本發(fā)明屬于精密計(jì)量與計(jì)算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域，具有涉及一種基于最大實(shí)體狀態(tài)的同軸度快速評(píng)定方法，可用于被測(cè)圓柱體有尺寸要求、其軸線的同軸度公差有最大實(shí)體要求并且其基準(zhǔn)要素有尺寸要求和最大實(shí)體要求的圓柱形幾何產(chǎn)品的同軸度誤差合格性檢測(cè)和評(píng)定，并為加工工藝的改進(jìn)提供指導(dǎo)。

背景技術(shù)：

尺寸誤差、形位誤差（形狀誤差和位置誤差的簡(jiǎn)稱）直接影響產(chǎn)品質(zhì)量、裝配及其使用壽命，快速、準(zhǔn)確地計(jì)算零件誤差，具有重要的意義。尺寸公差（公差即誤差的允許范圍）和形位公差之間的關(guān)系稱為公差原則，其中，最大實(shí)體要求是體現(xiàn)零件可裝配性的一種公差原則。

國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T16671-2009規(guī)定了被測(cè)圓柱體有尺寸要求、其軸線的同軸度公差有最大實(shí)體要求并且其基準(zhǔn)要素有尺寸要求和最大實(shí)體要求的情況，該情況規(guī)定了：1、被測(cè)圓柱體的最大實(shí)體狀態(tài)；2、被測(cè)圓柱體的局部尺寸的范圍；3、被測(cè)圓柱體的最大實(shí)體狀態(tài)與基準(zhǔn)圓柱體的最大實(shí)體狀態(tài)之間的方位關(guān)系；4、基準(zhǔn)圓柱體的最大實(shí)體狀態(tài)及其局部尺寸的范圍，補(bǔ)充解釋了最小實(shí)體狀態(tài)下的被測(cè)圓柱體的軸線與最小實(shí)體狀態(tài)下的基準(zhǔn)圓柱體的軸線之間可能的同軸度誤差，但并未給出具體的計(jì)算公式。

因此，為了判斷介于最大實(shí)體尺寸和最小實(shí)體尺寸之間（尺寸誤差的合格性檢測(cè)方法在國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T3177、GB/T1958、GB/T18779.1、GB/T18779.2中有規(guī)定，不屬于本發(fā)明的范疇）的零件的上述同軸度的合格性，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T1958-2004給出了利用高精度的、尺寸恒定的通規(guī)、止規(guī)來(lái)檢測(cè)圓柱體的上述同軸度是否合格的方法。然而，高精度的、尺寸恒定的通規(guī)、止規(guī)的制造成本較高，并且測(cè)量不同尺寸的圓柱體零件需要使用不同的通規(guī)、止規(guī)，進(jìn)一步增加了測(cè)量成本。

被測(cè)圓柱體有尺寸要求、其軸線的同軸度有最大實(shí)體要求并且其基準(zhǔn)要素沒(méi)有最大實(shí)體要求的情況下，在精密計(jì)量與計(jì)算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域可以通過(guò)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量被測(cè)圓柱體和基準(zhǔn)圓柱體上的測(cè)點(diǎn)，計(jì)算被測(cè)圓柱體相對(duì)于基準(zhǔn)圓柱體的同軸度，并判斷被測(cè)圓柱體的同軸度是否合格。但是還沒(méi)有數(shù)學(xué)方法來(lái)來(lái)評(píng)定被測(cè)圓柱體有尺寸要求、其軸線的同軸度公差有最大實(shí)體要求并且其基準(zhǔn)要素有尺寸要求和最大實(shí)體要求的零件的合格性。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明所要解決的技術(shù)問(wèn)題是提供一種基于最大實(shí)體狀態(tài)的同軸度快速評(píng)定方法，其不僅實(shí)現(xiàn)了被測(cè)圓柱體有尺寸要求、其軸線的同軸度公差有最大實(shí)體要求并且其基準(zhǔn)要素有尺寸要求和最大實(shí)體要求的零件的合格性檢測(cè)和評(píng)定，而且算法穩(wěn)定性好、計(jì)算效率高，可以推廣應(yīng)用于其它被測(cè)要素有尺寸要求、其定向定位公差有最大實(shí)體要求并且其基準(zhǔn)要素有尺寸要求和最大實(shí)體要求的零件的合格性檢測(cè)和評(píng)定中。

