本發(fā)明屬于慣性技術(shù)領(lǐng)域，涉及一種諧振式陀螺，特別涉及一種直接頻率輸出諧振式陀螺的穩(wěn)定性分析方法，適用于中低精度的低成本導(dǎo)航系統(tǒng)及定位、定向系統(tǒng)等。

背景技術(shù)：

諧振式陀螺是利用諧振原理作為陀螺檢測(cè)機(jī)理。這種陀螺直接檢測(cè)諧振器的諧振頻率變化來(lái)檢測(cè)角速度，而頻率輸出特性是一個(gè)參數(shù)激勵(lì)動(dòng)態(tài)特性，表征為變系數(shù)參數(shù)激勵(lì)線(xiàn)性微分方程。

基于已有分析知，變系數(shù)參數(shù)激勵(lì)線(xiàn)性微分方程的穩(wěn)定性區(qū)間為一系列離散區(qū)間，區(qū)間的分布呈現(xiàn)很強(qiáng)的非線(xiàn)性特性。如果參數(shù)的選擇處于不穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，則諧振系統(tǒng)響應(yīng)就會(huì)呈現(xiàn)發(fā)散狀態(tài)。導(dǎo)致諧振系統(tǒng)進(jìn)入非線(xiàn)性振動(dòng)狀態(tài)甚至破壞結(jié)構(gòu)。同時(shí)作為敏感元件的諧振系統(tǒng)工作過(guò)程又需要保證恰當(dāng)?shù)撵`敏度，且參數(shù)的選擇應(yīng)該接近于不穩(wěn)定區(qū)間以保證諧振子對(duì)參數(shù)變化能夠靈敏的反應(yīng)。因此合理設(shè)計(jì)選擇諧振式陀螺參數(shù)是優(yōu)化設(shè)計(jì)諧振式陀螺的首要問(wèn)題。如果能夠制定合理的參數(shù)選擇方案，給出穩(wěn)定性隨參數(shù)變化的規(guī)律，改善性能指標(biāo)，將會(huì)給此類(lèi)陀螺的應(yīng)用帶來(lái)非常廣闊的前景，也會(huì)對(duì)慣性導(dǎo)航領(lǐng)域的技術(shù)發(fā)展做出突出的貢獻(xiàn)。

有時(shí)變系數(shù)參數(shù)激勵(lì)線(xiàn)性微分方程穩(wěn)定性解專(zhuān)指那些具有周期為π或2π的解。而實(shí)際上，一個(gè)微分方程，盡管它的系數(shù)是單值、連續(xù)的周期函數(shù)，它的解卻不一定是周期函數(shù)，即使有周期函數(shù)解，其周期也不一定與方程系數(shù)的周期相同。只有當(dāng)參數(shù)δ和ε滿(mǎn)足一定的關(guān)系時(shí)，方程才有周期為π或2π的解。找出δ和ε之間的這種關(guān)系是變系數(shù)參數(shù)激勵(lì)線(xiàn)性微分方程理論的中心問(wèn)題之一。

適用于參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)確定穩(wěn)定性、特征指數(shù)以及劃分穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性邊界的方法主要有三類(lèi)。第一類(lèi)用hill的無(wú)窮行列式方法。第二類(lèi)是各種攝動(dòng)方法，即基于變系數(shù)項(xiàng)在某種意義上小量的假定。第三類(lèi)方法是應(yīng)用lyapunov穩(wěn)定性理論，這種方法受到的限制是要求能找到一個(gè)適當(dāng)?shù)膌yapunov函數(shù)。對(duì)于正則系統(tǒng)可能利用hamilton函數(shù)，但對(duì)于其他系統(tǒng)，也許不能找到lyapunov函數(shù)。利用這種方法，人們可以定性的確定系統(tǒng)在大范圍內(nèi)的穩(wěn)定性，但不能定量的確定系統(tǒng)的響應(yīng)。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明要解決的技術(shù)問(wèn)題為：克服現(xiàn)有方法的不足，提出一種諧振式陀螺穩(wěn)定性分析方法，該方法得到了穩(wěn)定性參數(shù)區(qū)域分布圖，構(gòu)建了lyapunov函數(shù)，有效地取得了振式陀螺穩(wěn)定性的參數(shù)取值范圍。

本發(fā)明解決上述技術(shù)問(wèn)題采用的技術(shù)方案為：一種諧振式陀螺穩(wěn)定性分析方法，利用諧振式陀螺參數(shù)激勵(lì)特性動(dòng)態(tài)模型，獲得模型的穩(wěn)定性參數(shù)區(qū)域分布圖，構(gòu)建lyapunov函數(shù)，獲得模型穩(wěn)定性的參數(shù)取值范圍，具體步驟如下：

