稱(chēng)性，因此其將不會(huì)在該表示方法下的子空間之間發(fā)生耦合。該表示方 法下的最大子空間被稱(chēng)為狄克子空間（Dickesubspace)并且包括自旋系綜的所有完全對(duì) 稱(chēng)狀態(tài)。狄克子空間與具有總角動(dòng)量J=Ns/2的系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)。限制于狄克子空間的TC哈 密爾頓量已知為狄克模型并且已經(jīng)針對(duì)量子光學(xué)進(jìn)行了研究。
[0132]H。的本征態(tài)是針對(duì)腔的光子數(shù)態(tài)與Jz方向上的各個(gè)總自旋子空間的集體角動(dòng)量 的自旋狀態(tài)的張量積：|n>c|J，mz>s。這里，η= 0,1，2, · · ·，mz= -J，-J+1，· · ·，J-l，J，并且 J是耦合角動(dòng)量子空間V;的索引。聯(lián)合系統(tǒng)的集體激發(fā)數(shù)量由/Vex =ati? + (/2 +/) 給出。相互作用項(xiàng)氏可與交換，因而保留了系統(tǒng)的總激發(fā)數(shù)量。該相互作用可以分別
動(dòng)狀態(tài)|n>」J，mz>s與狀態(tài)|n+l>」J，mz-l>JP|11-1>」了，1112+1>；3之間的轉(zhuǎn)變。
[0133] 在進(jìn)入由1? = +/&)所定義的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系之后，自旋-腔哈密爾頓 量變換為：
[0136]這里，δω=c^-cos是驅(qū)動(dòng)相對(duì)于腔共振頻率的失諧，并且使得標(biāo)準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)波近似 (RWA)去除了哈密爾頓量中的任何時(shí)間依賴(lài)項(xiàng)。
[0137] 如果現(xiàn)在進(jìn)入相互作用坐標(biāo)系/:? === + 哈密爾頓量變 換為：
[0143] 類(lèi)似于針對(duì)δω> 〇的磁共振交叉弛豫實(shí)驗(yàn)中的哈特曼-哈恩（Hartmann-Hahn) 匹配，可以將腔失諧設(shè)置為接近于驅(qū)動(dòng)的拉比頻率，以使得A=δω-ΩΙΓ^δω相比更 小。通過(guò)在相互作用中進(jìn)行第二旋轉(zhuǎn)波近似，使哈密爾頓量降低至x基礎(chǔ)上的腔和自旋之 間的沒(méi)?翻轉(zhuǎn)交換相互作用：
[0145] 該旋轉(zhuǎn)波近似在失諧和拉比驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度相比關(guān)注時(shí)間量度（t。）更大（δω，Ωκ>> ι/t。）的方案中是有效的。自此，將去掉（X)上標(biāo)，并且注意，正在針對(duì)自旋系綜研究上本 征基礎(chǔ)。
[0146] 在一些實(shí)現(xiàn)中，將自旋-腔交換相互作用隔離以使得能夠在兩個(gè)系統(tǒng)之間進(jìn)行有 效能量傳遞，由此允許這兩個(gè)系統(tǒng)弛豫至控制場(chǎng)的相互作用坐標(biāo)系中的聯(lián)合平衡狀態(tài)。系 綜自旋-腔耦合的相干增強(qiáng)可以以遠(yuǎn)超過(guò)熱弛豫速率的速率來(lái)增強(qiáng)角動(dòng)量子空間'中的 自旋極化。圖3以自旋-腔狀態(tài)的耦合能級(jí)的形式示出該相干增強(qiáng)。
[0147] 圖3示出針對(duì)耦合至兩級(jí)腔的自旋的兩個(gè)示例能級(jí)圖302和304。在兩個(gè)圖中， 右矢|+〇>表示自旋-腔系統(tǒng)的基態(tài)（其中自旋和腔處于各自的基態(tài)）；右矢|-ι>表示自 旋-腔系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)（其中自旋和腔處于各自的激發(fā)態(tài)），并且右矢|+ι>和|-〇>表示中間 態(tài)。在圖3中，直箭頭表示相干振蕩，并且曲箭頭表示腔耗散。