為解決上述問(wèn)題，本發(fā)明是通過(guò)以下方案實(shí)現(xiàn)的：

步驟1：獲取被測(cè)圓柱體C b 、基準(zhǔn)圓柱體C A 的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)；如果被測(cè)圓柱體C b的同軸度公差及基準(zhǔn)圓柱體C A 都有最大實(shí)體要求，并且基準(zhǔn)圓柱體C A 只有尺寸公差——可以應(yīng)用包容原則，那么跳轉(zhuǎn)到步驟2，否則結(jié)束本快速評(píng)定方法，并給出結(jié)論“被測(cè)圓柱體的同軸度公差不能用本方法評(píng)定”。

所述的被測(cè)圓柱體C b 的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)包括：是孔要素還是軸要素、名義直徑D_b、名義長(zhǎng)度L_b、軸的上偏差e s_b或孔的上偏差E S_b、軸的下偏差e i_b或孔的下偏差E I_b、同軸度公差T_{b, AM, coa}、同軸度公差是否標(biāo)注最大實(shí)體要求、同軸度公差的基準(zhǔn)圓柱體C A 是否標(biāo)注最大實(shí)體狀態(tài)。

所述的基準(zhǔn)圓柱體C A 的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)包括：是孔要素還是軸要素、名義直徑D_A、名義長(zhǎng)度L_A、軸的上偏差e s_A或孔的上偏差E S_A、軸的下偏差e i_A或孔的下偏差E I_A、尺寸公差是否應(yīng)用包容原則、其它幾何公差。

步驟2：獲取實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b、實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A的測(cè)量數(shù)據(jù)；評(píng)價(jià)實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A的尺寸誤差和實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的尺寸誤差，如果上述誤差都合格，跳轉(zhuǎn)到步驟3，否則結(jié)束本快速評(píng)定方法，并給出結(jié)論“實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A和/或?qū)嶋H被測(cè)圓柱體C_b的其它誤差不合格”。

步驟3：將實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A的測(cè)量數(shù)據(jù)擬合為圓柱體C C_A，在被測(cè)圓柱體的擬合圓柱體上建立局部坐標(biāo)系，并計(jì)算實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b、實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A的測(cè)量數(shù)據(jù)在該局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

步驟4：以實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A相對(duì)于圓柱體C C_AM的三維空間姿態(tài)v_A為變量，以實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b相對(duì)于圓柱體C C_AM的當(dāng)量直徑d_{b, AM, coa}=f (v_A)為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行目標(biāo)優(yōu)化，得到實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b相對(duì)于圓柱體C C_AM的極限當(dāng)量直徑d_{b, AM, coa, mM}。

其中，v_A受到如下約束：對(duì)于任意不超出基準(zhǔn)圓柱體C A 最大實(shí)體邊界圓柱體C C_AM的圓柱體C C_A，其相對(duì)于圓柱體C C_AM的三維空間姿態(tài)可以表示為v_A；對(duì)于任意v_A，圓柱體C C_A不超出基準(zhǔn)圓柱體C A 最大實(shí)體邊界圓柱體C C_A。

步驟5：根據(jù)被測(cè)圓柱體C b 的最大實(shí)體實(shí)效尺寸D_bMV和圓柱體C C_b的直徑d_b、最當(dāng)量直徑d_{b, AM, min}，判斷實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的同軸度誤差是否合格。

為了便于將實(shí)際零件與設(shè)計(jì)圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)，本發(fā)明可以將以下步驟具體化為：

步驟2中所述實(shí)際被測(cè)圓柱體b 、實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的測(cè)量數(shù)據(jù)是在測(cè)量空間直角坐標(biāo)系中測(cè)量的，并且包括以下四個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集：

實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的底面上的測(cè)點(diǎn)P_{measure, A, under, i}的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, A, under, i}(x_{measure, A, under, i}, y_{measure, A, under, i}, z_{measure, A, under, i})，i =1, 2 … I ，I 為測(cè)點(diǎn)數(shù)目且為正整數(shù)，所有的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, A, under, i}(x_{measure, A, under, under, i}, y_{measure, A, under, i}, z_{measure, A, under, i})形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, A, under, i}}。

實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的側(cè)面上的測(cè)點(diǎn)P _{measure, A, n}的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, A, n}(x_{measure, A, n}, y_{measure, A, n}, z_{measure, A, n})，n =1, 2 … N ，N 為測(cè)點(diǎn)數(shù)目且為正整數(shù)，所有的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, A, n}(x_{measure, A, n}, y_{measure, A, n}, z_{measure, A, n})形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, A, n}}。

