技術(shù)特征：

1.一種反常擴(kuò)散中的基于分步計(jì)算的離散分?jǐn)?shù)階差分方法，其特征在于，包括以下步驟：

1)在所考察物質(zhì)的內(nèi)部和邊界配置若干測(cè)試點(diǎn)，獲得這些測(cè)試點(diǎn)的擴(kuò)散濃度u，確定相應(yīng)的參數(shù)，包括初邊條件和擴(kuò)散系數(shù)，并根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式確定分?jǐn)?shù)階階數(shù)；

2)采用離散分?jǐn)?shù)階差分方法離散控制方程，根據(jù)所要數(shù)值模擬物質(zhì)所分布的尺度確定網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)，網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)包括時(shí)間點(diǎn)數(shù)和空間點(diǎn)數(shù)；其中，時(shí)間點(diǎn)數(shù)為N_t+1，空間點(diǎn)數(shù)為N_x+1，N_t為時(shí)間段數(shù)，N_x為空間段數(shù)；

3)確定反常擴(kuò)散的時(shí)間空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程，并得到時(shí)間空間反常擴(kuò)散方程的離散格式；

將時(shí)間空間反常擴(kuò)散方程的離散格式中的兩個(gè)gamma函數(shù)的比值看做一個(gè)參數(shù)G，分別根據(jù)時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)、時(shí)間點(diǎn)數(shù)和空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)、空間點(diǎn)數(shù)，計(jì)算得到時(shí)間方向gamma函數(shù)的比值G_t和空間項(xiàng)gamma函數(shù)的比值G_x；

4)將時(shí)間方向gamma函數(shù)的比值G_t和空間項(xiàng)gamma函數(shù)的比值G_x代入離散控制方程，加入初邊條件；

5)通過離散格式中顯格式的數(shù)值格式，得到擴(kuò)散濃度u的數(shù)值結(jié)果。

2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種反常擴(kuò)散中的基于分步計(jì)算的離散分?jǐn)?shù)階差分方法，其特征在于：所述步驟3)中的確定反常擴(kuò)散的時(shí)間空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程，并得到時(shí)間空間反常擴(kuò)散方程的離散格式，具體為，

對(duì)于描述的反常擴(kuò)散的時(shí)間空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程為，

其中，為Caputo定義下的時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，C為Caputo定義，0和t為時(shí)間的起點(diǎn)和終點(diǎn)，α為時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)；和合在一起為Riesz定義下的空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，x^-為x位置的左鄰域，b為空間上的右端點(diǎn)，x⁺為x位置的右鄰域，a為空間上的左端點(diǎn)，β為空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，x^-＝(n-1)h_x,x⁺＝(n+1)h_x,x＝nh_x,1≤n≤N_x-1；x為空間上的位置，D為擴(kuò)散系數(shù)，A為對(duì)流系數(shù)，h_t為時(shí)間步長(zhǎng)，h_x為空間步長(zhǎng)，m為時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α向上取整，v為時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α；

時(shí)間離散分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散形式為，

${}_0{}^C\mathrm{\Δ}{}_t{}^{\mathrm{\α}}u(x,t)=\frac{h_t^{-\mathrm{\α}}}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\underset{k=0}{\overset{N_t}{\Σ}}\frac{\mathrm{\Γ}(N_t-k+1-\mathrm{\α})}{\mathrm{\Γ}(N_t-k+1)}(u_i^{k+1}-u_i^k)---\left(2\right)$

其中，和分別為第i個(gè)點(diǎn)的位置第k個(gè)時(shí)刻和第k+1個(gè)時(shí)刻的濃度；擴(kuò)散濃度u的上標(biāo)表示時(shí)間上的時(shí)刻、下標(biāo)表示空間點(diǎn)的位置；

空間離散分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散形式包括右空間差分和左空間差分，

右空間差分，即右空間的離散形式為，

其中，u_n+j、u_n+j+1和u_n+j-1分別為第n+j個(gè)點(diǎn)、第n+j+1個(gè)點(diǎn)和第n+j-1個(gè)點(diǎn)的位置的濃度；

