本發(fā)明涉及逆變器的建模與分析領(lǐng)域，尤其是指一種基于雙重傅里葉變換分析逆變器的方法。

背景技術(shù)：

過去針對逆變器常用的建模與分析方法有：基于狀態(tài)空間平均法的模型、離散迭代映射模型、簡化電路法的分段線性模型、開關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均法模型以及擴(kuò)展描述函數(shù)分析法模型。

狀態(tài)空間平均法通過利用開關(guān)占空比加權(quán)對時(shí)間進(jìn)行平均，再經(jīng)小信號(hào)擾動(dòng)和線性化處理后得到統(tǒng)一的等效電路模型；參考文獻(xiàn)1(Middlebrook,R.D,Ageneral unified approach to modelling switching-converter power stages[J],International Journal of Electronics,1977,42(6):521-550)。離散迭代映射模型是借助計(jì)算對電路進(jìn)行迭代求解的方法，參考文獻(xiàn)2(P.C.K.ect,"State-Space Modeling of a Class E2 Converter for Inductive Links,"in IEEE ToPE,pp.3242-3251,June 2015.)。簡化電路法是利用等效電流源的方法，對電路進(jìn)行等效建模，得出電路狀態(tài)變量基于輸入電流的等效值，參考文獻(xiàn)3(陳文,丘水生.E類放大器的符號(hào)分析[J].華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1997,08:89-93.)。開關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均法是通過直接對導(dǎo)致非線性因素的開關(guān)元件或開關(guān)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析，參考文獻(xiàn)4(Vorperian V.Simplified analysis of PWM Converter using the PWM switch,Part I:Continuous conduction mode[J].IEEE Trans.Aerospace and Electronic Systems,1990,26(3):490-496)。擴(kuò)展描述函數(shù)分析法同時(shí)采用了頻域與時(shí)域分析方法，參考文獻(xiàn)5(A.Witulski and R.Erickson,Small-Signal ac equivalent circuit modeling of the series resonant converter[C],in IEEE Power Electronics Specialists,Conf.Rec.1987:639-704)。上述現(xiàn)有的逆變器建模與分析方法存在計(jì)算量大、計(jì)算過程復(fù)雜、無法得到電路穩(wěn)態(tài)周期解的表達(dá)式、無法分析紋波等缺點(diǎn)。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是在于克服現(xiàn)有人機(jī)交互方式的不足，提出了一種基于雙重傅里葉變換分析逆變器的方法，能快速獲得逆變器狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)周期解析解。

為實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明所提供的技術(shù)方案為：一種基于雙重傅里葉變換分析逆變器的方法，利用等效小參量法，將復(fù)雜的逆變器狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)周期解的求解轉(zhuǎn)化為主振蕩分量和各階修正量幅度的求解，而主振蕩分量和各階修正量幅度的求解能夠利用諧波平衡法，最后將主振蕩分量和各階修正量相加就能夠得到逆變器的穩(wěn)態(tài)周期解的解析表達(dá)式；其包括以下步驟：

S1、建立微分方程描述的逆變器的非線性數(shù)學(xué)模型；

S2、利用雙重傅里葉變換將非線性開關(guān)函數(shù)展開

確立調(diào)制波和載波的數(shù)學(xué)表達(dá)式，將調(diào)制波和載波表達(dá)式代入雙重傅里葉變換的方程中并求解，得到非線性開關(guān)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式；

S3、利用等效小參量法得到逆變器的等效數(shù)學(xué)模型

利用等效小參量法求解S1中的非線性數(shù)學(xué)模型，得到描述逆變器的等效數(shù)學(xué)方程組，即逆變器的等效數(shù)學(xué)模型；該等效數(shù)學(xué)方程組包含一個(gè)求解系統(tǒng)狀態(tài)變量主振蕩分量的主振蕩微分方程，和一系列求系統(tǒng)狀態(tài)變量修正量的微分方程；

S4、利用諧波平衡法求逆變器系統(tǒng)狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)周期解

利用諧波平衡法逐步求解S3中等效數(shù)學(xué)方程組中的各個(gè)微分方程的穩(wěn)態(tài)解，得到逆變器系統(tǒng)狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)周期解的解析表達(dá)式。得到的穩(wěn)態(tài)解包含主振蕩分量和各階修正量，其中各階修正量由基波和各次諧波組成。

在步驟S1中，所建立的建立微分方程描述的逆變器的非線性數(shù)學(xué)模型為：

G₁(p)x+G₂(p)f＝u (1)

