本發(fā)明屬于計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及一種基于最小角度消除并且自動(dòng)保持特征的重新網(wǎng)格化方法。

背景技術(shù)：

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域，三角網(wǎng)格是三維幾何表示中最基本和使用最廣泛的形式。目前三角網(wǎng)格模型的獲取手段主要包括三維掃描重建，等值面提取(比如Marching Cube)，連續(xù)曲面的離散化，或者計(jì)算機(jī)視覺方法重建(比如Visual Hull)等。但是，這些網(wǎng)格往往具有幾何采樣不合理、存在大量狹長或者退化的三角形等缺點(diǎn)，不能直接用于比如有限元模擬、計(jì)算機(jī)動(dòng)畫等高級應(yīng)用。重新網(wǎng)格化(Remeshing)，或者叫網(wǎng)格重剖，是在輸入網(wǎng)格的基礎(chǔ)上,在保持拓?fù)湫畔⒉蛔兊那疤嵯聦W(wǎng)格的頂點(diǎn)采樣、連接關(guān)系、面片形狀等進(jìn)行重構(gòu),從而獲得滿足用戶或應(yīng)用需求的結(jié)果。

一個(gè)高質(zhì)量的網(wǎng)格模型，應(yīng)該滿足以下標(biāo)準(zhǔn)：(1)網(wǎng)格多邊形質(zhì)量高(內(nèi)角差異較小)；(2)網(wǎng)格與原輸入曲面的幾何誤差較小(例如Hausdorff距離小)；(3)方向保持，即網(wǎng)格邊需要沿著特征、曲率或者用戶指定的方向進(jìn)行分布；(4)特征對齊，即模型上的特征需要被正確地表示為連續(xù)的網(wǎng)格邊。我們從網(wǎng)格質(zhì)量、逼近誤差、特征保持等幾個(gè)方面調(diào)研并敘述重新網(wǎng)格化的研究現(xiàn)狀。

1、質(zhì)量驅(qū)動(dòng)的網(wǎng)格優(yōu)化

目前，高質(zhì)量的網(wǎng)格生成方法主要基于采樣和CVT優(yōu)化[Du99]。早期的方法主要在參數(shù)域中使用二維CVT進(jìn)行優(yōu)化，然后將結(jié)果映射到三維空間中[Alliez03,Alliez08,Fuhrmann10]；[Vorsatz03]則在參數(shù)域中采用粒子系統(tǒng)方法來取代CVT優(yōu)化。一般來說，基于參數(shù)化的方法在生成高虧格的曲面時(shí)，通常會(huì)面臨扭曲以及需要將參數(shù)曲面進(jìn)行拼接等問題，導(dǎo)致拼接邊界處網(wǎng)格質(zhì)量較低。[Yan09,Yan15b]通過直接計(jì)算網(wǎng)格表面的三維CVT來避免參數(shù)化過程。此外，基于藍(lán)噪聲采樣，他們使用自適應(yīng)最大泊松盤采樣[Yan13]和最遠(yuǎn)點(diǎn)優(yōu)化進(jìn)一步提高網(wǎng)格的質(zhì)量[Yan14]。但是，這些方法同樣也有其局限性，比如，幾何保真度和最小三角形角度都不能進(jìn)行顯式控制。同時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)特征保持，上述方法均需要提前檢測或者手工指定特征邊和特征點(diǎn)。

為了避免參數(shù)域方法引起的縫合問題，一些學(xué)者研究直接在網(wǎng)格表面進(jìn)行操作[Frey00,Narain12]。其中，[Botsch04]提出了一種基于局部操作算子的網(wǎng)格優(yōu)化方法。該方法以邊界長度作為輸入，通過不斷地分離長邊、合并短邊、均衡點(diǎn)的度數(shù)以及調(diào)整點(diǎn)的位置，直到所有邊都近似滿足設(shè)定的長度。[Dunyach13]使用基于局部曲率確定的自適應(yīng)的邊長度來取代固定的目標(biāo)邊長度，將該方法擴(kuò)展到自適應(yīng)的版本。這類方法既不需要表面參數(shù)化過程又不需要密度函數(shù)，具有易于實(shí)現(xiàn)、適于高虧格網(wǎng)格以及高效率的優(yōu)點(diǎn)。

