本發(fā)明涉及工程結構可靠性分析技術領域，尤其涉及一種基于配點型算法的隨機參數(shù)結構可靠性評估方法。

背景技術：

工程結構設計需要保證結構在規(guī)定的時間內和給定的載荷下完成預定的功能。然而，在設計過程和實際操作環(huán)境中往往存在大量的不確定性，大致可分為物理不確定性、統(tǒng)計不確定性和模型不確定性。物理不確定性由載荷、材料、幾何和邊界條件等參數(shù)的變異性所致。統(tǒng)計不確定性是由樣本數(shù)量的不足而對分布參數(shù)產生的估計偏差所造成的，也經(jīng)常是由于真實分布形式與預估分布形式存在偏差所造成的。而模型不確定性是指所使用的數(shù)學、物理模型不能完全精確地反映問題的本質，只是對客觀情況的一種近似描述。為保證結構的安全性能，需要對這些不確定性帶來的負面效果進行合理地量化和管理。在具有充足的樣本信息時，對工程結構設計和操作環(huán)境中的不確定性使用概率模型進行描述是一種合理的方法，可使用可靠度或失效概率的概念量化結構完成預定功能的概率。

在工程結構的可靠性分析中，由于各隨機變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)通常極難獲得，所以精確的全概率積分方法很難應用于實際問題之中。作為工程中一種現(xiàn)實的選擇，人們轉向研究只使用隨機變量前兩階矩的一次二階矩方法，其中包括中心點法、驗算點法等。這類方法將非線性功能函數(shù)在隨機變量域內的某點處展開為線性函數(shù)得到，計算過程簡單但具有較低的計算精度。無論是中心點法還是驗算點法，都沒有正面解決響應函數(shù)Z的分布問題，而只滿足于在求得可靠度指標β值后，通過假定Z的分布(通常為正態(tài))來解決β與失效概率的轉換問題。這在一定程度上引入了模型不確定性。為改善一次二階矩方法的計算精度，國內外廣泛開展了二次二階矩、二次四階矩方法的研究。雖然隨著展開的階數(shù)和所使用統(tǒng)計量的增多，計算精度稍顯增加，但這些方法都是基于Taylor展開的，很重要的環(huán)節(jié)是需要計算響應函數(shù)關于各隨機變量的靈敏度，工程問題中往往以差商運算代替微商運算，而這個過程也將引入難以估量的誤差。

鑒于基于Taylor展開方法的精度限制，統(tǒng)計類可靠性分析方法也得到了長足的發(fā)展，尤其是在處理需要高可靠度指標的工程問題中得以應用。Monte Carlo仿真方法的理論基礎是概率論中的大數(shù)定理，具有不受應用范圍限制的優(yōu)點，但其缺點是需要消耗極大的計算代價，雖然已出現(xiàn)了改進的多種抽樣方法，但其在實際工程計算中仍較少采用，一般多用于檢驗一些新提出方法的精度。所以，在目前工程結構可靠度分析方法中，缺少一類具有較高計算精度，但計算量又可以承受的方法。

技術實現(xiàn)要素：

針對現(xiàn)有技術的缺陷，本發(fā)明提供一種基于配點型算法的隨機參數(shù)結構可靠性評估方法，綜合考慮了工程結構可靠性問題在計算精度和計算效率上的平衡，基于結構功能函數(shù)的一元等效積分弱形式和配點型方法給出結構的失效概率，從而減緩了隨機響應的正態(tài)性假設所帶來的模型誤差。

一種基于配點型算法的隨機參數(shù)結構可靠性評估方法，包括以下步驟：

步驟1：對于包含多個獨立隨機變量的工程結構設計問題，建立參數(shù)化結構功能函數(shù)，定義其結構功能函數(shù)為

X＝g(h)＝g(h₁，…h(huán)_N) (1)