第一步，建立諧振式陀螺的諧振子在驅(qū)動(dòng)力作用下工作在諧振狀態(tài)時(shí)，最簡(jiǎn)化的動(dòng)力學(xué)微分方程：其中，m表示諧振子的質(zhì)量，x表示諧振子的振幅，k表示諧振子的剛度；

第二步，利用小參數(shù)法對(duì)諧振式陀螺的諧振子動(dòng)力學(xué)微分方程求解，得到諧振式陀螺的穩(wěn)定性參數(shù)區(qū)域分布圖；

第三步，建立諧振式陀螺動(dòng)力學(xué)模型的lyapunov函數(shù)，以陀螺動(dòng)力學(xué)模型穩(wěn)定性作為轉(zhuǎn)換條件，從而得到陀螺穩(wěn)定性工作的參數(shù)取值范圍；

進(jìn)一步的，所述步驟(1)的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程：

(1)諧振式陀螺諧振子的動(dòng)力學(xué)微分方程描述為一個(gè)含有質(zhì)量、阻尼和剛度的二階微分方程：其中，m表示諧振子的質(zhì)量，x表示諧振子的振幅，c表示諧振子受到的阻尼，k表示諧振子的剛度，f(t)表示諧振子的受到的科氏力；

(2)當(dāng)諧振式陀螺的諧振子處于諧振狀態(tài)時(shí)，使諧振子處于持續(xù)振動(dòng)狀態(tài)的作用力與系統(tǒng)的阻尼力相平衡，此時(shí)諧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律表述為最簡(jiǎn)的動(dòng)力學(xué)微分方程：

進(jìn)一步的，所述步驟(2)中小參數(shù)法的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程：

(1)諧振式陀螺諧振子的動(dòng)力學(xué)微分方程轉(zhuǎn)化為方程：其中，q表示諧振子的振動(dòng)位移，z是一個(gè)時(shí)間變量，k＝δ+εcos2z表示諧振子的振動(dòng)剛度，它隨著科氏力作用的變化而變化；當(dāng)諧振子質(zhì)量保持不變時(shí)，致使諧振子諧振頻率發(fā)生變化；參數(shù)δ表示諧振子自身的固有頻率，參數(shù)ε看作與諧振式陀螺參數(shù)相關(guān)的一個(gè)常量，擾動(dòng)項(xiàng)εcos2z表示在質(zhì)量塊驅(qū)動(dòng)的作用下對(duì)諧振子的彈性系數(shù)的調(diào)制；

(2)選取合適的小參數(shù)ε。參數(shù)δ表示諧振子自身的固有頻率，一般為幾千赫茲，所選的參數(shù)ε會(huì)低于參數(shù)δ小數(shù)點(diǎn)后一到兩個(gè)數(shù)量級(jí)，故命名為小參數(shù)；

(3)諧振子的動(dòng)力學(xué)微方程中含有參數(shù)δ，把參數(shù)δ固定在某些值附件，在參數(shù)平面(δ，ε)上研究方程的穩(wěn)定性區(qū)域。

進(jìn)一步的，所述步驟(3)參數(shù)取值范圍的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程：

(1)依據(jù)諧振式陀螺諧振子的動(dòng)力學(xué)微分方程構(gòu)建lyapunov函數(shù)；

(2)依據(jù)lyapunov函數(shù)倒數(shù)半負(fù)定得到陀螺穩(wěn)定性參數(shù)取值范圍。

本發(fā)明的原理在于：參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，系數(shù)是時(shí)間的快變函數(shù)，通常是周期函數(shù)或稱(chēng)周期系數(shù)。因?yàn)橄禂?shù)參數(shù)的變化(稱(chēng)為內(nèi)激勵(lì))而引起的振動(dòng)稱(chēng)為參數(shù)激勵(lì)。當(dāng)參數(shù)激勵(lì)遠(yuǎn)離系統(tǒng)的自然頻率時(shí)，也有可能產(chǎn)生大的響應(yīng)，稱(chēng)為參數(shù)共振。有的系統(tǒng)當(dāng)參數(shù)激勵(lì)頻率接近于系統(tǒng)自然頻率兩倍時(shí)，盡管激勵(lì)幅值是小的，但系統(tǒng)的響應(yīng)是很大的，因而發(fā)生參數(shù)共振(主參數(shù)共振)。可能存在著參數(shù)記錄頻率的一個(gè)完整的區(qū)域，該區(qū)域?qū)?yīng)于參數(shù)共振，所以研究參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是一個(gè)很重要的問(wèn)題。

