本發(fā)明涉及模式識別和機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)領(lǐng)域，更具體地涉及一種構(gòu)建帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法。

背景技術(shù)：

“黑箱”建模與運(yùn)行方式。這是指神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的參數(shù)具有不可解釋性，沒有明確的物理意義?？朔昂谙洹比毕莸囊粋€(gè)有效途徑是增加神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的透明性，其中，將先驗(yàn)知識引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法是一種有效的策略。先驗(yàn)信息種類豐富，表達(dá)形式多樣，與特定的研究問題相關(guān)，其中，邊界條件是一種常見的具有廣泛應(yīng)用價(jià)值的先驗(yàn)知識。

目前關(guān)于在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中嵌入邊界條件約束的主要思路包括：

(1)使用傳統(tǒng)的解決帶約束的優(yōu)化問題的方法求解；

(2)將有邊界條件約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成不帶約束條件的問題求解；

(3)生成一個(gè)新的網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)能自動滿足邊界條件約束。

使用傳統(tǒng)帶約束的優(yōu)化問題的方法求解是最直接簡單的解決方法，但該方法只能處理插值點(diǎn)約束，即必須將連續(xù)的邊界條件約束近似的轉(zhuǎn)化成有限個(gè)插值點(diǎn)約束，轉(zhuǎn)化后的邊界條件約束并不等價(jià)于原始邊界條件約束。將有邊界條件約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成不帶約束條件的問題求解，轉(zhuǎn)化后的優(yōu)化問題容易求解，但通常情況下，轉(zhuǎn)化后的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)不等價(jià)于原目標(biāo)函數(shù)。生成一個(gè)新的網(wǎng)絡(luò)，使該網(wǎng)絡(luò)能自動滿足邊界條件約束是一種有效的解決邊界條件約束的方法，有研究表明通過生成新的網(wǎng)絡(luò)，邊界條件約束能以離散的方式嚴(yán)格滿足，但是目前的研究在處理連續(xù)邊界條件約束問題上存在許多困難。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

(一)要解決的技術(shù)問題

為了解決現(xiàn)有技術(shù)問題，本發(fā)明提供了一種構(gòu)建帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法。

(二)技術(shù)方案

本發(fā)明提供了一種構(gòu)建帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法，包括：步驟S1：構(gòu)造訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和測試數(shù)據(jù)集，確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)、徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的中心點(diǎn)以及窗寬；步驟S2：基于所述訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的訓(xùn)練樣本到指定邊界的距離，得到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的局部施加函數(shù)；步驟S3：根據(jù)已知的邊界條件約束的屬性，基于徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)、邊界條件約束函數(shù)和所述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的局部施加函數(shù)，得到帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差函數(shù)；步驟S4：利用最小二乘法由所述帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差函數(shù)得到帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)；以及步驟S5：利用測試數(shù)據(jù)集驗(yàn)證所述帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能。

(三)有益效果

從上述技術(shù)方案可以看出，本發(fā)明的構(gòu)建帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法具有以下有益效果：

本發(fā)明利用一種局部施加函數(shù)使邊界條件約束局部性作用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，具有局部性激活邊界條件約束的特征，處理邊界條件約束時(shí)無需將邊界條件離散化，對于Dirichlet邊界條件和可轉(zhuǎn)換的Neumann邊界條件，該發(fā)明能嚴(yán)格滿足邊界條件使得邊界條件約束局部性地影響目標(biāo)函數(shù)的訓(xùn)練，提高了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能。

附圖說明

圖1為本發(fā)明實(shí)施例的構(gòu)建帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法的流程圖；

圖2為本發(fā)明實(shí)施例的Dirichlet邊界條件約束和可積分的Neumann邊界條件約束的帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的示意圖；

圖3為本發(fā)明實(shí)施例的得到三種邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差函數(shù)的示意圖。

具體實(shí)施方式

在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，局部性是一種被廣泛應(yīng)用的指導(dǎo)思想，其目的是提高效率，降低能耗。本發(fā)明利用局部性思想，局部性的施加(或者激活)邊界條件約束，使得邊界條件約束局部性地影響目標(biāo)函數(shù)的訓(xùn)練。針對局部性施加邊界條件約束的問題，本發(fā)明首先判斷邊界條件約束的性質(zhì)，并相應(yīng)的建立兩個(gè)模塊，得到網(wǎng)絡(luò)輸出；利用局部施加函數(shù)計(jì)算訓(xùn)練樣本的局部施加函數(shù)值并代入網(wǎng)絡(luò)模型。本發(fā)明利用一種局部施加函數(shù)使邊界條件約束局部性作用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，具有局部性激活邊界條件約束的特征。具體來說，首先，判斷已知的邊界條件約束的屬性，根據(jù)邊界條件約束的屬性決定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的設(shè)置，建立兩個(gè)模塊神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型，第一模塊為給定原有的或轉(zhuǎn)化的邊界條件約束函數(shù)與特定局部施加函數(shù)的乘積，第二模塊為徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與特定局部施加函數(shù)的補(bǔ)函數(shù)的乘積，兩個(gè)模塊神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型以加和方式連接為整體神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；然后，計(jì)算訓(xùn)練樣本的局部施加函數(shù)值，根據(jù)該值設(shè)置具體的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法使其滿足邊界條件；利用該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法得到測試樣本的輸出值。

