本發(fā)明屬于圖像處理與模式識(shí)別領(lǐng)域，具體地屬于一種圖像正交矩?cái)?shù)值穩(wěn)定性分析方法。

背景技術(shù)：

正交矩作為圖像分析與模式識(shí)別領(lǐng)域的一類重要技術(shù)手段，與經(jīng)典幾何矩相比，具有較多優(yōu)勢(shì)，如1)正交性：即理論上可以完美重建原始圖像，因此在圖像分析領(lǐng)域中，具有比幾何矩更好的應(yīng)用前景；2)不變性：即正交矩具有平移、旋轉(zhuǎn)、尺度、伸縮等多畸不變性；3)低噪聲敏感度：具有很強(qiáng)噪聲抑制能力的矩才能更好地描述圖像，正交矩的矩值對(duì)噪聲不敏感，可以準(zhǔn)確地描述圖像特征。因此隨著矩技術(shù)的發(fā)展及許多新的正交矩函數(shù)的提出，用正交矩進(jìn)行圖像處理得到了廣泛的應(yīng)用，如在圖像重構(gòu)中、圖像檢索中、圖像壓縮中和圖像水印中等。

正交矩的基函數(shù)一般為正交多項(xiàng)式，而正交多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，計(jì)算量大，受計(jì)算機(jī)寄存器字長(zhǎng)限制，極易產(chǎn)生數(shù)值溢出，尤其是正交多項(xiàng)式遞歸計(jì)算的數(shù)值傳遞誤差中由三項(xiàng)遞歸公式計(jì)算產(chǎn)生的數(shù)值傳遞誤差常常無(wú)法避免。隨著多項(xiàng)式計(jì)算階數(shù)的增加，多項(xiàng)式值的計(jì)算誤差越來(lái)越大。由于沒(méi)有一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)值誤差穩(wěn)定性評(píng)價(jià)體系，極大地限制了正交矩在大型圖像模式識(shí)別與重構(gòu)中的應(yīng)用。

目前的正交矩計(jì)算方法評(píng)價(jià)都是以少數(shù)試驗(yàn)驗(yàn)證，在什么條件下收斂，在什么條件下不收斂都不能確認(rèn)，因此給技術(shù)人員帶來(lái)較多業(yè)務(wù)上的麻煩。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

為解決上述技術(shù)問(wèn)題，本發(fā)明的目的在于提供了一種圖像正交矩?cái)?shù)值穩(wěn)定性分析方法。該分析方法利用矩陣的SVD分解，將原狀態(tài)方程轉(zhuǎn)變?yōu)橛梢粋€(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣與一個(gè)對(duì)角矩陣構(gòu)造等效狀態(tài)方程，基于李雅普諾夫定理，推導(dǎo)出兩個(gè)新的不穩(wěn)定性判據(jù)。從而尋找到影響經(jīng)典離散正交矩Tchebichef與Krawtchouk多項(xiàng)式遞歸計(jì)算不穩(wěn)定性的根本原因，為后續(xù)研究奠定了指導(dǎo)作用。

本發(fā)明公開(kāi)了一種圖像正交矩?cái)?shù)值穩(wěn)定性分析方法，包括如下步驟：

1)分析正交多項(xiàng)式三項(xiàng)遞歸公式不穩(wěn)定性的原因；

2)采用離散控制理論分析正交多項(xiàng)式三項(xiàng)遞歸公式的迭代穩(wěn)定性：所述離散控制理論為李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，所述李雅普諾夫穩(wěn)定性定理包含引理A，所述引理A包含對(duì)n階離散線性時(shí)變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性充分必要條件的判斷，即所述n階離散線性時(shí)變系統(tǒng)X(k)＝G(k)X(k-1)，對(duì)于任意一個(gè)給定的正定矩陣Q，如下的離散型矩陣Lyapunov方程：G(k)^TN(k)G(k)-N(k-1)＝-Q(k)有唯一正定解矩陣N；

3)對(duì)G(k)作SVD分解，滿足如下公式：

G(k)＝U(k)S(k)V(k)^T；

4)設(shè)定U(k)和V(k)為單位旋轉(zhuǎn)矩陣，則n階離散線性時(shí)變系統(tǒng)X(k)＝G(k)X(k-1)等量替換成X(k)＝U(k)S(k)V(k)^TX(k-1)，將X(k)＝U(k)S(k)V(k)^TX(k-1)展開(kāi)得到如下公式：

