本發(fā)明屬于電力信息技術(shù)領(lǐng)域，涉及一種基于改進(jìn)非線性變換的水電系統(tǒng)頻率非線性特性分析方法。

背景技術(shù)：

大型水電站一般建在偏遠(yuǎn)地方，與大電網(wǎng)之間通過2或3回長(zhǎng)距離輸電線路供電，因此這些水電站與電網(wǎng)之間很多情況下屬于弱互聯(lián)電網(wǎng)[1]。在強(qiáng)電網(wǎng)聯(lián)系下，水電站的動(dòng)態(tài)屬于慢速動(dòng)態(tài)行為，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)振蕩影響不大，對(duì)系統(tǒng)中長(zhǎng)期穩(wěn)定有較大影響。但在弱電網(wǎng)條件下，即使在小擾動(dòng)下，系統(tǒng)也會(huì)表現(xiàn)出強(qiáng)非線性特性，振蕩模式的非線性相互作用成為影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的重要因素[2]；某些水電系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)振蕩無法用常規(guī)的負(fù)阻尼理論和線性理論來解釋，需要考慮復(fù)雜水力系統(tǒng)的非線性特性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)振蕩的影響[3]。

常見的振蕩頻率線性分析方法有特征值分析方法，利用特征值分析方法可以得到系統(tǒng)的特征值，左、右特征向量，相關(guān)因子等,但頻率線性分析方法忽略了系統(tǒng)的非線性，對(duì)于弱電力系統(tǒng)振蕩分析會(huì)出現(xiàn)較大誤差[4-7]。

目前國(guó)內(nèi)外用于研究強(qiáng)非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的理論依據(jù)主要是向量場(chǎng)正則形理論。但該方法在應(yīng)用到電力系統(tǒng)中時(shí)存在一些局限性，例如：其所需要的狀態(tài)變量不能直接與物理系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)，不是一一對(duì)應(yīng)的非線性變換；在諧振條件下，不能得到系統(tǒng)狀態(tài)方程的閉式近似解[8-9]。模態(tài)級(jí)數(shù)(modal series)法是向量場(chǎng)正則形技術(shù)的新發(fā)展[9]，由N.Pariz于2001年在其博士論文中首次提出，并應(yīng)用于電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)非線性行為分析。該方法結(jié)合和發(fā)展了線性系統(tǒng)理論的概念和向量場(chǎng)的正則形技術(shù)，它比正則形方法更能準(zhǔn)確地表示系統(tǒng)的非線性特性，而且不需要使用非線性變換，即使在諧振條件下也能提供微分方程的解。

但以上變換方法在變換后的空間都舍棄了非線性特性，以便得到閉式解析解，因此只能在原始空間研究非線性，而原始空間各個(gè)振蕩頻率耦合在一起，很難研究單個(gè)頻率的非線性特性。

有文獻(xiàn)[10]研究了電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩頻率在弱電網(wǎng)大擾動(dòng)情況的非線性特性，但是與機(jī)械功率相關(guān)的非線性特性沒有研究。而要研究聯(lián)網(wǎng)的水電系統(tǒng)的與機(jī)械功率相關(guān)的彈性水擊振蕩頻率的非線性，必然涉及到高維非線性方程的解耦，并保持一定的非線性。

參考文獻(xiàn)

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技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明針對(duì)水電系統(tǒng)頻率非線性特性這個(gè)問題，提出了利用改進(jìn)的非線性變換，將高階多振蕩頻率的水電系統(tǒng)在變換空間分解為解耦的多振蕩系統(tǒng)，保留一定階數(shù)的非線性特性，從而可以研究各個(gè)振蕩頻率的非線性特性。

本發(fā)明方法具體步驟是：

步驟一：建立水電系統(tǒng)包含彈性水擊的高階非線性數(shù)學(xué)模型：

X是包含N個(gè)狀態(tài)變量的列向量，F(xiàn)為非線性函數(shù)映射。假設(shè)平衡點(diǎn)為原點(diǎn)，如果不是原點(diǎn)，可進(jìn)行坐標(biāo)平移。