為使本發(fā)明的目的、技術(shù)方案和優(yōu)點(diǎn)更加清楚明白，以下結(jié)合具體實(shí)施例，并參照附圖，對本發(fā)明作進(jìn)一步的詳細(xì)說明。

圖1為本發(fā)明實(shí)施例的構(gòu)建帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法的流程圖，參照圖1，該方法包括：

步驟S1：構(gòu)造訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和測試數(shù)據(jù)集，確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)m、徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的中心點(diǎn)μ_i以及窗寬σ。

其中，步驟S1中的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)包括兩部分：一部分是在邊界內(nèi)部均勻采樣的數(shù)據(jù)，另外一部分是在邊界上均勻采樣的數(shù)據(jù)；測試數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)也包括兩部分：一部分是在與訓(xùn)練數(shù)據(jù)集同一邊界內(nèi)部隨機(jī)采樣的數(shù)據(jù)，另外一部分是在邊界上隨機(jī)采樣的數(shù)據(jù)，其中邊界包括：Dirichlet邊界、Neumann邊界和Robin邊界。

在步驟S1中，所述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)m根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定；徑向基核函數(shù)的中心點(diǎn)μ_i利用k-means方法得到；窗寬σ由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)m和徑向基核函數(shù)的中心點(diǎn)μ_i得到，如公式(1)所示：

$\mathrm{\σ}=\frac{d}{\sqrt{2m}}---\left(1\right)$

其中，m是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；d是徑向基核函數(shù)的中心點(diǎn)μ_i之間的最大距離。

步驟S2：基于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的訓(xùn)練樣本到指定邊界的距離，得到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的局部施加函數(shù)，如公式(2)所示，

$\mathrm{\η}\left(X\right)=\frac{{\mathrm{\δ}}_{norm}}{\mathrm{\β}\sqrt{2\mathrm{\π}}}\exp (-\frac{{\mathrm{\Δ}}^2}{2{\mathrm{\β}}^2})---\left(2\right)$

其中，η(X)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的局部施加函數(shù)；β為寬度調(diào)節(jié)參數(shù)，其通過訓(xùn)練得到，可以采用交叉驗(yàn)證方法得到β的最優(yōu)值；A為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的訓(xùn)練樣本到指定邊界的距離且X表示訓(xùn)練樣本，C表示指定邊界，包括Dirichlet邊界、Neumann邊界和Robin邊界；x_C表示位于指定邊界C上的樣本；δ_norm為歸一化參數(shù)，其目的是使局部施加函數(shù)滿足0＜η(X)≤1，即，當(dāng)訓(xùn)練樣本位于指定邊界時(shí)，其局部施加函數(shù)的值η(X)＝1，否則，0＜η(X)＜1，δ_norm由訓(xùn)練樣本的局部施加函數(shù)值除以所有訓(xùn)練樣本中的最大局部施加函數(shù)值得到。

本實(shí)施例的方法實(shí)際執(zhí)行時(shí)，可以先計(jì)算訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的訓(xùn)練樣本到指定邊界條件約束的距離值，如公式(3)所示，

$\mathrm{\Δ}\left(x_i\right)=\underset{x_C\∈C}{min}\left|\right|x_i-x_C\left|\right|---\left(3\right)$

其中，x_i表示第i個(gè)訓(xùn)練樣本，Δ(x_i)為第i個(gè)訓(xùn)練樣本x_i到指定邊界條件約束的距離值。

再得到訓(xùn)練樣本的局部施加函數(shù)值，如公式(4)所示，

$\mathrm{\η}\left(\mathrm{\Δ}\right(x_i);\mathrm{\β})=\frac{{\mathrm{\δ}}_{norm}}{\mathrm{\β}\sqrt{2\mathrm{\π}}}\exp (-\frac{{\mathrm{\Δ}}^2\left(x_i\right)}{2{\mathrm{\β}}^2})---\left(4\right)$