[0148] 圖3示出在腔失諧與拉比驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度匹配的情況下，自旋和腔之間的能量交換躍迀 增強(qiáng)。左側(cè)的能級(jí)圖302示出在控制驅(qū)動(dòng)沒(méi)有提供相干增強(qiáng)的情況下的躍迀。右側(cè)的能級(jí) 圖304示出在Δ=δω-Ωκ相比δω較小且控制驅(qū)動(dòng)提供了相干增強(qiáng)的情況下的躍迀。 如左側(cè)的能級(jí)圖302所示，在沒(méi)有控制驅(qū)動(dòng)的情況下所有躍迀路徑都是可能的。右側(cè)的能 級(jí)圖304示出在拉比驅(qū)動(dòng)接通并且腔失諧與拉比頻率匹配的情況下，自旋和腔之間的能量 交換躍迀增強(qiáng)。
[0149] 在以下說(shuō)明中，為了建立自旋系統(tǒng)的腔感應(yīng)冷卻的模型，使用腔和自旋系綜的開(kāi) 放量子系統(tǒng)描述。可以使用時(shí)間局域（time-convolutionless，TCL)主方程形式體系來(lái)對(duì) 聯(lián)合自旋-腔動(dòng)力學(xué)進(jìn)行建模，使得能夠單獨(dú)推導(dǎo)出作用在自旋系綜上的有效耗散量。由 于自旋子空間 '沒(méi)有通過(guò)TC哈密爾頓量來(lái)耦合，因此在狀態(tài)空間因數(shù)分解中針對(duì)J的所 有值提供以下推導(dǎo)。
[0150] 示例自旋-腔系統(tǒng)的演變可以通過(guò)林得布拉德（Lindblad)主方程來(lái)描述：
[0152]其中是描述相互作用哈密爾頓量下的演變的超算子 (super-operator) 尤/??ρ=-取//〇〇,/31，并且2\、是將腔的品質(zhì)因數(shù)在現(xiàn)象上描 述為光子振幅衰減通道的耗散量：
[0154]這里，函數(shù)D[i4](p) = fi=述環(huán)境（例 如，冷卻系統(tǒng)或其它環(huán)境）溫度的特性，并且k是腔耗散速率（°c1/Q)。平衡狀態(tài)下的數(shù)算 子的期望值與環(huán)境的溫度τε相關(guān)：
[0156] 其中kB是玻耳茲曼常數(shù)。
[0157] 耗散量的相互作用坐標(biāo)系中的自旋系綜的簡(jiǎn)化動(dòng)力由TCL主方程以二階方式給 出：
[0159] 其中Ps(t) =tr』P⑴]是自旋系綜的簡(jiǎn)化狀態(tài)并且Peq是腔的平衡狀態(tài)。在
補(bǔ)條件下，主方程簡(jiǎn)化為：
[0160]
[0165] 是由于與腔的耦合而作用在自旋系綜上的有效耗散量和哈密爾頓量。
[0166]
的條件下，可以使以上方程中的積分上限為無(wú)限大以針對(duì)所驅(qū)動(dòng) 的自旋系綜得出馬爾可夫（Markovian)主方程：
[0169] 這里，是有效哈密爾頓量的頻率，并且Γ3是自旋系統(tǒng)的有效耗散速率。
[0170] 可以考慮作為耦合角動(dòng)量基礎(chǔ)中的對(duì)角的自旋狀態(tài)的演變，
這里，遍及J的和是遍及子空間V;的求和，并且Ρ" (t) =<J，m|p(t) |J，m>是在時(shí)間t處找到狀態(tài)P』,"= |J，mXJ，m|下的系統(tǒng)的概率。在這 種情況下，馬爾可夫主方程簡(jiǎn)化為針對(duì)布居數(shù)的速率方程：
[0176]通過(guò)定義朽((）=(巧P/J(i)乂來(lái)針對(duì)各個(gè)子空間V;得出以下矩陣微分 方程：
[0178] 其中，Mj是三對(duì)角矩陣
[0180] 對(duì)于由初始布居數(shù)$(〇)所指定的給定狀態(tài)，以上微分方程具有解 巧(i) =exp^M/)巧(0)。所驅(qū)動(dòng)的自旋系綜的各子空間~的平衡狀態(tài)滿(mǎn)足 · $(〇〇) = 0,并且由下式給出：