步驟二：得到水電系統(tǒng)特征值，左特征向量V、右特征向量U，海森矩陣H，并得到泰勒級(jí)數(shù)展開式：

其中，A是雅可比矩陣，A_i(X)是A中對(duì)應(yīng)第i行列向量。

H為海森矩陣：

H_i為海森矩陣第i行列向量。H.O.T為狀態(tài)變量X的3階及以上高階表達(dá)式。

步驟三：對(duì)式(2)進(jìn)行式(3)所示線性變換：

X＝U·Y (3)

得到Y(jié)空間表達(dá)式:

第j行方程表達(dá)式為：

Y是線性變換后的新的N維空間變量。λ_j是矩陣A的第j個(gè)特征值，H.O.T1為狀態(tài)變量Y的3階及以上高階表達(dá)式。

步驟四：提出改進(jìn)非線性變換方法，它是利用一系列非線性變換構(gòu)成整個(gè)非線性變換H；H為非線性變換，H_k為第K次非線性變換。

對(duì)Y空間系統(tǒng)先進(jìn)行H₁非線性變換，得到Z⁽¹⁾空間表達(dá)式，然后進(jìn)行H₂非線性變換，得到Z⁽²⁾空間表達(dá)式，一直進(jìn)行，直到進(jìn)行H_k非線性變換，得到Z空間表達(dá)式。K表示進(jìn)行非線性變換的次數(shù)，它的取值根據(jù)精度要求確定。

每次H_k非線性變換，我們可以得到(6)

z_zi-1和z_zi是共軛特征值λ_2i-1和λ_2i對(duì)應(yīng)的變量。b_2i-1,αβ是變換空間第2i-1個(gè)方程中z_αz_β項(xiàng)的二階系數(shù)。b_{2i-1,αβ…ρ}變換空間第2i-1個(gè)方程中z_αz_β…z_ρ項(xiàng)的系數(shù)，其中與z_zi-1和z_zi相關(guān)的系數(shù)叫做自作用模式系數(shù)，其他的系數(shù)叫做互作用模式系數(shù)，另外根據(jù)精度要求每次保留K次項(xiàng)。

其中：

i為振蕩模式標(biāo)號(hào)，z_zi-1和z_zi是變換空間振蕩模式i對(duì)應(yīng)的兩個(gè)變量，λ_zi-1和λ_zi是振蕩模式i對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征值。μ_{zi-1,intra,αβ···ρ}為變換后與空間振蕩模式i對(duì)應(yīng)變量z_zi-1和z_zi相關(guān)項(xiàng)的自作用系數(shù)。

與正則形法只保留線性項(xiàng)不同的是，本發(fā)明每次變換后的方程定義與某一振蕩模式相關(guān)的兩個(gè)變量的自作用振蕩模式系數(shù)保留，而與其他振蕩模式的相關(guān)的互作用系數(shù)忽略，以便將非線性系統(tǒng)振蕩模式解耦，并保留一定的非線性。

非線性變換H函數(shù)的系數(shù)構(gòu)造方法現(xiàn)說明如下：

針對(duì)已經(jīng)線性變換的Y空間系統(tǒng)(4)，假設(shè)非線性變換函數(shù)為：

Y＝Z₁+H₁(Z₁) (7)

其中H₁我們假設(shè)保留2階項(xiàng)。對(duì)應(yīng)H₁中第2i-1和2個(gè)方程如下式所示：

將式(7)、(8)代入式(4),得到變換后的空間表達(dá)式，并保留K階項(xiàng)，為：

如果不存在二階諧振λ_α+λ_β＝λ_i，通過式(7)讓變換后空間方程式互相關(guān)系數(shù)消除為0，自相關(guān)系數(shù)為想要得到的值，則可得到H變換系數(shù)為：

其h_{2i-1,inter,αβ}中，為非線性變換H函數(shù)中互相關(guān)系數(shù)；h_{2i-1,inter,αβ}是非線性變換H函數(shù)中自相關(guān)系數(shù)；b_{2i-1,inter,αβ}是原非線性函數(shù)中互相關(guān)系數(shù)；λ_α、λ_β、λ_2i-1為對(duì)應(yīng)變量z_1,α、z_1,β、z_1,2i-1的特征值；b_{2i-1,intra,αβ}是原非線性函數(shù)中自相關(guān)系數(shù)；μ_{2i-1,intra,αβ}為變換后空間方程式對(duì)應(yīng)的自相關(guān)系數(shù)，如果希望變換前后自相關(guān)系數(shù)不變，則h_{2i-1,inter,αβ}＝0。

