本發(fā)明涉及被布置成在交換環(huán)中執(zhí)行混淆算術(shù)的電子計算設(shè)備。本發(fā)明進(jìn)一步涉及電子計算方法、計算機(jī)程序和計算機(jī)可讀介質(zhì)。
背景技術(shù)：
：在白盒密碼術(shù)和更一般地軟件混淆中，常常對已編碼值而不是明文值執(zhí)行計算。如果對已編碼值而不是對明文值本身執(zhí)行計算，則已混淆軟件的逆向工程是更難的。在編碼之后，不再能使用計算機(jī)的內(nèi)置原語來執(zhí)行規(guī)則運算，例如加法或乘法。已編碼值的簡單加法正常地不導(dǎo)致值的加法的編碼。這也適用于乘法。有公式：對于大多數(shù)x和y而言，；e指代編碼函數(shù)。此問題的解決方案是引入加法（a）和乘法（m）表。該表取兩個已編碼值作為輸入并產(chǎn)生已編碼值作為輸出，其對應(yīng)于加法或乘法運算的編碼?？梢詫⒃摫矶x為：。這些表允許直接地對已編碼值執(zhí)行算術(shù)。使用表的已混淆加法和乘法遭受至少兩個缺點的影響。首先，表可以變得相當(dāng)大。如果將x和y表示為l比特，則每個表需要比特。其次，這樣的大的表在軟件中可以被容易地找到。更壞的是，表可能仍被標(biāo)識為加法或乘法運算，即使其被編碼；例如，通過在編碼中保留的這些函數(shù)的性質(zhì)。例如，乘法表滿足。攻擊者可以使用此性質(zhì)和類似性質(zhì)來猜測該表表示哪個運算。技術(shù)實現(xiàn)要素：在由同一個申請人提出的之前的申請中，呈現(xiàn)了用于執(zhí)行混淆算術(shù)的改進(jìn)的方法。以名稱“electroniccalculatingdeviceforperformingobfuscatedarithmetic”、提交日期：2014年9月30日、申請?zhí)枺?4186951.1向歐洲專利局（epo）遞交了該之前的申請。以引用方式將該之前的申請整體上包括在本文中，并且特別是其對于使用通過整數(shù)環(huán)進(jìn)行的同構(gòu)混淆的計算設(shè)備的描述。本發(fā)明人發(fā)現(xiàn)在某些情況下可以使用單個表來執(zhí)行對已編碼值的乘法和加法，而不必將多個值編碼成單個已編碼值。由于同一表被用于加法和乘法，所以在逆向工程期間將難以看到執(zhí)行的是加法還是乘法。當(dāng)從外部看時，由于加法和乘法看起來是相同的運算，所以本發(fā)明人將這種方法稱為“同構(gòu)混淆”。即使攻擊者能夠找到所使用的表，并且即使他能夠以某種方式計算出其作為增量表的函數(shù)，但是他仍將不會知道是執(zhí)行了加法還是乘法運算。表作用于整數(shù)列表的元素的方式對于加法和乘法而言將不同，然而這可以使用傳統(tǒng)混淆來容易地隱藏。另外，所使用的單個表也小于在
背景技術(shù)：
中所討論的表：需要大約比特。即使僅使用加法，混淆加法所需的表也小于在
背景技術(shù)：
中提出的表。例如，可以將環(huán)元素編碼為兩個整數(shù)（a，b）。可以使用將已編碼環(huán)元素映射到已編碼環(huán)元素加增量值的增量表直接地對編碼執(zhí)行算術(shù)。例如，如果，則該表可以將（a，b）映射到（c，d）。通過增量表的重復(fù)應(yīng)用來執(zhí)行加法和乘法兩者。混淆算術(shù)適用于許多不同交換環(huán)r，但并不是每個環(huán)都允許編碼為整數(shù)列表。交換環(huán)是數(shù)學(xué)概念，其包括許多不同的常見的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，例如取數(shù)為模的整數(shù)（）或者取數(shù)和多項式為模的多項式（）。域是交換環(huán)的特殊情況。應(yīng)當(dāng)指出，后兩種類型的交換環(huán)常規(guī)上由模運算定義。例如，取整數(shù)為模的整數(shù)（）安全由整數(shù)模數(shù)（m）定義。同樣地，多項式環(huán)（）由模數(shù)（）定義。多項式系數(shù)是模系數(shù)，即，取整數(shù)（n）為模的整數(shù)。盡管同構(gòu)混淆是比常規(guī)形式的混淆有利的，但是例如由于較小的表，所以需要將同構(gòu)混淆的范圍擴(kuò)展到較大的整數(shù)。表的大小隨底層環(huán)的大小高于線性地增長。用于達(dá)到此目的的一種有利的方法是在由余數(shù)系統(tǒng)中的組合模數(shù)（m）定義的交換環(huán)中進(jìn)行計算，針對模數(shù)（）序列定義余數(shù)系統(tǒng)。操作數(shù)存儲裝置被布置成存儲取所述組合模數(shù)（m）為模的一個或多個操作數(shù)作為取所述模數(shù)為模的環(huán)元素的一個或多個序列，序列的每個環(huán)元素是與模數(shù)序列的對應(yīng)的模數(shù)相關(guān)聯(lián)的。計算單元被布置成根據(jù)環(huán)元素數(shù)系統(tǒng)使操作數(shù)存儲裝置的第一和第二操作數(shù)相加和/或相乘。在一個實施例中，計算單元對所述整數(shù)列表進(jìn)行操作，所述操作包括：取基元素的階數(shù)為模的模運算，與模數(shù)序列的兩個不同的模數(shù)相關(guān)聯(lián)的至少兩個基元素的階數(shù)是相等的。同構(gòu)混淆運算涉及其中模數(shù)是基元素的階數(shù)的模運算。因此，即使模數(shù)是不同的，實際的模運算也可以是相同的。這減小了代碼大小并且改進(jìn)了混淆；不能根據(jù)模運算而分辨針對哪些模數(shù)執(zhí)行了該模運算。例如，計算單元可以被布置成檢索用于執(zhí)行加法和/或乘法運算的整數(shù)列表中的兩個整數(shù)。根據(jù)本發(fā)明的方法可以作為計算機(jī)實現(xiàn)方法在計算機(jī)上實現(xiàn)、或者在專用硬件中實現(xiàn)、或以兩者的組合的方式實現(xiàn)。用于根據(jù)本發(fā)明的方法的可執(zhí)行代碼可以存儲在計算機(jī)程序產(chǎn)品上。計算機(jī)程序產(chǎn)品的示例包括存儲器設(shè)備、光學(xué)存儲設(shè)備、集成電路、服務(wù)器、在線軟件等。