X(k)＝U(k)S(k)[V(k)^TU(k-1)]S(k-1)[V(k-1)^T...U(1)]S(1)V(1)^TX(1)，

定義：R(k)＝U(k)、R(k-1)＝V(k)^TU(k-1)、Y(1)＝V(1)^TX(1)、Y(k)＝X(k)，

則，Y(k)＝R(k)S(k)R(k-1)S(k-1)...R(2)S(2)Y(1)，

定義：D(k)＝R(k)S(k)，

則，Y(k)＝D(k)D(k-1)......D(2)Y(1)，

因此Y(k)＝D(k)Y(k-1)。

進(jìn)一步地，所述步驟4)中，所述R(k)為單位旋轉(zhuǎn)矩陣，且滿足如下公式：

所述S(k)為對(duì)角陣，且滿足如下公式：

再進(jìn)一步地，所述步驟4)中，所述R(k)以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為正，使向量i逆時(shí)針單位旋轉(zhuǎn)θ(k)，θ(k)控制在[0,π]之間；

所述S(k)中，σ₁(k)≥σ₂(k)＞0，σ_i為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)的正奇異值，i為1～r之間的正整數(shù)。

更進(jìn)一步地，所述步驟4)中，所述Y(k)＝D(k)Y(k-1)的漸近穩(wěn)定性的充分必要條件滿足：任意一個(gè)給定的正定矩陣P，有如下離散型矩陣Lyapunov方程：

D(k+1)^TF(k+1)D(k+1)-F(k)＝-Q(k+1)，有唯一正定解矩陣F。

更進(jìn)一步地，所述步驟4)中，定義Y(k)＝D(k)D(k-1)......D(2)Y(1)和Y(k)＝D(k)Y(k-1)為RS系統(tǒng)，所述RS系統(tǒng)單象限不穩(wěn)定性判據(jù)為：對(duì)于二階離散時(shí)變線性系統(tǒng)Y(k)＝D(k)Y(k-1)，在二維相平面y₁-y₂內(nèi)，已知σ₁(k)＞σ₂(k)，σ₂(k)＜1，當(dāng)滿足：

0<θ(k)≤θ_max(k)、0<κ₂(k)<κ′(k)和

且

則所述RS系統(tǒng)單象限是不穩(wěn)定的。

更進(jìn)一步地，所述步驟4)中，定義Y(k)＝D(k)Y(k-1)的離散時(shí)變線性系統(tǒng)為RS系統(tǒng)，所述RS系統(tǒng)兩象限不穩(wěn)定性判據(jù)為：對(duì)于二階離散時(shí)變線性系統(tǒng)Y(k)＝D(k)Y(k-1)，在二維相平面y₁-y₂內(nèi)，已知σ₁(k)>σ₂(k)，σ₂(k)<1，π/2<θ(k)<π-η，當(dāng)滿足：

θ_min(k)≤θ(k)<π,、0>κ₂(k)>κ′(k)，和

其中η是一個(gè)極小的數(shù)值，

則所述RS系統(tǒng)兩象限是不穩(wěn)定的。

更進(jìn)一步地，所述步驟3)中，所述G(k)為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，所述S(k)為由系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)唯一確定，所述U(k)和V(k)是非唯一酉矩陣，且SVD分解為奇異值分解。

更進(jìn)一步地，所述k為方程的階數(shù)。

本發(fā)明的分析方法的有益效果：

本發(fā)明為尋找判定正交多項(xiàng)式三項(xiàng)遞歸計(jì)算穩(wěn)定性的一般規(guī)律，基于離散控制理論，將正交多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞歸公式轉(zhuǎn)化為對(duì)階數(shù)k的變系數(shù)微分方程，然后進(jìn)一步的采取矩陣的SVD分解，將原狀態(tài)方程轉(zhuǎn)變?yōu)橛梢粋€(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣與一個(gè)對(duì)角矩陣構(gòu)造的等效狀態(tài)方程，并推導(dǎo)出兩個(gè)不穩(wěn)定性判據(jù)。解決了三項(xiàng)遞歸公式的正交矩特征計(jì)算過(guò)程中，正交多項(xiàng)式發(fā)散造成的正交矩?cái)?shù)值不穩(wěn)定性問(wèn)題，同時(shí)也尋找到影響經(jīng)典Tchebichef與Krawtchouk多項(xiàng)式遞歸計(jì)算不穩(wěn)定性的根本原因，為后續(xù)研究奠定了指導(dǎo)作用。