舉例說明：

對(duì)(12)所示的非線性微分方程，

Z₁和Z₂是兩個(gè)狀態(tài)變量。b¹₁₁、b¹₁₂、b¹₂₂、b²₁₁、b²₁₂、b²₂₂為非線性微分方程系數(shù)。

采用(13)所示的2階非線性變換z＝H(U)：

將(13)代入(12)，為了讓變換后互作用模式系數(shù)為0，可得

為了讓變換后二次項(xiàng)與變換前相同，盡可能減少二次項(xiàng)誤差，設(shè)定我們可以得到相應(yīng)的非線性變換。

步驟五：利用步驟四，最后得到變換Z空間方程：

其中Λ＝{λ₁,λ₂,…,λ_N}，D_j為維數(shù)為j的Z_k變量的自相關(guān)系數(shù)。

步驟六：考慮到變換后的空間方程為復(fù)數(shù)方程，通過線性變換，得到實(shí)數(shù)微分方程，此時(shí)不同振蕩模式已經(jīng)解耦，并保留了2階非線性。

式中,z_zi-1和z_zi為H非線性變換后振蕩模式i對(duì)應(yīng)變量，z'_zi-1和z'_zi為線性變換后z_zi-1和z_zi對(duì)應(yīng)變量。

得到實(shí)數(shù)表示的方程，如(18)所示。

式中，υ_i10為變換后z_zi-1項(xiàng)系數(shù)，υ_i0l為項(xiàng)系數(shù)，υ_ijl為項(xiàng)系數(shù)。

步驟七：在變換后的空間方程某一狀態(tài)變量加擾動(dòng)，得到每一振蕩模式的響應(yīng)。在該狀態(tài)變量加不同的擾動(dòng)值，根據(jù)頻率的非線性定義(T_u為擾動(dòng)曲線上升這半個(gè)周期的時(shí)間，T_l為擾動(dòng)曲線下降這半個(gè)周期的時(shí)間)，從而得到該頻率的隨擾動(dòng)值的變化的非線性特性。

采用本方法分析水電系統(tǒng)彈性振蕩頻率的非線性特性，比線性化方法的直接一般化具有更大的概念優(yōu)勢(shì)，比正則形和模態(tài)級(jí)數(shù)法保留了更多非線性特性，而且在變換空間實(shí)現(xiàn)了多個(gè)振蕩模式的解耦，其結(jié)果既提供了系統(tǒng)的特征信息，又便于分析系統(tǒng)的各個(gè)振蕩頻率的非線性特性，為大規(guī)模電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了新的思路。

附圖說明

圖1為本發(fā)明方法流程圖；

圖2為水電系統(tǒng)圖；

圖3為在原始空間加擾動(dòng)，及在變換后空間加相應(yīng)擾動(dòng)得到的仿真結(jié)果圖；

圖4為單獨(dú)在變換后的空間Z₁上加擾動(dòng)，仿真結(jié)果圖；

圖5為在變換后的空間Z₃上加擾動(dòng)，仿真結(jié)果圖；

圖6為在Z₁，Z₂分別加初始擾動(dòng)，機(jī)電振蕩模式的頻率隨擾動(dòng)變化的非線性特性圖；

圖7為把Z坐標(biāo)變換為原始空間坐標(biāo)，可得到機(jī)電振蕩模式在原始空間的非線性特性圖；

圖8為在Z₃，Z₄分別加初始擾動(dòng)，水力彈性振蕩振蕩模式的頻率隨擾動(dòng)變化的非線性特性圖；

圖9為把Z坐標(biāo)變換為原始空間坐標(biāo)，可得到機(jī)電振蕩模式在原始空間的非線性特性圖。

具體實(shí)施方式

以下結(jié)合附圖對(duì)本發(fā)明水電系統(tǒng)頻率非線性特性分析方法作進(jìn)一步說明。

a、參考圖1，本發(fā)明水電系統(tǒng)頻率非線性特性分析方法按以下步驟：

b、步驟(1)：建立水電系統(tǒng)彈性水擊非線性模型

轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程：

式中：ω、δ是發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和功角；Tj是發(fā)電機(jī)慣性時(shí)間常數(shù)；D是發(fā)電機(jī)組損耗系數(shù)；p_m、p_e分別是機(jī)械功率和電磁功率。