優(yōu)選地，計算機(jī)程序產(chǎn)品包括存儲在計算機(jī)可讀介質(zhì)上以便當(dāng)所述程序產(chǎn)品在計算機(jī)上執(zhí)行時執(zhí)行根據(jù)本發(fā)明的方法的非臨時程序代碼裝置。在優(yōu)選實施例中，計算機(jī)程序包括適合于當(dāng)計算機(jī)程序在計算機(jī)上運行時執(zhí)行根據(jù)本發(fā)明的方法的所有步驟的計算機(jī)程序代碼裝置。優(yōu)選地，在計算機(jī)可讀介質(zhì)上體現(xiàn)計算機(jī)程序。電子計算設(shè)備可以是例如移動電話這樣的移動電子設(shè)備或者機(jī)頂盒、計算機(jī)等。根據(jù)本發(fā)明的方法可以作為計算機(jī)實現(xiàn)方法在計算機(jī)上實現(xiàn)、或者在專用硬件中實現(xiàn)、或以兩者的組合的方式實現(xiàn)。用于根據(jù)本發(fā)明的方法的可執(zhí)行代碼可以存儲在計算機(jī)程序產(chǎn)品上。計算機(jī)程序產(chǎn)品的示例包括存儲器設(shè)備、光學(xué)存儲設(shè)備、集成電路、服務(wù)器、在線軟件等。優(yōu)選地，計算機(jī)程序產(chǎn)品包括存儲在計算機(jī)可讀介質(zhì)上以便當(dāng)所述程序產(chǎn)品在計算機(jī)上執(zhí)行時執(zhí)行根據(jù)本發(fā)明的方法的非臨時程序代碼裝置。在優(yōu)選實施例中，計算機(jī)程序包括適合于當(dāng)計算機(jī)程序在計算機(jī)上運行時執(zhí)行根據(jù)本發(fā)明的方法的所有步驟的計算機(jī)程序代碼裝置。優(yōu)選地，在計算機(jī)可讀介質(zhì)上體現(xiàn)計算機(jī)程序。本發(fā)明的另一個方面提供使所述計算機(jī)程序?qū)τ谙螺d可用的方法。在所述計算機(jī)程序被上傳到例如蘋果的appstore、谷歌的playstore或者微軟的windowsstore中時，并且在所述計算機(jī)程序?qū)τ趶倪@樣的商店下載可用時，使用這個方面。附圖說明將僅通過示例參考附圖描述本發(fā)明的進(jìn)一步的細(xì)節(jié)、方面和實施例。附圖中的元件是為了簡單和清楚起見被圖示的，并且不必是按比例繪制的。在附圖中，與已描述的元素相對應(yīng)的元素可以具有相同的參考標(biāo)號。在附圖中：圖1a示意性地示出了電子計算設(shè)備的實施例的示例，圖1b示意性地示出了取第一模數(shù)為模的余數(shù)的示例，圖2示意性地示出了電子計算設(shè)備的實施例的示例，圖3示意性地示出了電子計算方法的實施例的示例，圖4a示出了根據(jù)實施例的具有包括計算機(jī)程序的可寫部分的計算機(jī)可讀介質(zhì)，圖4b示出了根據(jù)實施例的處理器系統(tǒng)的示意性表示。圖1-2中的參考標(biāo)號列表：100電子計算設(shè)備101第一操作數(shù)106第二操作數(shù)102，107取第一模數(shù)為模的余數(shù)103，108取第二模數(shù)為模的余數(shù)104，109取第三模數(shù)為模的余數(shù)102.1，102.2整數(shù)107.1，107.2整數(shù)110操作數(shù)存儲裝置120表存儲裝置121表的序列122針對第一模數(shù)的增量表123針對第二模數(shù)的增量表124針對第三模數(shù)的增量表130計算單元131加法單元的序列132第一加法單元133第二加法單元134第三加法單元136乘法單元的序列137第一乘法單元138第二乘法單元139第三乘法單元141取模操作符的序列142針對取第一模數(shù)為模的第一基元素的階數(shù)的取模操作符143針對取第二模數(shù)為模的第二基元素的階數(shù)的取模操作符144針對取第三模數(shù)為模的第三基元素的階數(shù)的取模操作符200電子計算設(shè)備230計算單元232加法單元237乘法單元242取模操作符。具體實施方式雖然本發(fā)明可以有許多不同形式的實施例，但在圖中示出且將在本文中詳細(xì)地描述一個或多個特定實施例，并且應(yīng)理解的是應(yīng)將本公開內(nèi)容視為本發(fā)明的原理的示例且其并不意圖使本發(fā)明局限于所示和所述的特定實施例。在下文中，為了便于理解，在操作中描述實施例的元件。然而，將顯而易見的是，相應(yīng)元件被布置成執(zhí)行被描述為由其執(zhí)行的功能。圖1a示意性地示出了電子計算設(shè)備100的實施例的示例。計算設(shè)備100包括操作數(shù)存儲裝置110。操作數(shù)存儲裝置110被布置成存儲將對其執(zhí)行計算的一個或多個操作數(shù)。計算包括加法運算。計算可以還包括乘法運算。通過組合加法和/或乘法運算和控制邏輯，可以構(gòu)造例如減法和除法運算這樣的額外的運算。圖1a示出了存儲在操作數(shù)存儲裝置110中的兩個操作數(shù)：操作數(shù)101和操作數(shù)106。盡管圖1a示出了僅兩個操作數(shù)，但可以存在更多的操作數(shù)。操作數(shù)表示取組合模數(shù)（m）為模的余數(shù)。以適合于余數(shù)系統(tǒng)的方式表示操作數(shù)。余數(shù)系統(tǒng)由模數(shù)（）序列定義。每個模數(shù)定義一個交換環(huán)。在實施例中，模數(shù)全部是整數(shù)，或者它們?nèi)渴嵌囗検?。在后一種情況下，多項式具有對于全部多項式來說自身取自同一個環(huán)的系數(shù)。這些多項式的系數(shù)可以是模系數(shù)，即，取模數(shù)為模的整數(shù)。用于定義系數(shù)的環(huán)的模數(shù)對于全部模數(shù)是相同的。在模數(shù)序列中的模數(shù)是整數(shù)的情況下，對應(yīng)的環(huán)被指代為。在模數(shù)序列中的模數(shù)是多項式的情況下，對應(yīng)的環(huán)被指代為。在后一個示例中，多項式的系數(shù)的公共模數(shù)被指代為n。組合模數(shù)可以被取為模數(shù)序列中的模數(shù)（）的最小公倍數(shù)。在模數(shù)是成對的質(zhì)數(shù)的情況下，組合模數(shù)可以被取為模數(shù)的積。