[0182]其中，
[0184] 針對(duì)自旋系綜的平衡狀態(tài)的總自旋期望值為：
[0186] 如果考慮受?II限制的完全對(duì)稱(chēng)狄克子空間，則平衡狀態(tài)下的基態(tài)布居數(shù)
給出并且最終期望值大約是% 一^/2 +釋。因 而，狄克子空間中的最終自旋極化將大致等效于熱腔極化。
[0187] 注意，如果上述示例中失諧δω為負(fù)，則匹配Ωκ=δω將導(dǎo)致項(xiàng)成為主 導(dǎo)，由此得到算子J和J+互換的主方程，所得到的主方程的動(dòng)力學(xué)將驅(qū)動(dòng)自旋系綜趨向 <JX> =J狀態(tài)。可以使失諧大于腔的線(xiàn)寬以防止項(xiàng)和好?項(xiàng)之間的競(jìng)爭(zhēng)，這使得會(huì) 將自旋系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)至高熵?zé)峄旌蠎B(tài)。
[0188] 在一些實(shí)現(xiàn)中，將腔共振頻率（ω。）設(shè)置為低于自旋共振頻率（cos)以使得失諧 δω=c^-cos為負(fù)值。在這種情況下，可以使用這里所述的技術(shù)來(lái)對(duì)自旋進(jìn)行基于腔的 加熱以提高自旋系綜的極化。在這種情況下，腔和自旋系綜之間的相互作用增加了自旋系 綜的能量。
[0189] 速率矩陣的三對(duì)角性質(zhì)使得能夠針對(duì)大量自旋來(lái)對(duì)expOGMy)以〇)進(jìn) 行有效模擬。為了簡(jiǎn)化，將考慮使腔冷卻至其基態(tài)并且使自旋系綜最大程度地混 合（即，對(duì)于m= -J，. . .，J，P"(0) = 1A2J+1))的理想情況下的狄克子空間的冷卻。
[0190] 圖4是示出針對(duì)示例腔冷卻自旋系綜的狄克子空間所進(jìn)行的歸一化期望 值-<JX (t) >/J的模擬演變的圖400。在圖400中，縱軸402表示針對(duì)狄克子空間的歸一化 期望值_〈JX (t) >/J的值的范圍，并且橫軸404表示時(shí)間值的范圍。在圖4中，利用-J對(duì)縱 軸402所表示的期望值進(jìn)行歸一化以得到最大值1，并且利用自旋系綜的有效耗散速率Γs 來(lái)標(biāo)度橫軸404所表示的時(shí)間變量。
[0191] 圖400包括4條曲線(xiàn)；各曲線(xiàn)表示針對(duì)具有不同數(shù)量隊(duì)的總自旋（范圍為Ns = 102~Ns= 10 5)的自旋系綜的狄克子空間的模擬期望值<Jx(t)>。曲線(xiàn)406a表示具有102 個(gè)自旋的自旋系綜；曲線(xiàn)406b表示具有103個(gè)自旋的自旋系綜；曲線(xiàn)406c表示具有10 4個(gè) 自旋的自旋系綜；并且曲線(xiàn)406d表示具有105個(gè)自旋的自旋系綜。
[0192] 在值-<Jx(t)>/J= 1處，自旋系綜的總角動(dòng)量子空間完全極化至1本征基態(tài) J，-J>。如圖4所示，各個(gè)自旋系綜的極化隨時(shí)間得經(jīng)過(guò)而提高，并且對(duì)于更大的自旋系 綜，極化提高更快。針對(duì)所示的示例，三個(gè)更大的自旋系綜在圖400所示的時(shí)間度量?jī)?nèi)基本 被完全極化。
[0193]在一些情況下，相對(duì)于時(shí)間的期望值<Jx(t)>可以擬合為指數(shù)來(lái)求出類(lèi)似于熱自 旋-晶格弛豫時(shí)間?\的有效冷卻時(shí)間常數(shù)T1>rff。由
[0195] 所給出的針對(duì)模型的擬合求出了λ= 2. 0406和γ=-0. 9981的參數(shù)1^,^ = λ(2J)Vrs。類(lèi)似于包括指數(shù)速率的熱自旋-晶格弛豫過(guò)程，該模型包括指數(shù)速率 (I/%,#)。該模型可以用于角動(dòng)量子空間（例如，狄克子空間）或全希爾伯特空間（Hilbert space)。在一些示例中，有效速率（I/%,#)顯著快于熱速率作為J的函數(shù)的針對(duì) 自旋子空間'的冷卻時(shí)間常數(shù)所用的近似表達(dá)式為：
