ji(φji(t),k)、徑向力dfr,ji(φji(t),k)、軸向力dfa,ji(φji(t),k)依次表示為：

其中，h(φji(t),k)為第j刀刃上第i個切削微元瞬時切削厚度，包含靜態(tài)瞬時切削厚度和動態(tài)瞬時切削厚度；ktc為切向力系數(shù)；krc為徑向力系數(shù)；kac為軸向力系數(shù)；db為第j刀刃上第i個切削微元瞬時切削寬度，db＝r·dk，r為球頭銑刀半徑。

2.2.1)計算瞬時動態(tài)切削厚度

在考慮刀具x和y方向的振動時，球頭銑刀第j刀刃上第i個切削微元(軸向角為k)的瞬時銑削厚度為：

其中，x(t)-x(t-t)，y(t)-y(t-t)表示當前時刻t和前一個刀齒切削(t-t)時刻在x和y方向的動態(tài)振動矢量，t為時滯量，在高速切削的條件下，在單齒切削周期內(nèi)是將銑刀運動視為圓弧切削、時滯周期視為單齒切削周期，則時滯量nf為銑刀刀齒數(shù)，n為刀具轉(zhuǎn)速(r/min)；fx為x軸方向的進給量。

刀具瞬時銑削厚度由兩部分組成，一部分是瞬時靜態(tài)切削厚度，另一部分是瞬時動態(tài)切削厚度，靜態(tài)切削厚度與顫振無關(guān)，將其忽略。則刀具的瞬時動態(tài)切削厚度為：

2.2.2)計算刀具瞬時動態(tài)切削力

球頭銑刀第j刀刃上第i個切削微元動態(tài)切削力如下：

通過坐標變換，獲得第j刀刃上第i個切削微元x，y方向動態(tài)切削力：

表示為如下：

其中，axx，ji(t)、axy,ji(t)、ayx,ji(t)、ayy,ji(t)由如下公式(2.8)計算：

由公式(2.1)得到φji(t)＝φ10(t)-(j-1)·2π/nf-(r-rcosk)tanβ/r。

確定每個切削刃在t時刻的參與切削片段的數(shù)目和每個參與切削的片段所對應的最大軸向角和最小軸向角，通過公式(2.9)就得到球頭銑刀上的動態(tài)切削力。

其中：

則公式(1.1)表示為公式(2.11)所示：

進一步轉(zhuǎn)化為公式(2.12)：

在一個時滯周期t內(nèi)，axx(t)、axy(t)、ayx(t)、ayy(t)值是隨著時間變化而變化的。在高速切削的條件下，在單齒切削周期內(nèi)是將銑刀運動視為圓弧切削、時滯周期視為單齒切削周期，通過球頭銑刀-工件的接觸區(qū)域邊界方程和銑刀切削刃方程在不同時刻的關(guān)系，就能夠獲取對應時刻銑刀每個刀刃參與切削的片段數(shù)目和每個參與切削的片段的最大和最小軸向角，既而得出所在時刻的axx(t)、axy(t)、ayx(t)、ayy(t)值。

步驟3，根據(jù)球頭銑刀與工件的接觸區(qū)域邊界方程半解析建模法，得到球頭銑刀與工件的接觸區(qū)域；

步驟4，全離散化處理球頭銑刀刀具-工件動力學方程

4.1)獲取球頭銑刀刀具-工件動力學方程空間狀態(tài)形式

將公式(2.12)所示的球頭銑刀刀具-工件動力學方程表示為如下所示的空間狀態(tài)方程：

其中，t為時間變化；t為時滯量，在高速切削的條件下，在單齒切削周期內(nèi)是將銑刀運動視為圓弧切削、時滯周期視為單齒切削周期，則時滯量nf為銑刀刀齒數(shù)，n為刀具轉(zhuǎn)速(r/min)；ξx為刀具系統(tǒng)x方向的阻尼系數(shù)，ξy為刀具系統(tǒng)y方向的阻尼系數(shù)；ωnx刀具系統(tǒng)x方向的固有頻率，ωny刀具系統(tǒng)y方向的固有頻率；axx(t)，axy(t)，ayx(t)，ayy(t)如公式(2.10)所示。

4.2)對空間狀態(tài)方程進行全離散化處理

將時滯周期t(nf為銑刀刀齒數(shù)，n為刀具轉(zhuǎn)速，單位為r/min)等分為m個時間間隔，即t＝mτ，在第p個離散時間間隔[tp,tp+1]內(nèi)，將表示為將u(tp)表示將u(tp-t)表示為

