本發(fā)明屬于地質(zhì)技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及一種復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模方法。

背景技術(shù)：

隨著油氣藏的不斷開發(fā)，三維地質(zhì)建模扮演著越來越重要的角色，它作為油氣藏勘探開發(fā)過程中最基礎(chǔ)最重要的研究工作，不僅可以為油氣藏開發(fā)過程提供重要資料，也可以讓地質(zhì)人員對地下地質(zhì)構(gòu)造有更準(zhǔn)確的認(rèn)知，因此，對于三維地質(zhì)建模技術(shù)的研究顯得愈發(fā)重要。三維地質(zhì)建模是以鉆孔數(shù)據(jù)、剖面圖等原始數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，建立能夠準(zhǔn)確反映出地下地質(zhì)構(gòu)造的數(shù)字化模型，作為三維地質(zhì)建模中最重要的部分，即構(gòu)造建模，它主要是通過對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行地震解釋得到一系列離散點(diǎn)數(shù)據(jù)，然后通過插值、曲面重構(gòu)等處理得到描述地下地質(zhì)構(gòu)造的封閉塊狀模型，即地質(zhì)構(gòu)造模型。隨著地質(zhì)勘探技術(shù)的不斷進(jìn)步，人們需要對地下地質(zhì)情況有更清楚、全面的認(rèn)知，而傳統(tǒng)的勘探技術(shù)和建模方法不能滿足人們更高的要求，因此，對于三維地質(zhì)構(gòu)造建模技術(shù)的研究是也顯得越來越重要。

在三維地質(zhì)構(gòu)造建模中，復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模的研究工作是非常有必要的，其復(fù)雜性主要體現(xiàn)在：地質(zhì)體受到一定強(qiáng)度的構(gòu)造應(yīng)力作用而發(fā)生形變，最后形成了斷層或褶皺，二者是復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造的主要代表。它們破壞了原始的地質(zhì)結(jié)構(gòu)，其中，斷層體現(xiàn)為地質(zhì)的不連續(xù)變形，根據(jù)其變形的趨勢分為正斷層、平移斷層、垂直斷層和逆斷層，而褶皺體現(xiàn)為地質(zhì)的連續(xù)變形。

盡管國內(nèi)外的眾多學(xué)者對復(fù)雜地質(zhì)體的三維構(gòu)造建模方法的研究越來越多，但人們對于復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模的研究主要是以斷層為主的構(gòu)造建模方法研究，即正斷層、平移斷層、垂直斷層和逆斷層?，F(xiàn)在，對于含斷層的復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模的方法也相對比較成熟，而對于含褶皺的復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模方法的研究相對甚少，目前為止，還沒有一種相對成熟的方法適用于所有含有褶皺的復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模。

隨著地質(zhì)學(xué)和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步與發(fā)展，三維地質(zhì)構(gòu)造建模已經(jīng)成為數(shù)字化與可視化重要的一方面，現(xiàn)在，國內(nèi)外的大量學(xué)者都投入到了復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模的深入研究工作當(dāng)中。其復(fù)雜性主要是由于地質(zhì)體受到構(gòu)造應(yīng)力的作用，使得地質(zhì)體發(fā)生形變，破壞了原始拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與地質(zhì)體的連續(xù)性，根據(jù)形變趨勢分為斷層與褶皺，二者是復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造的主要代表。

復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模的基本流程就是：根據(jù)地質(zhì)勘探人員獲取的原始點(diǎn)云數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用相關(guān)的地質(zhì)曲面重構(gòu)方法擬合出地質(zhì)界面，如層位曲面和斷層曲面。然后根據(jù)地質(zhì)曲面之間的拓?fù)潢P(guān)系和約束關(guān)系，對地質(zhì)層面模型進(jìn)行有規(guī)則的裁剪，最后以斷層曲面為邊界構(gòu)建出封閉的塊狀地質(zhì)模型。

