本發(fā)明涉及一種密度控制的平面區(qū)域自適應(yīng)采樣方法，屬于計算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域。

背景技術(shù)：

關(guān)于采樣方法主要有兩種：

(1)自由曲面的采樣方法：用離散采樣點(diǎn)來提取曲面原始形狀信息即為曲面數(shù)字化。目前，已有多種曲面數(shù)字化方法，如基于形狀的自由曲面數(shù)字化采樣方法(參見：來新民等，數(shù)學(xué)模型已知的自由曲面數(shù)字化自適應(yīng)采樣,計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報,1999,11(4):359-362)，該類方法依據(jù)質(zhì)心概念提出基于形狀的采樣方法，能夠在給定采樣精度的條件下確定合理的采樣點(diǎn)數(shù)。該技術(shù)主要針對曲面進(jìn)行采樣，采樣過程依賴曲面曲率的變化來決定采樣的疏密。

(2)圖像的采樣方法：隨著技術(shù)的發(fā)展，高質(zhì)量的集成圖像越來越被人們所需要，高質(zhì)量集成成像系統(tǒng)則需要采集和存儲大量圖像數(shù)據(jù)，因此需要通過采樣方法來減少所需存儲的圖像數(shù)據(jù)?，F(xiàn)已有多種圖像采樣方法，如CII方法(參見：Piao Yan等,Non-periodic reconstruction technique of computational integral imaging,Journal of Information and Computational Science,2008,5(3):1259-1264)，該類方法從某一觀察點(diǎn)出發(fā)，在每個元素中提取觀察點(diǎn)對應(yīng)的像素點(diǎn)，并進(jìn)行周期性采樣。該技術(shù)主要針對圖象進(jìn)行采樣，且采樣點(diǎn)的疏密隨圖像顏色的變化而變化。

以上方法均不能自適應(yīng)地增刪采樣點(diǎn)，且采樣點(diǎn)的疏密程度是由曲面或圖像本身的性質(zhì)所決定，不適應(yīng)于任意的密度函數(shù)。

目前，尚未見到由密度函數(shù)控制的平面區(qū)域自適應(yīng)采樣的文獻(xiàn)及相關(guān)技術(shù)記載。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明給出一種密度控制的平面區(qū)域自適應(yīng)采樣方法，該方法依據(jù)給定的密度函數(shù)，可以在平面上確定區(qū)域內(nèi)生成相應(yīng)密度的采樣點(diǎn)集。

本發(fā)明采用的技術(shù)方案為：

一種密度控制的平面區(qū)域自適應(yīng)采樣方法，包括如下步驟：

a.輸入平面區(qū)域Ω的邊界以及采樣密度函數(shù)f(x,y)：輸入平面區(qū)域Ω的邊界，該邊界用曲線或曲線集表示，或者使用平面多邊形表示，或由曲線與線段的組合來表示；確定采樣密度函數(shù)f(x,y)，該函數(shù)對于平面區(qū)域Ω內(nèi)的任意一點(diǎn)(x,y)，均能給出大于0的值；

b.確定覆蓋平面區(qū)域Ω的凸多邊形Γ，產(chǎn)生初始采樣點(diǎn)集：在平面上確定一個覆蓋平面區(qū)域Ω的凸多邊形Γ，并在多邊形Γ內(nèi)生成初始采樣點(diǎn)集P，其中凸多邊形Γ是平面上覆蓋平面區(qū)域Ω的任意凸多邊形；

c.在凸多邊形Γ內(nèi)構(gòu)建點(diǎn)集P的Voronoi圖V，并求出圖V中各頂點(diǎn)的密度：在平面上構(gòu)建點(diǎn)集P的Voronoi圖U；再將圖U位于凸多邊形Γ內(nèi)部的部分連同凸多邊形Γ的邊界，記為圖V，由圖V得到相應(yīng)的對偶三角網(wǎng)格，并記三角網(wǎng)格內(nèi)的三角形所構(gòu)成的集合為T；用密度函數(shù)f(x,y)計算圖V中各頂點(diǎn)的密度；