則表示為：

進一步簡化為：

由于為可逆矩陣，則公式(4.3)表示為如下形式：

令

則公式(4.4)表示為：

up+1＝mpup+npup-m+1+npup-m(4.5)

其中，

步驟5，根據(jù)球頭銑刀切削刃和接觸區(qū)域邊界在x-y平面投影方程上的交點，確定tp時刻的axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p值；

在tp時刻，按照公式(2.1)將球頭銑刀全部切削刃投影到步驟3中所建立的x-y坐標系下，其中n為刀具轉(zhuǎn)速，j從1到nf，k從0到π/2。

若第j條切削刃在tp時刻和刀具-工件接觸區(qū)域邊界在x-y坐標系下的投影區(qū)域不存在交集，說明該切削刃此刻沒有參與切削，則該切削刃在tp時刻所對應的kmax,j和下限kmin,j值都為零。

若第j條切削刃在tp時刻與刀具-工件接觸區(qū)域邊界在x-y坐標系下的投影區(qū)域存在交集，說明該切削刃此刻參與了切削，下面就要確定該切削刃在tp時刻具體參與切削的片段數(shù)目和每個參與切削的片段所對應的kmax,j和kmin,j值。

如圖12所示，在x-y坐標系下，第j條切削刃在tp時刻的投影被接觸區(qū)域投影截斷，處于接觸區(qū)域投影內(nèi)的切削刃片段的數(shù)目就是該時刻第j條切削刃參與切削片段的個數(shù)。

通過第j條切削刃在tp時刻在x-y坐標系下的投影方程、刀具-工件接觸區(qū)域邊界在x-y坐標系下的投影方程和公式(2.1)計算出各個參與切削的片段的最大軸向角和最小軸向角，其中最大軸向角即為在tp時刻該切削片段在公式(4.5)中所對應上限值kmax,j，最小軸向角即為在tp時刻該切削片段在公式(4.5)中所對應的下限值kmin,j。

獲得第j條切削刃各個參與切削片段的kmin,j和kmax,j值之后，通過公式(4.5)計算出在tp時刻第j條切削刃在axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p中所對應部分的值。

通過以上步驟，獲得各個切削刃在tp時刻第j條切削刃在axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p中所對應部分的值，經(jīng)過公式(4.5)便能計算出tp時刻的axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p。

步驟6，判斷刀具轉(zhuǎn)速為n，軸向切削深度為l_jg時的刀具-工件系統(tǒng)穩(wěn)定性

在步驟5的基礎(chǔ)上，建立系數(shù)矩陣cp，該矩陣滿足離散映射：vp+1＝cpvp；

vp是個(2m+4)維的向量：

矩陣cp為(2m+4)維矩陣：

其中，令矩陣

矩陣pk等于公式(4.5)中的mp，矩陣rk等于式公式(4.5)中的np。

通過使用一系列離散cp(p＝0,1,2…,m-1)，構(gòu)建時滯周期t內(nèi)的過渡矩陣φ，亦即：

vp＝φv0(4.6)

式中，φ定義為：φ＝cm-1cm-2…c1c0。

銑削穩(wěn)定性通過floquet理論判定，當傳遞函數(shù)φ所有特征值的模均小于1時，說明在該刀具轉(zhuǎn)速和軸向切深下，系統(tǒng)穩(wěn)定；當傳遞函數(shù)φ所有特征值的模的最大值大于1時，說明在該刀具轉(zhuǎn)速和軸向切深下，系統(tǒng)不穩(wěn)定；傳遞函數(shù)φ所有特征值的模的最大值等于1，說明在該刀具轉(zhuǎn)速和軸向切深下，該系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。

步驟7，構(gòu)建葉瓣圖

在刀具轉(zhuǎn)速一定的情況下，改變刀具的軸向切深情況，按照上面的步驟，獲取該轉(zhuǎn)速下，臨界軸向切削深度；改變刀具轉(zhuǎn)速，獲取對應的臨界軸向切削深度，構(gòu)建出臨界軸向切削深度隨刀具轉(zhuǎn)速變化的函數(shù)關(guān)系，即葉瓣圖。