在地質(zhì)領(lǐng)域的曲面重構(gòu)方法基本思想就是：對種子點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值處理，再采用傳統(tǒng)的網(wǎng)格剖分方法：即進(jìn)行連接多邊形、剖分三角形等處理，最后完成地質(zhì)曲面重構(gòu)。由于地質(zhì)原始數(shù)據(jù)的稀疏性，若僅僅采用原始點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行曲面擬合，重構(gòu)出地質(zhì)曲面可能會比較凹凸不平、粗糙，為了構(gòu)造更加光順的地質(zhì)曲面，需要利用網(wǎng)格剖分的技術(shù)進(jìn)行曲面重構(gòu)，而網(wǎng)格剖分需要首先利用空間插值技術(shù)。地質(zhì)領(lǐng)域內(nèi)常用的空間插值方法主要有反比距離加權(quán)法、克里金等。常用的空間曲面網(wǎng)格剖分技術(shù)一般分為矩形網(wǎng)格剖分和三角網(wǎng)格剖分，由于通過三角形去描述平面和曲面的形態(tài)可以適用于任何復(fù)雜的情況下，所以，在地質(zhì)曲面擬合中會更多的采用三角剖分的方法。

1989年，Mallet等人提出了離散光滑插值方法，并把該方法運(yùn)用到三維構(gòu)造建模當(dāng)中，這是復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模中一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)。1992年，Mallet將該技術(shù)運(yùn)用到幾何模型的構(gòu)建。Lorensen等人在1987年提出了Marching Cubes算法，并且該方法在構(gòu)造等值面得到了廣泛的應(yīng)用。2002年，袁國棟等人將Marching Cubes算法運(yùn)用到了Marching Cubes算法曲面重構(gòu)算法當(dāng)中。2008年，魏嘉等人結(jié)合了Marching Cubes算法和約束Delaunay三角剖分算法并運(yùn)用于地質(zhì)曲面的重建，取得了較好的效果。在完成地質(zhì)曲面重構(gòu)后，為了構(gòu)建最后的封閉塊狀地質(zhì)模型，需要根據(jù)地質(zhì)曲面之間的約束關(guān)系和拓?fù)潢P(guān)系對曲面進(jìn)行裁剪處理，Euler等人提供了完整的方法去確定空間曲面的約束關(guān)系和拓?fù)潢P(guān)系。

對于復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模，國內(nèi)外眾多學(xué)者研究最多的還是以斷層為主的復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模，其中最重要最基礎(chǔ)的研究工作就是斷面模型的成功構(gòu)建。2006年，徐能熊等人提出了基于六面體網(wǎng)格剖分的復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模，并取得了較好的效果。2007年，候衛(wèi)生等人提出線框單元體的方法，為封閉地質(zhì)塊狀模型的構(gòu)建提供了新的思路。2012年，石玉成等人提出了“點(diǎn)-線-面-體”四步法進(jìn)行斷層構(gòu)造建模。2014年，王威等人通過約束Delaunay三角剖分的方法重構(gòu)出地質(zhì)層面和斷層面，最后采用一定的規(guī)則將其拼接起來形成了封閉塊狀地質(zhì)體模型。

對于復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造的另一種情況，即倒轉(zhuǎn)褶皺，國內(nèi)外的學(xué)者對此的研究相對甚少，2000年，韋宏鵠等人提出了分塊建模的方法來進(jìn)行倒轉(zhuǎn)構(gòu)造建模，即將地層劃分為三個(gè)部分，然后對每一個(gè)部分采用不用的構(gòu)造建模方法，最后將這三個(gè)部分合成后即可得到多地層褶皺構(gòu)造的封閉地質(zhì)體模型。但是該方法的缺點(diǎn)就是最后在合成三個(gè)部分的時(shí)候，邊界會出現(xiàn)問題。

目前為止，對于復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造的三維建模，國內(nèi)外的眾多學(xué)者研究最多的復(fù)雜構(gòu)造往往都是以地質(zhì)斷層為主，即正斷層、平移斷層、垂直斷層和逆斷層。而對于倒轉(zhuǎn)這種復(fù)雜地質(zhì)的三維構(gòu)造建模技術(shù)的研究甚少，曾經(jīng)有學(xué)者提出了在倒轉(zhuǎn)地質(zhì)構(gòu)造的情況下，采用分塊建模的方法，即將地層分為3個(gè)部分，使得每個(gè)部分都沒有多重值的情況，然后對每一部分采用不同的建模方法，最后將3個(gè)部分合并后即可得到倒轉(zhuǎn)構(gòu)造的封閉塊狀模型。但是由于該方法中最后在合并3個(gè)部分的時(shí)候，邊界會出現(xiàn)問題，所以此方法是有缺陷的。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明為解決上述技術(shù)問題，提出了一種基于稀疏點(diǎn)云曲面重構(gòu)的復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模方法，在成功構(gòu)建出層位模型后，根據(jù)一定的規(guī)則對其側(cè)面進(jìn)行封閉處理，最后得到封閉的倒轉(zhuǎn)地質(zhì)構(gòu)造塊狀模型，解決了倒轉(zhuǎn)地質(zhì)三維構(gòu)造建模的問題。

