本發(fā)明涉及一種基于傳遞函數(shù)的細長體顫振速度確定方法，屬于飛行器氣動彈性
技術領域：
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背景技術：
：對于飛機機身、導彈彈體、機翼外掛火箭等，當長細比較大時(一般大于10左右)，稱為細長體。細長體顫振是指發(fā)生在飛行器飛行中的動不穩(wěn)定性，此時的飛行速度稱為顫振速度。在飛行達到顫振速度時所發(fā)生的自激振動，大多數(shù)都會造成災難性的后果。顫振分析就是求出顫振發(fā)生的條件，亦即求出顫振速度，并尋求在飛行器飛行速度范圍內避免顫振發(fā)生的措施，進而尋找提高顫振臨界速度的方法。進行細長體顫振分析和計算時，一方面需要知道細長體結構的動力學特性，另一方面需要知道細長體結構表面非定常流動的空氣動力特性。目前，工程中為了避免分析計算過于復雜，在細長體結構動力學計算時盡量減小細長體振動自由度，通常忽略高階模態(tài)，僅利用細長體振動的低階模態(tài)來近似表示細長體的彎曲振動位移。然后，再結合細長體準定常氣動理論，求解細長體顫振速度。實際上，細長體是無限多自由度的彈性體，在顫振分析中也沒有對自由度的限制。因此，上述計算方法的缺點是：為了避免過于復雜的計算而減少了細長體振動的自由度，對細長體實際振動作出了近似，使計算結果的準確性降低了。技術實現(xiàn)要素：本發(fā)明所要解決的技術問題是提供一種計算方法簡捷、計算結果較準確的基于傳遞函數(shù)的細長體顫振速度確定方法。本發(fā)明解決其技術問題所需采用的技術方案：一種基于傳遞函數(shù)法的細長體顫振速度確定方法，所述方法利用梁的橫向彎曲振動微分方程和細長體準定常氣動力模型，得出細長體顫振微分方程，然后對所述細長體離散為細長體單元，在單元內對細長體單元顫振微分方程進行Fourier變換，再運用傳遞函數(shù)法求解細長體顫振速度；一、所述方法需要依據的計算公式：a.利用梁的橫向彎曲振動微分方程和細長體準定常氣動力模型建立細長體顫振微分方程：本發(fā)明利用梁的橫向彎曲振動微分方程式(1)來描述細長體的彎曲振動：∂2(EI∂2h∂y2)∂y2+m∂2h∂t2+Δp=0---(1)]]>式中，h為細長體彎曲振動位移，單位為米，EI為細長體抗彎剛度，單位牛頓·米2，m為細長體單位長度質量，單位為千克，△p為細長體單位長度的氣動力，單位為牛頓/米，y為細體長軸向坐標，單位為米，t為時間，單位為秒，為細長體彎曲振動位移h對機軸向坐標y的二階偏導數(shù)，為細長體彎曲振動位移h對時間t的二階偏導數(shù)；根據細長體準定常氣動力模型，得到細長體單位長度的氣動力△p為下式(2)：Δp=-{ρA(∂2h∂t2+V∂2h∂t∂y)+ρV∂A∂y(∂h∂t+V∂h∂y)+ρAV(∂2h∂t∂y+V∂2h∂y2)}---(2)]]>式中，V為空速，單位為米/秒，A為細長體橫截面積，單位為平方米，ρ為空氣密度，單位為千克/立方米；將(2)式代入(1)式得到細長體顫振微分方程式(3)：∂2(EI∂2hay2)∂y2+m∂2h∂t2-ρA(∂2h∂t2+V∂2h∂t∂y)-ρV∂A∂y(∂h∂t+V∂h∂y)-ρAV(∂2h∂t∂y+V∂2h∂y2)=0---(3)]]>b.