本發(fā)明的有益效果為：以銑削系統(tǒng)二階動力學方程的全離散時域求解法為主線，在球頭銑刀單齒切削周期內(nèi)是圓弧切削和時滯周期等于單齒切削周期的基礎(chǔ)上，通過球頭銑刀與工件的接觸區(qū)域投影邊界方程和切削刃不同時刻的投影方程的關(guān)系，提取出在一個時滯周期內(nèi)不同時刻參與切削的刀刃數(shù)目和參與切削刀刃的實際切削部位，構(gòu)建出了球頭銑刀切削過程中顫振穩(wěn)定域葉瓣圖。本發(fā)明并不局限于三軸機床上平面加工和銑刀形狀，只要能夠獲得銑刀獲得銑刀與工件的在某個刀位點接觸區(qū)域和銑刀刀刃方程，運用該方法就能構(gòu)建出該刀位點該銑刀的葉瓣圖。

附圖說明

圖1是球頭銑刀銑削過程中再生顫振發(fā)生機理示意圖。

圖2是球頭銑刀銑削過程中再生顫振機理模型。

圖3是球頭銑刀銑削-工件動力學模型。

圖4是球頭銑刀螺旋切削刃幾何模型。

圖5是球頭銑刀-工件接觸區(qū)域示意圖。

圖6是球頭銑刀-工件接觸區(qū)域邊界組成示意圖。

圖7是球頭銑刀三維坐標建立示意圖。

圖8是b點示意圖。

圖9是a點示意圖。

圖10是3號線投影求解過程中均勻沿y軸取點方法示意圖。

圖11是球頭銑刀與工件接觸區(qū)域在x-y坐標系下示意圖。

圖12是兩刃球頭銑刀在tp時刻參與切削的刀刃數(shù)目和參與切削刀刃的實際切削部位確定方法示意圖。

具體實施方式

以下結(jié)合技術(shù)方案和附圖詳細敘述本發(fā)明的具體實施方式。

一種球頭銑刀加工過程中顫振穩(wěn)定域葉瓣圖構(gòu)建方法，包括以下步驟：

步驟1，建立球頭銑刀刀具-工件動力學方程

如圖3所示，將球頭銑刀刀具-工件系統(tǒng)簡化為二自由度系統(tǒng)，僅考慮進給方向x和法向y方向的刀具振動因素，建立如下所示的動力學方程：

其中，mtx為刀具系統(tǒng)x方向的模態(tài)質(zhì)量，mty為刀具系統(tǒng)x方向的模態(tài)質(zhì)量；ξx為刀具系統(tǒng)x方向的阻尼系數(shù)，ξy為刀具系統(tǒng)y方向的阻尼系數(shù)；ωnx刀具系統(tǒng)x方向的固有頻率，ωny刀具系統(tǒng)y方向的固有頻率；ftx(t)和fty(t)分別為作用在銑刀刀齒上的動態(tài)切削力在x，y方向上的分量。

步驟2，求解球頭銑刀刀齒上的動態(tài)切削力ftx(t)和fty(t)

2.1)建立球頭銑刀幾何模型

如圖4所示，建立球頭銑刀第j刀刃上第i個切削微元的幾何模型，表示如下：

其中，r為球頭銑刀半徑；β切削刃螺旋角；t為切削過程中的時間(s)；k為第j刀刃上第i個切削微元的軸向接觸角，在一個切削刃上所能取值范圍為[0，π/2]；ψji(k)為第j刀刃上第i個切削微元徑向滯后角；φ10(t)為第一個切削刃端點處轉(zhuǎn)動的角度，n為刀具轉(zhuǎn)速(r/min)；φji(t)為第j刃上的第i個微元處瞬時徑向接觸角；nf為切削刃數(shù)目；xji(t)，yji(t)，zji(t)表示球頭銑刀第j刀刃上第i個切削微元在所建立的坐標系下的坐標值，第j刀刃上第i個切削微元t時刻在坐標系下所對應的xji(t)，yji(t)，zji(t)值與其在該時刻所對應的軸向角k存在一一映射關(guān)系。

2.2)計算球頭銑刀瞬時動態(tài)切削力

球頭銑刀第j刀刃上第i個切削微元(軸向角為k)所受的切向力dft,ji(φji(t),k)、徑向力dfr,ji(φji(t),k)、軸向力dfa,ji(φji(t),k)依次表示為：

其中，h(φji(t),k)為第j刀刃上第i個切削微元瞬時切削厚度，包含靜態(tài)瞬時切削厚度和動態(tài)瞬時切削厚度；ktc為切向力系數(shù)；krc為徑向力系數(shù)；kac為軸向力系數(shù)；db為第j刀刃上第i個切削微元瞬時切削寬度，db＝r·dk，r為球頭銑刀半徑。