本發(fā)明采用的技術(shù)方案是：一種基于稀疏點(diǎn)云曲面重構(gòu)的復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模方法，包括：

S1、選取投影平面；

S2、在步驟S1選取的投影平面上進(jìn)行Delaunay三角網(wǎng)連接得到二維的三角網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；

S3、通過原始種子點(diǎn)與投影點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系恢復(fù)出三維空間的三角網(wǎng)，完成三維空間倒轉(zhuǎn)地質(zhì)曲面重構(gòu)。

進(jìn)一步地，所述步驟S1包括以下分步驟：

S11、建立投影平面，用于將原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)垂直投影到該平面上；

S12、建立最優(yōu)化模型，將投影點(diǎn)之間的最小距離最大化；

S13、將步驟S12的最優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為極小化極大值問題；

S14、根據(jù)凸函數(shù)定義求解步驟S13得到的極小化極大值問題，得到最佳投影平面。

更進(jìn)一步地，所述步驟S11還包括：所述投影平面滿足：

(1)無重值點(diǎn)；任意兩個(gè)投影點(diǎn)的距離均大于0；

(2)順序約束關(guān)系；依次遍歷相鄰3個(gè)原始種子點(diǎn)對應(yīng)的3個(gè)投影點(diǎn)，第一個(gè)投影點(diǎn)與第三個(gè)投影點(diǎn)的距離大于第一個(gè)投影點(diǎn)與第二個(gè)投影點(diǎn)的距離，且第一個(gè)投影點(diǎn)與第三個(gè)投影點(diǎn)的距離大于第二個(gè)投影點(diǎn)與第三個(gè)投影點(diǎn)的距離。

更進(jìn)一步地，所述步驟S12的最優(yōu)化模型具體為：

目標(biāo)變量：b

目標(biāo)函數(shù)：min(d(p_i,p_j))→max，i＝1,2,…,n；j＝1,2,…,n；i≠j

約束條件：d(p_i,p_j)>0，i＝1,2,…,n；j＝1,2,…,n；i≠j

d(p_j-1,p_j+1)-d(p_j-1,p_j)>0，j＝2,3,…,n_i-1；i＝1,2,…,m

d(p_j-1,p_j+1)-d(p_j,p_j+1)>0，j＝2,3,…,n_i-1；i＝1,2,…,m

其中，b表示目標(biāo)變量，d(p_i,p_j)表示第i個(gè)投影點(diǎn)和第j個(gè)投影點(diǎn)之間的距離，n_i表示每個(gè)剖面的種子點(diǎn)數(shù)，m表示剖面的個(gè)數(shù)。

更進(jìn)一步地，所述步驟S13具體包括以下分步驟：

S131、根據(jù)倒轉(zhuǎn)地質(zhì)構(gòu)造的種子點(diǎn)數(shù)據(jù)的特性，單個(gè)剖面上的種子點(diǎn)之間的距離相對比較密集，而剖面與剖面之間的種子點(diǎn)之間距離相對比較稀疏，將步驟S12的最優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為單個(gè)剖面上相鄰兩個(gè)種子點(diǎn)對應(yīng)的投影點(diǎn)之間的距離的最小值問題；

S132、根據(jù)約束條件：任意兩個(gè)投影點(diǎn)的距離均大于0，可知相鄰兩個(gè)投影點(diǎn)之間的距離大于0，將步驟S131的單個(gè)剖面上相鄰兩個(gè)種子點(diǎn)對應(yīng)的投影點(diǎn)之間的距離的最小值問題，轉(zhuǎn)化為單個(gè)剖面上相鄰兩個(gè)種子點(diǎn)對應(yīng)的投影點(diǎn)之間的距離的倒數(shù)的最大值最小化問題；