附圖說(shuō)明

圖1為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)中的旋轉(zhuǎn)矩陣R(k)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)圖示；

圖2為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)中的對(duì)角陣S(k)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)圖示；

圖3為RS系統(tǒng)單象限在二維相平面y₁-y₂內(nèi)不穩(wěn)定情況圖示；

圖4為RS系統(tǒng)兩象限在二維相平面y₁-y₂內(nèi)不穩(wěn)定情況圖示；

圖5為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式迭代計(jì)算的相對(duì)誤差隨k變化圖示；

圖6為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式迭代計(jì)算的絕對(duì)誤差隨k變化圖示；

圖7至圖10為T(mén)chebichef多項(xiàng)式相關(guān)參數(shù)圖示；

圖11為T(mén)chebichef多項(xiàng)式迭代計(jì)算的相對(duì)誤差隨k變化圖示；

圖12為T(mén)chebichef多項(xiàng)式迭代計(jì)算的絕對(duì)誤差隨k變化圖示；

圖13、圖14為Krawtchouk多項(xiàng)式相關(guān)參數(shù)圖示；

圖15、圖16為Krawtchouk多項(xiàng)式的對(duì)角陣S(k)變換前后模值對(duì)比函數(shù)圖示；

圖17為Krawtchouk多項(xiàng)式迭代計(jì)算的相對(duì)誤差隨k變化圖示；

圖18為Krawtchouk多項(xiàng)式迭代計(jì)算的絕對(duì)誤差隨k變化圖示。

具體實(shí)施方式

為了更好地解釋本發(fā)明，以下結(jié)合具體實(shí)施例進(jìn)一步闡明本發(fā)明的主要內(nèi)容，但本發(fā)明的內(nèi)容不僅僅局限于以下實(shí)施例。

實(shí)施例1

本實(shí)施例公開(kāi)了一種圖像正交矩?cái)?shù)值穩(wěn)定性分析方法，包括如下步驟：

(1)分析正交多項(xiàng)式三項(xiàng)遞歸公式不穩(wěn)定性的原因；

三項(xiàng)遞歸公式如下：

P_k(x)＝A_k(x)P_k-1(x)-B_K(x)P_k-2(x)＝(α_kx-ω_k)P_k-1(x)-γ_kP_k-2(x) (1-1)

其中，P_k(x)，P_k-1(x)和P_k-2(x)分別為第n階，第n-1階和第n-2階離散正交多項(xiàng)式，A_k(x)和B_k(x)為迭代系數(shù)。

在實(shí)際計(jì)算機(jī)運(yùn)算過(guò)程中，由于系統(tǒng)位數(shù)的決定而產(chǎn)生截?cái)嗾`差，使觀測(cè)值偏離實(shí)際值。該截?cái)嗾`差在遞歸過(guò)程中不斷變化，有可能會(huì)影響我們觀測(cè)到的期望值的可信度。因此，需要分析截?cái)嗾`差在遞歸過(guò)程中的數(shù)值穩(wěn)定性。

假定正交多項(xiàng)式三相遞歸公式的觀測(cè)值為P_k(x)，其真實(shí)值為P^*_k(x)，計(jì)算誤差為e_k(x)，起始二項(xiàng)P₀(x)和P₁(x)的誤差為e₀(x)和e₁(x)。因此，可以將式(1-1)變?yōu)椋?/p>

易得遞歸誤差滿足：

e_k(x)＝A_k(x)e_k-1(x)-B_k(x)e_k-2(x) (1-3)

可見(jiàn)，正交多項(xiàng)式三項(xiàng)遞歸誤差分析的本質(zhì)，是研究基于式(1-3)的二階誤差微分方程的數(shù)值穩(wěn)定性。將式(1-3)的階數(shù)k看成一個(gè)離散自變量，該公式可以看成是一個(gè)離散時(shí)變線性控制系統(tǒng)。