沿細長體軸向劃分n個細長體單元，建立細長體單元的顫振微分方程：一般地，細長體的物理參數(shù)EI、m、A等沿其軸向是變化的，為了方便求解，按照有限元法，沿細長體軸向劃分n個單元，為了使細長體單元的形式統(tǒng)一顫振微分方程，令：ξ=y-yjlj---(4)]]>式中，yj為第j個細長體單元前節(jié)點距離細長體前端點的距離，lj為第j個細長體單元的長度，ξ為細長體單元內軸向無量綱坐標，由(4)式可知ξ∈(0,1)；當劃分單元足夠多時，假設EI、m，A在每個細長體單元內近似線性變化是可理的，則在第j個細長體單元內有如下線性表達式：EI(ξ)=EI(0)+EI(1)-EI(0)ljξm(ξ)=m(0)+m(1)-m(0)ljξA(ξ)=A(0)+A(1)-A(0)ljξ---(5)]]>式中，EI(0)、m(0)、A(0)為EI、m、A在第j個細長體單元前節(jié)點處的值，EI(1)、m(1)、A(1)為EI、m、A在第j個細長體單元后節(jié)點處的值，EI(ξ)、m(ξ)、A(ξ)為EI、m、A在第j個細長體單元內ξ處的值；將(4)式與(5)式代入(3)式，可得到細長體單元的顫振微分方程：EI(ξ)lj4∂4h∂ξ4+2(EI(1)-EI(0))lj4∂3h∂ξ3-ρA(ξ)V2lj2∂2h∂ξ2-2ρA(ξ)Vlj∂2h∂t∂ξ-ρV2A(1)-A(0)lj2∂h∂ξ+[m(ξ)-ρA(ξ)]∂2h∂t2-ρVA(1)-A(0)lj∂h∂t=0---(6)]]>c.利用傳遞函數(shù)法求解細長體顫振速度①對(6)式中有關時間t的變量作Fourier變換，可得到下式(7)：EI(ξ)lj4∂4h∂ξ4+2(EI(1)-EI(0))lj4∂2h∂ξ3-ρA(ξ)V2lj2∂2h∂ξ2-[iω2ρA(ξ)Vlj+V2ρA(1)-ρA(0)lj2]∂h∂ξ+[(iω)2[m(ξ)-ρA(ξ)]-(iω)VρA(1)-ρA(0)lj]h=0---(7)]]>式中，虛數(shù)ω為角頻率，單位為弧度/秒；②將細長體單元的顫振微分方程改寫為狀態(tài)空間方程形式；為了便于應用傳遞函數(shù)理論，定義一個狀態(tài)變量的向量ηe(ξ,ω)如下式(8)：ηe(ξ,ω)=h∂h∂y∂2h∂y2∂3h∂y3T---(8)]]>式中，T表示向量轉置；基于狀態(tài)變量向量ηe(ξ,ω)，可將(7)式寫成狀態(tài)方程的形式如下式(9)：∂ηe(ξ,ω)∂ξ=Fe(ξ,ω,V)ηe(ξ,ω)+ge(ξ,ω)---(9)]]>式中，F(xiàn)e(ξ,ω,V)、ge(ξ,ω)的表達式可根據(7)式得出，具體如下Fe(ξ,ω,V)=010000100001A4A3A2A1ge(y,ω)=0---(10)]]>式中，A1=-2EI(1)-EI(0)EI(ξ)A2=ρA(ξ)V2EI(ξ)lj2A3=iω2ρA(ξ)VEI(ξ)lj2+V2ρA(1)-ρA(0)EI(ξ)lj2A4=-(iω)2[m(ξ)-ρA(ξ)]EI(ξ)lj4+(iω)VρA(1)-ρA(0)EI(ξ)lj3---(11)]]>根據傳遞函數(shù)理論，方程(9)式的標準解為：ηe(ξ,ω)＝He(ξ,ω,V)γe(ω)+de(ξ,ω)(12)式中，γe(ω)為由邊界條件給定的位移或力組成的向量，可根據傳遞函數(shù)方法理論得到表達式如下：γe(ω)=h(0,ω)∂h(0,ω)∂ξh(1,ω)∂h(1,ω)∂ξ---(13)]]>式中，He(ξ,ω,V)、fe(ξ,ω)的表達式也可根據傳遞函數(shù)方法理論得到，如下：He(ξ,ω,V)=ΦF(ξ,0,ω,V)[MbΦF(0,0,ω,V)+NbΦF(1,0,ω,V)]-1de(ξ,ω)=∫01G(ξ,ζ,ω,V)ge(ζ,ω)dζG(ξ,ζ,ω,V)=He(ξ,ω,V)MbΦF(0,ζ,ω,V)ζ<ξ-He(ξ,ω,V)NbΦF(1,ζ,ω,V)ζ>ξΦF(ξ,ζ,ω,V)=eFe(ξ,ω,V)ζ---(14)]]>式中，變量ζ∈(0,1)，Mb為細長體單元前端邊界條件選擇矩陣，Nb為細長體單元后端邊界條件選擇矩陣，可根據傳遞函數(shù)方法理論得到，如下：Mb=1000010000000000,Nb=0000000010000100---(15)]]>由于(10)式中給出ge(y,ω)＝0，由(14)式可知de(ξ,ω)＝0，從而(12)式可簡化為：ηe(ξ,ω)＝He(ξ,ω,V)γe(ω)(16)③根據細長體內力關系建立單元平衡方程；由材料力學梁的彎矩和剪力公式可知，細長體截面上彎矩和剪力的表達式可寫為：M(y,ω)=EI∂2h∂y2F(y,ω)=∂(EI∂2h∂y2)∂y---(17)]]>在細長體單元內，并利用EI在單元內的線性變化假設，(17)式可寫為：σe(ξ,ω)=M(ξ,ω)F(ξ,ω)=EI(ξ)li2∂2h∂ξ2EI(ξ)li3∂3h∂ξ3+EI(1)-EI(0)li3∂2h∂ξ2---(18)]]>引入狀態(tài)變量向量(8)式，從而(18)可寫成如下矩陣形式：σe(ξ,ω)＝Eeη(ξ)ηe(ξ,ω)(19)式中，Eeη(ξ)可根據(18)式得到其表達式如下：Eeη(ξ)=00EI(ξ)li2000EI(1)-EI(0)li3EI(ξ)li3---(20)]]>將(16)式代入(19)式，可得到σe(ξ,ω)＝Eeη(ξ)He(ξ,ω,V)γe(ω)(21)式中，γe(ω)可視為細長體單元兩節(jié)點處的廣義位移，如果ξ取0和1，則可得到細長體單元兩節(jié)點的廣義內力與廣義位移之間的關系，從而建立單元平衡方程，即：令ξ＝0，ξ＝1，則有σe(ω)=σe(0,ω)σe(1,ω)=Eeη(0)He(0,ω,V)Eeη(1)He(1,ω,V)γe(ω)---(22)]]>上式即為表征細長體單元節(jié)點廣義內力與廣義位移關系的單元平衡方程，從而可視為單元的廣義剛度矩陣，可記為：Ke(ω,V)=Eeη(0)He(0,ω,V)Eeη(1)He(1,ω,V)---(23)]]>④將細長體單元平衡方程組裝形成細長體整體平衡方程；按照有限元法進行單元組裝，可得到細長體整體平衡方程為K(ω,V)γ(ω)＝F(ω)(24)式中，K(ω,V)可視為整體剛度矩陣，γ(ω)可視為整體節(jié)點位移向量，F(xiàn)(ω)為各單元節(jié)點內力拼裝成的向量。⑤確定顫振速度；對于細長體，顫振時不需慮重力，本專利中將細長體所受氣動力的影響囊括在剛度矩陣K(ω,V)，除此以外細長體不受其它力的作用，從而外載荷為零，根據單元節(jié)點內力與外載荷平衡，可得出F(ω)＝0(25)當細長體顫振時，γ(ω)應有非零解，此時整體平衡方程必須滿足條件為det[K(ω,V)]＝0(26)由于K(ω,V)為復矩陣，其行列式值等于零的必要條件為矩陣行列式值的實部與虛部均為零，即Re{det[K(ω,V)]}=0Im{det[K(ω,V)]}=0---(27)]]>矩陣K(ω,V)中有空速V和圓頻率ω兩個變量，而(27)式恰好有兩個方程，可以定解。求解上述方程組時，可能會得到滿足方程組多個解，即存在多組(V,ω)能滿足方程組(27)式。根據細長體顫振時在某一空速時由穩(wěn)定轉變?yōu)椴环€(wěn)定，因而，空速V最小的一組解(V,ω)應為細長體的顫振速度和相應的顫振頻率。將得到滿足方程組的空速V和圓頻率ω，分別記為Vcz和ωcz。其中，Vcz即為細長體的顫振速度，ωcz即為細長體的顫振圓頻率。