本發(fā)明涉及有限樣本置信區(qū)間估計(jì)與結(jié)構(gòu)安全性評(píng)估技術(shù)領(lǐng)域，特別涉及一種基于灰色區(qū)間且滿足一定置信度要求的結(jié)構(gòu)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型可靠性分析方法，為實(shí)現(xiàn)工程中貧信息、少數(shù)據(jù)條件下參數(shù)不確定性的合理量化以及結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度二維集合干涉模型下安全態(tài)勢(shì)的有效度量提供了可行的處理辦法。

背景技術(shù)：

結(jié)構(gòu)的安全性問題，特別是結(jié)構(gòu)強(qiáng)度問題是工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域關(guān)注的核心。由于材料分散性、載荷不確定性的效應(yīng)顯著存在，加之實(shí)際工程中受到試驗(yàn)成本及周期的限制，往往可獲得的樣本信息十分有限，因此，如何利用小規(guī)模的樣本數(shù)據(jù)，完成參數(shù)不確定性的合理量化以及結(jié)構(gòu)安全性的準(zhǔn)確評(píng)估，具有顯著的工程實(shí)用價(jià)值。

若想實(shí)現(xiàn)有限樣本下不確定性的量化與結(jié)構(gòu)安全性的合理評(píng)價(jià)，首先需要建立可信的參數(shù)估計(jì)方法。傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)方法是根據(jù)概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論提出的，是從大樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性來考慮問題，并用被估計(jì)值在估計(jì)區(qū)間出現(xiàn)的概率來評(píng)定估計(jì)區(qū)間的置信度。但是由于種種限制大多數(shù)結(jié)構(gòu)問題的試驗(yàn)次數(shù)較少，獲得的數(shù)據(jù)樣本量較小，無(wú)法根據(jù)已往經(jīng)驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)上確定其分布規(guī)律。因此，應(yīng)用傳統(tǒng)的概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論反而會(huì)出現(xiàn)較大的風(fēng)險(xiǎn)。

此外，結(jié)構(gòu)可靠性分析是當(dāng)前處理不確定性條件下結(jié)構(gòu)安全態(tài)勢(shì)評(píng)估的最有效手段，主要包括概率可靠性方法和非概率可靠性方法兩大類。概率可靠性理論發(fā)展成熟，但樣本需求量大，工程適用性差；基于集合理論的非概率可靠性分析方法，在處理小樣本情況時(shí)具有天然的優(yōu)勢(shì)，但是當(dāng)前方法并未從試驗(yàn)樣本出發(fā)，也未考慮置信度要求下的結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)計(jì)算問題。

綜上，如何以有限樣本數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，開展具有一定置信度的參數(shù)估計(jì)方法，并進(jìn)而實(shí)現(xiàn)滿足置信度要求下的結(jié)構(gòu)非概率可靠性分析，是當(dāng)前學(xué)術(shù)界和工程界廣泛關(guān)注的熱點(diǎn)問題。本發(fā)明針對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，通過引入灰色數(shù)學(xué)理論，并定義樣本間的灰色距離測(cè)度，實(shí)現(xiàn)樣本均值置信區(qū)間的快速獲得；結(jié)合結(jié)構(gòu)非概率集合可靠性分析方法，最終建立了置信度與可靠度雙重標(biāo)準(zhǔn)下結(jié)構(gòu)安全性的合理評(píng)判準(zhǔn)則，促進(jìn)了結(jié)構(gòu)不確定性分析方法的工程化進(jìn)程。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明要解決的技術(shù)問題是：克服現(xiàn)有技術(shù)的不足，提供一種基于灰色置信區(qū)間的結(jié)構(gòu)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型集合可靠性分析方法，充分考慮實(shí)際工程問題中試樣樣本數(shù)量的限制，以灰色數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)，通過定義樣本間的灰色距離測(cè)度，構(gòu)建滿足一定灰色置信度要求的結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度均值量化區(qū)間；再引入基于非概率集合理論的結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)，最終建立面向結(jié)構(gòu)應(yīng)力-強(qiáng)度集合干涉模型的且具有置信度水平的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法。所提出方法可實(shí)現(xiàn)由小樣本數(shù)據(jù)出發(fā)到結(jié)構(gòu)安全校核的完整過程。

本發(fā)明采用的技術(shù)方案為：一種基于灰色置信區(qū)間的結(jié)構(gòu)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型集合可靠性分析方法，實(shí)現(xiàn)步驟如下：