其中，η(Δ(x_i)；β)表示第i個(gè)訓(xùn)練樣本x_i的局部施加函數(shù)值，Δ(x_i)為第i個(gè)訓(xùn)練樣本x_i到指定邊界的距離值。

步驟S3：根據(jù)已知的邊界條件約束的屬性，基于徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)、邊界條件約束函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的局部施加函數(shù)，得到帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差函數(shù)，參見圖3。

當(dāng)已知的邊界條件約束為Dirichlet邊界條件約束時(shí)，步驟S3包括：

子步驟S3a：確定徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，如公式(5)所示：

f_WC(X)＝Φ(X)W (5)

其中，f_WC(X)為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)；Φ(X)＝[Φ(x₁)，…，Φ(x_n)]^T，x₁，…，x_n表示訓(xùn)練樣本，Φ(x)是徑向基核函數(shù)且μ_i為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的中心點(diǎn)，σ為窗寬；W為權(quán)重。

子步驟S3b：確定Dirichlet邊界條件約束函數(shù)f_D(X)。

子步驟S3c：得到帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)表達(dá)式，參見圖2，如公式(6)所示：

f(X)＝(1-η(X))f_WC(X)+η(X)f_D(X) (6)

其中，f(X)為帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)表達(dá)式；η(X)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的局部施加函數(shù)；f_WC(X)為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)；f_D(X)為Dirichlet邊界條件約束函數(shù)。

由此可見，帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)表達(dá)式由兩個(gè)模塊組成，公式(6)等號右邊第一項(xiàng)為第一模塊，第二項(xiàng)為第二模塊；其中，第一模塊為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與局部施加函數(shù)的補(bǔ)函數(shù)的乘積；第二模塊為Dirichlet邊界條件約束函數(shù)與局部施加函數(shù)的乘積，兩個(gè)模塊以加和方式形成帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)表達(dá)式。

子步驟S3d：構(gòu)建帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差函數(shù)：

$\underset{w}{{\mathrm{minl}}_2}\left(W\right)=\frac{1}{2}\left|\right|y-f\left(X\right)|{|}^2---\left(7\right)$

其中，y表示訓(xùn)練樣本的觀測值，f(X)為帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)表達(dá)式，W為權(quán)重。

當(dāng)已知的邊界條件約束為Neumann邊界條件約束時(shí)，判斷Neumann邊界條件約束是否可積分，如果Neumann邊界條件約束函數(shù)存在顯式的積分形式，則Neumann邊界條件約束是可積分的，步驟S3包括：

子步驟S3a：由Neumann邊界條件約束函數(shù)得到轉(zhuǎn)化的Neumann邊界條件約束函數(shù)，如公式(8)所示：

${f_N}^{\′}\left(x\right)=\∫\frac{\∂f_N\left(x\right)}{\∂x_k}{\mathrm{dx}}_k=f_D^0\left(x\right)+c---\left(8\right)$

其中，f_N(x)表示Neumann邊界條件約束函數(shù)(稱作原Neumann邊界條件約束函數(shù))，x_k表示f_N(x)的第k個(gè)自變量，表示轉(zhuǎn)化的Neumann邊界條件約束函數(shù)，c為常數(shù)，將與c的和作為參與后續(xù)運(yùn)算的轉(zhuǎn)化的Neumann邊界條件約束函數(shù)f_N′(x)，在本方法中，可將c設(shè)置為零。

子步驟S3b：確定徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，如公式(9)所示：

f_WC(X)＝Φ(X)W (9)

其中，f_WC(X)為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)；Φ(X)＝[Φ(x₁)，…，Φ(x_n)]^T，x₁，…，x_n表示訓(xùn)練樣本，Φ(x)是徑向基核函數(shù)且μ_i為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的中心點(diǎn)，σ為窗寬；W為權(quán)重。

子步驟S3c：得到帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)表達(dá)式，參見圖2，如公式(10)所示：

f(X)＝(1-η(X))f_WC(X)+η(X)f_N′(x) (10)

其中，f(X)為帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)表達(dá)式；η(X)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的局部施加函數(shù)；f_WC(X)為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)；f_N′(x)為轉(zhuǎn)化的Neumann邊界條件約束函數(shù)。

子步驟S3d：構(gòu)建帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差函數(shù)：

$\underset{w}{{\mathrm{minl}}_2}\left(W\right)=\frac{1}{2}\left|\right|y-f\left(X\right)|{|}^2---\left(11\right)$

其中，y表示訓(xùn)練樣本的觀測值，f(X)為帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)表達(dá)式，W為權(quán)重。