其中，隨機變量i＝1，…N，N為正整數(shù)，和分別為第i個隨機變量h_i的下界值和上界值，Ω為一超長方體形成的凸域，并記域Ω的中心點為半徑為

步驟2：確定結構功能函數(shù)的等效積分弱形式；根據(jù)結構功能函數(shù)g(h)在中心點h^c處具有收斂的Taylor展開式近似計算函數(shù)g(h)在凸域Ω上的積分，并記為I[g(h)]；取g(h)的一元近似函數(shù)為式(2)；

將g(h)的一元近似函數(shù)同樣進行Taylor展開并積分，記為使用作為I[g(h)]的近似函數(shù)，得到具有4階小量的殘差估計；

步驟3：確定結構功能函數(shù)統(tǒng)計量；基于積分運算和求和運算的可交換性，得到結構功能函數(shù)g(h)的期望μ_g和方差一元表示形式分別如式(3)和式(4)所示；

其中，為一元分解函數(shù)的均值，表示第i個一元分解函數(shù)，為第i個一元分解函數(shù)的方差，g^c為結構功能函數(shù)g(h)在點h＝h^c處的值；結構功能函數(shù)g(h)的m階原點矩和中心矩分別如式(5)和式(6)所示；

其中，表示第i個一元分解函數(shù)的第m階原點矩，表示組合方法，C表示數(shù)學排列組合中的組合符號，表示第i個一元分解函數(shù)的第k階中心矩；

步驟4：在隨機變量定義域內進行配點，得到式(7)所示的均值的數(shù)值積分格式；

其中，f(h_i)為隨機變量h_i在域Γ內的概率密度分布函數(shù)，為第i個一元分解函數(shù)在隨機變量h_i所在區(qū)間內的第j個配點，j＝1，…，NP，NP為配點的個數(shù)，為相應的權重因子；權重因子與配點的數(shù)目和位置是相關的，需根據(jù)具體的分布進行確定；

步驟5：為避免使用功能函數(shù)的正態(tài)性假設所帶來的模型誤差，考慮基于非高斯隨機變量X的統(tǒng)計量，根據(jù)一維概率密度函數(shù)的漸進展式以近似得到結構功能函數(shù)的概率密度分布函數(shù)：

其中，z所對應的隨機變量Z由隨機變量X標準化得到，記Z＝(X-μ_X)/σ_X，這里μ_X為X的均值，而σ_X為X的標準差，p(z)為高斯概率密度函數(shù)，c_n為待定系數(shù)；使用所得到的原點矩和中心距計算概率密度函數(shù)p^*(z)，得到結構的失效概率P_f的估計式如式(9)所示；

根據(jù)所得到的結構失效概率P_f和工程結構的失效標準來評估結構的可靠性。

由上述技術方案可知，本發(fā)明的有益效果在于：本發(fā)明提供的基于配點型算法的隨機參數(shù)結構可靠性評估方法，可達到4階計算精度，并且計算量隨著隨機變量數(shù)目的增加只是線性增長，有效提高了計算精度和計算效率。根據(jù)非高斯隨機變量概率密度函數(shù)的Edgeworth漸進展式，得到結構響應的逼近概率密度函數(shù)，對其直接進行積分得到結構的失效概率，從而減緩了正態(tài)性假設所帶來的模型不確定性。

附圖說明

圖1為本發(fā)明實施例提供的基于配點型算法的隨機參數(shù)結構可靠性評估方法流程圖。

具體實施方式

下面結合附圖和實施例，對本發(fā)明的具體實施方式作進一步詳細描述。以下實施例用于說明本發(fā)明，但不用來限制本發(fā)明的范圍。

一種基于配點型算法的隨機參數(shù)結構可靠性評估方法，如圖1所示，本實施例的方法如下所述。

步驟1：建立參數(shù)化結構功能函數(shù)。

工程結構中的隨機變量包括材料屬性、環(huán)境參數(shù)、模型誤差、認知能力等，對于包含多個獨立隨機變量的工程結構設計問題，其結構功能函數(shù)定義為

X＝g(h)＝g(h₁，…h(huán)_N) (1)