第一步：考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力S和強(qiáng)度R具有不確定性，可通過下式進(jìn)行數(shù)學(xué)表征：

$S\∈S^I=\[\underset{\‾}{S},\stackrel{\‾}{S}\]=\[S^c-S^r,S^c+S^r\]$

和

$R\∈R^I=\[\underset{\‾}{R},\stackrel{\‾}{R}\]=\[R^c-R^r,R^c+R^r\]$

其中，S^I和R^I分別表示結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的可行區(qū)間，S和R表示應(yīng)力區(qū)間和強(qiáng)度區(qū)間的下界，和表示應(yīng)力區(qū)間和強(qiáng)度區(qū)間的上界，S^c和R^c是結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的均值，S^r和R^r是結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的半徑。通常情況下，結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的均值滿足R^c>S^c，此外，本發(fā)明中結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度半徑S^r和R^r的取值為已知量。

第二步：為了實(shí)現(xiàn)第一步中結(jié)構(gòu)應(yīng)力S和強(qiáng)度R的區(qū)間表達(dá)，需借助真實(shí)試驗(yàn)條件或數(shù)值仿真手段，首先獲得描述結(jié)構(gòu)應(yīng)力S和強(qiáng)度R有限樣本的遞增序列如下：

S_data＝{S_data(1),S_data(2),...,S_data(m)}和R_data＝{R_data(1),R_data(2),...,R_data(n)}

其中，m和n分別代表應(yīng)力樣本序列和強(qiáng)度樣本序列的樣本容量并滿足：3＜m,n≤10。進(jìn)而，基于灰色關(guān)聯(lián)理論，分別定義出應(yīng)力樣本序列S_data和強(qiáng)度樣本序列R_data中任意樣本與觀測(cè)樣本間的灰色距離測(cè)度如下：

$d_g(S_i,S_j)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d(S_i,S_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|S_i-S_j|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d(S_i,S_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}},i,j=1,2,...,m$

和

$d_g(R_i,R_j)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d(R_i,R_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|R_i-R_j|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d(R_i,R_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}},i,j=1,2,...,n$

其中，d_g(S_i,S_j)和d_g(R_i,R_j)分別表示面向S_data和R_data的灰色距離測(cè)度，||d(S_i,S_data)||_∞和||d(R_i,R_data)||_∞分別代表應(yīng)力和強(qiáng)度樣本對(duì)應(yīng)于樣本序列的無(wú)窮范數(shù)，|·|為絕對(duì)值運(yùn)算符，ξ為分辨系數(shù)，這里取值為0.5，i和j為計(jì)數(shù)指標(biāo)。

第三步：根據(jù)第二步定義的灰色距離測(cè)度，以S_data和R_data中每一個(gè)樣本作為觀測(cè)樣本，分別計(jì)算其與整個(gè)樣本序列的灰色距離測(cè)度，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行平均處理，得到面向完整應(yīng)力和強(qiáng)度樣本序列的平均測(cè)度函數(shù)和如下：

$J_{S_i}=\frac{1}{m}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{d}_g(S_i,S_j),i=1,2,...,m$

和

$J_{R_i}=\frac{1}{n}\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{d}_g(R_i,R_j),i=1,2,...,n$

再利用歸一化方法，將和轉(zhuǎn)化為加權(quán)函數(shù)和進(jìn)而，結(jié)合灰色數(shù)學(xué)理論中的累加灰生成思想，計(jì)算出基于有限樣本數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度均值的灰色估計(jì)值和這里，加權(quán)函數(shù)表示樣本序列S_data中樣本S_i在灰色估計(jì)值中所占的比例，加權(quán)函數(shù)表示樣本序列R_data中樣本R_i在灰色估計(jì)值中所占的比例，于是有：且

第四步：將第三步計(jì)算出的灰色估計(jì)值和作為新的樣本，分別加入到原始應(yīng)力樣本序列S_data和原始強(qiáng)度樣本序列R_data中，于是，樣本序列更新為：

和

為了探究結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度均值S^c和R^c與灰色估計(jì)值和之間的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，利用第二步中建立的灰色距離測(cè)度表達(dá)式，建立灰密度指標(biāo)θ下的如下表達(dá)式：

和

其中，和分別表示應(yīng)力和強(qiáng)度均值的灰色估計(jì)值和同樣本更新序列和間的灰色距離測(cè)度，賦值灰密度指標(biāo)θ并求解上式，分別得到當(dāng)前灰密度水平下均值S^c和R^c的可行邊界，即：