如果不存在顯式的積分形式，則Neumann邊界條件約束是不可積分的，步驟S3包括：

子步驟S3a：確定徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，如公式(12)所示：

f_WC(X)＝Φ(X)W (12)

其中，f_WC(X)為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)；Φ(X)＝[Φ(x₁)，…，Φ(x_n)]^T，x₁，…，x_n表示訓(xùn)練樣本，Φ(x)是徑向基核函數(shù)且μ_i為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的中心點(diǎn)，σ為窗寬；W為權(quán)重。

子步驟S3b：構(gòu)建帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差函數(shù)：

其中，η(X)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的局部施加函數(shù)，y表示訓(xùn)練樣本的觀測值，f_WC(X)為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，表示徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在Neumann邊界上對x_k的一階導(dǎo)數(shù)，f_N(x)表示Neumann邊界條件約束函數(shù)，ο表示Hadamard積。

當(dāng)已知的邊界條件約束為Robin邊界條件約束時(shí)，步驟S3包括：

子步驟S3a：確定徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，如公式(14)所示：

f_WC(X)＝Φ(X)W (14)

其中，f_WC(X)為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)；Φ(X)＝[Φ(x₁)，…，Φ(x_n)]^T，x₁，…，x_n表示訓(xùn)練樣本，Φ(x)是徑向基核函數(shù)且μ_i為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的中心點(diǎn)，σ為窗寬；W為權(quán)重。

子步驟S3b：構(gòu)建帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差函數(shù)：

其中，η(X)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的局部施加函數(shù)，y表示訓(xùn)練樣本的觀測值，f_WC(X)為徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，(f_WC(x∈C))_R表示徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在Robin邊界條件約束的輸出，f_R(x)表示Robin邊界條件約束，ο表示Hadamard積。

步驟S4：利用最小二乘法由帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差函數(shù)得到帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。

當(dāng)已知的邊界條件約束為Dirichlet邊界條件約束時(shí)，步驟S4包括：利用最小二乘法計(jì)算徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的權(quán)重的最優(yōu)值W^*，權(quán)重的最優(yōu)值W^*為：

其中，ο表示Hadamard積，P＝[η(X)，…，η(X)]^T∈R^n×m，η(X)＝[η(x₁)，…，_η(x_n)]^T，f_D＝[f_D(x₁)，…，f_D(x_n)]^T，x₁，…，x_n表示訓(xùn)練樣本，n為訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)，Φ＝[Φ₁(X)，…，Φ_m(X)]，m為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，1表示元素為1的矩陣，該矩陣的大小與Ξ一致。

將W^*代入公式(6)得到帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)：

f(X)＝(1-η(X))Φ(X)W^*+η(X)f_D(x) (17)

當(dāng)已知的邊界條件約束為Neumann邊界條件約束且Neumann邊界條件約束是可積分時(shí)，步驟S4包括：利用最小二乘法計(jì)算徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的權(quán)重的最優(yōu)值W^*，權(quán)重的最優(yōu)值W^*為：

其中，ο表示Hadamard積，P＝[η(X)，…，η(X)]^T∈R^n×m，η(X)＝[η(x₁)，…，η(x_n)]^T，f_N′＝[f_N′(x₁)，…，f_N′(x_n)]^T，x₁，…，x_n表示訓(xùn)練樣本，n為訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)，Φ＝[Φ₁(X)，…，Φ_m(X)]，m為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，1表示元素為1的矩陣，該矩陣的大小與Ξ一致。

將W^*代入公式(10)得到帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)：

f(X)＝(1-η(X))Φ(X)W^*+η(X)f_N′(x) (19)

當(dāng)已知的邊界條件約束為Neumann邊界條件約束且Neumann邊界條件約束是不可積分時(shí)，步驟S4包括：利用最小二乘法計(jì)算徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的權(quán)重的最優(yōu)值W^*，權(quán)重的最優(yōu)值W^*為：

其中，ο表示Hadamard積，Φ為徑向基核函數(shù)，Φ＝[Φ₁(X)，…，Φ_m(X)]，表示徑向基核函數(shù)Φ對第k個(gè)變量的一階導(dǎo)數(shù)，f_N表示Neumann邊界條件約束函數(shù)，f_N＝[f_N(x₁)，…，f_N(x_n)]^T，x₁，…，x_n表示訓(xùn)練樣本，n為訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)，P＝[η(X)，…，η(X)]^T∈R^n×m，m為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，η(X)＝[η(x₁)，…，η(x_n)]^T，1表示元素為1的矩陣，該矩陣的大小與Ξ一致。

帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為：

f(X)＝Φ(X)W^* (21)