d.計算三角形集合T的平均分辨率及平均密度：根據(jù)密度函數(shù)f(x,y)，確定三角形集合T中每個三角形的平均密度及平均分辨率，其中：三角形平均密度為三角形頂點(diǎn)密度的平均值，三角形平均分辨率為三角形平均密度與三角形面積的積；然后確定三角形集合T的平均密度及平均分辨率，其中：三角形集合T的平均密度為三角形集合T中所有三角形平均密度的平均值，三角形集合T的平均分辨率為三角形集合T中所有三角形平均分辨率的平均值；

e.對點(diǎn)集P進(jìn)行自適應(yīng)增點(diǎn)和刪點(diǎn)操作：根據(jù)三角形集合T中各三角形平均分辨率與三角形集合T平均分辨率的大小關(guān)系，對點(diǎn)集P進(jìn)行增刪采樣點(diǎn)操作；

f.對Voronoi圖V進(jìn)行重心化處理：依據(jù)密度函數(shù)f(x,y)，計算圖V中各Voronoi子區(qū)域的加權(quán)平均點(diǎn)，其中加權(quán)平均點(diǎn)由子區(qū)域頂點(diǎn)及頂點(diǎn)密度共同確定；將圖V中所有子區(qū)域的采樣點(diǎn)的位置移動到加權(quán)平均點(diǎn)處；

g.生成平面區(qū)域Ω內(nèi)符合密度函數(shù)f(x,y)分布規(guī)律的采樣點(diǎn)集：重復(fù)執(zhí)行步驟c-f，直至點(diǎn)集P中的點(diǎn)的位置趨于穩(wěn)定；刪除點(diǎn)集P中位于平面區(qū)域Ω以外的點(diǎn)，得到平面區(qū)域Ω內(nèi)符合密度函數(shù)f(x,y)分布規(guī)律的采樣點(diǎn)集。

所述步驟e的具體步驟為：

設(shè)定兩個采樣控制參數(shù)μ₁與μ₂，且μ₁<μ₂，對三角形集合T做如下處理：

1)若三角形集合T中存在三角形t的平均分辨率小于三角形集T的平均分辨率的μ₁倍，且三角形t的平均密度小于三角形集合T的平均密度，則從采樣點(diǎn)集P中刪除三角形t的各頂點(diǎn)，并向采樣點(diǎn)集P中添加三角形t的加權(quán)平均點(diǎn)作為新采樣點(diǎn)；

2)若三角形集合T中存在三角形t的平均分辨率大于三角形集T的平均分辨率的μ₂倍，且三角形t的平均密度大于三角形集合T的平均密度，則直接向采樣點(diǎn)集P中添加三角形t的加權(quán)平均點(diǎn)作為新采樣點(diǎn)。

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明能夠在平面區(qū)域內(nèi)生成由密度控制的自適應(yīng)采樣點(diǎn)集，具有如下優(yōu)點(diǎn)：

(1)通過動態(tài)地增刪采樣點(diǎn)，可控制采樣點(diǎn)集的疏密，能實(shí)現(xiàn)加密或簡化采樣集操作；

(2)得到的采樣點(diǎn)集的分布始終與密度函數(shù)的分布規(guī)律一致，且采樣點(diǎn)位置具有隨機(jī)性；

(3)原理簡單，易于實(shí)現(xiàn)，適應(yīng)性廣，能夠生成符合任意密度函數(shù)分布規(guī)律的采樣點(diǎn)集。

附圖說明

圖1為本發(fā)明方法的流程圖；

圖2為平面區(qū)域Ω的邊界示意圖，其中：(a)為用曲線集表示的邊界；(b)為平面多邊形表示的邊界；(c)為由曲線與線段組合表示的邊界；

圖3為在包含平面區(qū)域Ω的凸多邊形Γ內(nèi)產(chǎn)生初始采樣點(diǎn)集的示意圖，其中虛線所示的多邊形表示平面區(qū)域Ω，封閉實(shí)線界定的區(qū)域表示覆蓋平面區(qū)域Ω的凸多邊形Γ，黑點(diǎn)表示凸多邊形Γ內(nèi)的采樣點(diǎn)；