二、所述方法的具體步驟如下：步驟(一)：將細長體劃分為n個單元，測量細長體各單元節(jié)點的下列物理參數(shù)：細長體各單元軸向長度[l1l2…lj…ln]，單位為米；細長體單元節(jié)點處的橫截面積[A1A2…Aj…An+1]，單位為米2細長體單位節(jié)點處單位長度質量[m1m2…mj…mn+1]，單位為千克/米；細長體單位節(jié)點處抗彎剛度[EI1EI2…EIj…EIn+1]，單位為牛頓·米2；空氣密度ρ，單位為千克/米3；步驟(二)：確定細長體飛行的空速V和圓頻率ω的大致范圍，假設為步驟(三)：在范圍內劃分合適步長△V和△ω，并進行離散，空速V和圓頻率ω的取值為：步驟(四)：取空速V＝V0，圓頻率ω依次取ω0+j△ω(j＝0,1,2,3…)，將空速V和圓頻率ω的取值與步驟(一)中的細長體物理參數(shù)代入(11)式，計算各單元系數(shù)A1、A2、A3、A4的值；步驟(五)：將系數(shù)A1、A2、A3、A4的值代入(10)式，得到細長體各單元矩陣Fe(ξ,ω,V)的值；步驟(六)：將矩陣Fe(ξ,ω,V)的值代入(14)式，結合(15)式，計算He(ξ,ω,V)的值；步驟(七)：將He(ξ,ω,V)的值代入(23)式，結合(20)式，計算單元剛度矩陣Ke(ω,V)的值；步驟(八)：利用Ke(ω,V)組裝整體剛度矩陣K(ω,V)；步驟(九)：計算Re{det[K(ω,V)]}和Im{det[K(ω,V)]}的值；步驟(十)：再依次取空速V＝V0+j△V(j＝1,2,3…)，重復步驟(四)至步驟(十)，計算Re{det[K(ω,V)]}和Im{det[K(ω,V)]}的值；步驟(十一)：確定滿足(27)式的空速V的值，即可確定細長體的顫振速度Vcz。本發(fā)明的有益效果如下：(1)由于本發(fā)明利用梁的橫向彎曲振動微分方程來準確描述細長體的橫向振動，而沒有采用梁橫向振動的低階模態(tài)來近似描述細長體振動，所以計算的細長體顫振速度更加準確。(2)本發(fā)明求解細長體顫振速度的方法與現(xiàn)有技術相比更加簡捷。附圖說明圖1為細長體正視圖；圖2為細長體截面圖；圖3為細長體結構示意圖；圖4為細長體單元剖分示意圖；圖5為實施例1的Re[detA]和Im[detA]的等值線圖(V∈(0,50),ω∈(0,200π))、在附圖中：1細長體、2第i個細長體、3前節(jié)點、4后節(jié)點。具體實施方式如附圖1-5所示，本發(fā)明的實施例1如下：某細長體長度為1.8米，重量22千克，最大截面直徑為0.025平方米。本實施例1的具體計算步驟如下：步驟(一)：將細長體劃分為10個單元，測量細長體各單元節(jié)點的下列物理參數(shù)：各單元軸向長度：l1＝l2＝…＝l10＝0.18，單位為米；各單元節(jié)點處的橫截面積：A1＝0,A2＝A3＝…＝A10＝0.025,A11＝0.02，單位為米2各單元節(jié)點處的單位長度質量m1＝10,m2＝m3…＝m10＝20，單位為千克/米；各單元節(jié)點處的抗彎剛度EI1＝0.5×103,EI2＝…＝EI11＝1.1×103，單位為牛頓·米2；空氣密度ρ＝1.225，單位為千克/米3；步驟(二)：確定飛機機翼的空速V和圓頻率ω的大致范圍為劃分步長依據
發(fā)明內容部分中步驟(三)至步驟(十一)，計算Re[detA]和Im[detA]的值。圖3給出了在范圍內Re[detA]和Im[detA]的等值線圖。從圖3中可以發(fā)現(xiàn)，在給定范圍內存在滿足(26)式的點A，其坐標為(14.7,3020)，它表示細長體顫振速度Vcz＝3020m/s，顫振頻率為14.7Hz(顫振圓頻率ωcz＝92.32rad/s)。當前第1頁1 2 3