對(duì)于參數(shù)激勵(lì)方程，它的解也許是有界或是無(wú)界的，其它部分是穩(wěn)定的或是不穩(wěn)定的，都取決于方程里的參數(shù)，所以對(duì)于方程里面參數(shù)的研究從而形成穩(wěn)定性參數(shù)區(qū)域分布圖。這種理論主要是在參數(shù)空間內(nèi)將參數(shù)激勵(lì)方程的穩(wěn)定性區(qū)域分成穩(wěn)定和非穩(wěn)定兩個(gè)部分。當(dāng)然穿越穩(wěn)定邊界必然會(huì)有一個(gè)穩(wěn)定到非穩(wěn)定的過(guò)渡，且在邊界上也有可能存在穩(wěn)定周期解。一般情況下，通過(guò)持續(xù)的尋求合適的參數(shù)可能得到一個(gè)周期性的數(shù)值解。

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比的優(yōu)點(diǎn)在于：

(1)本發(fā)明利用諧振式陀螺動(dòng)態(tài)特性微分方程得到穩(wěn)定性參數(shù)區(qū)域分布圖，不需要建立參數(shù)檢測(cè)系統(tǒng)分析參數(shù)的穩(wěn)定性分布，具有分析簡(jiǎn)單、有效的特點(diǎn)。

(2)本發(fā)明對(duì)諧振式陀螺穩(wěn)定性工作的參數(shù)取值范圍進(jìn)行了直接界定，減小了參數(shù)取值過(guò)程中其它優(yōu)化處理步驟，有效地簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)步驟。

附圖說(shuō)明

圖1為本發(fā)明的諧振式陀螺穩(wěn)定性分析方法實(shí)現(xiàn)過(guò)程的示意圖；

圖2為本發(fā)明的諧振式陀螺穩(wěn)定性參數(shù)區(qū)域分布圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合附圖以及具體實(shí)施方式進(jìn)一步說(shuō)明本發(fā)明。

本發(fā)明諧振式陀螺穩(wěn)定性分析方法包括以下三個(gè)基本步驟：(1)建立諧振式陀螺的動(dòng)力學(xué)模型；(2)繪出諧振式陀螺的穩(wěn)定性參數(shù)區(qū)域分布圖；(3)確定諧振式陀螺的穩(wěn)定性參數(shù)取值范圍。諧振式陀螺動(dòng)力學(xué)模型的系數(shù)是時(shí)間的快變函數(shù)，此種由參數(shù)變化引起的振動(dòng)稱(chēng)為參數(shù)激勵(lì)特征方程。該諧振式陀螺的穩(wěn)定性分析方法是依據(jù)其動(dòng)力學(xué)模型，利用小參數(shù)法得到陀螺的穩(wěn)定性參數(shù)區(qū)域分布圖；構(gòu)建諧振式陀螺動(dòng)力學(xué)模型的lyapunov函數(shù)，從而得到諧振式陀螺的穩(wěn)定性參數(shù)取值范圍。本發(fā)明克服了參數(shù)激勵(lì)對(duì)陀螺輸出信號(hào)的影響，實(shí)現(xiàn)了諧振式陀螺的穩(wěn)定性工作，拓展其應(yīng)用范圍，也可用于其它諧振式傳感器的穩(wěn)定性分析。

如圖1所示，本發(fā)明諧振式陀螺穩(wěn)定性分析方法具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1)建立動(dòng)力學(xué)模型

諧振式陀螺諧振子的諧振頻率是軸向張力的函數(shù)，對(duì)于直接輸出頻率這樣一種特殊的工作方式，科氏力是隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)力，被測(cè)量對(duì)系統(tǒng)的調(diào)制表現(xiàn)為彈性系數(shù)的改變，在建立微分方程時(shí)就需要利用這樣一個(gè)假設(shè)：軸向力隨時(shí)間變化是緩慢的，即考慮科氏力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。諧振式陀螺動(dòng)力學(xué)微分方程精確的表征了所有動(dòng)態(tài)特性，最簡(jiǎn)化的動(dòng)力學(xué)微分方程：

其中，m表示諧振子的質(zhì)量，x表示諧振子的振幅，k表示諧振子的剛度；實(shí)際上，諧振式陀螺的動(dòng)力學(xué)微分方程是一個(gè)參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，將上述方程里的系數(shù)展開(kāi)后的表達(dá)式為：