實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的底面上的測(cè)點(diǎn)P_{measure, b, under, j}的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, b, under, j}(x_{measure, b, under, j}, y_{measure, b, under, j}, z_{measure, b, under, j})，j =1, 2 … J ，J 為測(cè)點(diǎn)數(shù)目且為正整數(shù)，所有的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, b, under, j}(x_{measure, b, under, under, j}, y_{measure, b, under, j}, z_{measure, b, under, j})形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, b, under, j}}。

實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的側(cè)面上的測(cè)點(diǎn)P_{measure, b, m}的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, b, m}(x_{measure, b, m}, y_{measure, b, m}, z_{measure, b, m})，m =1, 2 … M ，M 為測(cè)點(diǎn)數(shù)目且為正整數(shù)，所有的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, b, m}(x_{measure, b,m}, y_{measure, b, m}, z_{measure, b, m})形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, b, m}}。

為了簡(jiǎn)化實(shí)際零件與設(shè)計(jì)圖形的對(duì)應(yīng)過(guò)程，可以盡量減少實(shí)際被測(cè)圓柱體和實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體的底面測(cè)點(diǎn)，此時(shí)，本發(fā)明的以下步驟可以具體化為：

步驟2中，實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的底面上的測(cè)點(diǎn)數(shù)I =2，并且兩個(gè)測(cè)點(diǎn)P_{measure, A, under, 1}、P_{measure,A,under,2}分別在實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的兩個(gè)底面上。

實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的底面上的測(cè)點(diǎn)數(shù)J =2，并且兩個(gè)測(cè)點(diǎn)P_{measure, b, under, 1}、P_{measure,b,under,2}分別在實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的兩個(gè)底面上。

步驟3中，將實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, A, n}}擬合為圓柱體C C_A的側(cè)面，P_{measure, A, under, 1}、P_{measure,A,under,2}連線的中點(diǎn)P_{measure, A, under, 1/2}在圓柱體C C_A的兩個(gè)底面的對(duì)稱平面P L_{A, 1/2}上，圓柱體C C_A的長(zhǎng)度等于基準(zhǔn)圓柱體C A 的名義長(zhǎng)度L_A。

在圓柱體C C_A上建立局部直角坐標(biāo)系O_{xyz, A}，坐標(biāo)系O_{xyz, A}的原點(diǎn)與圓柱體C C_A的幾何中心O_A重合，坐標(biāo)系O_{xyz, A}的一個(gè)坐標(biāo)軸與圓柱體C C_A的軸線重合，該坐標(biāo)軸的正方向向量與向量O_AP_{measure, b, under, 1/2}的點(diǎn)積不小于零，其中，P_{measure, b, under, 1/2}是P_{measure, b, under, 1}、P_{measure,b,under,2}連線的中點(diǎn)；定義圓柱體C C_A的單位方向向量n_CCA的長(zhǎng)度為1、正方向與該坐標(biāo)軸的正方向向量相同。

將實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, A, n}}和實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, b, m}}進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A和實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的測(cè)點(diǎn)在坐標(biāo)系O_{xyz, A}中的坐標(biāo)集{p_{A, n}}和{p_{b, m}}。

為了降低本發(fā)明的使用難度，并考慮到形狀誤差在總誤差中的貢獻(xiàn)，本發(fā)明可以具體化為：

步驟1：獲取被測(cè)圓柱體C b 、基準(zhǔn)圓柱體C A 的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)；如果被測(cè)圓柱體C b的同軸度公差及基準(zhǔn)圓柱體C A 都有最大實(shí)體要求，并且基準(zhǔn)圓柱體C A 只有尺寸公差——可以應(yīng)用包容原則，那么跳轉(zhuǎn)到步驟2，否則結(jié)束本快速評(píng)定方法，并給出結(jié)論“被測(cè)圓柱體的同軸度公差不能用本方法評(píng)定”。

所述的被測(cè)圓柱體C b 的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)包括是孔要素還是軸要素、名義直徑D_b、名義長(zhǎng)度L_b、軸的上偏差e s_b或孔的上偏差E S_b、軸的下偏差e i_b或孔的下偏差E I_b、同軸度公差T_{b, AM, coa}、同軸度公差是否標(biāo)注最大實(shí)體要求、同軸度公差的基準(zhǔn)圓柱體C A 是否標(biāo)注最大實(shí)體狀態(tài)。

所述的基準(zhǔn)圓柱體C A 的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)包括：是孔要素還是軸要素、名義直徑D_A、名義長(zhǎng)度L_A、軸的上偏差e s_A或孔的上偏差E S_A、軸的下偏差e i_A或孔的下偏差E I_A、尺寸公差是否應(yīng)用包容原則、其它幾何公差。

步驟2：獲取實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b、實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A的測(cè)量數(shù)據(jù)，包括以下四個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集：