S133、根據(jù)任意兩個(gè)投影點(diǎn)之間的距離與它們的縱坐標(biāo)之差是成正比，將步驟S132的單個(gè)剖面上相鄰兩個(gè)種子點(diǎn)對應(yīng)的投影點(diǎn)之間的距離的倒數(shù)的最大值最小化問題，轉(zhuǎn)化為單個(gè)剖面上相鄰兩個(gè)種子點(diǎn)對應(yīng)的投影點(diǎn)之間的距離的極大值極小化問題。

更進(jìn)一步地，所述步驟S14具體為：基于縱坐標(biāo)依次增大，原始種子點(diǎn)對應(yīng)的投影點(diǎn)各自的縱坐標(biāo)依次增大，得到投影平面的有效范圍，即得到最佳投影平面。

本發(fā)明的有益效果：本發(fā)明首次提出了對于倒轉(zhuǎn)地質(zhì)構(gòu)造的處理方法，考慮倒轉(zhuǎn)地質(zhì)構(gòu)造中的地質(zhì)層位在部分區(qū)域存在多重值的情況，不能采用傳統(tǒng)的網(wǎng)格方法進(jìn)行處理；因此提出了投影平面的思想，即將原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)垂直投影到某個(gè)平面上，在平面上進(jìn)行Delaunay三角網(wǎng)連接，然后通過種子點(diǎn)與投影點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系恢復(fù)出空間三角網(wǎng)，從而完成復(fù)雜地質(zhì)曲面重構(gòu)，其中將投影平面的選取轉(zhuǎn)換為最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并再將其轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題及進(jìn)行快速求解；本發(fā)明的方法。

附圖說明

圖1為本發(fā)明實(shí)施例倒轉(zhuǎn)地質(zhì)曲面重構(gòu)流程圖；

圖2為本發(fā)明實(shí)施倒轉(zhuǎn)投影重值點(diǎn)示意圖；

圖3為本發(fā)明實(shí)施倒轉(zhuǎn)投影順序約束關(guān)系示意圖；

圖4為本發(fā)明實(shí)施多個(gè)剖面倒轉(zhuǎn)原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)示意圖；

圖5為本發(fā)明實(shí)施各個(gè)剖面的投影點(diǎn)數(shù)據(jù)示意圖；

圖6為本發(fā)明實(shí)施平行投影平面示意圖。

具體實(shí)施方式

為便于本領(lǐng)域技術(shù)人員理解本發(fā)明的技術(shù)內(nèi)容，下面結(jié)合附圖對本發(fā)明內(nèi)容進(jìn)一步闡釋。

如圖1所示為本發(fā)明的方案流程圖，本發(fā)明提出一種基于稀疏點(diǎn)云曲面重構(gòu)的復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造建模方法，包括：

S1、選取投影平面；并且將原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)垂直投影到該投影平面上，該投影平面必須滿足兩個(gè)約束條件：

(1)無多重值點(diǎn)，即不能含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)垂直投影到投影平面上后，其投影點(diǎn)完全重合，即投影點(diǎn)坐標(biāo)完全一樣。如圖2所示，A，B，C，D，C1，B1，C2，D1，E所代表的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)為倒轉(zhuǎn)層位的原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)，B’，C’，D’所代表的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)為投影點(diǎn)數(shù)據(jù)，L為投影直線(在二維平面上就是投影平面)。在對原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行垂直投影出來后，B和B1的投影點(diǎn)都是B’，C、C1和C2的投影點(diǎn)都是C’，D和D1的投影點(diǎn)都是D’，這都不符合約束條件(1)，即該投影平面L(即圖2中的直線)是無效的。

無多重值點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上可以表達(dá)為任意兩個(gè)投影點(diǎn)的距離都大于0，即，d(p_i,p_j)>0，i＝1,2,…,n；j＝1,2,…,n；i≠j，其中，d(p_i,p_j)表示第i個(gè)投影點(diǎn)和第j個(gè)投影點(diǎn)之間的距離，n表示投影點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