因此，可以運(yùn)用離散控制理論研究誤差三項(xiàng)遞歸方程的迭代穩(wěn)定性。如果離散時(shí)變線性系統(tǒng)(1-3)是穩(wěn)定的，則正交多項(xiàng)式三項(xiàng)遞歸式(1-1)是穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)(1-1)是不穩(wěn)定的。

對(duì)于離散時(shí)變線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別，一般采用李雅普諾夫第二法推演系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件，但使得系統(tǒng)收斂或發(fā)散區(qū)域大大縮小，因此必須考慮新的方法與手段解決該問(wèn)題。

(2)采用離散控制理論研究正交多項(xiàng)式三項(xiàng)遞歸公式的迭代穩(wěn)定性；

(2.1)所述離散控制理論為李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，所述李雅普諾夫穩(wěn)定性定理包含引理A，引理A包含對(duì)n階離散線性時(shí)變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性充分必要條件的判斷，n階離散線性時(shí)變系統(tǒng)如下列公式：

X(k)＝G(k)X(k-1) (1-4)

其中，G(k)為狀態(tài)矩陣，所述n階離散線性時(shí)變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件為：任一給定的正定矩陣Q，如下的離散型矩陣Lyapunov方程：

G(k)^TN(k)G(k)-N(k-1)＝-Q(k) (1-5)

有唯一正定解矩陣N。

(2.2)離散線性定常系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，可以應(yīng)用舒爾-科恩(Schur-Cohn)穩(wěn)定性判據(jù)來(lái)判定系統(tǒng)矩陣的特征值是否位于復(fù)平面的單位圓之內(nèi)。

所述舒爾-科恩穩(wěn)定性判據(jù)為：

設(shè)m×n矩陣G∈C^m×n，C為復(fù)數(shù)集，rankG＝r(r＞0)，則存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，使得：

其中∑＝diag(σ₁,σ₂,......σ_r)，且σ₁≥σ₂≥……σ_r＞0，而σ_i(i＝1,2,3,...,r)為矩陣G的正奇異值。

根據(jù)舒爾-科恩穩(wěn)定性判據(jù)，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)作SVD分解，所述SVD分解為奇異值分解，則滿足如下公式：

G(k)＝U(k)S(k)V(k)^T (1-7)

其中，對(duì)角矩陣S(k)由狀態(tài)矩陣G(k)唯一確定，U(k)，V(k)是非唯一酉矩陣。為方便討論，將U(k)，V(k)設(shè)定為單位旋轉(zhuǎn)矩陣，式(1-4)就有如下等量代換系統(tǒng)：

X(k)＝U(k)S(k)V(k)^TX(k-1) (1-8)

將式(1-8)展開(kāi)得：

X(k)＝U(k)S(k)[V(k)^TU(k-1)]S(k-1)[V(k-1)^T...U(1)]S(1)V(1)^TX(1) (1-9)

重新定義：R(k)＝U(k)、R(k-1)＝V(k)^TU(k-1)、Y(1)＝V(1)^TX(1)及Y(k)＝X(k)得：

Y(k)＝R(k)S(k)R(k-1)S(k-1)...R(2)S(2)Y(1) (1-10)

定義：D(k)＝R(k)S(k)，則式(1-10)改寫(xiě)為：

Y(k)＝D(k)D(k-1)......D(2)Y(1) (1-11)

即Y(k)＝D(k)Y(k-1) (1-12)

可見(jiàn)，二維離散時(shí)變線性系統(tǒng)(1-4)與系統(tǒng)(1-12)是等價(jià)的，因此可將系統(tǒng)(1-4)的穩(wěn)定性分析轉(zhuǎn)化為對(duì)系統(tǒng)(1-12)的穩(wěn)定性分析。

優(yōu)選地，式(1-12)中的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

且逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為正；

對(duì)角陣為：

σ₁(k)≥σ₂(k)＞0,σ_i(i＝1,2,3,...,r)為矩陣G(k)的正奇異值。

因此，式(1-4)中每一步的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)可轉(zhuǎn)換成(1-11)中的兩個(gè)狀態(tài)變化過(guò)程R(k)與S(k)，在二維相平面y₁-y₂，旋轉(zhuǎn)矩陣R(k)與對(duì)角陣S(k)的性質(zhì)如圖1和圖2所示，