2、誤差驅(qū)動(dòng)的網(wǎng)格優(yōu)化

該類方法試圖在幾何保真度和網(wǎng)格復(fù)雜度之間取得最佳平衡，即在滿足誤差要求的前提下，使得網(wǎng)格復(fù)雜度盡量降低。[Cohen04]提出了一種誤差驅(qū)動(dòng)的聚類方法來簡化網(wǎng)格，他們把網(wǎng)格簡化問題轉(zhuǎn)換為變分幾何分割問題，通過Lloyd迭代方法來優(yōu)化一系列的平面，以獲得預(yù)先定義的近似誤差。[Garland97]通過迭代地收縮頂點(diǎn)對來簡化模型，并通過二次型函數(shù)度量來維持表面的近似誤差。[Borouchaki05]定義了Hausdorff信封來度量保真度，簡化和優(yōu)化處于包圍體內(nèi)部的參考網(wǎng)格。雖然該方法同時(shí)考慮了幾何保真度和元素質(zhì)量，但是沒有顯式地提高最小網(wǎng)格化角度。本項(xiàng)目擬在保證最小網(wǎng)格化角度和給定誤差界限的前提下，盡可能地降低網(wǎng)格的復(fù)雜度，進(jìn)而達(dá)到三者的最佳平衡?；谌菁{體的概念，[Mandad15]提出了一種同胚形體近似方法。使用該算法生成的三角形網(wǎng)格都處于給定的容納體內(nèi)部。容納體的誤差約束類似于重新網(wǎng)格化中的誤差界限。但是，該方法主要解決的是網(wǎng)格的同胚逼近問題，并沒有考慮元素的質(zhì)量問題。

3、網(wǎng)格優(yōu)化中的特征保持

特征保持是重新網(wǎng)格化算法需要重點(diǎn)解決的問題之一。但是三維網(wǎng)格模型的特征不僅取決于局部區(qū)域的幾何形狀，而且涉及到局部區(qū)域的上下文以及模型的語義信息。這使得特征檢測成為一個(gè)極難解決的問題。雖然已有文獻(xiàn)[Jiao02,Kolomenkin09]試圖解決該問題，但目前尚沒有一種方法對所有網(wǎng)格都有效。因此，很多重新網(wǎng)格化方法[Yan09,Zhong13]假定特征已被顯式地檢測或者手工定義出來。少量方法[Kobbelt03,Lévy10]視圖隱式地保持特征，例如，[Vorsatz01]首先在參數(shù)域中優(yōu)化包括特征點(diǎn)在內(nèi)的網(wǎng)格頂點(diǎn)，然后重新將特征點(diǎn)恢復(fù)到原來位置以實(shí)現(xiàn)特征保持。因?yàn)榫W(wǎng)格優(yōu)化和特征保持過程分開進(jìn)行單獨(dú)處理，靠近尖銳特征的網(wǎng)格形狀質(zhì)量會(huì)變差。[Valette08]為了消除這個(gè)缺陷，在CVT優(yōu)化過程中嵌入了二次型誤差度量。但是，該方法的效果過度依賴于輸入網(wǎng)格的質(zhì)量。此外，當(dāng)用戶需要稀疏網(wǎng)格時(shí)，尖銳特征可能不能很好地保持。

有關(guān)文獻(xiàn)參見如下：

[Alliez03]Alliez,P.,De Verdire,E.C.,Devillers,O.,&Isenburg,M.(2003,May).Isotropic surface remeshing.In Shape Modeling International,2003(pp.49-58).IEEE.

