本發(fā)明涉及數值求解技術領域，特別是涉及一種基于廣義傅里葉級數構建改進微分求積法的方法。

背景技術：

目前，在工程和科學領域里，求解線性、非線性方程或方程組是一項很重要的任務。由于只有少數情況能得到解析解，所以大家把重點均放在求其近似解或數值解上。微分求積法在1971年提出，由于其較高的計算精度和效率，越來越受到人們的重視。但是微分求積法存在一些缺陷，即在處理結構振動方程的彈性邊界時存在處理不精確，導致求解誤差，求解結果準確性較低。

在處理結構彈性邊界的方法中，2000年美國韋恩州立大學Li.W.L.教授在雜志《Journal of Sound and Vibration》中第237卷中發(fā)表文章《Free vibrations of beams with general boundary conditions》提出了廣義傅里葉級數，即在傳統傅里葉級數的基礎上加上附加項，用于滿足結構邊界處的不連續(xù)，此方法成功解決了彈性邊界條件下梁的橫向自由振動振動，2007年，杜敬濤在雜志《Journal of Sound and Vibration》第306卷中發(fā)表文章《An analytical method for the in-plane vibration analysis of rectangular plates with elastically restrained edges》，此文章利用廣義傅里葉級數方法解決了彈性邊界矩形板的振動問題。

目前還沒有廣義傅里葉級數和微分求積法相結合的技術出現以及相關文獻報道。

技術實現要素：

本發(fā)明的目的是提供一種基于廣義傅里葉級數構建改進微分求積法的方法，以實現提高求解結果準確性。

為解決上述技術問題，本發(fā)明提供一種基于廣義傅里葉級數構建改進微分求積法的方法，該方法包括：

將需要求解的函數表示成傅里葉級數，并在傅里葉級數的基礎上加上附加項；

根據邊界條件，確定附加項系數和傅里葉級數系數之間的關系；

將求解域離散成獨立點，把帶有附加項的傅里葉級數代入各個獨立點，形成各傅里葉級數系數之間的關系矩陣；

根據所述關系矩陣求解出傅里葉級數系數，確定需要求解的函數。

優(yōu)選的，附加項系數由邊界條件決定。

優(yōu)選的，所述需要求解的函數包括結構彈性邊界約束條件的微分方程。

優(yōu)選的，所述邊界條件為彈性邊界條件。

優(yōu)選的，所述將求解域離散成獨立點，包括：

對所求解的函數區(qū)間進行離散，選取獨立點。

優(yōu)選的，所述把帶有附加項的傅里葉級數代入各個獨立點，形成各傅里葉級數系數之間的關系矩陣，包括：

把帶有附加項的傅里葉級數代入各個獨立點，得到各個獨立點對應的方程，形成方程組；

將方程組整理成矩陣形式，得到矩陣方程。

優(yōu)選的，所述矩陣方程中的未知系數為傅里葉級數系數。

本發(fā)明所提供的一種基于廣義傅里葉級數構建改進微分求積法的方法，將需要求解的函數表示成傅里葉級數，并在傅里葉級數的基礎上加上附加項；根據邊界條件，確定附加項系數和傅里葉級數系數之間的關系；將求解域離散成獨立點，把帶有附加項的傅里葉級數代入各個獨立點，形成各傅里葉級數系數之間的關系矩陣；根據所述關系矩陣求解出傅里葉級數系數，確定需要求解的函數?？梢姡瑢⑽⒎智蠓e法在求解微分方程時的精確性和高效性同廣義傅里葉級數在處理結構彈性邊界條件的靈活性相結合，所構造的改進微分求積法將在保證計算精度的同時很好的解決結構彈性邊界微分方程的求解，實現提高求解結果準確性。

附圖說明

為了更清楚地說明本發(fā)明實施例或現有技術中的技術方案，下面將對實施例或現有技術描述中所需要使用的附圖作簡單地介紹，顯而易見地，下面描述中的附圖僅僅是本發(fā)明的實施例，對于本領域普通技術人員來講，在不付出創(chuàng)造性勞動的前提下，還可以根據提供的附圖獲得其他的附圖。