2.2.1)計算瞬時動態(tài)切削厚度

在考慮刀具x和y方向的振動時，球頭銑刀第j刀刃上第i個切削微元(軸向角為k)的瞬時銑削厚度為：

其中，x(t)-x(t-t)，y(t)-y(t-t)表示當前時刻t和前一個刀齒切削(t-t)時刻在x和y方向的動態(tài)振動矢量，t為時滯量，在高速切削的條件下，在單齒切削周期內(nèi)是將銑刀運動視為圓弧切削、時滯周期視為單齒切削周期，則時滯量nf為銑刀刀齒數(shù)，n為刀具轉(zhuǎn)速(r/min)；fx為x軸方向的進給量。

刀具瞬時銑削厚度由兩部分組成，一部分是瞬時靜態(tài)切削厚度，另一部分是瞬時動態(tài)切削厚度，靜態(tài)切削厚度與顫振無關(guān)，將其忽略。則刀具的瞬時動態(tài)切削厚度為：

2.2.2)計算刀具瞬時動態(tài)切削力

球頭銑刀第j刀刃上第i個切削微元動態(tài)切削力如下：

通過坐標變換，獲得第j刀刃上第i個切削微元x，y方向動態(tài)切削力：

表示為如下：

其中，axx,ji(t)、axy,ji(t)、ayx,ji(t)、ayy,ji(t)由如下公式(2.8)計算：

由公式(2.1)得到φji(t)＝φ10(t)-(j-1)·2π/nf-(r-rcosk)tanβ/r。

確定每個切削刃在t時刻的參與切削片段的數(shù)目和每個參與切削的片段所對應的最大軸向角和最小軸向角，通過公式(2.9)就得到球頭銑刀上的動態(tài)切削力。

其中：

則公式(1.1)表示為公式(2.11)所示：

進一步轉(zhuǎn)化為公式(2.12)：

在一個時滯周期t內(nèi)，axx(t)、axy(t)、ayx(t)、ayy(t)值是隨著時間變化而變化的。在高速切削的條件下，在單齒切削周期內(nèi)是將銑刀運動視為圓弧切削、時滯周期視為單齒切削周期，通過球頭銑刀-工件的接觸區(qū)域邊界方程和銑刀切削刃方程在不同時刻的關(guān)系，就能夠獲取對應時刻銑刀每個刀刃參與切削的片段數(shù)目和每個參與切削的片段的最大和最小軸向角，既而得出所在時刻的axx(t)、axy(t)、ayx(t)、ayy(t)值。

步驟3，根據(jù)球頭銑刀與工件的接觸區(qū)域邊界方程半解析建模法，得到球頭銑刀與工件的接觸區(qū)域；

下面以球頭銑刀球頭半徑為r，球頭銑刀在三軸數(shù)控機床上進行平面銑削，軸向切削深度為l_jg，相鄰切削刀軌間距為l_xl為例，說明球頭銑刀與工件接觸區(qū)域邊界方程半解析建模方法。

3.1)確定球頭銑刀與工件的接觸區(qū)域邊界的組成

首先，確定球頭銑刀與工件加工過程中的接觸區(qū)域(圖5)邊界組成，如圖6所示，球頭銑刀與工件接觸區(qū)域邊界由1-3號線組成，1號線為銑刀球頭與工件加工表面的交線，2號線為銑刀球頭與工件過渡表面的交線，3號線為銑刀球頭與前一次走刀在工件的加工痕跡的交線。另外4號線為前一次走刀在工件加工表面留下的加工痕跡，5號線為本次走刀與前一次走刀在工件已加工表面留下的加工殘余最高點組成的直線。

如圖7所示，以球頭銑刀的頂點為坐標系原點，建立刀位點的三維直角坐標系；球頭銑刀在軸線為z軸，z軸正方向遠離球頭銑刀的頂點；銑刀的進給方向為x軸，正方向與刀具進給方向相同；y軸正方向指向工件待加工表面。則在該坐標系下，銑刀球頭的方程為x²+y²+(z-r)²＝r²。由于銑刀球頭上的點與其在x-y平面上的投影點具有一一映射的特性，因此將銑刀球頭與工件接觸區(qū)域邊界線方程的求解過程轉(zhuǎn)化為其在x-y平面投影方程的求解過程。