(2)順序約束關(guān)系。即原始種子點(diǎn)的順序必須與對應(yīng)的投影點(diǎn)的順序必須保持一致。如圖3所示，點(diǎn)1,2,3,4,5,6為倒轉(zhuǎn)地質(zhì)構(gòu)造的原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)，點(diǎn)1′,2′,3′,4′,5′,6′為對應(yīng)的投影點(diǎn)數(shù)據(jù)，L為投影直線(二維上就是投影平面)，原始種子點(diǎn)的順序就是1,2,3,4,5,6，而投影點(diǎn)的順序是1′,2′,5′,4′,3′,6′，顯然與原始種子點(diǎn)的順序不一致，不符合約束條件(2)，因此，該投影平面(直線)是無效的。

順序約束關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可以表達(dá)為：對于每個(gè)剖面，依次遍歷相鄰3個(gè)原始種子點(diǎn)對應(yīng)的3個(gè)投影點(diǎn)，第一個(gè)點(diǎn)與第三個(gè)點(diǎn)的距離大于第一個(gè)點(diǎn)與第二個(gè)點(diǎn)的距離，且第一個(gè)點(diǎn)與第三個(gè)點(diǎn)的距離大于第二個(gè)點(diǎn)與第三個(gè)點(diǎn)的距離；即，d(p_j-1,p_j+1)-d(p_j-1,p_j)>0，d(p_j-1,p_j+1)-d(p_j,p_j+1)>0，j＝2,3,…,n_i-1i＝1,2,…,m；p_j-1,p_j,p_j+1為相鄰的3個(gè)原始種子點(diǎn)對應(yīng)的3個(gè)投影點(diǎn)，n_i表示每個(gè)剖面的種子點(diǎn)數(shù)，m表示剖面的個(gè)數(shù)。

在滿足約束條件(1)和(2)后，可能會存在多個(gè)投影平面，而選擇哪一個(gè)投影平面比較好是一個(gè)難點(diǎn)。如果在投影平面上的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)之間盡量分得開，即投影點(diǎn)之間的距離盡可能的大，這樣在投影平面上構(gòu)建Delaunay三角網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的效果比較好，根據(jù)原始點(diǎn)與投影點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系恢復(fù)出空間三角網(wǎng)后，曲面擬合的效果也比較好。而這里投影平面上離散點(diǎn)數(shù)據(jù)之間盡量分得開，即為投影平面上離散點(diǎn)之間最小距離最大化的那個(gè)投影平面是最佳的，最后曲面擬合的效果最優(yōu)。

如圖4所示，該圖是多個(gè)剖面的倒轉(zhuǎn)原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)分布圖，圖中只畫出了3個(gè)剖面的種子數(shù)據(jù)，3個(gè)平面相互平行，從左往右分別是剖面1的種子點(diǎn)數(shù)據(jù)，剖面2的種子點(diǎn)數(shù)據(jù)，剖面3的種子點(diǎn)數(shù)據(jù)。其中，每個(gè)剖面的種子點(diǎn)數(shù)據(jù)是有順序關(guān)系的，根據(jù)原始種子點(diǎn)的順序A，B，C，D，E，F(xiàn)，G；剖面1中投影點(diǎn)的順序?yàn)锳1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1，G1；剖面2中投影點(diǎn)的順序?yàn)锳2，B2，C2，D2，E2，F(xiàn)2，G2；剖面3中投影點(diǎn)的順序?yàn)锳3，B3，C3，D3，E3，F(xiàn)3，G3。

由上述描述可知，倒轉(zhuǎn)構(gòu)造的原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)所在的剖面相互平行，假設(shè)都平行于xoy平面。為了簡單處理，假設(shè)投影平面垂直于平面，即投影平面的方程為ax+by+c＝0。由于原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)所在的剖面均平行于xoy平面，所以每個(gè)剖面的種子點(diǎn)數(shù)據(jù)投影到平面后的投影點(diǎn)數(shù)據(jù)都在同一條直線上。如圖5所示，該圖為各個(gè)剖面的投影點(diǎn)數(shù)據(jù)示意圖，圖中畫出了3個(gè)剖面中種子點(diǎn)數(shù)據(jù)對應(yīng)的投影點(diǎn)數(shù)據(jù)，每一列的圓點(diǎn)為對應(yīng)剖面的投影點(diǎn)數(shù)據(jù)，從左往右依次是：剖面1的投影點(diǎn)，剖面2的投影點(diǎn)，剖面3的投影點(diǎn)；可以明顯看出每個(gè)剖面的種子點(diǎn)數(shù)據(jù)對應(yīng)的投影點(diǎn)數(shù)據(jù)都在同一條直線上。