上式中x＝[i_L v_C]^T表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量向量，上標(biāo)T表示求矩陣轉(zhuǎn)置，i_L表示電感電流瞬時(shí)值，v_C表示電容電壓瞬時(shí)值，u表示輸入電壓向量；p表示微分算子p＝d/dt，G₁(p)、G₂(p)為系數(shù)矩陣；f＝δe為非線性矢量函數(shù)，δ為一個(gè)表征逆變器中受控開關(guān)通斷狀態(tài)的開關(guān)函數(shù)，當(dāng)該受控開關(guān)導(dǎo)通時(shí)δ＝1，當(dāng)該受控開關(guān)斷開時(shí)δ＝0，e為一個(gè)與輸入電壓有關(guān)的常向量；

在步驟S2中，具體步驟如下：

S21、描述正弦調(diào)制波u^*(t)和三角載波u_tri(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為：

u^*(t)＝M cos(ω₀t+θ₀)＝M cos y

其中y＝ω₀t+θ₀，x＝ω_ct+θ_c；t為時(shí)間變量，M為調(diào)制比，ω₀為調(diào)制波的角頻率，θ₀為調(diào)制波的相位；ω_c為載波的角頻率，θ_c為載波的相位；由于ω_c＞＞ω₀，因此在一個(gè)載波周期內(nèi)，將調(diào)制波視為沒有變化的直流量；因此，認(rèn)為調(diào)制波在開關(guān)導(dǎo)通和關(guān)斷時(shí)刻的幅值是相同的；

S22、將調(diào)制波和載波的表達(dá)式代入雙重傅里葉變換方程中，同時(shí)考慮調(diào)制波頻率和載波頻率，能夠?qū)⒎蔷€性開關(guān)函數(shù)δ展開成如下式(3)所述級(jí)數(shù)形式：

其中：

式(4)中等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)表示開關(guān)函數(shù)的直流分量，第二項(xiàng)表示調(diào)制波影響下得到的諧波分量，n為調(diào)制波的諧波階數(shù)，n＝1時(shí)表示調(diào)制波的基頻分量，第三項(xiàng)表示在載波影響下得到的諧波分量，m為載波的諧波階數(shù)，第四項(xiàng)表示在調(diào)制波和載波共同影響下得到的的邊帶諧波分量；

在步驟S3中，所述的等效小參量法的具體步驟如下：

S31、將雙重傅里葉變換展開的開關(guān)函數(shù)δ表示成主振蕩分量和修正量之和的級(jí)數(shù)形式：其中δ₀表示開關(guān)函數(shù)的主振蕩分量，δ_i表示開關(guān)函數(shù)的第i階修正量，它們可根據(jù)具體開關(guān)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)來確定；

S32、將待求解的狀態(tài)變量x也表示成級(jí)數(shù)形式：其中x₀表示狀態(tài)變量的主振蕩分量，x_i表示狀態(tài)變量的第i階修正量，它們在具體的求解過程逐步確定；

S33、將δ的級(jí)數(shù)表達(dá)式代入非線性矢量函數(shù)f＝δe中，得到其中f₀表示非線性矢量函數(shù)的主振蕩分量，f_i表示非線性矢量函數(shù)的第i階修正量；

S34、將f₀表示為f₀＝f_0m+εR₁，將f_i表示為f_i＝f_im+εR_i+1，其中f_0m為f₀的主項(xiàng)，包含f₀中所有與x₀具有相同頻率成分的項(xiàng)，R₁為f₀的余項(xiàng)，包含f₀中所有與x₀具有不同頻率成分的項(xiàng)；同理，f_im為f_i的主項(xiàng)，包含f_i中所有與x_i具有相同頻率成分的項(xiàng)，R_i+1為f_i的余項(xiàng)，包含f_i中所有與x_i具有不同頻率成分的項(xiàng)；

S35、將f₀＝f_0m+εR₁和f_i＝f_im+εR_i+1代入中，從而能夠?qū)表示為

在上述步驟S31～S35中，上標(biāo)或下標(biāo)i是一個(gè)整數(shù)，i＝1,2,……；ε是引入的一個(gè)小量標(biāo)記，εⁱx_i表明x_i是狀態(tài)變量x的第i階小量，當(dāng)在運(yùn)算過程中需要具體數(shù)值時(shí)ε＝1；

S36、將和代入到公式(1)中，并令等式兩邊具有相同εⁱ項(xiàng)的項(xiàng)分別相等，得到描述逆變器的等效數(shù)學(xué)模型，如下式(5)：