和

其中，S^c(θ)和分別表示給定灰密度指標(biāo)θ下應(yīng)力均值可行區(qū)間的下界和上界，R^c(θ)和分別表示給定灰密度指標(biāo)θ下強(qiáng)度均值可行區(qū)間的下界和上界，這里，和分別基于樣本更新序列和中有限樣本間的拓?fù)潢P(guān)系和距離關(guān)系，反映了S^c和R^c與灰色估計(jì)值和間的匹配程度；灰密度指標(biāo)θ滿足其取值越大，表明均值S^c和R^c出現(xiàn)在灰色估計(jì)值和附近的可能性越大。

第五步：遍歷灰密度指標(biāo)θ的取值空間，分別建立結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度均值的灰密度函數(shù)f_θ(S^c)和f_θ(R^c)，給定置信度水平1-α，利用數(shù)值積分方法計(jì)算出滿足灰色置信度要求的應(yīng)力和強(qiáng)度均值S^c和R^c的置信區(qū)間和這里，置信度水平1-α的取值范圍是：0＜1-α≤1，本發(fā)明中，置信度水平賦值為0.975，即α＝0.025。

第六步：根據(jù)第五步求得的滿足灰色置信度要求的均值置信區(qū)間和結(jié)合確知的結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度半徑S^r和R^r，基于面積比思想，針對(duì)典型工況，即：結(jié)構(gòu)二維應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型應(yīng)滿足：

$\underset{\‾}{S_{1-a}^c}-S^r\≤\underset{\‾}{R_{1-a}^c}-R^r\≤\stackrel{\‾}{S_{1-a}^c}+S^r\≤\stackrel{\‾}{R_{1-a}^c}+R^r$

構(gòu)建并求解出滿足(1-α)²置信度水平下結(jié)構(gòu)二維應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型的集合可靠性度量如下：

$R_{s,{(1-\mathrm{\α})}^2}=1-\frac{{\[(\stackrel{\‾}{S_{1-a}^c}+S^r)-(\underset{\‾}{R_{1-a}^c}-R^r)\]}^2}{8S^r{R}^r}$

綜上，可實(shí)現(xiàn)從樣本出發(fā)的滿足一定置信度要求下結(jié)構(gòu)非概率集合可靠性的綜合評(píng)價(jià)。

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比的優(yōu)點(diǎn)在于：

本發(fā)明提供了處理有限樣本下含置信度要求的結(jié)構(gòu)可靠性分析的新思路，彌補(bǔ)和完善了現(xiàn)有結(jié)構(gòu)可靠性分析理論和方法的局限性。首先，利用應(yīng)力和強(qiáng)度樣本間的拓?fù)潢P(guān)系和距離信息，定了灰色距離測(cè)度，進(jìn)而建立了灰色置信度要求下的應(yīng)力和強(qiáng)度均值的量化區(qū)間；再將置信區(qū)間與結(jié)構(gòu)非概率集合可靠性理論相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了從樣本出發(fā)，同時(shí)包含置信度和可靠度雙重標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)安全性校核，為結(jié)構(gòu)的精細(xì)化設(shè)計(jì)提供了合理的理論支持。

附圖說明

圖1是本發(fā)明基于灰色置信區(qū)間的結(jié)構(gòu)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型可靠性分析流程圖；

圖2是本發(fā)明針對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型的數(shù)學(xué)表達(dá)示意圖；

圖3是本發(fā)明提出的不同灰密度指標(biāo)下應(yīng)力或強(qiáng)度均值區(qū)間邊界示意圖；

圖4是本發(fā)明提出的灰色置信度下結(jié)構(gòu)應(yīng)力或均值置信區(qū)間計(jì)算示意圖；

圖5是本發(fā)明提出的滿足置信度要求結(jié)構(gòu)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型集合可靠度計(jì)算示意圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合附圖以及具體實(shí)施方式進(jìn)一步說明本發(fā)明。

如圖1所示，本發(fā)明提出了一種基于灰色置信區(qū)間的結(jié)構(gòu)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型集合可靠性分析方法，包括以下步驟：

(1)如圖2所示，考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力S和強(qiáng)度R具有不確定性，可通過下式進(jìn)行數(shù)學(xué)表征：