調(diào)速器方程：

式中：T_a,T_y,b_p,T_d,b_t是調(diào)速器控制器參數(shù)；y是導(dǎo)葉開度；y₁、y₂是調(diào)速器中間變量。

一階線彈性水擊模型：

式中：D,A,f,α，l分別是引水管道的直徑，截面積，摩擦力，波速和長(zhǎng)度；Q₀，H₀分別是引水管道末端的初始?jí)毫土髁?；q，ξ是引水管道末端的壓力和流量變化標(biāo)幺值；q₁是一階振蕩流量；T₁是中間變量。

非線性代數(shù)方程：

c、計(jì)算特征值、左右特征向量，海森矩陣，得到泰勒級(jí)數(shù)展開。

代入具體參數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)展開式如式(23)所示。

對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)特征值如表1所示。

表1水電系統(tǒng)特征值

d、進(jìn)行線性變換X＝U·Z₁，

e、通過改進(jìn)非線性變換H₁，H₂,H₃進(jìn)行非線性變換，H₁，H₂,H₃參數(shù)根據(jù)公式(10)、(11)確定。

f、得到變換后的空間表達(dá)式為：

g、在原始空間加擾動(dòng)，及在變換后空間加相應(yīng)擾動(dòng)(相應(yīng)擾動(dòng)可由原始空間擾動(dòng)經(jīng)過同樣的非線性變換得到)，可得到如圖3所示仿真結(jié)果。

從圖3中可以看出，在小擾動(dòng)范圍內(nèi)，原始空間方程與變換后方程結(jié)果很接近，這也說明了該非線性變換方法的有效性。

h、單獨(dú)在變換后的空間Z₁上加擾動(dòng)，仿真結(jié)果如圖4所示?？梢钥吹街挥衂₁，Z₂有響應(yīng)(0.125Hz)，對(duì)應(yīng)機(jī)電振蕩模式，而Z₃，Z₄無響應(yīng)，對(duì)應(yīng)水力彈性振蕩模式，因?yàn)樵谧儞Q后空間，兩個(gè)振蕩模式已經(jīng)解耦。

同樣，在變換后的空間Z₃上加擾動(dòng)，仿真結(jié)果如圖5所示。可以看到只有Z₁，Z₂有響應(yīng)(0.0635Hz),對(duì)應(yīng)機(jī)電振蕩模式，而Z₃，Z₄無響應(yīng)，對(duì)應(yīng)水力彈性振蕩模式，因?yàn)樵谧儞Q后空間，兩個(gè)振蕩模式已經(jīng)解耦。

所以我們可以在變換后的空間分別研究?jī)蓚€(gè)振蕩頻率的非線性特性。

i：在Z₁，Z₂分別加初始擾動(dòng)，機(jī)電振蕩模式的頻率隨擾動(dòng)變化的非線性特性如圖6所示。

從圖6可以看出，機(jī)電振蕩模式頻率隨著初始擾動(dòng)Z₁的增大而減少，隨著初始擾動(dòng)Z₁的增大而增大。

如果把Z坐標(biāo)變換為原始空間坐標(biāo)，可得到機(jī)電振蕩模式在原始空間的非線性特性，如圖7所示。

從圖7中可以看出，在原始空間，機(jī)電振蕩模式頻率隨著初始擾動(dòng)的增大而減少，這種非線性特性在文獻(xiàn)[10]中非線性特性一致。

j:在Z₃，Z₄分別加初始擾動(dòng)，水力彈性振蕩振蕩模式的頻率隨擾動(dòng)變化的非線性特性如圖8所示。

從圖8中可以看出，水力振蕩模式在Z空間并不隨著初始擾動(dòng)變化而單調(diào)變化，而是先隨著Z₃，或Z₄的增大而減少，然后隨著Z₃，或Z₄的增大而增大。

如果把Z坐標(biāo)變換為原始空間坐標(biāo)，可得到機(jī)電振蕩模式在原始空間的非線性特性，如圖9所示。

從圖9可以看出，水力彈性振蕩模式頻率在原始空間也是不單調(diào)變化，水力彈性振蕩頻率這種非線性特性不同于機(jī)電振蕩頻率特性。

因此，通過改進(jìn)非線性變換方法，我們可以研究不同振蕩模式的非線性特性，并可以利用這種非線性特性，設(shè)計(jì)相應(yīng)的非線性控制器。