原來(lái)變量的信息了，對(duì)應(yīng)的m 就是抽取的前m個(gè)主成分。
[0073] (4)計(jì)算主成分載荷
[0074] 主成分載荷是反映主成分Fi與原變量X]之間的相互關(guān)聯(lián)程度，原來(lái)變量X , (j = 1，2，"·，ρ)在各個(gè)主成分 FiQ = 1，2，"'m)上的荷載 IijQ = 1，2，= …， P)
[0076] 其中，成分矩陣反應(yīng)的就是主成分載荷矩陣。
[0077] (5)計(jì)算主成分得分
[0078] 計(jì)算樣品在m個(gè)主成分上的得分：
[0079] Fi= a ^X1+a 2iX2+... · · · + a piXp i = 1，2，…，m
[0080] 實(shí)際應(yīng)用時(shí)，指標(biāo)的量綱往往不同，所以在主成分計(jì)算之前應(yīng)先消除量綱的影響。 消除數(shù)據(jù)的量綱有很多方法，常用方法是將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，即做如下數(shù)據(jù)變換：
[0085] 根據(jù)上述公式可知，任何隨機(jī)變量對(duì)其作標(biāo)準(zhǔn)化變換后，其協(xié)方差與其相關(guān)系數(shù) 是一回事，即標(biāo)準(zhǔn)化后的變量協(xié)方差矩陣就是其相關(guān)系數(shù)矩陣。另一方面，根據(jù)協(xié)方差的公 式可以推得標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差就是原變量的相關(guān)系數(shù)，亦即，標(biāo)準(zhǔn)化后的變量的協(xié)方差矩 陣就是原變量的相關(guān)系數(shù)矩陣。也就是說(shuō)，在標(biāo)準(zhǔn)化前后變量的相關(guān)系數(shù)矩陣不變化。 [0086] 因子分析法的基本目的就是用少數(shù)幾個(gè)因子去描述許多指標(biāo)或因素之間的聯(lián)系， 即將相關(guān)比較密切的幾個(gè)變量歸在同一類中，每一類變量就成為一個(gè)因子，以較少的幾個(gè) 因子反映原資料的大部分信息。
[0087] (1)判斷評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)是否適合因子分析法，判斷方法如下：
[0088] 計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣（Correlation Matrix)，在進(jìn)行提取因子等分析步驟之前，應(yīng) 對(duì)相關(guān)矩陣進(jìn)行檢驗(yàn)，如果相關(guān)矩陣中的大部分相關(guān)系數(shù)小于〇. 3,則不適合作因子分析。 當(dāng)原始指標(biāo)個(gè)數(shù)較多時(shí)，所輸出的相關(guān)系數(shù)矩陣特別大，觀察起來(lái)不是很方便，所以一般不 會(huì)采用因子分析法。
[0089] 計(jì)算反映象相關(guān)矩陣（Anti-image correlation matrix)，反映象矩陣重要包括 負(fù)的協(xié)方差和負(fù)的偏相關(guān)系數(shù)。偏相關(guān)系數(shù)是在控制了其他指標(biāo)對(duì)兩指標(biāo)影響的條件下計(jì) 算出來(lái)的凈相關(guān)系數(shù)。如果原有指標(biāo)之間確實(shí)存在較強(qiáng)的相互重疊以及傳遞影響，也就是 說(shuō)，如果原有指標(biāo)中確實(shí)能夠提取出公共因子，那么在控制了這些影響后的偏相關(guān)系數(shù)必 然很小。
[0090] 反映象相關(guān)矩陣的對(duì)角線上的元素為某指標(biāo)的MSA (Measure of Sample Adequacy)統(tǒng)計(jì)量，其數(shù)學(xué)定義為：
[0092] 其中，b是指標(biāo)X ;和其他指標(biāo)X」(j乒i)間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)，Pij是指標(biāo)X」(j乒i) 在控制了剩余指標(biāo)下的偏相關(guān)系數(shù)。如果反映象相關(guān)矩陣中除主對(duì)角元素外，其他大多數(shù) 元素的絕對(duì)值均小，對(duì)角線上元素的值越接近1，則說(shuō)明這些指標(biāo)的相關(guān)性較強(qiáng)，適合進(jìn)行 因子分析。
[0093] 巴特利特球度檢驗(yàn)（Bartlett test of sphericity)的目的是檢驗(yàn)相關(guān)矩陣是否 是單位矩陣（identity matrix)，如果是單位矩陣，則認(rèn)為因子模型不合適。巴特利球體檢 驗(yàn)的虛無(wú)假設(shè)為相關(guān)矩陣是單位陣，如果不能拒絕該假設(shè)的話，就表明數(shù)據(jù)不適合用于因 子分析。一般說(shuō)來(lái)，顯著水平值越?。?lt;〇.〇5)表明原始指標(biāo)之間越可能存在有意義的關(guān)系， 如果顯著性水平很大（如〇. 10以上）可能表明數(shù)據(jù)不適宜于因子分析。