上式(5)中的第1個(gè)分?jǐn)?shù)階微分方程用于求狀態(tài)變量的主振蕩分量x₀，稱為主振蕩方程；第2～n個(gè)分?jǐn)?shù)階微分方程用于求狀態(tài)變量的各階修正量x_i，i＝1,2,……n，稱為修正量方程；

在步驟S4中，以指數(shù)函數(shù)表示狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)周期解的近似數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

其中，A₁為基波的幅度向量，為其共軛；A_i為對應(yīng)次諧波的幅度向量，i＝2，3，……，n，為其共軛；m為載波的諧波階數(shù)；n為調(diào)制波的諧波階數(shù)；ω₀為調(diào)制波的角頻率，ω_c為載波的角頻率，t表示時(shí)間變量，j為虛數(shù)單位；公式(6)中的狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)周期解的數(shù)學(xué)表達(dá)式也能夠用三角函數(shù)的形式表示如下式(7)：

公式(7)中的Re(A₁)、Re(A₂)、Re(A₃)、Re(A₄)、Re(A_i)分別表示復(fù)數(shù)向量A₁、A₂、A₃、A₄、A_i的實(shí)部，Im(A₁)、Im(A₂)、Im(A₃)、Im(A₄)、Im(A_i)分別表示復(fù)數(shù)向量A₁、A₂、A₃、A₄、A_i的虛部。

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比，具有如下優(yōu)點(diǎn)與有益效果：

由本發(fā)明所提方法的求解公式可知，本方法關(guān)鍵在于引入雙重傅里葉級(jí)數(shù)對非線性開關(guān)函數(shù)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開。采用本方法求逆變器狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)周期解析解，根據(jù)矩陣運(yùn)算和求線性方程(組)可以得出電路所有狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)周期解的解析表達(dá)式。相比較過去增加階次或迭代運(yùn)算的求解方法，本發(fā)明所提方法的求解過程結(jié)合了擾動(dòng)法和諧波平衡法的優(yōu)點(diǎn)。根據(jù)采用本發(fā)明所獲得的穩(wěn)態(tài)解的表達(dá)式包含直流分量、基波分量和各次諧波分量，可以直觀表明各分量對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)周期解的影響，有利于對逆變器特性展開更深入的分析。

附圖說明

圖1是一種SPWM單相逆變器電路模型。

圖2是開關(guān)導(dǎo)通關(guān)斷示意圖。

圖3是一種開環(huán)SPWM單相逆變器仿真模型輸出電容電壓的波形。

圖4是一種開環(huán)SPWM單相逆變器仿真模型輸出電感電流的波形。

圖5a為本發(fā)明方法與Matlab/Simulink仿真軟件中電容電壓v_c的對比圖。其中，橫坐標(biāo)為仿真的時(shí)間，縱坐標(biāo)表示電壓幅值。

圖5b為本發(fā)明方法與Matlab/Simulink仿真軟件中電容電壓v_c紋波的對比圖。其中，橫坐標(biāo)為仿真的時(shí)間，縱坐標(biāo)表示電壓幅值。

圖5c為本發(fā)明方法與Matlab/Simulink仿真軟件中電感電流i_L的對比圖。其中，橫坐標(biāo)為仿真的時(shí)間，縱坐標(biāo)表示電流幅值。

圖5d為本發(fā)明方法與Matlab/Simulink仿真軟件中電感電流i_L紋波的對比圖。其中，橫坐標(biāo)為仿真的時(shí)間，縱坐標(biāo)表示電流幅值。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合具體實(shí)施例對本發(fā)明作進(jìn)一步說明。

本實(shí)施例所提供的基于雙重傅里葉變換分析逆變器的方法，具體包括以下步驟：

S1、建立微分方程描述的逆變器的非線性數(shù)學(xué)模型

G₁(p)x+G₂(p)f＝u (1)

上式中x＝[i_L v_C]^T表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量向量，上標(biāo)T表示求矩陣轉(zhuǎn)置，i_L表示電感電流瞬時(shí)值，v_C表示電容電壓瞬時(shí)值，u表示輸入電壓向量；p表示微分算子p＝d/dt，G₁(p)、G₂(p)為系數(shù)矩陣；f＝δe為非線性矢量函數(shù)，δ為一個(gè)表征逆變器中受控開關(guān)通斷狀態(tài)的開關(guān)函數(shù)，當(dāng)該受控開關(guān)導(dǎo)通時(shí)δ＝1，當(dāng)該受控開關(guān)斷開時(shí)δ＝0，e為一個(gè)與輸入電壓有關(guān)的常向量。