為表示取余數(shù)系統(tǒng)中的組合模數(shù)為模的數(shù)x，該數(shù)被映射到序列，其中，貫穿模數(shù)到。在實施例中，組合模數(shù)是上面提到的最小公倍數(shù)的真除數(shù)。這具有可以被表示的數(shù)的空間較小的缺點，但另一方面，數(shù)得到更多的表示，這在混淆計算的某些實施例中可能是期望的。存儲在操作數(shù)存儲裝置110中的操作數(shù)被表示為取模數(shù)為模的環(huán)元素的序列。盡管序列中的每個環(huán)元素是與模數(shù)序列中的對應(yīng)模數(shù)相關(guān)聯(lián)的，但不需要按次序存儲序列。例如，可以遍及操作數(shù)存儲裝置的各處存儲序列。圖1a示出了被存儲為三個余數(shù)的序列的第一操作數(shù)101：取第一模數(shù)為模的余數(shù)102、取第二模數(shù)為模的余數(shù)103和取第三模數(shù)為模的余數(shù)104。類似地，第二操作數(shù)106被存儲為三個余數(shù)的序列：取第一模數(shù)為模的余數(shù)107、取第二模數(shù)為模的余數(shù)108和取第三模數(shù)為模的余數(shù)109。第一、第二和第三余數(shù)是分別取、和為模的余數(shù)。可以存在不同數(shù)量的模數(shù)，比如說可以僅存在兩個模數(shù)或者存在多于3個模數(shù)。通常，全部模數(shù)是不同的。在實施例中，模數(shù)是成對的質(zhì)數(shù)。對于成對的質(zhì)數(shù)的模數(shù)，組合模數(shù)可以被取為模數(shù)的積，這使組合模數(shù)相對較大。計算設(shè)備100包括被布置成根據(jù)余數(shù)系統(tǒng)使運算數(shù)存儲裝置的第一和第二運算數(shù)相加和/或相乘的計算單元130。例如，考慮被表示為兩個序列和（在運算數(shù)的序列中，下標(biāo)延伸為尋址全部模數(shù)，例如，從1到n）的兩個運算數(shù)x和y，例如運算數(shù)101和106。為使兩個運算數(shù)相加，計算設(shè)備可以計算序列；應(yīng)當(dāng)指出，序列的每個元素被計算為取模數(shù)序列的對應(yīng)模數(shù)為模。類似地，為使兩個運算數(shù)相乘，計算設(shè)備可以計算序列；在本文中也有：序列的每個元素被計算為取模數(shù)序列的對應(yīng)模數(shù)為模。這是余數(shù)系統(tǒng)的結(jié)果，其帶來取組合模數(shù)為模的加法和乘法的表示。后者被中國余式定理證明。對于后一種加法或者乘法運算中的至少一項，使用了同構(gòu)混淆。這暗示所執(zhí)行的實際計算包括針對與模數(shù)自身不同的模數(shù)的模運算。因此，盡管在功能上完成了取特定模數(shù)為模的加法或者乘法，但實際的計算僅示出針對不同的數(shù)的模運算。這種稀奇的情況是同構(gòu)混淆的后果之一，并且在下面和所引用的之前申請中被進(jìn)一步闡述。該實施例中的模數(shù)已被特別地選擇為使得它們允許同構(gòu)混淆。具體地，對于序列中的每個模數(shù)（），存在滿足如下這樣的條件的關(guān)聯(lián)的基元素（）：取模數(shù)（）為模的每個環(huán)元素（）可以被表述為整數(shù)列表（），使得環(huán)元素等于基元素的冪的線性組合，其中，冪具有由整數(shù)列表確定的指數(shù)。用于將環(huán)元素表示為冪的線性組合的標(biāo)準(zhǔn)方法是通過將環(huán)元素表示為基元素的兩個冪之間的差；冪的指數(shù)被包括在整數(shù)列表中。例如，每個取模數(shù)為模的環(huán)元素可以被寫為。我們也將把該表示稱為示例表示。但是，存在用于表示環(huán)元素的不同的方法，例如。在之前的申請中給出了更多的示例。圖1b示意性地示出了取第一模數(shù)為模的余數(shù)的示例。所示出的是整數(shù)的列表，其包括整數(shù)107.1和107.2。例如，余數(shù)107可以由兩個整數(shù)107.1和107.2表示，使得被表示的余數(shù)是基元素的冪的線性組合-，其中，冪具有由整數(shù)列表確定的指數(shù)。在該示例中，整數(shù)107.1可以是，以及整數(shù)107.2可以是。也使用整數(shù)102.1和102.2將針對同一個模數(shù)的運算數(shù)102中的余數(shù)表示為整數(shù)列表。在實施例中，整數(shù)列表中的整數(shù)在0與基元素的階數(shù)減1（含）之間。可以類似地存儲存儲裝置110中的其它余數(shù)，例如102、103、104、108、109。在實施例中，與特定模數(shù)相關(guān)聯(lián)的序列中的全部環(huán)元素被表示為整數(shù)列表。例如，如果環(huán)元素107被表示為整數(shù)列表，則也可以使用同一個基元素將對應(yīng)的環(huán)元素102表示為整數(shù)列表；這允許使用同構(gòu)混淆執(zhí)行涉及元素107和102兩者的計算。使用同構(gòu)混淆對余數(shù)執(zhí)行算術(shù)一般地涉及兩種類型的運算：對取基元素的階數(shù)為模的整數(shù)列表中的整數(shù)的算術(shù)和應(yīng)用表。后者表被稱為增量表，因為它向根據(jù)整數(shù)列表中的整數(shù)確定的環(huán)元素加上了固定元素。存在用于組織這些計算的不同方法。以下闡述了這可以如何對于示例表示來完成，在之前的申請中給出了更多示例。返回圖1a，計算設(shè)備100包括表存儲裝置120。表存儲裝置120被布置成，對于序列中的模數(shù)中的每個模數(shù)，存儲關(guān)聯(lián)于模數(shù)序列中的模數(shù)的針對增量元素（-1;1;）定義的增量表（t）。在圖1的示例中，存在三個不同的模數(shù)，每個模數(shù)是關(guān)聯(lián)于三個基元素中的一個基元素的，并且每個模數(shù)是與一個增量表相關(guān)聯(lián)的。表存儲裝置120存儲增量表的序列121。該序列包括增量表122、123和124。我們可以將表指代為與模數(shù)和基元素相對應(yīng)的。