[0197] 在該有效冷卻時(shí)間常數(shù)中，冷卻效率在拉比驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度與腔失諧匹配（即，Δ= 〇) 的情況下最大化。在該情況下，冷卻速率和時(shí)間常數(shù)分別簡(jiǎn)化為1\=82八和1'1,#=1^/ g2J。在腔被熱占據(jù)的情況下，最終的自旋極化大致等于熱腔極化，并且對(duì)于與 對(duì)應(yīng)的腔溫度，有效冷卻常數(shù)TV#約等于0溫度值。
[0198] 可以按照如下方式來(lái)控制磁共振系統(tǒng)：以與以上所示的有效冷卻常數(shù)?\, #相對(duì)應(yīng)的速率來(lái)使樣本極化?？梢愿鶕?jù)用于隔離自旋-腔交換項(xiàng)111(〇的兩個(gè) 旋轉(zhuǎn)波近似所附的參數(shù)來(lái)配置磁共振系統(tǒng)。對(duì)于sω~Ωκ的實(shí)現(xiàn)，可以以使得
[0199] 對(duì)于使用具有包括約Ns= 10 6~NS= 10 17個(gè)自旋的樣本的X頻帶脈沖電子自旋 共振（ESR) (〇。/2 31 ~cos/2jt= 10GHz)的示例實(shí)現(xiàn)，可以以使得Ωκ/2π=l〇〇MHz，Q= 104(k/2 3i= 1MHz)并且g/2 31 = 1Hz的方式來(lái)配置磁共振系統(tǒng)。對(duì)于這些參數(shù)，馬爾可夫 主方程的有效范圍是Ns<<k2/g2= 1012并且可以使包括約1011個(gè)電子自旋的系綜的狄克 子空間以3. 18ys的有效1\發(fā)生極化。該極化時(shí)間顯著短于范圍可以從數(shù)秒到數(shù)小時(shí)的 低溫自旋系綜的熱！\。
[0200] 圖5是耦合至兩級(jí)腔的示例自旋系統(tǒng)的能級(jí)圖500。相干躍迀由實(shí)線(xiàn)表示并且腔 耗散速率由曲線(xiàn)表示。將各個(gè)子空間、的狀態(tài)標(biāo)記為|n>」-Jx+m>s，其中，m是自旋激發(fā)的 數(shù)量并且η是腔激發(fā)的數(shù)量。在各個(gè)子空間'內(nèi)，為了使冷卻動(dòng)態(tài)表現(xiàn)為馬爾可夫過(guò)程， 在粗粒度時(shí)間度量上不應(yīng)當(dāng)顯著布居高腔激發(fā)數(shù)量的狀態(tài)。
[0201] 在這里所示的示例中，利用與腔的相干相互作用來(lái)冷卻自旋系綜，這使得自旋系 綜的極化提高。例如，由于基于腔的技術(shù)包括遍及整個(gè)自旋系綜的相干過(guò)程，因此這些基于 腔的冷卻技術(shù)不同于熱?\弛豫。熱Τ^也豫是涉及在個(gè)體自旋和環(huán)境之間交換能量的非相 干過(guò)程，其中個(gè)體自旋和環(huán)境在!\較長(zhǎng)的情況下呈弱耦合?；谇坏睦鋮s技術(shù)可以通過(guò)使 用腔作為自旋系綜和環(huán)境之間的連接，來(lái)提供自旋對(duì)熱環(huán)境的耦合的受控增強(qiáng)。由于腔比 自旋系綜更強(qiáng)地耦合至環(huán)境，所以光子形式的能量耗散得更快。由于個(gè)體自旋對(duì)腔的固有 較小的耦合，因而可以通過(guò)驅(qū)動(dòng)自旋系綜來(lái)使腔有效地耦合至自旋系綜，以使得自旋系綜 由于具有大幅增強(qiáng)的與腔的親合的單個(gè)偶極矩（dipolemoment)而整體與腔相互作用。在 一些情況下，由此得到的（穿過(guò)腔的）自旋系綜和環(huán)境之間的連接比不存在腔的情況下的 自旋系綜和環(huán)境之間的連接明顯更強(qiáng)，使得在使用冷卻算法的情況下從自旋系綜耗散能量 的效率更高并且有效?\更短。
[0202] 以上討