圖1為本發(fā)明所提供的一種基于廣義傅里葉級數構建改進微分求積法的方法的流程圖；

圖2為彈性邊界梁示意圖。

具體實施方式

本發(fā)明的核心是提供一種基于廣義傅里葉級數構建改進微分求積法的方法，以實現提高求解結果準確性。

為了使本技術領域的人員更好地理解本發(fā)明方案，下面將結合本發(fā)明實施例中的附圖，對本發(fā)明實施例中的技術方案進行清楚、完整地描述，顯然，所描述的實施例僅僅是本發(fā)明一部分實施例，而不是全部的實施例?；诒景l(fā)明中的實施例，本領域普通技術人員在沒有做出創(chuàng)造性勞動前提下所獲得的所有其他實施例，都屬于本發(fā)明保護的范圍。

請參考圖1，圖1為本發(fā)明所提供的一種基于廣義傅里葉級數構建改進微分求積法的方法的流程圖，該方法包括：

S11：將需要求解的函數表示成傅里葉級數，并在傅里葉級數的基礎上加上附加項；

S12：根據邊界條件，確定附加項系數和傅里葉級數系數之間的關系；

S13：將求解域離散成獨立點，把帶有附加項的傅里葉級數代入各個獨立點，形成各傅里葉級數系數之間的關系矩陣；

S14：根據所述關系矩陣求解出傅里葉級數系數，確定需要求解的函數。

可見，將微分求積法在求解微分方程時的精確性和高效性同廣義傅里葉級數在處理結構彈性邊界條件的靈活性相結合，所構造的改進微分求積法將在保證計算精度的同時很好的解決結構彈性邊界微分方程的求解，實現提高求解結果準確性。

基于上述方法，具體的，附加項系數由邊界條件決定。其中，在傅里葉級數的基礎上加上附加項就構成了廣義傅里葉級數。

進一步的，所述需要求解的函數包括結構彈性邊界約束條件的微分方程。

其中，所述邊界條件為彈性邊界條件。

進一步的，步驟S13中，所述將求解域離散成獨立點的過程具體為：對所求解的函數區(qū)間進行離散，選取獨立點。

進一步的，步驟S13中，把帶有附加項的傅里葉級數代入各個獨立點，形成各傅里葉級數系數之間的關系矩陣的過程具體為：把帶有附加項的傅里葉級數代入各個獨立點，得到各個獨立點對應的方程，形成方程組；將方程組整理成矩陣形式，得到矩陣方程。

其中，所述矩陣方程中的未知系數為傅里葉級數系數。矩陣方程為微分方程對應的矩陣方程。

具體的，將微分方程中所求函數表述成傅里葉級數加上附加項的形式，其中附加項的系數由邊界條件決定。對所求區(qū)間進行離散，選取獨立點。將廣義傅里葉級數帶入各離散獨立點，得到各個獨立點對應的方程。將方程組整理成矩陣形式，得到微分方程對應的矩陣方程，方程中未知系數即傅里葉級數系數。

其中，根據彈性邊界條件控制方程確定附加項系數同傅里葉級數系數間的關系。將附加項級數用傅里葉級數的系數表示，并將所求函數表示成只含傅里葉級數系數的形式。將所求函數區(qū)間離散成各個獨立點。將廣義傅里葉級數帶入各離散獨立點，帶進各離散獨立點，得到關于傅里葉級數系數的方程組。求解方程組，得到傅里葉系數，從而確定所求函數。

詳細的，提供本方法應用于兩端彈性約束梁控制微分方程求解的例子。基于本方法，需要求解的函數為梁的振動控制方程。

例如，圖2所示梁的振動控制方程是：

邊界條件是：

Dy”＝K₀y' Dy”'＝-k₀y x＝0 (2a)

Dy”＝K₁y' Dy”'＝-k₁y x＝L (2b)