計算期間不需要模數(shù)和基元素，并且不需要將模數(shù)和基元素明確地存儲在計算設(shè)備100中；然而，為執(zhí)行計算，需要增量表。增量表取決于模數(shù)、基元素、冪與環(huán)元素之間的所選擇的線性映射和增量值。增量表將輸入環(huán)元素（例如，）映射到對輸出環(huán)元素（例如，）進(jìn)行編碼的輸出整數(shù)列表（例如，），使得輸出環(huán)元素等于將增量元素加到輸入環(huán)元素（例如，），輸出環(huán)元素等于基元素（u）的冪的線性組合，其中，冪具有由輸出整數(shù)列表確定的指數(shù)。增量值可以是1，但那不是必需的；它也可以是-1或者基元素的冪和其它值。返回計算單元130：如已指出的，通過使用余數(shù)系統(tǒng)，可以通過執(zhí)行單獨的計算的序列來執(zhí)行取組合模數(shù)為模的加法和乘法，每個單獨的計算取模數(shù)序列中的一個模數(shù)為模。例如，計算單元130可以包括加法單元的序列131和乘法單元的序列136。如果不期望任何乘法運算，則可以省略乘法單元。加法和/或乘法單元中的每項計算取模數(shù)中的一個模數(shù)為模。圖1示出了加法單元132、133和134以及乘法單元137、137和139。計算單元130還包括例如實現(xiàn)為模單元的模運算符的序列141。模運算符執(zhí)行取與模數(shù)序列中的模數(shù)相關(guān)聯(lián)的基元素的階數(shù)為模的模運算。應(yīng)當(dāng)指出，模運算符141不被布置成執(zhí)行取序列中的模數(shù)自身為模的模運算。盡管在功能上計算了取序列中的模數(shù)為模的模運算，但在使用同構(gòu)混淆被編碼時，所執(zhí)行的實際計算是取基元素的階數(shù)為模的模運算。這種取不同的數(shù)（即，基元素的階數(shù)）為模的模運算可以實現(xiàn)編碼中的模運算由同構(gòu)混淆導(dǎo)致。模運算符141被相應(yīng)的加法和乘法單元131和136使用?？傊\算數(shù)被表示為取一些不同的模數(shù)為模的余數(shù)?；睾捅硎桥c每個模數(shù)相關(guān)聯(lián)的。余數(shù)中的至少一個但可能全部余數(shù)被表示為整數(shù)列表；表示取決于與余數(shù)的模數(shù)相關(guān)聯(lián)的基元素。使用與模數(shù)相關(guān)聯(lián)的基元素的階數(shù)進(jìn)行的模運算被一個或多個加法單元和乘法單元使用。在圖1a的示例中，余數(shù)102和107是針對同一個模數(shù)的，表122是針對與該模數(shù)相關(guān)聯(lián)的基元素的，加法單元和乘法單元132和137使用模運算符142運算取該模數(shù)為模。類似地，對于其它的模數(shù)同樣是這樣。在圖1a中，與模數(shù)序列中的同一個模數(shù)相關(guān)聯(lián)的全部元素被布置在豎列中。在該示例中，使用了三個不同的模數(shù)。也有可能使用兩個模數(shù)或者多于3個模數(shù)。不必要的是，取模數(shù)序列中的模數(shù)為模的全部余數(shù)使用同構(gòu)混淆被編碼，即，被表示為整數(shù)列表。例如，一些可以被表示為明文值，例如被表示為取關(guān)聯(lián)的模數(shù)為模的整數(shù)。例如，一些可以通過不同的方式被編碼，例如使用傳統(tǒng)的基于非同構(gòu)表的編碼。由于余數(shù)系統(tǒng)單獨地對每個模數(shù)進(jìn)行運算，所以可以并排地使用這樣不同的編碼。在下面的示例中，我們將假設(shè)使用同構(gòu)混淆將針對運算數(shù)的序列中的全部余數(shù)表示為整數(shù)列表。在運算中，計算單元130可以使運算數(shù)101和106相加。這可以如下來完成：加法或者乘法單元131或者136對整數(shù)列表102和107進(jìn)行運算，以便獲得中間整數(shù)列表；使用模運算符142對中間整數(shù)列表中的每個元素應(yīng)用模運算，即，取關(guān)聯(lián)的基元素的基為模。對產(chǎn)生的中間整數(shù)列表應(yīng)用表122。加法或者乘法單元可以繼續(xù)對表應(yīng)用的結(jié)果和整數(shù)列表102和/或107進(jìn)行運算，使用模運算符142執(zhí)行第二次模運算，并且再次應(yīng)用表122。對加法和乘法運算的更詳細(xì)的描述可以在之前的申請中找到。對于其它模數(shù)執(zhí)行類似的運算。結(jié)果是使用整數(shù)列表表示的加法或者乘法的表示。該結(jié)果可以被存儲在運算數(shù)存儲庫110中，并且被用于未來的計算?？梢酝ㄟ^組合加法和乘法運算實現(xiàn)其它運算。之前的申請給出了整數(shù)環(huán)（取整數(shù)模數(shù)為模的整數(shù)）或者多項式環(huán)（具有取多項式模數(shù)為模的模系數(shù)的多項式）的許多示例。圖2示意性地示出了電子計算設(shè)備200的實施例的示例。設(shè)備200是基于設(shè)備100的。運算數(shù)存儲裝置110和表存儲裝置120在設(shè)備200中可以與在設(shè)備100中相同。設(shè)備200在其對于模數(shù)和基元素以及計算設(shè)備230的選擇上不同。對于設(shè)備200，與模數(shù)序列中的兩個不同的模數(shù)相關(guān)聯(lián)的至少兩個基元素的階數(shù)是相同的。更優(yōu)選地，與模數(shù)序列中的模數(shù)相關(guān)聯(lián)的全部基元素的全部階數(shù)是相同的。如在設(shè)備100中那樣，組合模數(shù)可以等于模數(shù)序列中的模數(shù)（）的最小公倍數(shù)。圖2示出了其中全部階數(shù)相同的情況。如果兩個基元素具有相同的階數(shù)，則即使基元素是與不同的模數(shù)相關(guān)聯(lián)的，也可以對于針對該模數(shù)的模運算共享模運算符。應(yīng)當(dāng)指出，每個模數(shù)繼續(xù)在表存儲裝置120中具有它自己的增量表。