圖4為Voronoi圖及其對偶三角網(wǎng)格示意圖，其中：(a)為平面點(diǎn)集的Voronoi圖U；(b)凸多邊形內(nèi)的Voronoi圖V；(c)圖中的空心點(diǎn)為Vononoi圖的頂點(diǎn)，采樣點(diǎn)p₁和p₂的Voronoi子區(qū)域D₁、D₂分別為凸多邊形v₁v₂v₃v₄v₅和v₃v₄v₆v₇；(d)粗線所示的三角網(wǎng)格為Voronoi圖的對偶三角網(wǎng)格；

圖5為實(shí)施例1中的平面區(qū)域Ω的邊界；

圖6為實(shí)施例1中的包含平面區(qū)域Ω的凸多邊形Γ以及凸多邊形Γ內(nèi)產(chǎn)生的初始采樣點(diǎn)集，其中凸多邊形Γ與平面區(qū)域Ω的區(qū)域重合；

圖7為實(shí)施例1中的Voronoi圖及其對偶三角網(wǎng)格，其中：(a)為平面點(diǎn)集的Voronoi圖U；(b)為凸多邊形內(nèi)的Voronoi圖V；(c)粗線所示的三角網(wǎng)格為Voronoi圖的對偶三角網(wǎng)格；

圖8為實(shí)施例1增刪采樣點(diǎn)操作前后的Voronoi圖，其中：(a)為增加采樣點(diǎn)前的Voronoi圖；(b)為增加采樣點(diǎn)后重建Voronoi圖，其中空心點(diǎn)表示新添加的采樣點(diǎn)；(c)為刪除采樣點(diǎn)前的Voronoi圖；(d)為刪除采樣點(diǎn)后重建Voronoi圖。

圖9為實(shí)施例1中密度函數(shù)為解析函數(shù)的采樣點(diǎn)集；

圖10為實(shí)施例2中平面區(qū)域Ω的邊界；

圖11為實(shí)施例2中包含平面區(qū)域Ω的凸多邊形Γ以及凸多邊形Γ內(nèi)產(chǎn)生的初始采樣點(diǎn)集，其中平面區(qū)域Ω的邊界為袋鼠形狀的多邊形，凸多邊形Γ為矩形；

圖12為密度函數(shù)為過程函數(shù)的采樣點(diǎn)生成，其中：(a)為凸多邊形Γ內(nèi)符合密度函數(shù)分布規(guī)律的采樣點(diǎn)集；(b)為平面區(qū)域Ω內(nèi)符合密度函數(shù)分布規(guī)律的采樣點(diǎn)集。

具體實(shí)施方式

為了更清楚地闡明本發(fā)明的技術(shù)方案，下面結(jié)合具體的實(shí)施例和相關(guān)附圖，對本發(fā)明的技術(shù)細(xì)節(jié)進(jìn)行詳細(xì)說明。

如圖1所示，本發(fā)明方法的流程如下：

1.輸入平面區(qū)域Ω的邊界以及采樣密度函數(shù)f(x,y)：輸入平面區(qū)域Ω的邊界，該邊界用曲線或曲線集表示，或者用平面多邊形表示，亦或由曲線與線段的組合來表示(參見附圖2)；確定采樣密度函數(shù)f(x,y)，對于平面區(qū)域Ω內(nèi)的任意一點(diǎn)(x,y)，函數(shù)f(x,y)均能給出大于0的密度值。

2.確定包含平面區(qū)域Ω的凸多邊形Γ，產(chǎn)生初始采樣點(diǎn)集：在平面上確定一個覆蓋了區(qū)域Ω的凸多邊形Γ；在凸多邊形Γ內(nèi)產(chǎn)生一組點(diǎn)，定義這些點(diǎn)為初始采樣點(diǎn)，并由它們構(gòu)成初始采樣點(diǎn)集P(參見附圖3)。