因此可以只考慮單一剖面上的種子點(diǎn)數(shù)據(jù)向投影直線的投影情況，且每個(gè)剖面都做相似的處理。如果每個(gè)剖面的投影數(shù)據(jù)都滿足上述兩個(gè)約束條件，則所有原始種子點(diǎn)的投影數(shù)據(jù)都會滿足上述兩個(gè)約束條件。相當(dāng)于把二維平面的投影問題轉(zhuǎn)化為一維直線上的投影問題，這樣就會更便于處理。

如圖6所示，該圖為單個(gè)剖面上的種子點(diǎn)數(shù)據(jù)與一維投影直線的對應(yīng)圖，L1和L2是兩條相互平行的投影直線(單個(gè)剖面實(shí)際上就是投影直線)，曲線上的點(diǎn)是原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)，L1和L2上的點(diǎn)是投影點(diǎn)。假設(shè)L1滿足上述兩個(gè)約束條件，由于原始種子點(diǎn)是垂直投影到平面上，則L2也一定滿足上述兩個(gè)約束條件，這是因?yàn)閮蓷l投影直線上的投影點(diǎn)數(shù)據(jù)之間的相對位置不會改變。為了方便處理，可以假設(shè)投影直線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)投影直線的方程為ax+by＝0，對投影方程做歸一化處理后，即為x+by＝0。又由于投影平面垂直于xoy平面，所以可以假設(shè)投影平面是π，其方程為x+by＝0。

在對投影方程做歸一化處理后，本質(zhì)上就是排除了y＝0這個(gè)平面，即xoz平面，如圖6所示，根據(jù)倒轉(zhuǎn)構(gòu)造的種子點(diǎn)數(shù)據(jù)的分布特征，若選取y＝0這個(gè)投影平面，投影點(diǎn)數(shù)據(jù)一定不會滿足上述兩個(gè)約束條件，這表明直接排除y＝0這個(gè)投影平面的情況是可行的。所以，我們假定投影平面π的方程為y＝0是可行的。

在選取投影平面后，將原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)垂直投影到該選取的投影平面上，為了使得空間曲面擬合的效果盡可能的好，就需要投影平面上的Delaunay三角網(wǎng)連接的效果盡可能的好。如果投影點(diǎn)數(shù)據(jù)盡可能的分開些，即投影點(diǎn)與投影點(diǎn)之間的距離盡可能的大，也就是說投影點(diǎn)與投影點(diǎn)之間的最小距離最大化，即選出最佳投影平面，那么該投影平面上進(jìn)行Delaunay三角網(wǎng)連接后的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)效果最佳，即最后通過一一對應(yīng)關(guān)系恢復(fù)出空間三角網(wǎng)后，倒轉(zhuǎn)曲面的三角網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的效果最好，最后擬合出的倒轉(zhuǎn)地質(zhì)曲面效果最佳。

本申請中具體的選取最佳投影平面的計(jì)算過程為：

假設(shè)原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)總共有n個(gè)，分布在m個(gè)剖面，每個(gè)剖面的的種子點(diǎn)數(shù)目為n_x，其中，x表示剖面的個(gè)數(shù)，x＝1,2,L,m。為了尋找最佳的投影平面π，本申請建立一個(gè)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

目標(biāo)變量：b

目標(biāo)函數(shù)：min(d(p_i,p_j))→max i＝1,2,…,n；j＝1,2,…,n；i≠j

約束條件：d(p_i,p_j)>0 i＝1,2,…,n；j＝1,2,…,n；i≠j

d(p_j-1,p_j+1)-d(p_j-1,p_j)>0 j＝2,3,…,n_i-1i＝1,2,…,m

d(p_j-1,p_j+1)-d(p_j,p_j+1)>0 j＝2,3,…,n_i-1i＝1,2,…,m

其中，目標(biāo)變量b為投影平面方程x+by＝0中的系數(shù)，d(p_i,p_j)表示任意第i個(gè)投影點(diǎn)和第j個(gè)投影點(diǎn)之間的距離。