如果不同的模數(shù)的基元素的階數(shù)相同，則對整數(shù)列表的運算全部相同，包括模運算，因為它取基元素的階數(shù)為模。然而，表運算仍然是對于每個不同的模數(shù)唯一的。因此，針對不同的模數(shù)的計算在很大程度上是相同的，僅僅使用了不同的增量表。甚至增量表的大小可以是相同的，因為增量表的大小可以取決于基元素的階數(shù)。（應(yīng)當(dāng)指出，在高級運算中，可以使整數(shù)列表中的整數(shù)之間的差限于所允許的差集。這可以導(dǎo)致增量表的大小對于不同的模數(shù)是不同的）。圖2中所示的計算單元230包括模運算符242、加法單元232和乘法單元237。在運算中，計算單元230可以使運算數(shù)101和106相加。這可以如下來完成：加法或者乘法單元232或者237對整數(shù)列表102和107進(jìn)行運算，以便獲得中間整數(shù)列表；使用模運算符242對中間整數(shù)列表中的每個元素應(yīng)用模運算，即，取關(guān)聯(lián)的基元素的基為模。對產(chǎn)生的中間整數(shù)列表應(yīng)用表122。加法或者乘法單元可以繼續(xù)對表應(yīng)用的結(jié)果和整數(shù)列表232和/或237進(jìn)行運算，使用模運算符242執(zhí)行第二次模運算，并且再次應(yīng)用表122。對于其它模數(shù)執(zhí)行類似的運算。例如：加法或者乘法單元232或者237對于整數(shù)列表103和108進(jìn)行運算，以便獲得中間整數(shù)列表；使用模運算符242對中間整數(shù)列表中的每個元素應(yīng)用模運算，即，取關(guān)聯(lián)的基元素的基為模。對產(chǎn)生的中間整數(shù)列表應(yīng)用表123。加法或者乘法單元可以繼續(xù)對表應(yīng)用的結(jié)果和整數(shù)列表232和/或237進(jìn)行運算，使用模運算符242執(zhí)行第二次模運算，并且再次應(yīng)用表123。等等。加法和乘法單元232和237被布置成對取序列的模數(shù)為模的計算應(yīng)用與模數(shù)相對應(yīng)的增量表。替換地，加法和乘法單元232和237可以如圖1中那樣實現(xiàn)為加法和乘法單元的序列。所述序列中的每個單元被布置成用于特定的增量表，但都使用模運算符242。使用單個模運算符242的一個優(yōu)點在于，不能根據(jù)計算軟件分辨對于哪個模運算執(zhí)行了計算。余數(shù)系統(tǒng)（rns）允許使用小模數(shù)，以便對較大模數(shù)地作出計算。以下模數(shù)全部具有階數(shù)30的基元素。下面針對每個模數(shù)給出了這樣的階數(shù)30的基元素的示例。模數(shù)9399143151181183209211231241基元素145423365627105310可以使用模數(shù)來創(chuàng)建rns數(shù)系統(tǒng)。例如，這些模數(shù)的兩個選擇是可能的，其具有大于2^32=4294967296的組合模數(shù)。93*143*181*209*231=11621329820199*151*183*211*241=139111402617。應(yīng)當(dāng)指出，這兩個集合中的全部模數(shù)是互質(zhì)的。因此，通過使用僅使用適合字節(jié)的元素的運算，可以計算對32位字的運算。對于rns和混合基數(shù)系統(tǒng)的完整描述，例如見omondi,a.,prekumar,b.：residuenumbersystems.theoryandimplementation.imperialcollegepress（余數(shù)系統(tǒng)，理論和實現(xiàn)，帝國理工大學(xué)出版社）?？梢灶愃频貥?gòu)造多項式余數(shù)系統(tǒng)。例如，選擇允許對于同一基環(huán)的同構(gòu)混淆的一些互質(zhì)的多項式。對應(yīng)的rns系統(tǒng)允許對大得多的多項式的混淆計算，例如取所選擇的多項式的積為模。運算數(shù)存儲庫110和表存儲庫120可以實現(xiàn)為電子存儲器。它們可以被合并到單個存儲庫中，例如被合并為單個電子存儲器。增量表可以實現(xiàn)為查找表。通常，設(shè)備100和200各自包括微處理器（未示出），其執(zhí)行存儲在設(shè)備100和200處的適當(dāng)軟件；例如，該軟件可能已被下載和/或存儲在對應(yīng)的存儲器中，例如，諸如ram之類的易失性存儲器或諸如閃存（未示出）之類的非易失性存儲器。替換地，設(shè)備100和200可以完全或部分地用可編程邏輯（例如作為現(xiàn)場可編程門陣列（fpga））實現(xiàn)。設(shè)備100和200可以完全地或部分地實現(xiàn)為所謂的專用集成電路（asic），即針對其特定用途而自定義的集成電路（ic）。表和運算數(shù)存儲裝置可以實現(xiàn)為電子存儲器、磁性存儲裝置等。存儲器可以是易失性的或者非易失性的。在實施例中，設(shè)備包括運算數(shù)存儲裝置電路和計算電路。設(shè)備可以包括額外的電路，例如，模運算電路、加法電路、乘法電路和表存儲裝置電路中的一項或多項；電路實現(xiàn)本文中描述的對應(yīng)的單元。電路可以是處理器電路和存儲裝置電路，所述處理器電路執(zhí)行在存儲裝置電路中以電子方式表示的指令。電路還可以是fpga、asic等。圖3示意性地示出了電子計算方法300的實施例的示例。所述電子計算方法被布置成執(zhí)行取余數(shù)系統(tǒng)中的組合模數(shù)（m）為模的混淆算術(shù)。針對模數(shù)序列（）定義余數(shù)系統(tǒng)，每個模數(shù)定義交換環(huán)（）。對于序列的每個模數(shù)（），存在滿足這樣的條件的關(guān)聯(lián)的基元素（）：取模數(shù)（）為模的每個環(huán)元素（）可以被表述為整數(shù)列表（），使得環(huán)元素等于基元素的冪的線性組合(-)，其中，冪具有由整數(shù)列表確定的指數(shù)，所述方法包括：-存儲310取組合模數(shù)（m）為模的一個或多個運算數(shù)作為取模數(shù)為模的環(huán)元素的一個或多個序列，序列的每個環(huán)元素是與模數(shù)序列的對應(yīng)模數(shù)相關(guān)聯(lián)的，其中，序列的至少一個環(huán)元素被編碼為整數(shù)列表，-根據(jù)環(huán)元素數(shù)系統(tǒng)使運算數(shù)存儲裝置的第一和第二運算數(shù)相加和/或相乘。