S2、利用雙重傅里葉變換將非線性開關(guān)函數(shù)展開成級(jí)數(shù)形式

確立調(diào)制波和載波的數(shù)學(xué)表達(dá)式，將調(diào)制波和載波表達(dá)式代入雙重傅里葉變換的方程中并求解，得到非線性開關(guān)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式。具體步驟為：

S21、描述正弦調(diào)制波u^*(t)和三角載波u_tri(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為：

其中y＝ω₀t+θ₀，x＝ω_ct+θ_c；t為時(shí)間變量，M為調(diào)制比，ω₀為調(diào)制波的角頻率，θ₀為調(diào)制波的相位；ω_c為載波的角頻率，θ_c為載波的相位。由于ω_c＞＞ω₀，因此在一個(gè)載波周期內(nèi)，可以將調(diào)制波視為沒有變化的直流量。因此，認(rèn)為調(diào)制波在開關(guān)導(dǎo)通和關(guān)斷時(shí)刻的幅值是相同的。

S22、將調(diào)制波和載波的表達(dá)式代入雙重傅里葉變換方程中，同時(shí)考慮調(diào)制波頻率和載波頻率，可將非線性開關(guān)函數(shù)δ展開成如下式(3)所述級(jí)數(shù)形式：

其中：

式(4)中等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)表示開關(guān)函數(shù)的直流分量，第二項(xiàng)表示調(diào)制波影響下得到的諧波分量(n為調(diào)制波的諧波階數(shù)，n＝1時(shí)表示調(diào)制波的基頻分量)，第三項(xiàng)表示在載波影響下得到的諧波分量(m為載波的諧波階數(shù))，第四項(xiàng)表示在調(diào)制波和載波共同影響下得到的的邊帶諧波分量。

S3、利用等效小參量法得到逆變器的等效數(shù)學(xué)模型

利用等效小參量法求解S1中的非線性數(shù)學(xué)模型，得到描述逆變器的等效數(shù)學(xué)方程組，即逆變器的等效數(shù)學(xué)模型；該等效數(shù)學(xué)方程組包含一個(gè)求解系統(tǒng)狀態(tài)變量主振蕩分量的主振蕩微分方程，和一系列求系統(tǒng)狀態(tài)變量修正量的微分方程。

所述的等效小參量法的具體步驟為：

S31、將雙重傅里葉變換展開的開關(guān)函數(shù)δ表示成主振蕩分量和修正量之和的級(jí)數(shù)形式：其中δ₀表示開關(guān)函數(shù)的主振蕩分量，δ_i表示開關(guān)函數(shù)的第i階修正量，它們可根據(jù)具體開關(guān)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)來確定；

S32、將待求解的狀態(tài)變量x也表示成如下級(jí)數(shù)形式：其中x₀表示狀態(tài)變量的主振蕩分量，x_i表示狀態(tài)變量的第i階修正量，它們在具體的求解過程逐步確定；

S33、將δ的級(jí)數(shù)表達(dá)式代入非線性矢量函數(shù)f＝δe中，得到其中f₀表示非線性矢量函數(shù)的主振蕩分量，f_i表示非線性矢量函數(shù)的第i階修正量；

S34、將f₀表示為f₀＝f_0m+εR₁，將f_i表示為f_i＝f_im+εR_i+1,其中f_0m為f₀的主項(xiàng)，包含f₀中所有與x₀具有相同頻率成分的項(xiàng)，R₁為f₀的余項(xiàng)，包含f₀中所有與x₀具有不同頻率成分的項(xiàng)；類似的，f_im為f_i的主項(xiàng)，包含f_i中所有與x_i具有相同頻率成分的項(xiàng)，R_i+1為f_i的余項(xiàng)，包含f_i中所有與x_i具有不同頻率成分的項(xiàng)；

S35、將f₀＝f_0m+εR₁和f_i＝f_im+εR_i+1代入中,從而可將f表示為

在上述步驟S31～S35中，上標(biāo)或下標(biāo)i是一個(gè)整數(shù)，i＝1,2,……；ε是本方法所引入的一個(gè)小量標(biāo)記，例如εⁱx_i表明x_i是狀態(tài)變量x的第i階小量，當(dāng)在運(yùn)算過程中需要具體數(shù)值時(shí)ε＝1；