左空間差分，即左空間的離散形式為，

其中，u_j、u_j+1和u_j+2分別為第j個(gè)點(diǎn)、第j+1個(gè)點(diǎn)和第j+2個(gè)點(diǎn)的位置的濃度；

將公式(2)、公式(3)和公式(4)代入公式(1)，得到時(shí)間空間反常擴(kuò)散方程的離散格式，

$u_i^{j+1}=\left(\begin{array}{c}\[h_t^{\mathrm{\α}}(D\frac{{h_x}^{-\mathrm{\β}}}{\mathrm{\Γ}(2-\mathrm{\β})}\left\{\begin{array}{c}\underset{k=0}{\overset{i}{\Σ}}\frac{\mathrm{\Γ}(k+2-\mathrm{\β})}{\mathrm{\Γ}(k+1)}(u_{i-k+1}^j-2u_{i-k}^j+u_{i-k-1}^j)\\ +\underset{k=0}{\overset{N_x-n}{\Σ}}\frac{\mathrm{\Γ}(k+2-\mathrm{\β})}{\mathrm{\Γ}(k+1)}(u_{i+k+1}^j-2u_{i+k}^j+u_{i+k-1}^j)\end{array}\right\}+A\frac{u_{i+1}^j-u_i^j}{h_x})\]\\ +\underset{k=2}{\overset{j}{\Σ}}\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\left(\frac{\mathrm{\Γ}(j-k+1-\mathrm{\α})}{\mathrm{\Γ}(j+1-k)}-\frac{\mathrm{\Γ}(j-k+2-\mathrm{\α})}{\mathrm{\Γ}(j-k+2)}\right)u_i^k+\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\frac{\mathrm{\Γ}(j-\mathrm{\α})}{\mathrm{\Γ}\left(j\right)}{u}_i^1\end{array}\right)---\left(5\right)$

考慮公式(5)中的存取在編程中很難實(shí)現(xiàn)，將調(diào)整0時(shí)刻的左邊界為其他位置的上標(biāo)下標(biāo)依次遞增。

3.根據(jù)權(quán)利要求2所述的一種反常擴(kuò)散中的基于分步計(jì)算的離散分?jǐn)?shù)階差分方法，其特征在于：所述步驟3)中的將時(shí)間空間反常擴(kuò)散方程的離散格式中的兩個(gè)gamma函數(shù)的比值看做一個(gè)參數(shù)G，具體包括j＝1、j＝2和j＞2三種時(shí)間分?jǐn)?shù)階離散情況，以及k＝0空間分?jǐn)?shù)階離散情況。

4.根據(jù)權(quán)利要求3所述的一種反常擴(kuò)散中的基于分步計(jì)算的離散分?jǐn)?shù)階差分方法，其特征在于：當(dāng)j＞2時(shí)，利用gamma函數(shù)的遞推公式Γ(z+1)＝zΓ(z)，結(jié)合數(shù)學(xué)中整體考慮的思想，以及時(shí)間分?jǐn)?shù)階離散結(jié)果部分，

令

其中，b＝j(luò)-k；

則

$G_t\left(2\right)=\frac{2-\mathrm{\α}}{2}\×\frac{1-\mathrm{\α}}{1}\×\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})=\frac{2-\mathrm{\α}}{2}\×G_t\left(1\right),...,G_t\left(b\right)=\frac{b-\mathrm{\α}}{b}\×G_t(b-1)$

且當(dāng)j＞2時(shí)，由公式(5)可以推出b的取值范圍為(1,N_t-1)；

滿足gamma函數(shù)的遞推公式下，循環(huán)計(jì)算b從1到N_t-1的G_t的值。

5.根據(jù)權(quán)利要求3所述的一種反常擴(kuò)散中的基于分步計(jì)算的離散分?jǐn)?shù)階差分方法，其特征在于：當(dāng)k＝0時(shí)，利用gamma函數(shù)的遞推公式Γ(z+1)＝zΓ(z)，結(jié)合數(shù)學(xué)中整體考慮的思想，以及空間分?jǐn)?shù)階離散結(jié)果部分，

令

則

$G_x\left(2\right)=\frac{3-\mathrm{\β}}{2}\×\frac{2-\mathrm{\β}}{1}\×\mathrm{\Γ}(2-\mathrm{\β})=\frac{3-\mathrm{\β}}{2}\×G_x\left(1\right),...,G_x\left(k\right)=\frac{k+1-\mathrm{\β}}{k}\×G_x(k-1)$