其中D＝EI，設梁的位移函數為：

其中ξ_i(x)為容許函數，吸收傅里葉級數方法邊界不連續(xù)，加快傅里葉級數的收斂性。

將梁的位移函數帶進邊界條件，得到如下式子：

其中參數C₁…C₈為：

將式(5)寫成如下的矩陣形式：

其中，Q_m和A的表達式如下：

A＝{a₀ a₁ a₂ … a_M}^T (9)

令R如下：

則得到：

從式(11)可以看出，系數b和a不是獨立的變量，系數b可以由系數a根據邊界條件得到，將式(11)帶進方程(3)消掉系數b，則梁的位移函數可以表示為：

方程(12)為彈性邊界條件下梁的位移函數表達式，此表達式已經包含了在4個彈簧約束下梁的位移函數，并且可以對方程(12)逐項求導數。

根據DQ原理，在梁坐標離散，選取N個點，坐標分別為：

0≤x₁＜x₂＜...＜x_n≤L (13)

采用微分求積法常采用的Chebyshev-Gauss點作為離散點，即：

對式(12)求r階導數并將點x_i帶入，得到：

通過上式可以看出，函數y(x)在點x_i處的r階導數值可以由系數a_m加權求和得到，原理類似于傳統的微分求積法，此處稱為改進微分求積法。

將上式帶進梁的振動方程，并取所有的N個點，得：

將方程(16)簡寫為：

方程(17)為標準的振動方程，求解方程(17)的特征值和特征向量即得到梁的固有頻率和位移系數a_m，從而確定梁的振型。

根據以上推導，對一根梁在不同邊界條件下(固支-固支、簡支-簡支、彈性-彈性)進行驗算，其參數為：長度為L＝1m；橫截面積A＝7.854e^-5m²；慣性矩I＝4.9087e^-10m⁴；密度＝7850kg/m³,楊氏模量E＝2.1e11N/m²。計算結果如表1-表3所示。表1為固支-固支梁固有頻率表格，表2為簡支-簡支梁固有頻率表格，表3為彈性-彈性邊界條件下梁無量綱固有頻率。

由計算結果可得，在經典邊界(固支-固支、簡支-簡支)情況下，改進微分求積法同傳統微分求積法計算結果相差很?。粡谋?可以看出，改進微分求積法在處理彈性邊界條件時計算得到的結果也較為精確。

表1

表2

彈性-彈性邊界條件計算結果同參考數據結果比較，結果如表3所示，其中彈簧剛度和固有頻率均由無量綱量表示，彈簧剛度為：

無量綱固有頻率

表3

詳細的，本方法首先將需要求解的函數表示成傅里葉級數并附加容許項，根據邊界條件，確定容許項系數同傅里葉級數系數之間的關系。其次將求解域離散成獨立點，把帶有附加項的傅里葉函數分別代入離散點，形成各傅里葉系數之間的關系矩陣。最后根據傅里葉系數之間的關系求出具體傅里葉系數，從而確定所求函數。本方法具有構造權系數矩陣簡單、收斂精度高、計算速度快、適用于彈性邊界的優(yōu)點，實現了廣義傅里葉級數同微分求積法的結合，從而使改進微分求積法在保證計算精度的同時很好的解決結構彈性邊界條件的微分方程求解。

本發(fā)明的優(yōu)點主要體現在：與微分求積法相比，此改進微分求積法存在兩個優(yōu)點：改進微分求積法在獲取權系數矩陣時具有方便快捷的優(yōu)勢；改進微分求積法能很好的處理彈性邊界條件；改進微分求積法求得的是傅里葉級數的系數，所求函數可以表示能解析形式，而微分求積法只能求得離散點處的函數值。

以上對本發(fā)明所提供的一種基于廣義傅里葉級數構建改進微分求積法的方法進行了詳細介紹。本文中應用了具體個例對本發(fā)明的原理及實施方式進行了闡述，以上實施例的說明只是用于幫助理解本發(fā)明的方法及其核心思想。應當指出，對于本技術領域的普通技術人員來說，在不脫離本發(fā)明原理的前提下，還可以對本發(fā)明進行若干改進和修飾，這些改進和修飾也落入本發(fā)明權利要求的保護范圍內。