$S\∈S^I=\[\underset{\‾}{S},\stackrel{\‾}{S}\]=\[S^c-S^r,S^c+S^r\]$

和

$R\∈R^I=\[\underset{\‾}{R},\stackrel{\‾}{R}\]=\[R^c-R^r,R^c+R^r\]$

其中，S^I和R^I分別表示結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的可行區(qū)間，S和R表示應(yīng)力區(qū)間和強(qiáng)度區(qū)間的下界，和表示應(yīng)力區(qū)間和強(qiáng)度區(qū)間的上界，S^c和R^c是結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的均值，S^r和R^r是結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的半徑。通常情況下，結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的均值滿足R^c>S^c，此外，本發(fā)明中結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度半徑S^r和R^r的取值為已知量。

(2)為了實(shí)現(xiàn)第一步中結(jié)構(gòu)應(yīng)力S和強(qiáng)度R的區(qū)間表達(dá)，需借助真實(shí)試驗(yàn)條件或數(shù)值仿真手段，首先獲得描述結(jié)構(gòu)應(yīng)力S和強(qiáng)度R有限樣本的遞增序列如下：

S_data＝{S_data(1),S_data(2),...,S_data(m)}和R_data＝{R_data(1),R_data(2),...,R_data(n)}

其中，m和n分別代表應(yīng)力樣本序列和強(qiáng)度樣本序列的樣本容量并滿足：3＜m,n≤10。進(jìn)而，基于灰色關(guān)聯(lián)理論，分別定義出應(yīng)力樣本序列S_data和強(qiáng)度樣本序列R_data中任意樣本與觀測(cè)樣本間的灰色距離測(cè)度如下：

$d_g(S_i,S_j)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d(S_i,S_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|S_i-S_j|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d(S_i,S_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}},i,j=1,2,...,m$

和

$d_g(R_i,R_j)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d(R_i,R_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|R_i-R_j|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d(R_i,R_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}},i,j=1,2,...,n$

其中，d_g(S_i,S_j)和d_g(R_i,R_j)分別表示面向S_data和R_data的灰色距離測(cè)度，||d(S_i,S_data)||_∞和||d(R_i,R_data)||_∞分別代表應(yīng)力和強(qiáng)度樣本對(duì)應(yīng)于樣本序列的無(wú)窮范數(shù)，其具體表達(dá)式為：

$\left|\right|d(S_i,S_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}=\underset{k}{max}\{|S_{data\left(k\right)}-S_i|,k=1,2,...,m\}$

和

$\left|\right|d(R_i,R_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}=\underset{k}{max}\{|R_{data\left(k\right)}-R_i|,k=1,2,...,n\}$

|·|為絕對(duì)值運(yùn)算符，ξ為分辨系數(shù)，這里取值為0.5，i、j和k表示計(jì)數(shù)指標(biāo)。

(3)根據(jù)第二步定義的灰色距離測(cè)度，以S_data和R_data中每一個(gè)樣本作為觀測(cè)樣本，分別計(jì)算其與整個(gè)樣本序列的灰色距離測(cè)度，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行平均處理，得到面向完整應(yīng)力和強(qiáng)度樣本序列的平均測(cè)度函數(shù)和如下：

$J_{S_i}=\frac{1}{m}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{d}_g(S_i,S_j),i=1,2,...,m$

和

$J_{R_i}=\frac{1}{n}\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{d}_g(R_i,R_j),i=1,2,...,n$

再利用歸一化方法，將和轉(zhuǎn)化為加權(quán)函數(shù)和即：

和

進(jìn)而，結(jié)合灰色數(shù)學(xué)理論中的累加灰生成思想，計(jì)算出基于有限樣本數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度均值的灰色估計(jì)值：和這里，加權(quán)函數(shù)表示樣本序列S_data中樣本S_i在灰色估計(jì)值中所占的比例，加權(quán)函數(shù)表示樣本序列R_data中樣本R_i在灰色估計(jì)值中所占的比例，于是有：且

(4)將第三步計(jì)算出的灰色估計(jì)值和作為新的樣本，分別加入到原始應(yīng)力樣本序列S_data和原始強(qiáng)度樣本序列R_data中，于是，樣本序列更新為：

和

為了探究結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度均值S^c和R^c與灰色估計(jì)值和之間的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，利用第二步中建立的灰色距離測(cè)度表達(dá)式，建立灰密度指標(biāo)θ下的如下表達(dá)式：

和

如圖3所示，由于灰色距離測(cè)度和具有分段單調(diào)性，即當(dāng)和時(shí)，和單調(diào)遞增，當(dāng)和時(shí)，和單調(diào)遞減，當(dāng)和時(shí)，和取極大值1。因此，上述不等式中一旦S^c和R^c已知，灰密度指標(biāo)θ可唯一確定，反之，若θ已知，對(duì)于結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度均值的計(jì)算將等效轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求解邊值問題。即當(dāng)和時(shí)，有：