[0094] KMO (Kaiser-Meyer-Okl in Measure of Smapling Adequacy)是取樣適當(dāng)性量數(shù)。 KMO測(cè)度的值越高（接近1.0時(shí)），表明指標(biāo)間的共同因子越多，研究數(shù)據(jù)適合用因子分 析。通常按以下標(biāo)準(zhǔn)解釋該指標(biāo)值的大?。篕MO值達(dá)到0. 9以上為非常好，0. 8~0. 9為好， 0. 7~0. 8為一般，0. 6~0. 7為差，0. 5~0. 6為很差。如果KMO測(cè)度的值低于0. 5時(shí)，表 明樣本偏小，需要擴(kuò)大樣本。
[0095] (2)抽取共同因子，確定因子的數(shù)目和求因子解的方法。
[0096] 將原有評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)綜合成少數(shù)幾個(gè)因子。采用決定因素抽取的方法，方法主要 有主成份分析法（principal components analysis)、主軸法、一般化最小平方法、未加權(quán) 最小平方法、最大概似法、Alpha因素抽取法與映象因素抽取法等。最常使用的是主成份分 析法與主軸法。
[0097] 因子數(shù)目的確定沒(méi)有精確的定量方法，但常用的方法是借助兩個(gè)準(zhǔn)則來(lái)確定因子 的個(gè)數(shù)。一是特征值（eigenvalue)準(zhǔn)則，二是碎石圖檢驗(yàn)（scree test)準(zhǔn)則。特征值準(zhǔn)則 就是選取特征值大于或等于1的主成份作為初始因子，而放棄特征值小于1的主成份。因?yàn)?每個(gè)指標(biāo)的方差為1，該準(zhǔn)則認(rèn)為每個(gè)保留下來(lái)的因子至少應(yīng)該能解釋一個(gè)指標(biāo)的方差，否 則達(dá)不到精簡(jiǎn)數(shù)據(jù)的目的。碎石檢驗(yàn)準(zhǔn)則是根據(jù)因子被提取的順序繪出特征值隨因子個(gè)數(shù) 變化的散點(diǎn)圖，根據(jù)圖的形狀來(lái)判斷因子的個(gè)數(shù)。散點(diǎn)曲線的特點(diǎn)是由高到低，先陡后平， 最后幾乎成一條直線。曲線開(kāi)始變平的前一個(gè)點(diǎn)被認(rèn)為是提取的最大因子數(shù)。后面的散點(diǎn) 類似于山腳下的碎石，可舍棄而不會(huì)丟失很多信息。
[0098] (3)使因子更具有命名可解釋性
[0099] 通常最初因素抽取后，對(duì)因素?zé)o法作有效的解釋。這時(shí)往往需要進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn) (rotation)，通過(guò)坐標(biāo)變換使因子解的意義更容易解釋。轉(zhuǎn)軸的目的在于改變題項(xiàng)在各因 素負(fù)荷量的大小，轉(zhuǎn)軸時(shí)根據(jù)題項(xiàng)與因素結(jié)構(gòu)關(guān)系的密切程度，調(diào)整各因素負(fù)荷量的大小， 轉(zhuǎn)軸后，使得指標(biāo)在每個(gè)因素的負(fù)荷量不是變大（接近1)就是變得更?。ń咏?，而非 轉(zhuǎn)軸前在每個(gè)因素的負(fù)荷量大小均差不多，這就使對(duì)共同因子的命名和解釋指標(biāo)變得更容 易。轉(zhuǎn)軸后，每個(gè)共同因素的特征值會(huì)改變，但每個(gè)指標(biāo)的共同性不會(huì)改變。常用的轉(zhuǎn)軸方 法，有最大變異法（Varimax)、四次方最大值法（Quartimax)、相等最大值法（Equamax)、直 接斜交轉(zhuǎn)軸法（Direct Oblimin)、Promax轉(zhuǎn)軸法。
[0100] 不同的因子旋轉(zhuǎn)方式各有其特點(diǎn)。因此，究竟選擇何種方式進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)取決于 研究問(wèn)題的需要。如果因子分析的目的只是進(jìn)行數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化，而因子的確切含義是什么并不 重要，就應(yīng)該選擇直交旋轉(zhuǎn)。如果因子分析的目的是要得到理論上有意義的因子，應(yīng)該選擇 斜交因子。事實(shí)上，研究中很少有完全不相關(guān)的指標(biāo)，所以，從理論上看斜交旋轉(zhuǎn)優(yōu)于直交 旋轉(zhuǎn)。但是斜交旋轉(zhuǎn)中因子之間的斜交程度受研究者定義的參數(shù)的影響，而且斜交選裝中 所允許的因子之間的相關(guān)程度是很小的，因?yàn)闆](méi)有人會(huì)接受兩個(gè)高度相關(guān)的共同因子。如 果兩個(gè)因子確實(shí)高度相關(guān)，大多數(shù)研究者會(huì)選取更少的因子重新進(jìn)行分析。因此，斜交旋轉(zhuǎn) 的優(yōu)越性大打折扣，在實(shí)際研究中，直交旋轉(zhuǎn)（尤其是Varimax旋轉(zhuǎn)法）得到更廣泛的運(yùn) 用。