3.2)求解1號線在x-y坐標平面內(nèi)投影方程

1號線為銑刀球頭與工件待加工表面的交線，其投影到x-y坐標系下為圓形的一部分，該圓的半徑為則1號線在x-y坐標平面內(nèi)投影所在圓的方程為x²+y²＝r²-(r-l_jg)²。

3.3)求解2號線在x-y坐標平面內(nèi)投影方程

2號線為球頭銑刀垂直于進給方向的輪廓圓截面與工件待加工表面的交線，在x-y平面為一條與y軸重合的直線，則2號線投影所在直線方程為x＝0。

3.4)求解3號線在x-y坐標平面內(nèi)投影方程

3號線投影方程的求解過程與4號線和5號線的投影方程有關(guān)，因此在求解3號線投影方程之前，首先確定4號線和5號線的投影方程。

3.4.1)4號線為前一次走刀在工件加工表面留下的加工痕跡。y-z坐標下，獲取本次刀位點所建立的銑刀球頭截面方程y²+(z-r)²＝r²，將該方程沿y軸負半軸平移l_xl，該值是切削相鄰加工刀軌之間的距離，即可到在y軸方向與本次刀位點向?qū)那耙坏盾壍你姷肚蝾^截面方程，該方程為(y+l_xl)²+(z-r)²＝r²。將z＝l_jg帶入到(y+l_xl)²+(z-r)²＝r²中，即可得到4號線在x-y坐標系下的投影方程

3.4.2)5號線為本次走刀與前一走刀在工件已加工表面形成的加工殘余最高點所組成的直線，y-z坐標下，y²+(z-r)²＝r²與(y+l_xl)²+(z-r)²＝r²的交點a點即為5號線在y-z平面的投影，a點所對應的y值為-l_xl/2，所對應的z值為則5號線在x-y坐標下投影方程為y＝-l_xl/2。

3.4.3)3號線為銑刀球頭與前一次走刀在工件的加工痕跡的交線，如圖8所示，3號線上的b點在x-y平面的投影坐標由1號線與4號線在x-y坐標系的投影方程聯(lián)立得到，b點坐標為將b點的坐標中的l_jg用變量k_v替換，單純從數(shù)學角度觀察b點的坐標，可知在相鄰切削刀軌寬度l_xl一定的情況下，b點的坐標值只與變量k_v值有關(guān)，如圖9所示，k_v的最大取值為l_jg，k_v的最小取值為5號線在y-z坐標系投影所對應的z坐標，即a點所對用的z值在區(qū)間[k_vmax，k_vmin]內(nèi)改變變量k_v的值便可以得到3號線在x-y平面的投影坐標的全部值。

下面，決定在x-y平面上沿y軸等間距地在3號線投影上取7個點，獲取這7個點所對應的坐標值。如圖10所示，3號線在x-y平面投影所對應的最大y值為最小y值為從y的最大值和最小值中等間距取7值，讓后通過方程獲取7個y值所對應的x值，即可得到在x-y平面上沿y軸等間距在3號線投影上取7個點，運用牛頓插值法對這7個坐標值插值即獲取3號線在x-y平面投影的六次多項式方程。

如圖11所示，1-3號線在x-y平面的投影共同圍成的區(qū)域即為軸向切削深度為l_jg時球頭銑刀與工件在x-y平面的接觸區(qū)域。

步驟4，全離散化處理球頭銑刀刀具-工件動力學方程

4.1)獲取球頭銑刀刀具-工件動力學方程空間狀態(tài)形式

將公式(2.12)所示的球頭銑刀刀具-工件動力學方程表示為如下所示的空間狀態(tài)方程：

其中，t為時間變化；t為時滯量，在高速切削的條件下，在單齒切削周期內(nèi)是將銑刀運動視為圓弧切削、時滯周期視為單齒切削周期，則時滯量nf為銑刀刀齒數(shù)，n為刀具轉(zhuǎn)速(r/min)；ξx為刀具系統(tǒng)x方向的阻尼系數(shù)，ξy為刀具系統(tǒng)y方向的阻尼系數(shù)；ωnx刀具系統(tǒng)x方向的固有頻率，ωny刀具系統(tǒng)y方向的固有頻率；axx(t)，axy(t)，ayx(t)，ayy(t)如公式(2.10)所示。