$d_g\left(S^c,\hat{S}\right)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(S^c,S_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|S^c-\hat{S}|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(S^c,S_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}\≥\mathrm{\θ}\⇒S^c\≥\hat{S}-0.5\left(1-\mathrm{\θ}\right)\left|\right|d\left(S^c,S_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}$

和

$d_g\left(R^c,\hat{R}\right)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(R^c,R_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|R^c-\hat{R}|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(R^c,R_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}\≥\mathrm{\θ}\⇒R^c\≥\hat{R}-0.5\left(1-\mathrm{\θ}\right)\left|\right|d\left(R^c,R_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}$

反之，當(dāng)和時(shí)，有：

$d_g\left(S^c,\hat{S}\right)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(S^c,S_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|\hat{S}-S^c|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(S^c,S_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}\≥\mathrm{\θ}\⇒S^c\≤\hat{S}+0.5\left(1-\mathrm{\θ}\right)\left|\right|d\left(S^c,S_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}$

和

$d_g\left(R^c,\hat{R}\right)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(R^c,R_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|\hat{R}-R^c|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(R^c,R_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}\≥\mathrm{\θ}\⇒R^c\≤\hat{R}+0.5\left(1-\mathrm{\θ}\right)\left|\right|d\left(R^c,R_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}$

通過賦值灰密度指標(biāo)θ并求解上式，分別得到當(dāng)前灰密度水平下均值S^c和R^c的可行邊界，即：

和

這里，和分別基于樣本更新序列和中有限樣本間的拓?fù)潢P(guān)系和距離關(guān)系，反映了S^c和R^c與灰色估計(jì)值和間的匹配程度；灰密度指標(biāo)θ滿足其取值越大，表明均值S^c和R^c出現(xiàn)在灰色估計(jì)值和附近的可能性越大。

(5)遍歷灰密度指標(biāo)θ的取值空間，分別建立結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度均值的灰密度函數(shù)f_θ(S^c)和f_θ(R^c)并滿足：

$f_{\mathrm{\θ}}\left(S^c\right)=\frac{\mathrm{\θ}}{{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{\hat{S}}\underset{\‾}{S^c\left(\mathrm{\θ}\right)}\·\mathrm{\θ}d\underset{\‾}{S^c\left(\mathrm{\θ}\right)}+{\∫}_{\hat{S}}^{+\mathrm{\∞}}\stackrel{\‾}{S^c\left(\mathrm{\θ}\right)}\·\mathrm{\θ}d\stackrel{\‾}{S^c\left(\mathrm{\θ}\right)}}$

和

$f_{\mathrm{\θ}}\left(R^c\right)=\frac{\mathrm{\θ}}{{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{\hat{R}}\underset{\‾}{R^c\left(\mathrm{\θ}\right)}\·\mathrm{\θ}d\underset{\‾}{R^c\left(\mathrm{\θ}\right)}+{\∫}_{\hat{R}}^{+\mathrm{\∞}}\stackrel{\‾}{R^c\left(\mathrm{\θ}\right)}\·\mathrm{\θ}d\stackrel{\‾}{R^c\left(\mathrm{\θ}\right)}}$

如圖4所示，給定置信度水平1-α，利用數(shù)值積分方法計(jì)算出滿足灰色置信度要求的應(yīng)力和強(qiáng)度均值S^c和R^c的置信區(qū)間和并滿足：

${\∫}_{\underset{\‾}{S_{1-a}^c}}^{\stackrel{\‾}{S_{1-a}^c}}{f}_{\mathrm{\θ}}\left(S^c\right)\·S^c{\mathrm{dS}}^c={\∫}_{\underset{\‾}{R_{1-a}^c}}^{\stackrel{\‾}{R_{1-a}^c}}{f}_{\mathrm{\θ}}\left(R^c\right)\·R^c{\mathrm{dR}}^c=1-\mathrm{\α}$

這里，置信度水平1-α的取值范圍是：0＜1-α≤1，本發(fā)明中，置信度水平賦值為0.975，即α＝0.025。

(6)根據(jù)第五步求得的滿足灰色置信度要求的均值置信區(qū)間和結(jié)合確知的結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度半徑S^r和R^r，基于面積比思想，針對(duì)如圖5所示的典型工況，即：結(jié)構(gòu)二維應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型應(yīng)滿足：