結(jié)合圖1可知，旋轉(zhuǎn)矩陣R(k)使向量i逆時(shí)針單位旋轉(zhuǎn)θ(k)，其中θ(k)為[0，π]，不改變模值大小，可能改變最終狀態(tài)向量的角度與象限；

結(jié)合圖2可知，由于σ₁(k)>σ₂(k)，對(duì)角陣S(k)會(huì)使某一向量i在一三象限順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度ω'(k)，而在二四象限逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度ω”(k)，都趨向于y₁軸同時(shí)改變i的模值大小，但不會(huì)改變向量i的象限。

(2.3)所述Y(k)＝D(k)Y(k-1)的漸近穩(wěn)定性的充分必要條件滿足：任意一個(gè)給定的正定矩陣Q，有如下離散型矩陣Lyapunov方程：D(k+1)^TF(k+1)D(k+1)-F(k)＝-Q(k+1)，有唯一正定解矩陣F。

優(yōu)選地，定義式(1-11)Y(k)＝D(k)D(k-1)......D(2)Y(1)和式(1-12)Y(k)＝D(k)Y(k-1)為RS系統(tǒng)，且該RS系統(tǒng)的不穩(wěn)定性運(yùn)動(dòng)軌跡不穩(wěn)定模型之一如圖3所示；

則圖3所示的RS系統(tǒng)單象限不穩(wěn)定性判據(jù)為：對(duì)于二階離散時(shí)變線性系統(tǒng)Y(k)＝D(k)Y(k-1)，在二維相平面y₁-y₂內(nèi)，已知σ₁(k)>σ₂(k)，σ₂(k)<1，當(dāng)滿足：

0<θ(k)≤θ_max(k) (1-16)

0<κ₂(k)<κ′(k) (1-17)

和

其中，

則RS系統(tǒng)單象限是不穩(wěn)定的。

優(yōu)選地，定義Y(k)＝D(k)Y(k-1)的離散時(shí)變線性系統(tǒng)為RS系統(tǒng)，所述RS系統(tǒng)的不穩(wěn)定性判據(jù)為，且所述RS系統(tǒng)的不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)軌跡的不穩(wěn)定模型之一如圖4所示，

則圖4所示的RS系統(tǒng)兩象限不穩(wěn)定性判據(jù)為：對(duì)于二階離散時(shí)變線性系統(tǒng)Y(k)＝D(k)Y(k-1)，在二維相平面y₁-y₂內(nèi)，已知σ₁(k)>σ₂(k)，σ₂(k)<1與π/2<θ(k)<π-η，當(dāng)滿足：

θ_min(k)≤θ(k)<π, (1-20)

0>κ₂(k)>κ′(k) (1-21)

與

其中η是一個(gè)極小的數(shù)值，

則RS系統(tǒng)兩象限是不穩(wěn)定的。

因此，本實(shí)施例討論離散時(shí)變線性系統(tǒng)，是基于李雅普諾夫定理將系統(tǒng)狀態(tài)矩陣G(k)作SVD分解，將原狀態(tài)方程轉(zhuǎn)變?yōu)橛梢粋€(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣與一個(gè)對(duì)角矩陣構(gòu)造等效狀態(tài)方程，在這些等效狀態(tài)方程采用了從新組合遞歸計(jì)算，得出新的RS系統(tǒng)，研究其在相平面內(nèi)的零輸入響應(yīng)，根據(jù)李雅普諾夫第二法判定每一階段的能量函數(shù)都是增加的，就可說(shuō)明其RS系統(tǒng)是發(fā)散的，推導(dǎo)出兩個(gè)新的不穩(wěn)定判據(jù)。推導(dǎo)的過(guò)程使用了分區(qū)域逐步說(shuō)明其問(wèn)題，這樣的分析更加清晰明了。

實(shí)施例2

本實(shí)施例是討論連續(xù)正交Legendre多項(xiàng)式、離散正交Tchebichef多項(xiàng)式與離散正交Krawtchouk多項(xiàng)式遞歸計(jì)算中的不穩(wěn)定性分析。