[Alliez08]Alliez,P.,Ucelli,G.,Gotsman,C.,and Attene,M.(2008).Recent advances in remeshing of surfaces.In Shape Analysis and Structuring,pages 53–82

[Borouchaki05]H.Borouchaki and P.Frey,“Simplification of surface mesh using Hausdorff envelope,”Computer methods in applied mechanics and engineering,vol.194,no.48,pp.4864–4884,2005

[Botsch04]M.Botsch and L.Kobbelt,“A remeshing approach to multiresolution modeling,”in Symposium on Geometry Processing,2004,pp.185–192

[Cohen04]D.Cohen-Steiner,P.Alliez,and M.Desbrun,“Variational shape approximation,”ACM Trans.Graph.,vol.23,no.3,pp.905–914,2004

[Du99]Q.Du,V.Faber,M.Gunzburger,Centroidal Voronoi tessellations:applications and algorithms,SIAM Review 41(1999)637–676.

[Dunyach13]M.Dunyach,D.Vanderhaeghe,L.Barthe,and M.Botsch,“Adaptive remeshing for real-time mesh deformation,”Eurographics short papers.Eurographics Association,Girona,Spain,pp.29–32,2013

[Frey00]P.Frey and P.George,Mesh generation,application to finite elements.Hermès Science Publ.,Paris,Oxford,814 pages,2000.

[Fuhrmann10]S.Fuhrmann,J.Ackermann,T.Kalbe,and M.Goesele,“Direct resampling for isotropic surface remeshing,”in VMV,2010,pp.9–16.pp.20–30.

[Garland97]M.Garland and P.S.Heckbert,“Surface simplification using quadric error metrics,”in SIGGRAPH,1997,pp.209–216.

[Jiao02]X.Jiao and M.T.Heath,“Feature detection for surface meshes,”in Proceedings of 8th international conference on numerical grid generation in computational field simulations,2002,pp.705–714.

[Kobbelt03]L.Kobbelt and M.Botsch,“Feature sensitive mesh processing,”in Proceedings of the 19th Spring Conference on Computer Graphics,ser.SCCG’03,2003,pp.17–22.

[Kolomenkin09]M.Kolomenkin,I.Shimshoni,and A.Tal,“On edge detection on surfaces,”in Computer Vision and Pattern Recognition,2009.CVPR 2009.IEEE Conference on.IEEE,2009,pp.2767–2774.

[Lévy10]B.Lévy and Y.Liu,“L p centroidal Voronoi tesselation and its applications,”vol.29,no.4,pp.119:1–11,2010.

[Mandad15]M.Mandad,D.Cohen-Steiner,and P.Alliez,“Isotopic approximation within a tolerance volume,”ACM Trans.Graph.,vol.34,no.4,pp.64:1–64:12,2015

[Valette08]S.Valette,J.-M.Chassery,and R.Prost,“Generic remeshing of 3d triangular meshes with metric-dependent discrete Voronoi diagrams,”IEEE Trans.Vis.Comput.Graph,vol.14,no.2,pp.369–381,2008

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[Vorsatz03]J.Vorsatz,C.and H.-P.Seidel,“Dynamic remeshing and applications,”J.Comput.Inf.Sci.Eng.,vol.3,no.4,pp.338–344,2003.

[Yan09]Yan,D.M.,Lévy,B.,Liu,Y.,Sun,F.,&Wang,W.(2009,July).Isotropic remeshing with fast and exact computation of restricted Voronoi diagram.In Computer graphics forum(Vol.28,No.5,pp.1445-1454).

[Yan13]D.-M.Yan,P.Wonka,Gap Processing for Adaptive Maximal Poisson-Disk Sam-pling,ACM Trans.on Graphics 32(5)(2013)148:1–148:15.

[Yan14]D.-M.Yan,J.Guo,X.Jia,X.Zhang,P.Wonka,Blue-Noise Remeshing with Farthest Point Optimization,Computer Graphics Forum(Proc.SGP)33(5)(2014)167–176.

[Yan15b]D.Yan and P.Wonka,“Non-obtuse remeshing with centroidal voronoi tessellation,”IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics,2015.

[Zhong13]Z.Zhong,X.Guo,W.Wang,B.Lévy,F.Sun,Y.Liu,and W.Mao,“Particle-based anisotropic surface meshing,”ACM Trans.Graph.,vol.32,no.4,p.99,2013.