式中，i＝1，…N，N為正整數(shù)，Ω為一超長方體形成的凸域。并記域Ω的中點為半徑為

步驟2：確定結構功能函數(shù)的等效積分弱形式。假設功能函數(shù)g(h)在中心點h^c處具有收斂的Taylor展開式

式中，算子根據(jù)式(10)，可近似計算函數(shù)g(h)在凸域Ω上的積分

引入下面的關系式

式中，m_i為一非負整數(shù)。值得注意的是，當且僅當集合{m_i，i＝1，2，…，N}中至少有一個元素為奇數(shù)時，式(12)成立。將式(10)代入式(11)，并使用式(12)進行簡化，可得式(13)。

另一方面，取函數(shù)

將函數(shù)式(2)進行Taylor展開并進行積分，利用關系式(12)，得到

使用作為I[g(h)]的近似函數(shù)，可得殘差估計式(15)

由式(15)可知，所得到的殘差為4階小量。工程問題一般將響應函數(shù)展開至1-2階，即可獲得較為滿意的數(shù)值精度，所以，函數(shù)式(2)可在上述的積分形式下近似等效于結構功能函數(shù)g(h)。

為方便，記則式(2)可重寫為

其中，稱為第i個一元分解函數(shù)。

結構功能函數(shù)積分的等效弱形式目的是為了將多元隨機變量問題轉化了多個一元隨機變量問題進行求解。而該轉化過程需要對近似函數(shù)的誤差進行合理估計，本實施例給出的一元分解方法可在積分意義上達到4階精度。

步驟3：確定結構功能函數(shù)統(tǒng)計量。首先考察功能函數(shù)g(h)的期望值和方差，分別有

式中，f(h)為隨機向量h的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

基于積分運算和求和運算的可交換性，可得到期望的下述一元表示形式

記μ_g＝E[g(h)]，則有

方差的一元表示形式可借鑒期望的一元化過程。為此，定義過渡函數(shù)

p(h)＝(g(h)-μ_g)² (20)由式(19)可得到方差的下述一元表示形式

式中，和p_c的定義分別與和g_c類似。如下式所示。

將式(22)中的N個式子相加并取均值運算，得到

根據(jù)的方差定義式(23)可重寫為

將式(24)所得結果代入式(21)，將p^c進行替換，并記和最終可得

式(3)和式(4)即為多元隨機函數(shù)期望值和方差的一元表示形式。

類似地，可得到結構功能函數(shù)g(h)的m階原點矩和中心距分別如式(5)和式(6)所示。

其中，表示第i個一元分解函數(shù)的第m階原點矩，表示組合方法，C表示數(shù)學排列組合中的組合符號，表示第i個一元分解函數(shù)的第k階中心矩。

步驟4：配點方案。不失一般性，以求解分解函數(shù)的期望為例，在隨機變量定義域內進行配點，得到下面式(7)所示的均值的的數(shù)值積分格式

其中，為第i個一元分解函數(shù)在隨機變量h_i所在區(qū)間內的第j個配點，j＝1，…，NP，NP為配點的個數(shù)，f(h_i)為隨機變量h_i在域Γ內的概率密度分布函數(shù)，為相應的權重因子。由式(7)可知，權重因子與配點的數(shù)目和位置是相關的，需根據(jù)具體的分布進行確定。下面通過Taylor展開系數(shù)相等的方法得到權重因子和配點的關系式，為此首先將第j個配點處的函數(shù)值在h_i中值點處展開，得到

將式(25)代入式(7)，得到

另一方面，將也在中值點處展開，并取均值運算，得到

對比式(26)和式(27)，可知

當k＝NP-1時，式(28)轉化為一個封閉的代數(shù)方程組，可將其寫成矩陣形式為

式中，為由配點和中心點的位置關系形成的系數(shù)矩陣，為代求的權重因子列向量，B_i為隨機變量h_i前(NP-1)階中心矩形成的列向量。由式(29)可將權重因子列向量表示為