4.2)對空間狀態(tài)方程進行全離散化處理

將時滯周期t(nf為銑刀刀齒數(shù)，n為刀具轉(zhuǎn)速，單位為r/min)等分為m個時間間隔，即t＝mτ，在第p個離散時間間隔[tp,tp+1]內(nèi)，將表示為

將u(tp)表示將u(tp-t)表示為

則表示為：

進一步簡化為：

由于為可逆矩陣，則公式(4.3)表示為如下形式：

令

則公式(4.4)表示為：

up+1＝mpup+npup-m+1+npup-m(4.5)

其中，

步驟5，根據(jù)球頭銑刀切削刃和接觸區(qū)域邊界在x-y平面投影方程上的交點，確定tp時刻的axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p值；

在tp時刻，按照公式(2.1)將球頭銑刀全部切削刃投影到步驟3中所建立的x-y坐標系下，其中n為刀具轉(zhuǎn)速，j從1到nf，k從0到π/2。

若第j條切削刃在tp時刻和刀具-工件接觸區(qū)域邊界在x-y坐標系下的投影區(qū)域不存在交集，說明該切削刃此刻沒有參與切削，則該切削刃在tp時刻所對應的kmax,j和下限kmin,j值都為零。

若第j條切削刃在tp時刻與刀具-工件接觸區(qū)域邊界在x-y坐標系下的投影區(qū)域存在交集，說明該切削刃此刻參與了切削，下面就要確定該切削刃在tp時刻具體參與切削的片段數(shù)目和每個參與切削的片段所對應的kmax,j和kmin,j值。

如圖12所示，在x-y坐標系下，第j條切削刃在tp時刻的投影被接觸區(qū)域投影截斷，處于接觸區(qū)域投影內(nèi)的切削刃片段的數(shù)目就是該時刻第j條切削刃參與切削片段的個數(shù)。

通過第j條切削刃在tp時刻在x-y坐標系下的投影方程、刀具-工件接觸區(qū)域邊界在x-y坐標系下的投影方程和公式(2.1)計算出各個參與切削的片段的最大軸向角和最小軸向角，其中最大軸向角即為在tp時刻該切削片段在公式(4.5)中所對應上限值kmax,j，最小軸向角即為在tp時刻該切削片段在公式(4.5)中所對應的下限值kmin,j。

獲得第j條切削刃各個參與切削片段的kmin,j和kmax,j值之后，通過公式(4.5)計算出在tp時刻第j條切削刃在axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p中所對應部分的值。

通過以上步驟，獲得各個切削刃在tp時刻第j條切削刃在axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p中所對應部分的值，經(jīng)過公式(4.5)便能計算出tp時刻的axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p。

步驟6，判斷刀具轉(zhuǎn)速為n，軸向切削深度為l_jg時的刀具-工件系統(tǒng)穩(wěn)定性

在步驟5的基礎(chǔ)上，建立系數(shù)矩陣cp，該矩陣滿足離散映射：vp+1＝cpvp；

vp是個(2m+4)維的向量：

矩陣cp為(2m+4)維矩陣：

其中，令矩陣矩陣pk等于公式(4.5)中的mp，矩陣rk等于式公式(4.5)中的np。

通過使用一系列離散cp(p＝0,1,2…,m-1)，構(gòu)建時滯周期t內(nèi)的過渡矩陣φ，亦即：

vp＝φv0(4.6)

式中，φ定義為：φ＝cm-1cm-2…c1c0。

銑削穩(wěn)定性通過floquet理論判定，當傳遞函數(shù)φ所有特征值的模均小于1時，說明在該刀具轉(zhuǎn)速和軸向切深下，系統(tǒng)穩(wěn)定；當傳遞函數(shù)φ所有特征值的模的最大值大于1時，說明在該刀具轉(zhuǎn)速和軸向切深下，系統(tǒng)不穩(wěn)定；傳遞函數(shù)φ所有特征值的模的最大值等于1，說明在該刀具轉(zhuǎn)速和軸向切深下，該系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。

步驟7，構(gòu)建葉瓣圖

在刀具轉(zhuǎn)速一定的情況下，改變刀具的軸向切深情況，按照上面的步驟，獲取該轉(zhuǎn)速下，臨界軸向切削深度；改變刀具轉(zhuǎn)速，獲取對應的臨界軸向切削深度，構(gòu)建出臨界軸向切削深度隨刀具轉(zhuǎn)速變化的函數(shù)關(guān)系，即葉瓣圖。