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

為了解決現(xiàn)有技術(shù)中的上述問題，本發(fā)明提出一種基于最小角消除的三角形網(wǎng)格曲面的重新網(wǎng)格化方法，在保證近似誤差的前提下，可以大大提高三角網(wǎng)格的質(zhì)量。

為實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明提的一種基于最小角消除的三角形網(wǎng)格曲面的重新網(wǎng)格化方法，包括以下步驟：

步驟S1，輸入三角形網(wǎng)格模型M，設(shè)定最小角度閾值θ；構(gòu)建初始輸出網(wǎng)格模型M'；

步驟S2，將M'中三角形存入動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列Q；

步驟S3，剔除動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列Q中最小角大于θ的三角形，判斷隊(duì)列Q是否為空；

如果是，執(zhí)行步驟S6；

如果否，執(zhí)行步驟S4；

步驟S4，選取隊(duì)列頂部的三角形t，判斷三角形t的最小角對應(yīng)的邊是否可以被折疊；

如果是，執(zhí)行邊折疊操作；

如果否，重定位頂點(diǎn)v；

步驟S5，優(yōu)化頂點(diǎn)v所在的位置，返回步驟S3；

步驟S6，輸出重新網(wǎng)格化后的新輸出網(wǎng)格模型M”。

優(yōu)選的，所述的初始輸出網(wǎng)格模型M'與步驟S1中輸入三角形網(wǎng)格模型M一致。

優(yōu)選的，所述的初始輸出網(wǎng)格模型M'的構(gòu)建方法為：

步驟S11，設(shè)定近似誤差閾值δ；令M'＝M；

步驟S12，計(jì)算M和M'之間的豪斯多夫距離dH(M，M′)，并判斷dH(M，M′)是否小于δ，若不小于則執(zhí)行步驟S13，若小于則執(zhí)行步驟S14；

步驟S13，對輸入三角形網(wǎng)格模型M進(jìn)行簡化，并令M'＝M；執(zhí)行步驟S12；

步驟S14，輸出初始輸出網(wǎng)格模型M'。

優(yōu)選的，M和M'之間的豪斯多夫距離dH(M，M′)的計(jì)算方法為：

d(p，M′)＝min_p′∈M′d(p，p′)

dh(M，M′)＝max_p∈M(d(p，M′))

dH(M，M′)＝max(dh(M，M′)，dh(M′，M))

其中，d(p，p′)為三維空間中兩個(gè)點(diǎn)p、p′的歐式距離，p∈M，p′∈M′，dh(M，M′)為M和M′之間的單向豪斯多夫距離。

優(yōu)選的，動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列Q按照其內(nèi)各三角形的最小角的數(shù)值升序排列。

優(yōu)選的，步驟S4中判斷三角形t的最小角對應(yīng)的邊是否可以被折疊的方法為：

步驟S411，判斷邊折疊操作能否引起h的1-鄰域三角形發(fā)生翻轉(zhuǎn)；若是則執(zhí)行步驟S414；

步驟S412，判斷M和M'的豪斯多夫距離是否小于δ；若否則執(zhí)行步驟S414；

步驟S413，計(jì)算執(zhí)行邊折疊操作造成的最小角，并判斷該最小角是否小于執(zhí)行操作之前的最小角；若是則執(zhí)行步驟S414；若否則輸出判斷結(jié)果為三角形t的最小角對應(yīng)的邊可以被折疊；

步驟S414，輸出判斷結(jié)果為三角形t的最小角對應(yīng)的邊不可以被折疊。

優(yōu)選的，步驟S4中重定位頂點(diǎn)v的方法為：

步驟S421，判斷執(zhí)行重定位頂點(diǎn)操作是否能引起三角形t中的某個(gè)頂點(diǎn)vt的1-鄰域三角形發(fā)生翻轉(zhuǎn)；若是則執(zhí)行步驟S424；

步驟S422，判斷M和M'的豪斯多夫距離是否小于δ；若否則執(zhí)行步驟S424；

步驟S423，計(jì)算執(zhí)行重定位頂點(diǎn)操作造成的最小角，并判斷該最小角是否小于執(zhí)行操作之前的最小角；若是則執(zhí)行步驟S424；若否則輸出判斷結(jié)果為將v設(shè)置為三角形t的頂點(diǎn)vt對應(yīng)的重心Voronoi圖的重心；

