本發(fā)明涉及一種徑向點(diǎn)插值型無網(wǎng)格法形函數(shù)構(gòu)造方法。

背景技術(shù)：

在電磁場的數(shù)值計(jì)算中，傳統(tǒng)的數(shù)值算法需要采用特定形狀的網(wǎng)格單元進(jìn)行建模，比如有限差分法(FDTD)采用六面體單元，有限元法(FEM)和矩量法(MOM)則采用三角面元。但是，對于電大尺寸或者精細(xì)的結(jié)構(gòu)，建模的過程非常耗時(shí)，甚至可能會超過仿真時(shí)間。另外，對于時(shí)變結(jié)構(gòu)，一旦結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，建模過程就需要重復(fù)進(jìn)行，導(dǎo)致仿真時(shí)間急劇增加。與傳統(tǒng)方法不同，無網(wǎng)格法是一類不采用網(wǎng)格單元進(jìn)行建模的數(shù)值算法，包括移動最小二乘法(MLS)、發(fā)散單元法(DEM)、無單元伽遼金法(EFG)和徑向點(diǎn)插值型無網(wǎng)格法(RPIM)等。無網(wǎng)格法采用可以靈活放置的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行建模，由于節(jié)點(diǎn)之間沒有相互連接，因而無需像傳統(tǒng)算法一樣處理網(wǎng)格之間的拓?fù)潢P(guān)系。另外，結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，只需要在結(jié)構(gòu)變化的區(qū)域重新配置節(jié)點(diǎn)。

徑向點(diǎn)插值型無網(wǎng)格法(RPIM)采用徑向基函數(shù)(RBF)在空域進(jìn)行插值，具有較高的數(shù)值精度。RPIM在建模后需要進(jìn)行預(yù)處理，計(jì)算出各節(jié)點(diǎn)處的形函數(shù)。在預(yù)處理時(shí)，要在各節(jié)點(diǎn)處構(gòu)造球形支撐域，并搜索位于支撐域以內(nèi)的鄰近節(jié)點(diǎn)。一般來說，支撐域半徑越大，則精度越高，但是算法的效率相應(yīng)降低，因而支撐域半徑的選取需要在精度和效率之間作出平衡。

傳統(tǒng)的RPIM方法在預(yù)處理中使用球形支撐域。對于細(xì)長結(jié)構(gòu)，如果計(jì)算空間采用空間分布較為均勻的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散，雖然可以采用較小的支撐域半徑，但由于節(jié)點(diǎn)總數(shù)多，導(dǎo)致最終計(jì)算的未知量個(gè)數(shù)很多。相反，如果用于離散的節(jié)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)較長的方向上相比其它方向稀疏，為了保證精度，需要增大支撐域的半徑，使得支撐域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)增多，使得整個(gè)算法的效率下降。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是提供了一種徑向點(diǎn)插值型無網(wǎng)格法形函數(shù)構(gòu)造方法。

為達(dá)到本發(fā)明的目的，本發(fā)明采用技術(shù)方案：一種徑向點(diǎn)插值型無網(wǎng)格法形函數(shù)構(gòu)造方法，其包括以下步驟：

第一步：建立x、y、z坐標(biāo)軸，沿著結(jié)構(gòu)尺寸最長方向，記作x軸，且結(jié)構(gòu)在x、y和z軸方向上的尺寸分別記作L_x、L_y和L_z；

第二步：采用一系列離散節(jié)點(diǎn)對結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，沿三個(gè)軸向的節(jié)點(diǎn)平均距離比為L_x:L_y:L_z，使得在x軸方向節(jié)點(diǎn)密度最低；由于L_x最大，從而x方向平均距離最大，從而節(jié)點(diǎn)密度最低；

第三步：對真實(shí)空間Ω內(nèi)的離散節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z)進(jìn)行線性變換，轉(zhuǎn)換為線性映射空間Ω^*內(nèi)的坐標(biāo)(x^*,y^*,z^*)，變換公式為：

通過線性變換，Ω中的橢球形支撐域被映射到Ω^*下的球形支撐域，其中支撐域半徑的選擇可以參考文獻(xiàn)1：G.R.Liu and Y.T.Gu,An Introduction to Meshfree Methods and Their Programming.Dortrecht,The Netherlands:Springer,2005.)