在上述最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中，本申請的目標(biāo)函數(shù)是投影點(diǎn)與投影點(diǎn)之間的最小距離最大化，即：

min(d(p_i,p_j))→max (1)

其中，d(p_i,p_j)表示第i個(gè)投影點(diǎn)和第j個(gè)投影之間的距離。

由于倒轉(zhuǎn)地質(zhì)構(gòu)造的種子點(diǎn)數(shù)據(jù)的特殊性：單個(gè)剖面上的種子點(diǎn)之間的距離相對比較密集，而剖面與剖面之間的距離相對比較稀疏。所以，不用考慮兩個(gè)剖面的種子點(diǎn)對應(yīng)的投影點(diǎn)之間的最小距離(因?yàn)槠拭媾c剖面之間的距離足夠大)，而只考慮單個(gè)剖面上種子點(diǎn)對應(yīng)的投影點(diǎn)之間的最小距離，即單個(gè)剖面上相鄰兩個(gè)種子點(diǎn)對應(yīng)的投影點(diǎn)之間的距離的最小值。則式(1)可以轉(zhuǎn)換為：

min(d(p_i,p_i+1))→max (2)

其中，d(p_i,p_i+1)表示相鄰兩個(gè)投影點(diǎn)之間的距離，由于相鄰兩個(gè)投影點(diǎn)之間的距離是大于0的，所以式(2)可以轉(zhuǎn)換為距離的倒數(shù)的最大值最小化，即：

由于兩個(gè)投影點(diǎn)之間的距離與它們的縱坐標(biāo)之差是成正比的，所以式(3)可進(jìn)一步表示為：

其中，y′_i,i+1表示每個(gè)剖面相鄰兩個(gè)投影點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差，即：

y′_i,i+1＝y(tǒng)′_i+1-y′_i (5)

由式(4)可以得出，上述最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換為了極大值極小化問題。

根據(jù)投影點(diǎn)坐標(biāo)公式將其帶入到式(5)中，得到：

繼續(xù)化簡，得：

其中令：x＝x_i-x_i+1，y＝y(tǒng)_i-y_i+1

則式(7)可以化簡為：

將式(8)代入到目標(biāo)函數(shù)中，即式(4)中，得到新的目標(biāo)函數(shù)：

在基于縱坐標(biāo)依次增大的方法中，有順序的原始種子點(diǎn)對應(yīng)的投影點(diǎn)在縱坐標(biāo)依次增大，即：

y′₁<y′₂<y′₃<…<y′_n-1<y′_n (10)

根據(jù)式(10)可以得到投影平面的有效范圍，即b的有效范圍。

通過將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，可以快速求解，得到最佳投影平面；所述凸優(yōu)化問題是指目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，且由約束條件得到的定義域?yàn)橥辜淖顑?yōu)化問題。下面通過凸函數(shù)的定義證明目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，具體過程為：

由式(10)可以得到，后一個(gè)投影點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)比前一個(gè)投影點(diǎn)大，即：

y′_i,i+1＝y(tǒng)′_i+1-y′_i>0 (11)

結(jié)合式(8)和式(11)可以推出

bx-y>0 (12)

在目標(biāo)函數(shù)只有b一個(gè)自變量，所以可以令：

要想證明目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可以轉(zhuǎn)換為證明目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)大于或等于0，即需先證明目標(biāo)函數(shù)中的g(b)的二階導(dǎo)數(shù)大于或等于0，下面，計(jì)算g(b)的一階導(dǎo)數(shù)，即：

繼續(xù)化簡，得：

下面，計(jì)算g(b)的二階導(dǎo)數(shù)，即：

繼續(xù)化簡，得：

最后化簡，得：

再結(jié)合式(12)可得：

g”(b)>0 (19)

所以，證明了g(b)是嚴(yán)格凸函數(shù)。根據(jù)凸函數(shù)的定義可知，對于自變量b的定義域中任意兩點(diǎn)b₁與b₂和任意實(shí)數(shù)θ，其中0<θ<1，有：

g(θb₁+(1-θ)b₂)≤θg(b₁)+(1-θ)g(b₂) (20)