其中，q表示諧振子的振動(dòng)位移，z是一個(gè)時(shí)間變量，k＝δ+εcos2z表示諧振子的振動(dòng)剛度，它隨著科氏力作用的變化而變化。當(dāng)諧振子質(zhì)量保持不變時(shí)，致使諧振子諧振頻率發(fā)生變化。參數(shù)δ表示諧振子自身的固有頻率，參數(shù)ε可以看作與諧振式陀螺參數(shù)相關(guān)的一個(gè)常量，擾動(dòng)項(xiàng)εcos2z表示在質(zhì)量塊驅(qū)動(dòng)的作用下對(duì)諧振子的彈性系數(shù)的調(diào)制。

(2)獲得穩(wěn)定性參數(shù)區(qū)域分布圖

諧振式陀螺的動(dòng)力學(xué)微分方程中含有參數(shù)δ，把參數(shù)δ固定在某些值附件，在參數(shù)平面(δ,ε)上研究方程解的穩(wěn)定性區(qū)域。應(yīng)用非線(xiàn)性振動(dòng)的小參數(shù)法求解，具體方法如下：

把方程(2)的解和參數(shù)δ展開(kāi)為小參數(shù)ε的冪級(jí)數(shù)。

式中ε為小參數(shù)也滿(mǎn)足陀螺的物理意義，q0，q1，q2分別表示諧振子振動(dòng)位移的零階，一階和二階擾動(dòng)量，δ0，δ1，δ2分別表示諧振子自身的固有頻率的零階，一階和二階擾動(dòng)量。

a)設(shè)δ0＝0(即n＝0)

可以得到從δ0＝0開(kāi)始的分界線(xiàn)分別為：

其中，a為固定參數(shù)，o(ε³)為參數(shù)ε的三階擾動(dòng)量參數(shù)。

b)設(shè)δ0＝1(即n＝1)

可以得到從δ0＝1開(kāi)始的兩條分界線(xiàn)分別為：

它們分別對(duì)應(yīng)與周期為π的周期解：

其中，a和b為固定參數(shù)，o(ε³)為參數(shù)ε的三階擾動(dòng)量參數(shù)。

c)設(shè)δ0＝4(即n＝2)

可以得到從δ0＝4開(kāi)始的兩條分界線(xiàn)分別為：

它們分別對(duì)應(yīng)與周期為π的周期解：

其中，a和b為固定參數(shù)，o(ε³)為參數(shù)ε的三階擾動(dòng)量參數(shù)。以上討論的結(jié)果，如圖2所示，圖中陰影部分是不穩(wěn)定區(qū)域，其余為穩(wěn)定區(qū)域。隨著參數(shù)δ的增加，穩(wěn)定區(qū)域越來(lái)越大。對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題而言，分界線(xiàn)上周期解的穩(wěn)定性并不重要，因?yàn)槲覀兛偸且笙到y(tǒng)在原理穩(wěn)定區(qū)中運(yùn)動(dòng)。但系統(tǒng)的參數(shù)落入不穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，即發(fā)生了參數(shù)共振。從圖2中可見(jiàn)，發(fā)生參數(shù)共振的區(qū)域是一個(gè)連續(xù)的參數(shù)區(qū)間。從某種意義上說(shuō)，避開(kāi)參數(shù)共振比避開(kāi)因受迫振動(dòng)而產(chǎn)生的共振要困難的多。

(3)確定穩(wěn)定性參數(shù)取值范圍

使得諧振式陀螺的動(dòng)力學(xué)微分方程有穩(wěn)定性解，利用周期性的lyapunov函數(shù)即可確定一個(gè)陀螺的參數(shù)取值范圍。

取q＝q1，諧振式陀螺的動(dòng)力學(xué)微分方程可以寫(xiě)成：

構(gòu)建lyapunov函數(shù)：

對(duì)式(11)微分，同時(shí)代入式(9)和(10)，則有：

從上式可以看出，只有當(dāng)時(shí)才能半負(fù)定，此時(shí)q1≡0，不難得出當(dāng)q1≡0時(shí)，q2也為零。所以如果要半負(fù)定，即要求：

本發(fā)明未詳細(xì)闡述部分屬于本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知技術(shù)。

提供以上實(shí)施例僅僅是為了描述本發(fā)明的目的，而并非要限制本發(fā)明的范圍。本發(fā)明的范圍由所附權(quán)利要求限定。不脫離本發(fā)明的精神和原理而做出的各種等同替換和修改，均應(yīng)涵蓋在本發(fā)明的范圍之內(nèi)。