步驟S424，輸出判斷結(jié)果為將v設(shè)置為沿著h傳播到局部最長邊hl的中點(diǎn)。

優(yōu)選的，步驟S5中優(yōu)化頂點(diǎn)v所在的位置的方法為：

優(yōu)化頂點(diǎn)v所在的位置通過最小化能量函數(shù)F計(jì)算得到，

其中，S_in和S_out分別為v在M和M'的局部點(diǎn)集集合，a_i是S_out中的采樣點(diǎn)，是a_i的最近的點(diǎn)，是S_in中的采樣點(diǎn)，b_j是的參考點(diǎn)，和是a_i與b_j各自的權(quán)重。

優(yōu)選的，最小化能量函數(shù)F的方法為：

步驟S51，計(jì)算最優(yōu)位置v^*，

其中，是a_i所在的三角形(v，v_i1，v_i2)的重心，是所在的三角形(v，v_j1，v_j2)的重心。

步驟S52，移動(dòng)v到v+μ(v^*-v)，其中權(quán)值μ∈(0，1]；

步驟S53，判斷頂點(diǎn)v是否收斂到最優(yōu)的位置，若否則執(zhí)行步驟S51，若是則頂點(diǎn)v所在的位置。

本發(fā)明在保證近似誤差的前提下，可以大大提高三角網(wǎng)格的質(zhì)量。解決了現(xiàn)有方法不能同時(shí)既滿足近似誤差又提高網(wǎng)格質(zhì)量這兩個(gè)方面的缺陷。根據(jù)用戶指定的誤差限制以及最小角度，利用一個(gè)動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列，不斷調(diào)整最小角對應(yīng)的三角形頂點(diǎn)位置或者連接關(guān)系，使得網(wǎng)格的整體質(zhì)量不斷提高，最終可以應(yīng)用于物理模型，變形動(dòng)畫等應(yīng)用中。

附圖說明

圖1是本發(fā)明最小角消除的三角形網(wǎng)格曲面的重新網(wǎng)格化方法的流程圖；

圖2A是邊折疊操作引起的三角形翻轉(zhuǎn)的示意圖；

圖2B是頂點(diǎn)重定位操作引起的三角形翻轉(zhuǎn)的示意圖；

圖3是最小角度閾值θ對重新網(wǎng)格化結(jié)果的影響示意圖；

圖4A是近似誤差δ對網(wǎng)格復(fù)雜性的影響示意圖；

圖4B是近似誤差δ對運(yùn)行時(shí)間的影響示意圖；

圖5是本發(fā)明的方法與其他的方法的比較示意圖。

具體實(shí)施方式

下面參照附圖來描述本發(fā)明的優(yōu)選實(shí)施方式。本領(lǐng)域技術(shù)人員應(yīng)當(dāng)理解的是，這些實(shí)施方式僅僅用于解釋本發(fā)明的技術(shù)原理，并非旨在限制本發(fā)明的保護(hù)范圍。

如圖1所示，本發(fā)明的基于最小角消除的三角形網(wǎng)格曲面的重新網(wǎng)格化方法，包括以下步驟：

步驟S1，輸入三角形網(wǎng)格模型M，設(shè)定最小角度閾值θ；構(gòu)建初始輸出網(wǎng)格模型M'；

步驟S2，將M'中三角形存入動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列Q；

步驟S3，剔除動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列Q中最小角大于θ的三角形，判斷隊(duì)列Q是否為空；