(1)Legendre多項(xiàng)式遞歸計(jì)算穩(wěn)定性分析：

Legendre多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞歸公式：

根據(jù)第一不穩(wěn)定性定理，重新定義變量y₁(k)＝L(k),y₂(k)＝L(k+1)，則式(1-15)可寫(xiě)成：

Y(k)＝(y₂(k),y₁(k))^T＝G(k)Y(k-1) (2-2)

與

對(duì)于Legendre多項(xiàng)式有A_x(k)＝(2k-1)x/k和B(k)＝(k-1)/k，

假設(shè)漸進(jìn)正定陣Q的元素q₁₁(k)>0，q₁₂(k)≤0以及q₂₂(k)>0并考慮其有一個(gè)解P，式(13)可表示為：

若指定q₁₁(k)＝μ>0，q₂₂(k)＝ν>0，q₁₂(k)＝q₂₁(k)＝0且對(duì)稱陣P(k+1)＝P(k)，則

p₁₁＝B²(k+1)p₂₂+μ (2-5)

且式(2-7)可進(jìn)一步地表示為

滿足α(k)＝B³(k+1)+B²(k+1)-B(k+1)A_x²(k+1)+A_x²(k+1)-B(k+1)-1，

有如下結(jié)果：

若B(k)>0且x∈(0,1)，可得α(k)<0，p₂₂(k)>0和p₁₁(k)>0。P的二階主子式為：

因此，存在一個(gè)正定矩陣Q，存在一個(gè)正定解矩陣使得式(2-4)有解，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

對(duì)Legendre多項(xiàng)式進(jìn)行迭代計(jì)算測(cè)試，對(duì)其迭代計(jì)算誤差采用相對(duì)誤差用如下對(duì)數(shù)形式表示：

絕對(duì)誤差采用如下對(duì)數(shù)式表示：

圖5和圖6分別為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式迭代計(jì)算的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差隨K變化圖示。根據(jù)圖5和圖6可知，Legendre多項(xiàng)式的相對(duì)誤差在e^-16～e^-12之間，絕對(duì)誤差在e^-14以下，這與式(2-1)與(2-10)分析Legendre多項(xiàng)式在區(qū)間[-1,1]內(nèi)收斂的結(jié)論是一致的。

(2)Tchebichef多項(xiàng)式遞歸計(jì)算穩(wěn)定性分析：

Tchebichef多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞歸迭代公式：

式(2-13)中，T₀(x)＝1，T₁(x)＝(2x+1-N)/N，A_x(k)＝(2k-1)T₁(x)/k和B(k)＝(k-1)[1-(k-1)²/N²]/k。

將Tchebichef多項(xiàng)式整理為二階離散線性時(shí)變系統(tǒng)(1-4)，利用舒爾-科恩穩(wěn)定性判據(jù)，將每一階狀態(tài)矩陣分解為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣與一個(gè)斜變換對(duì)角陣，再通過(guò)式(1-8)至(1-10)可以得到一系列變換R(k)與S(k)，令x＝390，SVD分解得到的一系列R(k)旋轉(zhuǎn)角度θ(k)、對(duì)角陣的S(k)主對(duì)角線參數(shù)σ₁(k)，σ₂(k)范圍如圖7、圖8、圖9和圖10所示。

應(yīng)用第二定理，計(jì)算該點(diǎn)Tchebichef多項(xiàng)式的R(k)矩陣旋轉(zhuǎn)角度，結(jié)合圖7、圖8、圖9和圖10可知，

當(dāng)k>123時(shí)，有滿足式(1-16)。

給定S(k)的奇異值σ₁(k)，σ₂(k)，

當(dāng)k＝123時(shí)，表明在該點(diǎn)是穩(wěn)定的；

當(dāng)k>124時(shí)，函數(shù)計(jì)算值如圖9所示，不等式(1-17)成立，κ₂(k)<κ'(k)符合舒爾-科恩穩(wěn)定性判據(jù)所要求的。結(jié)合舒爾-科恩穩(wěn)定性判據(jù)，Tchebichef多項(xiàng)式系統(tǒng)x＝390的點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

Tchebichef多項(xiàng)式進(jìn)行迭代計(jì)算測(cè)試，根據(jù)公式(2-11)與(2-12)，作出相應(yīng)的相對(duì)誤差圖11與絕對(duì)誤差圖12。

