技術(shù)特征：

1.基于改進(jìn)非線性變換的水電系統(tǒng)頻率非線性特性分析方法，其特征在于該方法的具體步驟是：

步驟一：建立水電系統(tǒng)包含彈性水擊的高階非線性數(shù)學(xué)模型：

$\stackrel{\·}{X}=F\left(X\right)---\left(1\right)$

X是包含N個(gè)狀態(tài)變量的列向量，F(xiàn)為非線性函數(shù)映射；假設(shè)平衡點(diǎn)為原點(diǎn)，如果不是原點(diǎn)，進(jìn)行坐標(biāo)平移；

步驟二：得到水電系統(tǒng)特征值，左特征向量V、右特征向量U，海森矩陣H，并得到泰勒級(jí)數(shù)展開式：

${\stackrel{\·}{x}}_i=A_{i}X+\frac{1}{2}{X}^T{H}_{i}X+H.O.T---\left(2\right)$

其中，A是雅可比矩陣，A_i(X)是A中對(duì)應(yīng)第i行列向量；

H為海森矩陣：

$H={\∂}^{2}F/(\∂X\·\∂X)$

H_i為海森矩陣第i行列向量；H.O.T為狀態(tài)變量X的3階及以上高階表達(dá)式；

步驟三：對(duì)式(2)進(jìn)行式(3)所示線性變換：

X＝U·Y (3)

得到Y(jié)空間表達(dá)式:

$\stackrel{\·}{Y}=F_S\left(Y\right)---\left(4\right)$

第j行方程表達(dá)式為：

${\stackrel{\·}{y}}_j={\mathrm{\λ}}_j\·y_j+\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\underset{l=1}{\overset{N}{\Σ}}{C}_{kl}^j{y}_k{y}_l+H.O.T1.---\left(5\right)$

Y是線性變換后的新的N維空間變量；λ_j是矩陣A的第j個(gè)特征值，H.O.T1為狀態(tài)變量Y的3階及以上高階表達(dá)式；

步驟四：提出改進(jìn)非線性變換方法，它是利用一系列非線性變換構(gòu)成整個(gè)非線性變換H；H為非線性變換，H_k為第K次非線性變換；

對(duì)Y空間系統(tǒng)先進(jìn)行H₁非線性變換，得到Z⁽¹⁾空間表達(dá)式，然后進(jìn)行H₂非線性變換，得到Z⁽²⁾空間表達(dá)式，一直進(jìn)行，直到進(jìn)行H_k非線性變換，得到Z空間表達(dá)式；K表示進(jìn)行非線性變換的次數(shù)，它的取值根據(jù)精度要求確定；

每次H_k非線性變換，得到(6)

z_zi-1和z_zi是共軛特征值λ_2i-1和λ_2i對(duì)應(yīng)的變量；b_2i-1,αβ是變換空間第2i-1個(gè)方程中z_αz_β項(xiàng)的二階系數(shù)；b_{2i-1,αβ…ρ}變換空間第2i-1個(gè)方程中z_αz_β…z_ρ項(xiàng)的系數(shù)，其中與z_zi-1和z_zi相關(guān)的系數(shù)叫做自作用模式系數(shù)，其他的系數(shù)叫做互作用模式系數(shù)，另外根據(jù)精度要求每次保留K次項(xiàng)；

其中：

i為振蕩模式標(biāo)號(hào)，z_zi-1和z_zi是變換空間振蕩模式i對(duì)應(yīng)的兩個(gè)變量，λ_zi-1和λ_zi是振蕩模式i對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征值；μ_{zi-1,intra,αβ···ρ}為變換后與空間振蕩模式i對(duì)應(yīng)變量z_zi-1和z_zi相關(guān)項(xiàng)的自作用系數(shù)；

每次變換后的方程定義與某一振蕩模式相關(guān)的兩個(gè)變量的自作用振蕩模式系數(shù)保留，而與其他振蕩模式的相關(guān)的互作用系數(shù)忽略，以便將非線性系統(tǒng)振蕩模式解耦，并保留一定的非線性；

非線性變換H函數(shù)的系數(shù)構(gòu)造方法現(xiàn)說明如下：

針對(duì)已經(jīng)線性變換的Y空間系統(tǒng)(4)，假設(shè)非線性變換函數(shù)為：

Y＝Z₁+H₁(Z₁) (7)

其中H₁我們假設(shè)保留2階項(xiàng)；對(duì)應(yīng)H₁中第2i-1和2個(gè)方程如下式所示：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_{2i-1}=\underset{\mathrm{\α}=1}{\overset{N}{\Σ}}\underset{\mathrm{\β}=\mathrm{\α}}{\overset{N}{\Σ}}{h}_{2i-1,\mathrm{\α}\mathrm{\β}}{z}_{1,\mathrm{\α}}{z}_{1,\mathrm{\β}}\\ h_{2i}={\stackrel{\‾}{h}}_{2i-1}\end{array}\right.---\left(8\right)$