如果是，執(zhí)行步驟S6；

如果否，執(zhí)行步驟S4；

步驟S4，選取隊(duì)列頂部的三角形t，判斷三角形t的最小角對應(yīng)的邊是否可以被折疊；

如果是，執(zhí)行邊折疊操作；

如果否，重定位頂點(diǎn)v；

步驟S5，優(yōu)化頂點(diǎn)v所在的位置，返回步驟S3；

步驟S6，輸出重新網(wǎng)格化后的新輸出網(wǎng)格模型M”。

下面對上述每個(gè)步驟進(jìn)行更加詳細(xì)的說明。

步驟S1，輸入三角形網(wǎng)格模型M，設(shè)定最小角度閾值θ；構(gòu)建初始輸出網(wǎng)格模型M'。

本實(shí)施例中，初始輸出網(wǎng)格模型M'與輸入三角形網(wǎng)格模型M一致，即初始化輸出三角網(wǎng)格模型M'＝M。

如果輸入模型M過于稠密，可以通過保持誤差的網(wǎng)格簡化方法先對M'進(jìn)行一定簡化，既保證dH(M，M′)＜δ的前提下，盡量減少M(fèi)'的頂點(diǎn)數(shù)目；其中，dH(M，M′)是網(wǎng)格模型M和M'之間的豪斯多夫(Hausdorff)距離，δ為設(shè)定的近似誤差閾值。

據(jù)此，在輸入模型M過于稠密的情況下，初始輸出網(wǎng)格模型M'的構(gòu)建方法為：

步驟S11，設(shè)定近似誤差閾值δ；令M'＝M；

步驟S12，計(jì)算M和M'之間的豪斯多夫距離dH(M，M′)，并判斷dH(M，M′)是否小于δ，若不小于則執(zhí)行步驟S13，若小于則執(zhí)行步驟S14；

M和M'之間的豪斯多夫距離dH(M，M′)的計(jì)算如公式(1)、(2)、(3)所示：

d(p，M′)＝min_p′∈M′d(p，p′) (1)

dh(M，M′)＝max_p∈M(d(p，M′)) (2)

dH(M，M′)＝max(dh(M，M′)，dh(M′，M)) (3)

其中，d(p，p′)為三維空間中兩個(gè)點(diǎn)p、p′的歐式距離，p∈M，p′∈M′，dh(M，M′)為M和M′之間的單向豪斯多夫距離。

步驟S13，對輸入三角形網(wǎng)格模型M進(jìn)行簡化，并令M'＝M；執(zhí)行步驟S12；

步驟S14，輸出初始輸出網(wǎng)格模型M'。

步驟S2，將M'中三角形存入動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列Q；

動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列Q按照其內(nèi)各三角形的最小角的數(shù)值升序排列。

步驟S3，剔除動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列Q中最小角大于θ的三角形，判斷隊(duì)列Q是否為空；如果是，執(zhí)行步驟S6；如果否，執(zhí)行步驟S4；

這一步用來判斷是否達(dá)到滿足用戶要求的重新網(wǎng)格化。其中動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列Q更新后仍按照其內(nèi)各三角形的最小角的數(shù)值升序排列。

步驟S4，選取隊(duì)列頂部的三角形t，判斷三角形t的最小角對應(yīng)的邊是否可以被折疊；如果是，執(zhí)行邊折疊操作；如果否，重定位頂點(diǎn)v；

這個(gè)步驟中，首先從隊(duì)列頂部選擇三角形t，三角形t具有當(dāng)前動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列Q內(nèi)所有三角形中的最小角度θ_min，然后做進(jìn)一步優(yōu)化。具體的，針對該三角形的頂點(diǎn)做一些局部操作，并且進(jìn)一步更新Q，將局部操作所影響的三角形重新插入Q中。

本實(shí)施例中判斷三角形t的最小角對應(yīng)的邊是否可以被折疊的方法為：

步驟S411，判斷邊折疊操作能否引起h的1-鄰域三角形發(fā)生翻轉(zhuǎn)，；若是則執(zhí)行步驟S414；

如圖2A的示例可以看出，黑色邊PQ被折疊，黑色三角形STQ發(fā)生翻轉(zhuǎn)；

步驟S412，判斷M和M'的豪斯多夫距離是否小于δ；若否則執(zhí)行步驟S414；

步驟S413，計(jì)算執(zhí)行邊折疊操作造成的最小角，并判斷該最小角是否小于執(zhí)行操作之前的最小角；若是則執(zhí)行步驟S414；若否則輸出判斷結(jié)果為三角形t的最小角對應(yīng)的邊可以被折疊；