由以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，x＝390，k>124時(shí)，Tchebichef多項(xiàng)式迭代

計(jì)算相對(duì)與絕對(duì)誤差開(kāi)始增大，與上述理論分析一致。則Tchebichef多項(xiàng)式至少存在一點(diǎn)x＝390具有數(shù)值不穩(wěn)定，因此影響其作為核函數(shù)的Tchebichef矩的不穩(wěn)定性，符合Mukundan的結(jié)論。本文還檢測(cè)x＝0，Tchebichef多項(xiàng)式迭代計(jì)算在前段相對(duì)與絕對(duì)誤差開(kāi)始增大，也與上述理論分析一致；x＝200，Tchebichef多項(xiàng)式迭代計(jì)算相對(duì)與絕對(duì)誤差始終偏小，其在該點(diǎn)穩(wěn)定，但不影響對(duì)其定理的判定。

(3)Krawtchouk多項(xiàng)式遞歸計(jì)算穩(wěn)定性分析：

Krawtchouk多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞歸迭代公式：

K_k(x；p，N-1)＝A_x(k)K_k-1(x；p，N-1)-B(k)K_k-1(x；p，N-1) (2-14)

且滿足K₀(x；p，N-1)＝1和

式(2-14)中的系數(shù)為：

在x＝398下，p＝0.1，p＝0.3，p＝0.5，p＝0.7，p＝0.9，將Krawtchouk多項(xiàng)式整理為二階離散線性時(shí)變系統(tǒng)(1-4)，利用舒爾-科恩穩(wěn)定性判據(jù)將每一階狀態(tài)矩陣分解為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣與一個(gè)斜變換對(duì)角陣，再通過(guò)式(1-8)至(1-10)得到一系列變換R(k)與S(k)，SVD分解得到的一系列R(k)旋轉(zhuǎn)角度θ(k)、對(duì)角陣的S(k)主對(duì)角線參數(shù)σ₁(k)，σ₂(k)范圍如圖13和圖14所示。

應(yīng)用第三定理，計(jì)算該點(diǎn)Krawtchouk多項(xiàng)式的R(k)矩陣旋轉(zhuǎn)角度，有滿足條件式(1-20)，如圖13所示。

給定S(k)的奇異值σ₁(k)，σ₂(k)，結(jié)合式(1-22)可以計(jì)算出在p條件下k的范圍如表1；

表1 p條件下k的范圍

其S(k)變換前后模值對(duì)比函數(shù)如圖15、圖16所示，對(duì)Krawtchouk多項(xiàng)式進(jìn)行迭代計(jì)算測(cè)試，根據(jù)式(2-11)和式(2-12)作出相應(yīng)的相對(duì)誤差17與絕對(duì)誤差圖18；

由以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，以上5點(diǎn)遞歸計(jì)算誤差都是不穩(wěn)定的，但是不穩(wěn)定的形式不同。x＝398，p＝0.1與p＝0.3，相對(duì)誤差圖在末端增大，而絕對(duì)誤差卻是一直增大；p＝0.5，相對(duì)誤差與絕對(duì)誤差在前段平緩，在k＝250左右逐漸增大；p＝0.7與p＝0.9，相對(duì)誤差圖在前半段增加較快，而絕對(duì)誤差大部分卻在(-1，1)。在理論分析中表格13，在K的絕大部分范圍內(nèi)Krawtchouk多項(xiàng)式迭代計(jì)算誤差是不穩(wěn)定的與在實(shí)際計(jì)算中Krawtchouk多項(xiàng)式迭代計(jì)算的相對(duì)與絕對(duì)誤差分析一致。則Krawtchouk多項(xiàng)式至少存在一點(diǎn)x＝398具有數(shù)值不穩(wěn)定，因此影響其作為核函數(shù)的Krawtchouk矩的不穩(wěn)定性。

以上實(shí)施例僅為最佳舉例，而并非是對(duì)本發(fā)明的實(shí)施方式的限定。除上述實(shí)施例外，本發(fā)明還有其他實(shí)施方式。凡采用等同替換或等效變換形成的技術(shù)方案，均落在本發(fā)明要求的保護(hù)范圍。