由公式(5)可以推出k的取值范圍為(1,N_x-1)；

滿足gamma函數(shù)的遞推公式下，循環(huán)計(jì)算k從1到N_x-1的G_x的值。

6.根據(jù)權(quán)利要求2所述的一種反常擴(kuò)散中的基于分步計(jì)算的離散分?jǐn)?shù)階差分方法，其特征在于：所述步驟5)中的擴(kuò)散濃度u的數(shù)值結(jié)果為，

當(dāng)j＝1時(shí)，擴(kuò)散濃度u的數(shù)值結(jié)果為，

$u_i^2=\left(\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{h}_t^{\mathrm{\α}}(D\frac{{h_x}^{-\mathrm{\β}}}{\mathrm{\Γ}(2-\mathrm{\β})}\left\{\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{1}{\Σ}}{G}_x\left(k\right)(u_{i-k+1}^1-2u_{i-k}^1+u_{i-k-1}^1)+\frac{2\mathrm{\Γ}(2-\mathrm{\β})}{\mathrm{\Γ}\left(1\right)}(u_{i+1}^1-2u_i^1+u_{i-1}^1)\\ +\underset{k=1}{\overset{N_x-n}{\Σ}}{G}_x\left(k\right)(u_{i+k+1}^1-2u_{i+k}^1+u_{i+k-1}^1)\end{array}\right\}\\ +A\frac{u_{i+1}^1-u_i^1}{h_x})\end{array}\right]\\ +\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\frac{\mathrm{\Γ}(j-\mathrm{\α})}{\mathrm{\Γ}\left(j\right)}{u}_i^1\end{array}\right)$

當(dāng)j＝2時(shí)，擴(kuò)散濃度u的數(shù)值結(jié)果為，

$u_i^3=\left(\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{h}_t^{\mathrm{\α}}(D\frac{{h_x}^{-\mathrm{\β}}}{\mathrm{\Γ}(2-\mathrm{\β})}\left\{\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{i}{\Σ}}{G}_x\left(k\right)(u_{i-k+1}^3-2u_{i-k}^3+u_{i-k-1}^3)+\frac{2\mathrm{\Γ}(2-\mathrm{\β})}{\mathrm{\Γ}\left(1\right)}(u_{i+1}^3-2u_i^3+u_{i-1}^3)\\ +\underset{k=1}{\overset{N_x-n}{\Σ}}{G}_x\left(k\right)(u_{i+k+1}^3-2u_{i+k}^3+u_{i+k-1}^3)\end{array}\right\}\\ +A\frac{u_{i+1}^3-u_i^3}{h_x})\end{array}\right]\\ +\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}(\frac{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}{\mathrm{\Γ}\left(1\right)}-\frac{\mathrm{\Γ}(2-\mathrm{\α})}{\mathrm{\Γ}\left(2\right)})u_i^2+\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\frac{\mathrm{\Γ}(j-\mathrm{\α})}{\mathrm{\Γ}\left(j\right)}{u}_i^1\end{array}\right)$

當(dāng)j＞2時(shí)，擴(kuò)散濃度u的數(shù)值結(jié)果為，

$u_i^{j+1}=\left(\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{h}_t^{\mathrm{\α}}(D\frac{{h_x}^{-\mathrm{\β}}}{\mathrm{\Γ}(2-\mathrm{\β})}\left\{\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{i}{\Σ}}{G}_x\left(k\right)(u_{i-k+1}^j-2u_{i-k}^j+u_{i-k-1}^j)+\frac{2\mathrm{\Γ}(2-\mathrm{\β})}{\mathrm{\Γ}\left(1\right)}(u_{i+1}^j-2u_i^j+u_{i-1}^j)\\ +\underset{k=1}{\overset{N_x-n}{\Σ}}{G}_x\left(k\right)(u_{i+k+1}^j-2u_{i+k}^j+u_{i+k-1}^j)\end{array}\right\}\\ +A\frac{u_{i+1}^j-u_i^j}{h_x})\end{array}\right]\\ +\underset{k=2}{\overset{j}{\Σ}}\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\left(G_t\right(b)-G_t(b+1\left)\right)u_i^k+\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\frac{\mathrm{\Γ}(j-\mathrm{\α})}{\mathrm{\Γ}\left(j\right)}{u}_i^1\end{array}\right).$