3.在凸多邊形Γ內(nèi)構(gòu)建點(diǎn)集P的Voronoi圖V，并求出圖V中各頂點(diǎn)的密度：參見附圖4，首先在平面上構(gòu)建點(diǎn)集P的Voronoi圖，并記為U(附圖4(a))；再將圖U位于多邊形Γ內(nèi)部的部分連同多邊形Γ的邊界，記為圖V(附圖4(b))，將圖V中包含各個采樣點(diǎn)的多邊形區(qū)域定義為圖V的子區(qū)域(參見附圖4(c))；由圖V得到相應(yīng)的對偶三角網(wǎng)格，并將三角網(wǎng)格中的所有三角形構(gòu)成的集合記為T(附圖4(d))；對于圖V中的每個頂點(diǎn)，用函數(shù)f(x,y)計算出其密度值。

4.計算三角形集合T的平均分辨率及平均密度：設(shè)t為三角形集合T內(nèi)的任意一個三角形，計算出三角形t的面積s_t；再由函數(shù)f(x,y)計算出三角形t的三個頂點(diǎn)的密度，分別記為再計算三角形t的平均密度ρ_t和平均分辨率r_t，其中r_t＝s_t·ρ_t；進(jìn)而計算出三角形集合T的平均密度ρ和平均分辨率r：

$\mathrm{\&rho;}=\frac{1}{\left|T\right|}\underset{t\&Element;T}{\&Sigma;}{\mathrm{\&rho;}}_t$

$r=\frac{1}{\left|T\right|}\underset{t\&Element;T}{\&Sigma;}{r}_t$

其中，|T|為集合T中三角形的個數(shù)；計算平均密度ρ和平均分辨率r式子中，求和計算取遍集合T中的所有三角形。

5.對點(diǎn)集P進(jìn)行自適應(yīng)增、刪點(diǎn)操作：設(shè)定兩個正的采樣控制參數(shù)μ₁與μ₂，且μ₁<μ₂；對三角形集T中的任一三角形t，做如下處理：

1)若r_t<r·μ₁且三角形t的平均密度ρ_t小于三角形集T的平均密度ρ，將三角形t的三個頂點(diǎn)從點(diǎn)集P中刪除，并添加三角形t的加權(quán)平均點(diǎn)作為采樣點(diǎn)，并加入到點(diǎn)集P中，其中

2)若r_t>r·μ₂且三角形t的平均密度ρ_t大于三角形集T的平均密度ρ，將三角形t的加權(quán)平均點(diǎn)添加到點(diǎn)集P中，其中

6.對Voronoi圖V進(jìn)行重心化處理：對于點(diǎn)集P中的每個采樣點(diǎn)p_i，得到它在圖V中的子區(qū)域D_i的頂點(diǎn)為其中n_i是子區(qū)域D_i的邊界多邊形的頂點(diǎn)數(shù)；由函數(shù)f(x,y)計算出的密度值進(jìn)而得到子區(qū)域D_i的加權(quán)平均點(diǎn)

${\stackrel{\&OverBar;}{p}}_i=\frac{1}{n_i}\underset{k=1}{\overset{n_i}{\&Sigma;}}(v_i^k\&CenterDot;{\mathrm{\&rho;}}_i^k)$

然后將頂點(diǎn)p_i移至的位置，實(shí)現(xiàn)圖V的重心化。

7.生成平面區(qū)域Ω內(nèi)符合密度函數(shù)f(x,y)分布規(guī)律的采樣點(diǎn)集：反復(fù)執(zhí)行步驟3-6，直至采樣點(diǎn)集在凸多邊形Γ內(nèi)的位置趨于穩(wěn)定為止；刪除點(diǎn)集P中位于平面區(qū)域Ω以外的點(diǎn)，所得點(diǎn)集即為平面區(qū)域Ω內(nèi)符合密度函數(shù)f(x,y)分布規(guī)律的采樣點(diǎn)集。

實(shí)施例1：

本實(shí)施例的具體步驟如下：

1.輸入平面區(qū)域Ω的邊界以及采樣密度函數(shù)f(x,y)

輸入平面區(qū)域Ω的邊界，在本實(shí)施例中，輸入的平面區(qū)域Ω的邊界用六邊形表示(參見附圖5)，該六邊形的頂點(diǎn)分別為(-2,0),(-1,2),(1,2),(2,0),(1,-2),(-1,-2)；定義平面區(qū)域Ω上的采樣密度函數(shù)f(x,y)為：