將式(7)、(8)代入式(4),得到變換后的空間表達(dá)式，并保留K階項(xiàng)，為：

如果不存在二階諧振λ_α+λ_β＝λ_i，通過式(7)讓變換后空間方程式互相關(guān)系數(shù)消除為0，自相關(guān)系數(shù)為想要得到的值，則得到H變換系數(shù)為：

$h_{2i-1,\mathrm{int}er,\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=\frac{b_{2i-1.\mathrm{int}er,\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\β}}-{\mathrm{\λ}}_{2i-1}}$

$h_{2i-1,\mathrm{int}ra,\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=\frac{b_{2i-1,\mathrm{int}ra,\mathrm{\α}\mathrm{\β}}-{\mathrm{\μ}}_{2i-1,\mathrm{int}ra,\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\β}}-{\mathrm{\λ}}_{2i-1}}---\left(11\right)$

其h_{2i-1,inter,αβ}中，為非線性變換H函數(shù)中互相關(guān)系數(shù)；h_{2i-1,inter,αβ}是非線性變換H函數(shù)中自相關(guān)系數(shù)；b_{2i-1,inter,αβ}是原非線性函數(shù)中互相關(guān)系數(shù)；λ_α、λ_β、λ_2i-1為對(duì)應(yīng)變量z_1,α、z_1,β、z_1,2i-1的特征值；b_{2i-1,intra,αβ}是原非線性函數(shù)中自相關(guān)系數(shù)；μ_{2i-1,intra,αβ}為變換后空間方程式對(duì)應(yīng)的自相關(guān)系數(shù)，如果希望變換前后自相關(guān)系數(shù)不變，則h_{2i-1,inter,αβ}＝0；

步驟五：利用步驟四，最后得到變換Z空間方程：

${\stackrel{\·}{Z}}_k=\mathrm{\Λ}\·Z_k+\underset{j=2}{\overset{k}{\Σ}}{D}_j\left(Z_k\right)---\left(12\right)$

其中Λ＝{λ₁,λ₂,…,λ_N}，D_j為維數(shù)為j的Z_k變量的自相關(guān)系數(shù)；

步驟六：考慮到變換后的空間方程為復(fù)數(shù)方程，通過線性變換，得到實(shí)數(shù)微分方程，此時(shí)不同振蕩模式已經(jīng)解耦，并保留了2階非線性；

$\left[\begin{array}{c}{z}_{2i-1}\\ z_{2i}\end{array}\right]=U_{\mathrm{mod}i}^{-1}\left[\begin{array}{c}{z}_{2i-1}^{\′}\\ z_{2i}^{\′}\end{array}\right]---\left(13\right)$

式中,z_zi-1和z_zi為H非線性變換后振蕩模式i對(duì)應(yīng)變量，z'_zi-1和z'_zi為線性變換后z_zi-1和z_zi對(duì)應(yīng)變量；

得到實(shí)數(shù)表示的方程，如(14)所示；

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_{2i-1}={\mathrm{\υ}}_{i10}{z}_{2i-1}+\underset{l=1}{\overset{k}{\Σ}}{\mathrm{\υ}}_{i0l}{z}_{2i}^l+\underset{(j,l)\≠(1,0)}{\overset{j+l\≤k}{\underset{j\≥1,l\≥0}{\Σ}}}{\mathrm{\υ}}_{ijl}{z}_{2i-1}^j{z}_{2i}^l\\ {\stackrel{\·}{z}}_{2i}=z_{2i-1}+\underset{j\≥0,l\≥0}{\overset{2\≤j+l\≤k}{\Σ}}{v}_{ijl}{z}_{2i-1}^j{z}_{2i}^l\end{array}\right.$

式中，υ_i10為變換后z_zi-1項(xiàng)系數(shù)，υ_i0l為項(xiàng)系數(shù)，υ_ijl為項(xiàng)系數(shù)；

步驟七：在變換后的空間方程某一狀態(tài)變量加擾動(dòng)，得到每一振蕩模式的響應(yīng)；在該狀態(tài)變量加不同的擾動(dòng)值，根據(jù)頻率的非線性定義T_u為擾動(dòng)曲線上升這半個(gè)周期的時(shí)間，T_l為擾動(dòng)曲線下降這半個(gè)周期的時(shí)間，從而得到該頻率的隨擾動(dòng)值的變化的非線性特性。