$\underset{\‾}{S_{1-a}^c}-S^r\≤\underset{\‾}{R_{1-a}^c}-R^r\≤\stackrel{\‾}{S_{1-a}^c}+S^r\≤\stackrel{\‾}{R_{1-a}^c}+R^r$

構(gòu)建并求解出滿足(1-α)²置信度水平下結(jié)構(gòu)二維應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型的集合可靠性度量如下：

$R_{s,{(1-\mathrm{\α})}^2}=1-\frac{{\[(\stackrel{\‾}{S_{1-a}^c}+S^r)-(\underset{\‾}{R_{1-a}^c}-R^r)\]}^2}{8S^r{R}^r}$

綜上，可實(shí)現(xiàn)從樣本出發(fā)的滿足一定置信度要求下結(jié)構(gòu)非概率集合可靠性的綜合評(píng)價(jià)。

實(shí)施例：

為了更充分地了解該發(fā)明的特點(diǎn)及其對(duì)工程實(shí)際的適用性，本發(fā)明針對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的有限數(shù)據(jù)信息完成基于灰色置信區(qū)間的結(jié)構(gòu)可靠性分析。其中，結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的半徑已知，即：S^r＝3，R^r＝1.5?；谶^往經(jīng)驗(yàn)，表征結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的數(shù)據(jù)信息較多，共有15個(gè)樣本點(diǎn)；考慮工程問題的復(fù)雜性，表征結(jié)構(gòu)應(yīng)力的數(shù)據(jù)信息需要借由個(gè)體試驗(yàn)獲得，因此數(shù)據(jù)量較少，共有5個(gè)樣本點(diǎn)。經(jīng)排序后，可知結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的遞增樣本序列為：

S_data＝{44.3,46.9,48.1,50.0,51.4}

R_data＝{49.3,49.6,49.6,49.7,49.9,50.2,50.3,50.4,50.5,50.6,50.6,50.9,51.0,51.2,51.4}

根據(jù)本發(fā)明提出的方法，利用定義的灰色距離測(cè)度，分別計(jì)算得到灰色估計(jì)值：和根據(jù)灰色數(shù)學(xué)理論，可以分別計(jì)算得到結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度均值在置信度水平為0.975下的灰色置信區(qū)間為：

和

根據(jù)已知的半徑信息，可以進(jìn)一步獲得灰色置信度為0.975下結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的置信區(qū)間為：S∈[45.36,51.30]和R∈[48.61,52.18]，進(jìn)而，該應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型在滿足置信度要求下的結(jié)構(gòu)集合可靠度為：

$R_{s,{0.975}^2}=R_{s,0.95}=1-\frac{{\[(\stackrel{\‾}{S_{1-a}^c}+S^r)-(\underset{\‾}{R_{1-a}^c}-R^r)\]}^2}{8S^r{R}^r}=1-\frac{{(51.3-48.61)}^2}{8\×3\×1.5}=80.1\%$

因此，在置信度滿足0.95的條件下，本實(shí)施例中結(jié)構(gòu)可靠度下限達(dá)到80.1％。

綜上所述，本發(fā)明提出了一種基于灰色置信區(qū)間的結(jié)構(gòu)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型集合可靠性分析方法。該方法利用有限的結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度樣本數(shù)據(jù)，通過探究數(shù)據(jù)間的距離關(guān)系與拓?fù)潢P(guān)系，結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)思想，構(gòu)建出表征應(yīng)力和強(qiáng)度均值變化范圍灰色置信區(qū)間。進(jìn)而，將量化區(qū)間結(jié)果與結(jié)構(gòu)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型相結(jié)合，最終實(shí)現(xiàn)了滿足置信度要求的結(jié)構(gòu)集合可靠性評(píng)估。本發(fā)明所提出的方法可以從有限的樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，完成置信度和可靠度雙重標(biāo)準(zhǔn)下結(jié)構(gòu)安全態(tài)勢(shì)的合理評(píng)價(jià)，具有更為鮮明的工程實(shí)用價(jià)值。

以上僅是本發(fā)明的具體步驟，對(duì)本發(fā)明的保護(hù)范圍不構(gòu)成任何限制；其可擴(kuò)展應(yīng)用于含多源不確定性大型結(jié)構(gòu)在有限試驗(yàn)且滿足置信度條件下的集合可靠性分析領(lǐng)域，凡采用等同變換或者等效替換而形成的技術(shù)方案，均落在本發(fā)明權(quán)利保護(hù)范圍之內(nèi)。

本發(fā)明未詳細(xì)闡述部分屬于本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知技術(shù)。