記則式(7)可重寫為

對于高階原點矩和中心矩有類似的結論，只需將替換為響應的函數(shù)即可。值得指出的是，在求解權重集時，若使用較多的配點，矩陣的條件數(shù)將會變得非常差，這對于求逆運算是不利的，此時可將相應的權重因子運算經(jīng)過平移和伸縮變換到[-1，1]區(qū)間上進行求解，可得到相同的配點集。

步驟5：確定結構失效概率。為避免使用功能函數(shù)的正態(tài)性假設所帶來的模型誤差，考慮使用非高斯隨機變量X的一維概率密度函數(shù)的漸進展式

式中，z所對應的隨機變量Z由隨機變量X標準化得到，記Z＝(X-μ_X)/σ_X，這里μ_X為X的均值，而σ_X為X的標準差，p(z)為高斯概率密度函數(shù)，c_n為待定系數(shù)。這里使用Edgeworth漸進展式，其被證明前四項可給出非高斯概率密度足夠精確的表達式，如下

式中，σ_X為隨機變量X的標準差，H_n(z)為Hermite多項式，如下

而和分別為隨機變量X的第3個和第4個半不變量，可使用前4階原點矩表示為

這樣，可以使用失效概率P_f的定義來評估結構的可靠性，有

根據(jù)所得到的結構失效概率P_f和工程結構的失效標準來評估結構的可靠性。

本實施例中，步驟(3)中使用一元等效函數(shù)的數(shù)字特征表征原結構功能函數(shù)的數(shù)字特征。結構功能函數(shù)g(h)的第m階原點矩可用其一元分解函數(shù)的第m階原點矩的線性組合表示，而第m階中心矩可用一元分解函數(shù)的前m階中心距的線性組合表示。當分解函數(shù)和概率密度函數(shù)f(h_i)具有解析表達式時，可通過定義直接進行積分，得到的數(shù)字特征。然而工程問題中的響應函數(shù)的解析表達式通常是難以獲得的，此時需使用數(shù)值積分方法，從步驟(4)可看出所提方法在求解工程結構問題時是非常方便的。

步驟(4)通過Taylor展開系數(shù)相等的方法得到權重因子和配點的關系式，可將其轉化為一個封閉的代數(shù)方程組進行求解。值得指出的是，在求解權重集時，若使用較多的配點，所得代數(shù)方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)將會變差，這對于求逆運算是不利的，此時可將相應的權重因子運算經(jīng)過平移和伸縮變換到[-1，1]區(qū)間上進行求解，可得到相同的配點集。

從本實施例的計算格式來看，配點型結構可靠性分析方法可能會在以下3處地方引入近似誤差：首先，在使用一元分解函數(shù)代替原功能函數(shù)進行積分時，會引入4階小量誤差；其次，在使用Edgeworth近似概率密度函數(shù)積分求得失效概率時會引起至多6階小量的誤差；另外，在使用配點進行數(shù)值積分求得功能函數(shù)統(tǒng)計量時，若使用均勻配點，方法精度可達到(NP-1)階，若使用Gauss配點方式，方法精度可達到(2NP-1)階，并且計算精度可隨著配點數(shù)目的增加而提高，最多達到與使用一元分解函數(shù)解析表達相同的積分精度。所以，配點型結構可靠性分析方法的計算精度總體上可達到4階精度。

另一方面，對于工程問題來講，本實施例所述方法的計算量主要存在于計算配點集上的功能函數(shù)值集。一般來說，在一個區(qū)間上配置NP個Gauss積分點時，該方法的主要計算量為NP×N次功能函數(shù)的確定性求解。即方法的計算量是隨著隨機變量的數(shù)目增加而線性增長的。

最后應說明的是：以上實施例僅用以說明本發(fā)明的技術方案，而非對其限制，所述方法可擴展應用于基于函數(shù)等效積分弱形式和配點型方法所構造的可靠性分析方法；盡管參照前述實施例對本發(fā)明進行了詳細的說明，本領域的普通技術人員應當理解：其依然可以對前述實施例所記載的技術方案進行修改，或者對其中部分或者全部技術特征進行等同替換；而這些修改或者替換，并不使相應技術方案的本質脫離本發(fā)明權利要求所限定的范圍。