第四步：在線性映射空間Ω^*內(nèi)，與傳統(tǒng)RPIM算法一樣，使用kNN算法在球形支撐域逐一搜索臨近節(jié)點(diǎn)。對映射空間Ω^*內(nèi)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)，記其臨近節(jié)點(diǎn)編號的集合為X_i，從而對于真實(shí)空間Ω中的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)，在橢球形支撐域中的臨近節(jié)點(diǎn)編號的集合仍是X_i；其中kNN算法可以參考文獻(xiàn)2：J.H.Friedman,J.L.Bentley,and R.A.Finkel,“An algorithm for finding best matches in logarithmic expected time,”ACM Trans.Math.Softw.,vol.3,no.3,pp.209–226,1977。文獻(xiàn)3：N Kumar，Z Li，S Nayar，“What is a Good Nearest Neighbors Algorithmfor Finding Similar Patches in Images？”European Conference on Computer Vision,vol.5303,pp.364-378,2008。kNN算法是k近鄰算法的統(tǒng)稱。

第五步：在真實(shí)空間Ω中，對第i個(gè)節(jié)點(diǎn)(x_i,y_i,z_i)，借助X_i計(jì)算如下矢量：

R^T＝[r(d₁),r(d₂),…,r_n(d_n)]

P^T＝[1,x_i,y_i,z_i]

其中r是徑向基函數(shù)，d_j是節(jié)點(diǎn)i與X_i中第j個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離，n是集合X_i中臨近節(jié)點(diǎn)編號的個(gè)數(shù)，T代表轉(zhuǎn)置。

同樣在Ω中構(gòu)造如下矩陣：

其中R_kl＝r(d_kl)，d_kl是X_i中第k個(gè)節(jié)點(diǎn)和第l個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離。P₀中的x_j、y_j和z_j為X_i中第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值；Ω中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)為Φ_i＝R^TS_a+P^TS_b，其中

第六步：將上述過程應(yīng)用到Ω中的所有節(jié)點(diǎn)，得到各點(diǎn)對應(yīng)的形函數(shù)至結(jié)束。

在上述技術(shù)方案的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步包括如下附屬技術(shù)方案：

其用于細(xì)長結(jié)構(gòu)建模。

本發(fā)明在計(jì)算形函數(shù)時(shí)，使用橢球形支撐域代替球形支撐域，因而在處理細(xì)長結(jié)構(gòu)時(shí)，可以在細(xì)長方向降低節(jié)點(diǎn)密度的同時(shí)，不需要增加支撐域半徑，從而提高計(jì)算效率。另外，通過在引入線性映射空間，使得本發(fā)明可以采用和傳統(tǒng)RPIM方法相同的最近鄰搜索算法。

本發(fā)明優(yōu)點(diǎn)是：

1、采用橢球形支撐域，降低了細(xì)長結(jié)構(gòu)建模所需節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)要求，使得要計(jì)算的未知數(shù)個(gè)數(shù)大大減少；

2、引入了映射空間概念，將真實(shí)空間中的橢球形支撐域變換成為新空間下的球形支撐域，從而可以直接使用傳統(tǒng)RPIM算法使用的近鄰搜索算法。

附圖說明

下面結(jié)合附圖及實(shí)施例對本發(fā)明作進(jìn)一步描述：

圖1為本發(fā)明中坐標(biāo)軸的示意圖。

圖2為本發(fā)明中線性變換的示意圖。

具體實(shí)施方式

實(shí)施例：如圖1-2所示，本發(fā)明提供一種徑向點(diǎn)插值型無網(wǎng)格法形函數(shù)構(gòu)造方法的具體實(shí)施例，其包括如下步驟：。