對于目標(biāo)函數(shù)，即式(9)，可以轉(zhuǎn)換為：

max{g₁(b),g₂(b),…,g_n(b)}→min (21)

其中g(shù)_i(b),i＝1,2,…,n表示相鄰兩個(gè)原始種子點(diǎn)對應(yīng)的投影點(diǎn)的距離的倒數(shù)，且g_i(b)已經(jīng)證明是關(guān)于變量b的凸函數(shù)。下面，證明式(21)中的目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，設(shè)目標(biāo)函數(shù)為：

f(b)＝max{g₁(b),g₂(b),…,g_n(b)} (22)

下面根據(jù)定義來證明該函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)，對于自變量b的定義域內(nèi)的任意兩點(diǎn)b₁與b₂和任意的實(shí)數(shù)θ，其中0<θ<1：

再結(jié)合式(20)，有：

提取出公因子θ和1-θ，可得：

f(θb₁+(1-θ)b₂)≤θf(b₁)+(1-θ)f(b₂) (27)

所以，根據(jù)凸函數(shù)的定義，證明了目標(biāo)函數(shù)(22)是凸函數(shù)。根據(jù)基于縱坐標(biāo)依次增大的方法，可以得到最后b的有效范圍在一個(gè)線性區(qū)間內(nèi)，即其定義域是凸集。

本發(fā)明提出了一種新的曲面重構(gòu)方法，即通過投影平面的思想：首先在空間上找到一個(gè)新的平面，并且將原始種子點(diǎn)數(shù)據(jù)垂直投影到該平面上，其中必須滿足兩個(gè)約束條件：(1)無多重值，(2)順序約束關(guān)系。然后在平面上進(jìn)行Delaunay三角網(wǎng)連接得到二維的三角網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，最后通過原始點(diǎn)與投影點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系恢復(fù)出三維空間的三角網(wǎng)，即完成了三維空間倒轉(zhuǎn)地質(zhì)曲面重構(gòu)。包括：

S2、在步驟S1選取的投影平面上進(jìn)行Delaunay三角網(wǎng)連接得到二維的三角網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；

S3、通過原始種子點(diǎn)與投影點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系恢復(fù)出三維空間的三角網(wǎng)，完成三維空間倒轉(zhuǎn)地質(zhì)曲面重構(gòu)。

在平面上進(jìn)行Delaunay三角網(wǎng)連接得到二維的三角網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，最后通過原始點(diǎn)與投影點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系恢復(fù)出三維空間的三角網(wǎng)，即完成了三維空間倒轉(zhuǎn)地質(zhì)曲面重構(gòu)，這部分為現(xiàn)有的常規(guī)技術(shù)，不是本申請的重點(diǎn)內(nèi)容，不做詳細(xì)說明。詳細(xì)的過程可以參考以下文獻(xiàn)：

D.T.Lee,B.J.Schachter.Two algorithms for constructing a Delaunay triangulation[J].International Journal of Computer and Information Sciences,1980,2(9):219-242.

T.K.Dey,J.Giesen.Detecting undersampling in surface reconstruction[M].Discrete and Computational Geometry.Springer Berlin Heidelberg,2003,329-345

徐守乾,朱延娟.稀疏點(diǎn)云的曲面重構(gòu)[J].中國制造業(yè)信息化:學(xué)術(shù)版,2011,40(2):35-38

魏嘉,唐杰,岳承祺,等.三維地質(zhì)構(gòu)造建模技術(shù)研究[J].石油物探,2008,47(4):319-327

本領(lǐng)域的普通技術(shù)人員將會意識到，這里所述的實(shí)施例是為了幫助讀者理解本發(fā)明的原理，應(yīng)被理解為本發(fā)明的保護(hù)范圍并不局限于這樣的特別陳述和實(shí)施例。對于本領(lǐng)域的技術(shù)人員來說，本發(fā)明可以有各種更改和變化。凡在本發(fā)明的精神和原則之內(nèi)，所作的任何修改、等同替換、改進(jìn)等，均應(yīng)包含在本發(fā)明的權(quán)利要求范圍之內(nèi)。