所述方法可以如參考圖1a、1b和2描述的那樣被擴(kuò)展。如對于本領(lǐng)域的技術(shù)人員而言將顯而易見的，可以有執(zhí)行本方法的許多不同方式。例如，可改變步驟的順序或者可并行地執(zhí)行某些步驟。此外，在各步驟之間可插入其它方法步驟。插入的步驟可表示諸如本文所述的方法的細(xì)化，或者可與本方法無關(guān)。此外，給定步驟可能在開始下一步驟之前并未完全結(jié)束。根據(jù)本發(fā)明的方法可以使用軟件來執(zhí)行，該軟件包括用于促使處理器系統(tǒng)執(zhí)行方法300的指令。軟件可以僅包括由系統(tǒng)的特定子實體所采取的那些步驟。軟件可以被存儲在適當(dāng)存儲介質(zhì)中，諸如硬盤、軟盤、存儲器等。軟件可以作為信號沿著電線或以無線方式或使用數(shù)據(jù)網(wǎng)絡(luò)（例如，互聯(lián)網(wǎng)）發(fā)送?？梢允沟迷撥浖捎糜谙螺d和/或用于在服務(wù)器上的遠(yuǎn)程使用。根據(jù)本發(fā)明的方法可以使用被布置成將可編程邏輯（例如，現(xiàn)場可編程門陣列（fpga））配置成執(zhí)行所述方法的比特流來執(zhí)行。將認(rèn)識到的是本發(fā)明還擴(kuò)展至適合于將本發(fā)明付諸實踐的計算機(jī)程序，特別是在載體上或載體中的計算機(jī)程序。該程序可以是源代碼、目標(biāo)代碼、代碼中間源和目標(biāo)代碼（諸如部分編譯形式）的形式，或者是適合于在實現(xiàn)根據(jù)本發(fā)明的方法時使用的任何其它形式。涉及計算機(jī)程序產(chǎn)品的實施例包括對應(yīng)于所闡述方法中的至少一個方法的處理步驟中的每個處理步驟的計算機(jī)可執(zhí)行指令?？梢詫⑦@些指令再分成子例程和/或存儲在可被靜態(tài)地或動態(tài)地鏈接的一個或多個文件中。涉及計算機(jī)程序產(chǎn)品的另一實施例包括對應(yīng)所闡述的系統(tǒng)和/或產(chǎn)品中的至少一項的裝置中的每個裝置的計算機(jī)可執(zhí)行指令。圖4a示出了具有包括計算機(jī)程序1020的可寫部分1010的計算機(jī)可讀介質(zhì)1000，計算機(jī)程序1020包括用于促使處理器系統(tǒng)執(zhí)行根據(jù)實施例的混淆算術(shù)的方法的指令?？梢栽谟嬎銠C(jī)可讀介質(zhì)1000上作為物理標(biāo)記或者借助于計算機(jī)可讀介質(zhì)1000的磁化來體現(xiàn)計算機(jī)程序1020。然而，也可設(shè)想任何其它適當(dāng)實施例。此外，將認(rèn)識到的是，雖然計算機(jī)可讀介質(zhì)1000在這里被示為光盤，但計算機(jī)可讀介質(zhì)1000可以是任何適當(dāng)?shù)挠嬎銠C(jī)可讀介質(zhì)，諸如硬盤、固態(tài)存儲器、閃速存儲器等，并且可以是不可記錄或可記錄的。計算機(jī)程序1020包括用于促使處理器系統(tǒng)執(zhí)行混淆算術(shù)的所述方法的指令。圖4b示出了根據(jù)實施例的處理器系統(tǒng)1100的示意性表示。處理器系統(tǒng)包括一個或多個集成電路1110。在圖4b中示意性地示出了一個或多個集成電路1110的架構(gòu)。電路1110包括處理單元1120（例如cpu），以用于運行計算機(jī)程序組件以執(zhí)行根據(jù)實施例的方法和/或?qū)崿F(xiàn)其模塊或單元。電路1110包括用于存儲編程代碼、數(shù)據(jù)等的存儲器1122。存儲器1122的一部分可以是只讀的。電路1110可以包括通信元件1126，例如天線、連接器或兩者等。電路1110可以包括用于執(zhí)行在方法中定義的處理的一部分或全部的專用集成電路1124。處理器1120、存儲器1122、專用ic1124和通信元件1126可以經(jīng)由互連1130（例如總線）相互連接。處理器系統(tǒng)1110可以被布置成用于分別使用天線和/或連接器的接觸式和/或無接觸式通信。在上面引用的之前的申請中，給出了用于在交換環(huán)中執(zhí)行混淆算術(shù)的計算設(shè)備的實施例的示例。在本文中的實施例中將同構(gòu)混淆應(yīng)用于模數(shù)序列中的單個模數(shù)?？梢栽谠O(shè)備100或者200中應(yīng)用計算設(shè)備，例如用于實現(xiàn)加法和/或乘法單元。計算設(shè)備和方法在有限交換環(huán)中執(zhí)行混淆算術(shù)。給出的這樣的環(huán)的一個示例是取數(shù)為模的整數(shù)（）。根據(jù)實施例的生成設(shè)備發(fā)現(xiàn)的模數(shù)，使得由取該模數(shù)為模的整數(shù)（）形成的環(huán)允許混淆算術(shù)。還生成在混淆域之中和之外對環(huán)元素（例如，整數(shù)）進(jìn)行編碼和解碼所需要的基元素。例如表示環(huán)元素（具體地說，取模數(shù)為模的整數(shù)）的同構(gòu)混淆是一種類型的已加密算術(shù)；有時也被稱為同構(gòu)加密。通過使用混淆，例如，計算機(jī)軟件代碼針對代碼的逆向工程而受到保護(hù)。這里的混淆是執(zhí)行算術(shù)的代碼的部分的。在數(shù)字混淆算術(shù)的實施例中，可以對密文執(zhí)行計算，并且生成已加密結(jié)果，已加密結(jié)果在被解密時與對明文執(zhí)行的運算的結(jié)果相匹配。換句話說，超越了某些傳統(tǒng)的軟件混淆，可以對已加密的值執(zhí)行算術(shù)。但是，使用同構(gòu)混淆實現(xiàn)的算術(shù)可以是在功能上與對明文值執(zhí)行的算術(shù)相同的。環(huán)的元素可以被定義為取模數(shù)為模的整數(shù)。環(huán)的元素被稱為環(huán)元素。環(huán)元素也可以被稱為余數(shù)。