$f(x,y)=\left|\right|5sin\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)+{10}^{-6}\left|\right|$

其中||·||為絕對值符號，對于平面區(qū)域Ω內(nèi)的任意一點(diǎn)(x,y)，函數(shù)f(x,y)均能給出大于0的密度值。

2.確定包含平面區(qū)域Ω的凸多邊形Γ，產(chǎn)生初始采樣點(diǎn)集

在平面上確定一個覆蓋平面區(qū)域Ω的凸多邊形Γ，本實(shí)施例中，取凸多邊形Γ與平面區(qū)域Ω重合，即凸多邊形Γ也為六邊形，頂點(diǎn)分別為(-2,0),(-1,2),(1,2),(2,0),(1,-2),(-1,-2)；在凸多邊形Γ內(nèi)產(chǎn)生一組點(diǎn)，定義這些點(diǎn)為初始采樣點(diǎn)，并用它們構(gòu)成初始采樣點(diǎn)集P。本實(shí)施例中，初始采樣點(diǎn)集P由隨機(jī)產(chǎn)生的100個點(diǎn)構(gòu)成(參見附圖6)。

3.在凸多邊形Γ內(nèi)構(gòu)建點(diǎn)集P的Voronoi圖V，并求出V圖中各頂點(diǎn)的密度

首先在平面上構(gòu)建點(diǎn)集P的Voronoi圖(附圖7(a))，本實(shí)施例中，運(yùn)用“分治法”來構(gòu)建平面上點(diǎn)集P的Voronoi圖，并將Voronoi圖記為圖U；裁剪掉圖U中位于凸多邊形Γ外部的Voronoi邊，得到圖U′，并將圖U′連同多邊形Γ的邊界記為圖V(附圖7(b))，將圖V中包含各個采樣點(diǎn)的多邊形區(qū)域定義為圖V的子區(qū)域，其中圖V的頂點(diǎn)包括圖U′的頂點(diǎn)、凸多邊形Γ的頂點(diǎn)以及圖U′與凸多邊形Γ邊界的交點(diǎn)；由圖V得到相應(yīng)的對偶三角網(wǎng)格(附圖7(c))，并將三角網(wǎng)格中所有三角形構(gòu)成的集合記為T，該三角網(wǎng)格的頂點(diǎn)集即為采樣點(diǎn)集P；對于圖V中的每個頂點(diǎn)，用函數(shù)f(x,y)計算出其密度值。

4.計算三角形集合T的平均分辨率及平均密度

設(shè)t為三角形集合T內(nèi)的任意一個三角形，利用海倫公式計算三角形t的面積s_t，即其中：a,b,c分別為三角形t三條邊的長度，p＝(a+b+c)/2；再由函數(shù)f(x,y)計算出三角形t的三個頂點(diǎn)的密度，并分別記為計算三角形t的平均密度ρ_t和平均分辨率r_t，其中r_t＝s_t·ρ_t；進(jìn)而計算出三角形集合T的平均密度ρ和平均分辨率r：

$\mathrm{\&rho;}=\frac{1}{\left|T\right|}\underset{t\&Element;T}{\&Sigma;}{\mathrm{\&rho;}}_t$

$r=\frac{1}{\left|T\right|}\underset{t\&Element;T}{\&Sigma;}{r}_t$

其中，|T|為集合T中三角形的個數(shù)；上述兩式中的求和取遍T中的所有三角形。

5.對點(diǎn)集P進(jìn)行自適應(yīng)增、刪點(diǎn)操作

設(shè)定兩個正的采樣控制參數(shù)μ₁與μ₂，本實(shí)施例中，μ₁與μ₂分別為0.875和1.125；對三角形集T中的任一三角形t，做如下處理(參見附圖8)：

1)若r_t<r·μ₁且三角形t的平均密度ρ_t小于三角形集T的平均密度ρ，將三角形t的三個頂點(diǎn)從點(diǎn)集P中刪除，并添加三角形t的加權(quán)平均點(diǎn)作為采樣點(diǎn)，并加入到點(diǎn)集P中，其中