1建立坐標(biāo)軸

其中一條坐標(biāo)軸沿著結(jié)構(gòu)尺寸最長方向(記作x軸)。結(jié)構(gòu)在x、y和z方向上的尺寸分別記作L_x、L_y和L_z(如圖1)；

2結(jié)構(gòu)建模

采用一系列離散節(jié)點(diǎn)對細(xì)長結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，三個(gè)方向上節(jié)點(diǎn)距離比為L_x:L_y:L_z，使得在x方向節(jié)點(diǎn)密度最低；

3空間變換

為了快速地在橢球支撐域內(nèi)進(jìn)行近鄰查找，引入映射空間的概念。對真實(shí)空間Ω內(nèi)的離散節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z)進(jìn)行線性變換，轉(zhuǎn)換為線性映射空間Ω^*內(nèi)的坐標(biāo)(x^*,y^*,z^*)，變換公式為：

通過線性變換，Ω中的橢球形支撐域被映射到Ω^*下的球形支撐域(如圖2)。其中球形支撐域半徑的選取，可以參考文獻(xiàn)1；

4查找近鄰

在線性映射空間Ω^*內(nèi)，與傳統(tǒng)RPIM算法一樣，使用kNN算法在球形支撐域逐一搜索臨近節(jié)點(diǎn)。對映射空間Ω^*內(nèi)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)，記其臨近節(jié)點(diǎn)編號的集合為X_i，從而對于真實(shí)空間Ω中的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)，在橢球支撐域中的臨近節(jié)點(diǎn)編號的集合仍是X_i；kNN算法可以參考文獻(xiàn)2；

5計(jì)算形函數(shù)

在真實(shí)空間Ω中，對第i個(gè)節(jié)點(diǎn)(x_i,y_i,z_i)，借助X_i計(jì)算如下矢量：

R^T＝[r(d₁),r(d₂),…,r_n(d_n)]

P^T＝[1,x_i,y_i,z_i]

其中r是徑向基函數(shù)，d_j是節(jié)點(diǎn)i與X_i中第j個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離，n是集合X_i中臨近節(jié)點(diǎn)編號的個(gè)數(shù)，T代表轉(zhuǎn)置。同樣在Ω中構(gòu)造如下矩陣：

其中R_kl＝r(d_kl)，d_kl是X_i中第k個(gè)節(jié)點(diǎn)和第l個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離。P₀中的x_j、y_j和z_j為X_i中第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值；Ω中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)為Φ_i＝R^TS_a+P^TS_b，其中

第六步：將上述過程應(yīng)用到Ω中的所有節(jié)點(diǎn)，得到各點(diǎn)對應(yīng)的形函數(shù)至結(jié)束。

由此本發(fā)明具有以下優(yōu)點(diǎn)：

1、采用橢球形支撐域，對細(xì)長結(jié)構(gòu)在較長尺寸的方向上，節(jié)點(diǎn)密度要求降低，即降低了細(xì)長結(jié)構(gòu)建模所需節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)要求，使得要計(jì)算的未知數(shù)個(gè)數(shù)大大減少；

2、引入了映射空間概念，將真實(shí)空間中的橢球形支撐域變換成為新空間下的球形支撐域，在線性變換后的映射空間內(nèi)進(jìn)行近鄰搜索，從而可以直接使用傳統(tǒng)RPIM算法使用的近鄰搜索算法。

當(dāng)然上述實(shí)施例只為說明本發(fā)明的技術(shù)構(gòu)思及特點(diǎn)，其目的在于讓熟悉此項(xiàng)技術(shù)的人能夠了解本發(fā)明的內(nèi)容并據(jù)以實(shí)施，并不能以此限制本發(fā)明的保護(hù)范圍。凡根據(jù)本發(fā)明主要技術(shù)方案的精神實(shí)質(zhì)所做的等效變換或修飾，都應(yīng)涵蓋在本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。