環(huán)元素可以在數(shù)字上表示為0與模數(shù)減1之間的整數(shù)；包括0和模數(shù)減1。對環(huán)元素定義加法和乘法，后者被稱為環(huán)加法和環(huán)乘法。如果需要，可以以任何適合形式表示環(huán)元素。例如，的元素可以被表示為整數(shù)。然而，在計算設(shè)備中，環(huán)元素被表示為整數(shù)列表。例如，環(huán)元素a在計算設(shè)備中可以由列表表示。整數(shù)列表根據(jù)環(huán)元素與整數(shù)列表之間的某種映射對環(huán)元素進(jìn)行編碼；給定任何環(huán)元素，則存在表示該環(huán)元素的至少一個整數(shù)列表，以及，給定任何整數(shù)列表，則存在它表示的恰好一個環(huán)元素。在實施例中，任何環(huán)元素可以被表示為整數(shù)列表。整數(shù)列表具有至少兩個元素。后來發(fā)現(xiàn)，如果整數(shù)列表較短，則加法和乘法運算需要較少的步驟。相應(yīng)地，在實施例中，整數(shù)列表總是具有兩個元素。在主要描述中，我們將假設(shè)整數(shù)列表是整數(shù)對，然而，在之前的申請中提供了具有多于兩個元素的整數(shù)列表的示例。作為示例，可以映射到環(huán)元素，其中，u是被稱為基環(huán)元素的特殊環(huán)元素。在之前的申請中討論了許多變型，包括使用多個基元素。然而，在主要討論中，我們將假設(shè)為給定的整數(shù)列表映射到環(huán)元素的“示例編碼”。每個環(huán)元素因此可以被表述為基元素u的兩個冪之間的差。下面呈現(xiàn)了使用模數(shù)和例如如由根據(jù)實施例的生成設(shè)備生成的基元素的混淆算術(shù)的一些示例。給出了編碼、增量表、環(huán)加法方法和環(huán)乘法方法的示例。計算設(shè)備的求反、加法和乘法單元可以被配置為用于這些實施例中的任一個實施例。全部示例適用于交換環(huán)。在本文中，n是正整數(shù)模數(shù)。可以使用所選擇的編碼表示交換環(huán)的任一個元素。并非全部交換環(huán)允許例如作為給定類型的整數(shù)列表表示使用給定的編碼表示全部元素。給定交換環(huán)r，如果可以使用給定的編碼類型將r中的任一個元素表示為整數(shù)列表，則我們將認(rèn)為它允許（完全）同構(gòu)混淆。本領(lǐng)域的技術(shù)人員可以驗證在給定編碼的情況下給定的交換環(huán)是否允許完全同構(gòu)混淆，例如，通過生成全部可允許的編碼以及驗證它們一起表示給定環(huán)的全部元素。下面首先給出了對示例編碼的描述。存在許多類型的編碼，它們具有環(huán)元素可以被表示為整數(shù)列表的共同點。這些整數(shù)不是環(huán)元素，例如，即使環(huán)不是整數(shù)環(huán)，例如是多項式環(huán)，但是元素仍然可以被表示為整數(shù)列表。使用了編碼，給定的整數(shù)列表如何映射到環(huán)元素被稱為編碼。通常，整數(shù)列表將總是相同長度的，然而這不是必要的。概括地，隨著編碼允許更多類型的整數(shù)列表，例如，更長的列表，則可以使用不同方式將給定的環(huán)元素編碼為整數(shù)列表變得更有可能。給定具有示例編碼的交換環(huán)r，存在特殊環(huán)元素u，使得對于某些整數(shù)和，r的任一個元素a可以被寫成。我們稱這樣的特殊環(huán)元素為基環(huán)元素。并非全部交換環(huán)可以這樣被編碼，但它們中的足夠多的交換環(huán)可以，所以該編碼是有用的。整數(shù)和自身不是環(huán)r的環(huán)元素；它們是對其運算取基元素的階數(shù)為模的整數(shù)。應(yīng)當(dāng)指出，環(huán)元素a等于基元素u的冪的線性組合，即，和；在這種情況下，通過將冪乘以+1或者-1并且對它們求和，更具體地說，通過從第一冪中減去第二冪來獲得所述線性組合。計算設(shè)備對通過以上方式被編碼的環(huán)元素進(jìn)行運算。加法、求反和乘法單元可以對使用該編碼的環(huán)元素進(jìn)行運算。增量表t在加法和乘法運算兩者中扮演中心角色。增量表對輸入環(huán)元素進(jìn)行映射，在這種情況下，輸入環(huán)元素可以被表示為整數(shù)列表。例如，給定表示輸入環(huán)元素的輸入整數(shù)列表，則表t將此映射到對輸出環(huán)元素進(jìn)行編碼的輸出整數(shù)列表，例如。輸出環(huán)元素等于增量環(huán)元素與輸入環(huán)元素進(jìn)行環(huán)相加。在該示例中，增量元素可以被取為1，即，對于環(huán)乘法是恒等式的環(huán)元素；在這種情況下，。方便的是，表可以被直接應(yīng)用于使用同一個編碼的環(huán)元素，并且因此可以被應(yīng)用于具有整數(shù)列表表示的環(huán)元素。但是，存在在其中表被應(yīng)用于使用替換的編碼的環(huán)元素的實施例。替換的編碼也可以是整數(shù)列表，但是具有替換的類型。此外，增量環(huán)元素不需要是1。下面描述了運算求反、加法和乘法。求反。給定表示求反輸入環(huán)元素的求反輸入整數(shù)列表，則求反輸出整數(shù)列表可以通過轉(zhuǎn)置整數(shù)列表來獲得，在這種情況下是通過顛倒階數(shù)來獲得的。求反輸出整數(shù)列表可以是。假設(shè)存在m，使得對于具有偶數(shù)階數(shù)的基元素有，則求反可以替換地通過將例如是m這樣的常量加到整數(shù)列表中的每個整數(shù)來獲得。在后一種情況下，求反輸出整數(shù)列表可以是。這因為而起作用。整數(shù)列表中的算術(shù)優(yōu)選地取基元素的階數(shù)為模來完成。在這里，整數(shù)列表中的整數(shù)與基元素的指數(shù)相對應(yīng)，因此，取基元素的階數(shù)為模是相同的整數(shù)對同一個環(huán)元素進(jìn)行編碼。加法。為使對第一加法輸入環(huán)元素進(jìn)行編碼的所接收的第一加法輸入整數(shù)列表和對第二加法輸入環(huán)元素進(jìn)行編碼的第二加法輸入整數(shù)列表相加，首先確定對中間加法環(huán)元素c進(jìn)行編碼的中間加法整數(shù)列表（）。