2)若r_t>r·μ₂且三角形t的平均密度ρ_t大于三角形集T的平均密度ρ，將三角形t的加權(quán)平均點(diǎn)添加到點(diǎn)集P中，其中

6.對Voronoi圖V進(jìn)行重心化處理

對于點(diǎn)集P中的任意采樣點(diǎn)p_i，取得它在圖V中的子區(qū)域D_i的頂點(diǎn)為其中n_i是子區(qū)域D_i的邊界多邊形的頂點(diǎn)數(shù)；由函數(shù)f(x,y)計算出的密度值進(jìn)而得到子區(qū)域D_i的加權(quán)平均點(diǎn)

${\stackrel{\&OverBar;}{p}}_i=\frac{1}{n_i}\underset{k=1}{\overset{n_i}{\&Sigma;}}(v_i^k\&CenterDot;{\mathrm{\&rho;}}_i^k)$

然后將頂點(diǎn)p_i移至的位置，實(shí)現(xiàn)圖V的重心化。

7.生成平面區(qū)域Ω內(nèi)符合密度函數(shù)f(x,y)分布規(guī)律的采樣點(diǎn)集

反復(fù)執(zhí)行步驟3-6，直至采樣點(diǎn)集在凸多邊形Γ內(nèi)的位置趨于穩(wěn)定為止，本實(shí)施例中，設(shè)定反復(fù)執(zhí)行步驟3-6的次數(shù)為20次；從點(diǎn)集P中刪除位于平面區(qū)域Ω以外的點(diǎn)，在本實(shí)施例中，凸多邊形Γ與平面區(qū)域Ω的區(qū)域重合，因此凸多邊形Γ內(nèi)的采樣點(diǎn)集即為平面區(qū)域Ω內(nèi)符合密度函數(shù)f(x,y)分布規(guī)律的采樣點(diǎn)集(參見附圖9)。

實(shí)施例2：

本實(shí)施例的具體步驟為：

1.輸入平面區(qū)域Ω的邊界以及采樣密度函數(shù)f(x,y)

輸入平面區(qū)域Ω的邊界，在本實(shí)施例中，平面區(qū)域Ω的邊界用非凸多邊形表示，該多邊形的頂點(diǎn)均在平面區(qū)域[-1.5,1.5]×[-1.5,1.5]內(nèi)(參見附圖10)；定義平面區(qū)域Ω上的采樣密度函數(shù)f(x,y)為：

f(x,y)＝1.0/(10·d_Ω(x,y)+1.0)

其中d_Ω(x,y)為平面上任一點(diǎn)到平面區(qū)域Ω邊界的最近距離，對于平面區(qū)域Ω內(nèi)的任意一點(diǎn)(x,y)，函數(shù)f(x,y)均能給出大于0的密度值。

2.確定包含平面區(qū)域Ω的凸多邊形Γ，產(chǎn)生初始采樣點(diǎn)集

在平面上確定一個覆蓋平面區(qū)域Ω的凸多邊形Γ，本實(shí)施例中，取凸多邊形Γ為矩形，頂點(diǎn)分別為(-2,-2),(-2,2),(2,2),(2,-2)；在凸多邊形Γ內(nèi)產(chǎn)生一組點(diǎn)，定義這些點(diǎn)為初始采樣點(diǎn)，并由它們構(gòu)成采樣點(diǎn)集P，在本實(shí)施例中，點(diǎn)集P是由隨機(jī)生成的100個點(diǎn)構(gòu)成(附圖11)。

步驟3-6與實(shí)施例1中的步驟3-6相同。

7.生成平面區(qū)域Ω內(nèi)符合密度函數(shù)f(x,y)分布規(guī)律的采樣點(diǎn)集

反復(fù)執(zhí)行步驟3-6，直至采樣點(diǎn)集在凸多邊形Γ內(nèi)的位置趨于穩(wěn)定為止，本實(shí)施例中，設(shè)定反復(fù)執(zhí)行次數(shù)為20次(附圖12(a))；從點(diǎn)集P中刪除位于平面區(qū)域Ω以外的點(diǎn)，所得點(diǎn)集即為平面區(qū)域Ω內(nèi)符合密度函數(shù)f(x,y)分布規(guī)律的采樣點(diǎn)集(附圖12(b))。