步驟S414，輸出判斷結(jié)果為三角形t的最小角對應(yīng)的邊不可以被折疊。

本實(shí)施例中，重定位頂點(diǎn)v的方法為：

步驟S421，判斷執(zhí)行重定位頂點(diǎn)操作是否能引起三角形t中的某個(gè)頂點(diǎn)vt的1-鄰域三角形發(fā)生翻轉(zhuǎn)；若是則執(zhí)行步驟S424；

如圖2B示例，重定位頂點(diǎn)P，造成黑色三角形STQ發(fā)生翻轉(zhuǎn)；

步驟S422，判斷M和M'的豪斯多夫距離是否小于δ；若否則執(zhí)行步驟S424；

步驟S423，計(jì)算執(zhí)行重定位頂點(diǎn)操作造成的最小角，并判斷該最小角是否小于執(zhí)行操作之前的最小角；若是則執(zhí)行步驟S424；若否則輸出判斷結(jié)果為將v設(shè)置為三角形t的頂點(diǎn)vt對應(yīng)的重心Voronoi圖的重心；其中Voronoi圖又叫泰森多邊形或Dirichlet圖，它是由一組由連接兩鄰點(diǎn)直線的垂直平分線組成的連續(xù)多邊形組成。

步驟S424，輸出判斷結(jié)果為將v設(shè)置為沿著h傳播到局部最長邊hl的中點(diǎn)。

傳播過程具體如下：h₁是構(gòu)成最小角θ_min的兩條邊中的較長者，迭代地更新h₁：如果h₁是邊界邊或者h(yuǎn)₁相鄰的兩個(gè)三角形中的最長邊，則更新過程終止；否則，h₁被更新為它相鄰的兩個(gè)三角形中的最長邊。這一更新過程繼續(xù)進(jìn)行，直到上面所述的兩個(gè)終止條件的其中一個(gè)被滿足。

步驟S5，優(yōu)化頂點(diǎn)v所在的位置，返回步驟S3；

優(yōu)化頂點(diǎn)v所在的位置通過最小化能量函數(shù)F計(jì)算得到，能量函數(shù)F如公式(4)所示：

其中，S_in和S_out分別為v在M和M'的局部點(diǎn)集集合，a_i是S_out中的采樣點(diǎn)，是a_i的最近的點(diǎn)，是S_in中的采樣點(diǎn)，b_j是的參考點(diǎn)，和是a_i與b_j各自的權(quán)重。

上面的能量函數(shù)F通過兩步迭代方式進(jìn)行優(yōu)化：

步驟S51，計(jì)算最優(yōu)位置v^*，如公式(5)、(6)所示：

其中，是a_i所在的三角形(v，v_i1，v_i2)的重心，是所在的三角形(v，v_j1，v_j2)的重心。

步驟S52，移動(dòng)v到v+μ(v^*-v)，其中權(quán)值μ∈(0，1]；

步驟S53，判斷頂點(diǎn)v是否收斂到最優(yōu)的位置，若否則執(zhí)行步驟S51，若是則頂點(diǎn)v所在的位置。

步驟S6，輸出重新網(wǎng)格化后的新輸出網(wǎng)格模型M”。

另外，本發(fā)明還使用一個(gè)3.4GHZ CPU和16G內(nèi)存的臺(tái)式機(jī)上進(jìn)行了算法的測試和分析；

最小角度閾值θ對結(jié)果的影響：θ越大，元素品質(zhì)越好。θ從0°到40°，F(xiàn)andisk模型的重新網(wǎng)格化結(jié)果如圖3所示。最左邊是輸入模型，剩下的依次為θ＝0°，10°，20°，30°，35°，40°。圖3下部的直方圖統(tǒng)計(jì)了角度分布(0°～60°)，曲線是近似誤差。當(dāng)θ≤35°時(shí)，網(wǎng)格的復(fù)雜性和程序的運(yùn)行時(shí)間平滑的增加。但是，當(dāng)θ＝40°時(shí)，二者顯著增大。同時(shí)，隨著θ的增大，近似誤差不斷地減小。