環(huán)元素c可以是第一加法輸入環(huán)元素a加上基元素u的根據(jù)第二加法輸入整數(shù)列表（具體地，第二加法輸入整數(shù)列表的第一個整數(shù)）確定的冪。在該示例中，我們可以有。為計算后者，我們觀察到?？梢允褂迷隽勘碓诰幋a中重寫圓括號中的項。通過對環(huán)元素第一次應(yīng)用增量表，獲得元素=。例如，通過。然后我們有；這示出了確定中間加法整數(shù)列表（）可以進(jìn)一步包括將根據(jù)第二加法輸入整數(shù)列表確定的整數(shù)加到由所述第一次應(yīng)用產(chǎn)生的整數(shù)列表中的整數(shù)。將加到整數(shù)列表表示中的環(huán)元素（在這種情況下，加到a）有時被稱為正約簡步驟。加法單元已例如作為整數(shù)列表獲得中間加法環(huán)元素。中間加法環(huán)元素因此是一個或多個基元素的冪的線性組合，其中，冪根據(jù)第一和第二加法輸入整數(shù)列表來確定。在這種情況下，增量表被應(yīng)用于由被自乘到第一整數(shù)列表的第一整數(shù)（）減第二整數(shù)列表的第一整數(shù)（）次冪的一個或多個基環(huán)元素（u）減去被自乘到第一整數(shù)列表的第二整數(shù)（）減第二整數(shù)列表的第一整數(shù)（）次冪的基環(huán)元素（u）形成的環(huán)元素。在該示例中，加法輸出整數(shù)列表可以通過對根據(jù)中間加法整數(shù)列表和第二加法輸入整數(shù)列表確定的環(huán)元素第二次應(yīng)用增量表來確定。這可以包括計算中間加法環(huán)元素c的和并且減去被自乘到根據(jù)第二加法輸入整數(shù)列表確定的冪（例如，第二加法輸入整數(shù)列表的第二整數(shù)）的基元素：。這可以通過在第二次應(yīng)用增量表之前對由中間加法整數(shù)列表表示的中間加法環(huán)元素求反來完成。對c的求反可以如上面指示的那樣來完成。作為示例，我們使用轉(zhuǎn)置，但同一個運算可以通過將常量加到指數(shù)來執(zhí)行。在求反之后，加（取代減）被自乘到根據(jù)第二加法輸入整數(shù)列表確定的冪的基元素的和可以使用：。后者運算是與上面的運算同一類型的，并且可以通過以與加相同的方式的表應(yīng)用來執(zhí)行。在此之后，再次對結(jié)果求反。完整加法可以使用兩次求反和同一個增量表t的兩次表應(yīng)用。從使用整數(shù)列表表示的環(huán)元素（在這種情況下，從c）減去（即，加有時被稱為負(fù)約簡步驟。負(fù)約簡步驟可以通過求反、執(zhí)行正約簡步驟和再次求反來執(zhí)行。存在許多變型，在之前的申請中描述了其中的一些。例如，一種變型將使用。在該示例中，增量元素是-1。增量表的輸入可以是和。盡管后者可以被寫成整數(shù)列表，但由它們表示的整數(shù)元素（）使用與操作數(shù)（例如，）不同的編碼。乘法。為使對第一乘法輸入環(huán)元素進(jìn)行編碼的所接收的第一乘法輸入整數(shù)列表（）和對第二乘法輸入環(huán)元素進(jìn)行編碼的第二乘法輸入整數(shù)列表（）相乘，確定第一中間乘法整數(shù)列表（）和第二中間乘法整數(shù)列表（）。根據(jù)第一和第二中間元素確定對乘法輸出環(huán)元素進(jìn)行編碼的乘法輸出整數(shù)列表。在其它實施例中，可以存在多于兩個中間乘法整數(shù)列表。我們有。可以例如作為以不同的方式完成在兩個項t和u上對展開積中的項的分塊。這示出，為使被表示成整數(shù)列表的兩個環(huán)元素相乘，它們可以被變換成兩個新的整數(shù)列表，所述兩個新的整數(shù)列表可以被相加以便獲得乘法的答案?？梢匀缟厦婷枋龅哪菢油瓿杉臃ā＠?，乘法單元可以計算中間整數(shù)列表，并且將它們發(fā)送給乘法單元。例如，第一中間乘法整數(shù)列表的第一整數(shù)可以包括第一乘法輸入整數(shù)列表的第一整數(shù)加第二乘法輸入整數(shù)列表的第一整數(shù)，以及，第一中間乘法整數(shù)列表的第二整數(shù)可以包括第一乘法輸入整數(shù)列表的第一整數(shù)加第二乘法輸入整數(shù)列表的第二整數(shù)，；第二中間乘法整數(shù)列表的第一整數(shù)可以包括第一乘法輸入整數(shù)列表的第二整數(shù)加第二乘法輸入整數(shù)列表的第二整數(shù)，以及，第二中間乘法整數(shù)列表的第二整數(shù)可以包括第一乘法輸入整數(shù)列表的第二整數(shù)加第二乘法輸入整數(shù)列表的第一整數(shù)，。在實施例中，例如，在剛才公開的示例中，對整數(shù)列表執(zhí)行算術(shù)，環(huán)元素不需要被計算為采用某種自然表示的環(huán)元素?，F(xiàn)在已討論了一些變型。所述變型中的許多變型是不相關(guān)的，例如，可以將一種變型編碼與用于執(zhí)行加法的變型組合。通過混淆算術(shù)，當(dāng)在例如對應(yīng)于等的整數(shù)列表中執(zhí)行計算時，值可以被約簡取u的階數(shù)為模。例如，如果u的階數(shù)是30，則可以對全部計算執(zhí)行mod30。應(yīng)當(dāng)指出，上述實施例舉例說明而不是限制本發(fā)明，并且本領(lǐng)域的技術(shù)人員將能夠設(shè)計許多替換實施例。在權(quán)利要求中，不應(yīng)將放入括號之間的任何參考標(biāo)號理解為限制權(quán)利要求。動詞“包括”及其詞形變化的使用并不排除在權(quán)利要求中敘述的那些之外的元件或步驟的存在。在元件前面的冠詞“一”或“一個”不排除多個這樣的元件的存在?？山柚诎ㄈ舾刹煌挠布约敖柚谶m當(dāng)編程的計算機(jī)來實現(xiàn)本發(fā)明。在枚舉若干裝置的設(shè)備權(quán)利要求中，可用硬件的同一項來體現(xiàn)這些裝置中的若干裝置。在相互不同的從屬權(quán)利要求中敘述某些措施的僅有事實并不指示這些措施的組合不能被有利地使用。在權(quán)利要求中，括號中的提及指的是實施例的圖中的參考符號或?qū)嵤├墓?，因此增加?quán)利要求的可理解性。不應(yīng)將這些提及理解為限制權(quán)利要求。當(dāng)前第1頁12