S36、將和代入到公式(1)中，并令等式兩邊具有相同εⁱ項(xiàng)的項(xiàng)分別相等，可得到描述逆變器的等效數(shù)學(xué)模型，如下式(5)：

上式(5)中的第1個(gè)分?jǐn)?shù)階微分方程用于求狀態(tài)變量的主振蕩分量x₀，稱為主振蕩方程；第2～n個(gè)分?jǐn)?shù)階微分方程用于求狀態(tài)變量的各階修正量x_i(i＝1,2,……n)，稱為修正量方程。

S4、利用諧波平衡法求逆變器系統(tǒng)狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)周期解

利用諧波平衡法逐步求解S3中等效數(shù)學(xué)方程組中的各個(gè)微分方程的穩(wěn)態(tài)解，得到逆變器系統(tǒng)狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)周期解的解析表達(dá)式。得到的穩(wěn)態(tài)解包含主振蕩分量和各階修正量，其中各階修正量由基波和各次諧波組成。所得到的以指數(shù)函數(shù)表示狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)周期解的近似數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

其中，A₁為基波的幅度向量，為其共軛；A_i為對應(yīng)次諧波的幅度向量，i＝2，3，……，n，為其共軛；m為載波的諧波階數(shù)；n為調(diào)制波的諧波階數(shù)；ω₀為調(diào)制波的角頻率，ω_c為載波的角頻率，t表示時(shí)間變量，j為虛數(shù)單位；公式(6)中的狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)周期解的數(shù)學(xué)表達(dá)式也能夠用三角函數(shù)的形式表示如下式(7)：

公式(7)中的Re(A₁)、Re(A₂)、Re(A₃)、Re(A₄)、Re(A_i)分別表示復(fù)數(shù)向量A₁、A₂、A₃、A₄、A_i的實(shí)部，Im(A₁)、Im(A₂)、Im(A₃)、Im(A₄)、Im(A_i)分別表示復(fù)數(shù)向量A₁、A₂、A₃、A₄、A_i的虛部。

下面以一種SPWM單相逆變器為實(shí)例，采用本發(fā)明上述提供的方法進(jìn)行運(yùn)算。

如圖1所示，為一種SPWM單相逆變器電路模型，對于圖1所述的SPWM單相逆變器，其電路參數(shù)為載波頻率fc＝10kHz，調(diào)制波頻率f₀＝50Hz，調(diào)制比M＝0.8，輸入電壓E＝60V，電感L＝14.2mH，電容C＝1.3μF，負(fù)載R＝100Ω。圖2為開關(guān)導(dǎo)通關(guān)斷示意圖；圖3為一種開環(huán)SPWM單相逆變器仿真模型輸出電容電壓的波形；圖4為一種開環(huán)SPWM單相逆變器仿真模型輸出電感電流的波形。

根據(jù)本發(fā)明方法的上述步驟求逆變器的主振蕩分量和各階修正量，可以得到逆變器的穩(wěn)態(tài)周期解析解的表達(dá)式為：

將本發(fā)明方法與Matlab/Simulink軟件在穩(wěn)態(tài)時(shí)狀態(tài)變量波形進(jìn)行比較，結(jié)果如圖5a、5b、5c、5d所示，仿真參數(shù)和符號(hào)分析法計(jì)算所采用的參數(shù)一致。圖中實(shí)線所示為本發(fā)明所提出方法的計(jì)算結(jié)果，虛線所示為Matlab/Simulink仿真軟件仿真結(jié)果。

從圖中可見兩條曲線擬合得很好，說明本發(fā)明所提出的方法是有效的。由解析解公式可以看出，采用本方法求逆變器狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)周期解析解，相當(dāng)于將求解微積分運(yùn)算的復(fù)雜過程轉(zhuǎn)化為矩陣運(yùn)算和求線性方程(組)的過程，只要將系數(shù)表達(dá)式代入各階修正量公式，通過簡單的矩陣運(yùn)算和消元就可以得到關(guān)于逆變器狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)解的表達(dá)式，通過該表達(dá)式可以清楚地看出狀態(tài)變量中的諧波成分，通過諧波幅值系數(shù)的表達(dá)式，可以看出各元件對逆變器狀態(tài)變量的影響。

以上所述實(shí)施例只為本發(fā)明之較佳實(shí)施例，并非以此限制本發(fā)明的實(shí)施范圍，故凡依本發(fā)明之形狀、原理所作的變化，均應(yīng)涵蓋在本發(fā)明的保護(hù)范圍內(nèi)。