近似誤差δ對結(jié)果的影響：如圖4A所示，展示了近似誤差δ對重新網(wǎng)格化結(jié)果的網(wǎng)格復(fù)雜性的影響：橫坐標(biāo)表示近似誤差δ，縱坐標(biāo)表示網(wǎng)格復(fù)雜性(頂點(diǎn)數(shù)目)。圖4B展示了近似誤差δ對運(yùn)行時(shí)間的影響：橫坐標(biāo)表示近似誤差δ，縱坐標(biāo)表示運(yùn)行時(shí)間。結(jié)果顯示，給定θ，近似誤差δ沒有明顯地影響網(wǎng)格的復(fù)雜性和運(yùn)行時(shí)間。但是，有兩個(gè)有趣的現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)：

(1)當(dāng)θ≤35°時(shí)，θ越大，網(wǎng)格的復(fù)雜性越低。但是，當(dāng)θ＝4θ°，網(wǎng)格復(fù)雜性和運(yùn)行時(shí)間顯著地增加。這是因?yàn)楫?dāng)θ很小時(shí)，邊折疊操作被優(yōu)先地執(zhí)行，增加最小角的同時(shí)降低了網(wǎng)格的復(fù)雜性。然而，當(dāng)θ較大時(shí)，更多的邊剖分操作被執(zhí)行，改變了局部拓?fù)洹?/p>

(2)給定一個(gè)θ，當(dāng)δ增加時(shí)，網(wǎng)格的復(fù)雜性輕微地減小。這是因?yàn)?，近似誤差越松弛，更多的邊折疊操作被執(zhí)行。

如圖5所示，比較了RAR[Dunyach13]，MMGS[Frey00]，CVT[Yan09]，MPS[Yan13]和本算法的重新網(wǎng)格化結(jié)果。最左邊的是輸入的Triceratops模型，然后依次是：RAR，MMGS，CVT，MPS和本發(fā)明方法的結(jié)果。從比較結(jié)果可以看出，本方法的結(jié)果在網(wǎng)格復(fù)雜性和三角形的品質(zhì)上都是最優(yōu)的。

本發(fā)明的方法的特色和創(chuàng)新在于，針對現(xiàn)有方法不能同時(shí)既滿足近似誤差又提高網(wǎng)格質(zhì)量這兩個(gè)方面的缺陷，提出了一種基于最小角消除的重新網(wǎng)格化方法。根據(jù)用戶指定的誤差限制以及最小角度，利用一個(gè)動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列，不斷調(diào)整最小角對應(yīng)的三角形頂點(diǎn)位置或者連接關(guān)系，在保證近似誤差的前提下，使得網(wǎng)格的整體質(zhì)量不斷提高?？梢杂糜跀?shù)值仿真。

本領(lǐng)域技術(shù)人員應(yīng)該能夠意識(shí)到，結(jié)合本文中所公開的實(shí)施例描述的各示例的模塊、單元及方法步驟，能夠以電子硬件、計(jì)算機(jī)軟件或者二者的結(jié)合來實(shí)現(xiàn)，為了清楚地說明電子硬件和軟件的可互換性，在上述說明中已經(jīng)按照功能一般性地描述了各示例的組成及步驟。這些功能究竟以電子硬件還是軟件方式來執(zhí)行，取決于技術(shù)方案的特定應(yīng)用和設(shè)計(jì)約束條件。專本領(lǐng)域技術(shù)人員可以對每個(gè)特定的應(yīng)用來使用不同方法來實(shí)現(xiàn)所描述的功能，但是這種實(shí)現(xiàn)不應(yīng)認(rèn)為超出本發(fā)明的范圍。

至此，已經(jīng)結(jié)合附圖所示的優(yōu)選實(shí)施方式描述了本發(fā)明的技術(shù)方案，但是，本領(lǐng)域技術(shù)人員容易理解的是，本發(fā)明的保護(hù)范圍顯然不局限于這些具體實(shí)施方式。在不偏離本發(fā)明的原理的前提下，本領(lǐng)域技術(shù)人員可以對相關(guān)技術(shù)特征作出等同的更改或替換，這些更改或替換之后的技術(shù)方案都將落入本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。