[0101] (4)決定因素與命名
[0102] 轉(zhuǎn)軸后，要決定因素?cái)?shù)目，選取較少因素層面，獲得較大的解釋量。在因素命名與 結(jié)果解釋上，必要時(shí)可將因素計(jì)算后的分?jǐn)?shù)存儲(chǔ)，作為其它程序分析的輸入指標(biāo)。
[0103] (5)計(jì)算各樣本的因子得分
[0104] 因子分析的最終目標(biāo)是減少指標(biāo)個(gè)數(shù)，以便在進(jìn)一步的分析中用較少的因子代替 原有指標(biāo)參與數(shù)據(jù)建模。本步驟正是通過(guò)各種方法計(jì)算各樣本在各因子上的得分，為進(jìn)一 步的分析奠定基礎(chǔ)。
[0105] 指標(biāo)權(quán)重調(diào)整即通過(guò)構(gòu)造指標(biāo)矩陣把重合部分轉(zhuǎn)為指標(biāo)影響權(quán)重，經(jīng)過(guò)修正權(quán)重 消除重合度。這個(gè)過(guò)程將主要通過(guò)兩兩相關(guān)系數(shù)法。
[0106] 兩兩相關(guān)系數(shù)法是先計(jì)算出兩兩評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)序列的相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)計(jì)算公 式如下：
[0108] 其中，I < i，j < m
[0109] 形成相關(guān)系數(shù)矩陣，相關(guān)系數(shù)矩陣如下：
[0111] 從相關(guān)系數(shù)矩陣中選出相關(guān)系數(shù)最大的兩個(gè)指標(biāo)，即Max= {Plj}進(jìn)行指標(biāo)歸并。
[0112] 指標(biāo)值調(diào)整，是通過(guò)指標(biāo)數(shù)據(jù)分析處理，根據(jù)指標(biāo)間制約程度和方向，結(jié)合制約指 標(biāo)一方的具體取值情況，對(duì)制約指標(biāo)另一方的指標(biāo)值進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)不符合制約情況的指標(biāo) 值進(jìn)行適度調(diào)整。這個(gè)過(guò)程主要使用相關(guān)系數(shù)調(diào)整法。
[0113] 相關(guān)系數(shù)調(diào)整法包括兩組評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)序列情況和多組評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)序列情況。
[0114] 評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)序列為兩組評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)序列時(shí)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，首先分析僅有兩 個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)相關(guān)時(shí)對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響。
[0115] 假設(shè)有η個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)，有兩組評(píng)價(jià)指標(biāo)X、Y，權(quán)重分別為a、b，顯然有a+b = I，若不考慮X和Y之間的相關(guān)性，則評(píng)價(jià)值為：
[0116] P = aX+bY
[0117] 如果將評(píng)價(jià)結(jié)果按照升序排列，相鄰兩個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象的差為：
[0118] Δ = (axi+1+byi+1)-(axi+byi+1)
[0119] 情況一：現(xiàn)在考慮X和Y之間存在相關(guān)關(guān)系的情況，假設(shè)相關(guān)部分為S，若將相關(guān) 部分剔除，則評(píng)價(jià)值為：
[0120] Pi = a (x Jsi) +b (yJSi) = aXi+by;- (a+b) Si = ax Jbyi-Si
[0121] 相鄰兩個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象之間的關(guān)系為：