其中，Φ(X)是徑向基核函數(shù)；W^*為權(quán)重的最優(yōu)值。

當(dāng)已知的邊界條件約束為Robin邊界條件約束時(shí)，步驟S4包括：利用最小二乘法計(jì)算徑向基核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的權(quán)重的最優(yōu)值W^*，權(quán)重的最優(yōu)值W^*為：

其中，ο表示Hadamard積，A和B表示Robin邊界條件約束中的線性系數(shù)a和b構(gòu)成的系數(shù)矩陣，為已知參數(shù)，A的所有元素都為a，A矩陣的大小與Φ一致，B的所有元素都為b，B矩陣的大小與一致；Φ為徑向基核函數(shù)，Φ＝[Φ₁(X)，…，Φ_m(X)]，表示徑向基核函數(shù)Φ對第k個(gè)變量的一階導(dǎo)數(shù)，f_R表示Robin邊界條件約束函數(shù)，f_R＝[f_R(x₁)，…，f_R(x_n)]^T，x₁，…，x_n表示訓(xùn)練樣本，n為訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)，P＝[η(X)，…，η(X)]^T∈R^n×m，η(X)＝[η(x₁)，…，η(x_n)]^T，1表示元素為1的矩陣，該矩陣的大小與Ξ一致。

帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為：

f(X)＝Φ(X)W^* (23)

其中，Φ(X)是徑向基核函數(shù)；W^*為權(quán)重的最優(yōu)值。

步驟S5：利用測試數(shù)據(jù)集驗(yàn)證帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能。

步驟S5包括：

子步驟S5a：將測試數(shù)據(jù)集中的測試樣本輸入帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，得到測試樣本的輸出值和邊界上測試樣本的輸出邊界條件值；

步驟S52：計(jì)算測試數(shù)據(jù)集的MSE(均方誤差值)，對帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出性能進(jìn)行測試，計(jì)算公式如下：

${\mathrm{MSE}}_{all}=\frac{1}{N_{all}}\underset{i=1}{\overset{N_{all}}{\Σ}}{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2---\left(24\right)$

其中，N_all表示測試樣本的數(shù)量，y_i表示測試樣本的觀測值，表示測試樣本的輸出值。

步驟S53：計(jì)算邊界條件上數(shù)據(jù)的MSE，對帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的約束滿足性能進(jìn)行測試，計(jì)算公式如下：

${\mathrm{MSE}}_{boundary}=\frac{1}{N_{boundary}}\underset{i=1}{\overset{N_{boundary}}{\Σ}}{(f_{boundary\_i}-{\hat{f}}_{boundary\_y})}^2---\left(25\right)$

其中，N_boundary表示邊界上測試樣本的數(shù)量，f_{boundary_i}表示邊界上觀測到的測試樣本的邊界條件值，表示邊界上測試樣本的輸出邊界條件值。

在本方法中，還可以將測試樣本的觀測值與測試樣本的輸出值進(jìn)行對比，將二者的差值作參數(shù)c的值以修正公式(8)中參數(shù)c的值，以提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能。

至此，已經(jīng)結(jié)合附圖對本發(fā)明實(shí)施例進(jìn)行了詳細(xì)描述。依據(jù)以上描述，本領(lǐng)域技術(shù)人員應(yīng)當(dāng)對本發(fā)明的一種構(gòu)建帶邊界條件約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法有了清楚的認(rèn)識。

需要說明的是，在附圖或說明書正文中，未繪示或描述的實(shí)現(xiàn)方式，均為所屬技術(shù)領(lǐng)域中普通技術(shù)人員所知的形式，并未進(jìn)行詳細(xì)說明。此外，上述對各元件的定義并不僅限于實(shí)施例中提到的各種方式，本領(lǐng)域普通技術(shù)人員可對其進(jìn)行簡單地更改或替換，例如：

(1)實(shí)施例中提到的方向用語，例如“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”等，僅是參考附圖的方向，并非用來限制本發(fā)明的保護(hù)范圍；

(2)上述實(shí)施例可基于設(shè)計(jì)及可靠度的考慮，彼此混合搭配使用或與其他實(shí)施例混合搭配使用，即不同實(shí)施例中的技術(shù)特征可以自由組合形成更多的實(shí)施例。

以上所述的具體實(shí)施例，對本發(fā)明的目的、技術(shù)方案和有益效果進(jìn)行了詳細(xì)說明，所應(yīng)理解的是，以上所述僅為本發(fā)明的具體實(shí)施例而已，并不用于限制本發(fā)明，凡在本發(fā)明的精神和原則之內(nèi)，所做的任何修改、等同替換、改進(jìn)等，均應(yīng)包含在本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。