實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)P_{measure, A, under, 1}、P_{measure,A,under,2}分別在實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A的兩個(gè)底面上，兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, A, under, 1} (x_{measure, A, under, 1}, y_{measure, A, under, 1}, z_{measure, A, under, 1})、p_{measure, A, under, 2} (x_{measure, A, under, 2}, y_{measure, A, under, 2}, z_{measure, A, under, 2})形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, A, under, i}}，i =1, 2；實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A的側(cè)面上的測(cè)點(diǎn)P _{measure, A, n}的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, A, n}(x_{measure, A, n}, y_{measure, A, n}, z_{measure, A, n})，n =1, 2 … N ，N 為測(cè)點(diǎn)數(shù)目且為正整數(shù)，所有的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, A, n}(x_{measure, A, n}, y_{measure, A, n}, z_{measure, A, n})形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, A, n}}；實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)P_{measure, b, under, 1}、P_{measure,b,under,2}分別在實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的兩個(gè)底面上，兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, b, under, 1} (x_{measure, b, under, 1}, y_{measure, b, under, 1}, z_{measure, b, under, 1})、p_{measure, b, under, 2} (x_{measure, b, under, 2}, y_{measure, b, under, 2}, z_{measure, b, under, 2})形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, b, under, j}}，j =1, 2；實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的側(cè)面上的測(cè)點(diǎn)P_{measure, b, m}的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, b, m}(x_{measure, b, m}, y_{measure, b, m}, z_{measure, b, m})，m =1, 2 … M ，M 為測(cè)點(diǎn)數(shù)目且為正整數(shù)，所有的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, b, m}(x_{measure, b,m}, y_{measure, b, m}, z_{measure, b, m})形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, b, m}}。

評(píng)價(jià)實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A和實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的尺寸誤差是否合格，如果上述誤差都合格，跳轉(zhuǎn)到步驟3，否則結(jié)束本快速評(píng)定方法，并給出結(jié)論“實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A和/或?qū)嶋H被測(cè)圓柱體C_b的其它誤差不合格”。

步驟3：計(jì)算p_{measure, A, under, 1/2}=(p_{measure, A, under, 1}+p_{measure, A, under, 2})/2。

將步驟2中獲取的四個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到四個(gè)粗略平移數(shù)據(jù)集{p_{0, A, under, i}(x_{0, A, under, i}, y_{0, A, under, i}, z_{0, A, under, i})|p_{0, A, under, i} =p_{measure, A, under, i} -p_{measure, A, under, 1/2}，i =1, 2}、{p_{0, A, n}(x_{0, A, n}, y_{0, A, n}, z_{0, A, n})|p_{0, A, n} =p_{measure, A, n} -p_{measure, A, under, 1/2}，n =1, 2 … N }、{p_{0, b, under, j}(x_{0, b, under, j}, y_{0, b, under, j}, z_{0, b, under, j})|p_{0, b, under, j} =p_{measure, b, under, j} -p_{measure, A, under, 1/2}，，j =1, 2}、{p_{0, b, m}(x_{0, b, m}, y_{0, b, m}, z_{0, b, m})|p_{0, b, m} =p_{measure, b, m} -p_{measure, A, under, 1/2}，m =1, 2 … M }。

計(jì)算p_{0, b, under, 1/2}(x_{0, b, under, 1/2}, y_{0, b, under, 1/2}, z_{0, b, under, 1/2})=(p_{0, b, under, 1}+p_{0, b, under, 2})/2。

解目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1：

s.t.

解得最優(yōu)解(x_0,min, y_0,min, α_0,min, β_0,min)，即實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體C_A的擬合圓柱體C C_A對(duì)應(yīng)的(x₀, y₀, α₀, β₀)的值。

將粗略平移數(shù)據(jù)集{p_{0, A, n}(x_{0, A, n}, y_{0, A, n}, z_{0, A, n})}進(jìn)行如下坐標(biāo)變換，n =1, 2 … N ：

得到實(shí)際被測(cè)圓柱所有測(cè)點(diǎn)相對(duì)于實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體的坐標(biāo)集{p_{A, n}(_{A, n}, y_{A, n}, z_{A, n})}。

將粗略平移數(shù)據(jù)集{p_{0, b, m}(x_{0, b, m}, y_{0, b, m}, z_{0, b, m})}進(jìn)行如下坐標(biāo)變換，m =1, 2 … M ：

得到實(shí)際被測(cè)圓柱所有測(cè)點(diǎn)相對(duì)于實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體的坐標(biāo)集{p_{b, m}(_{b, m}, y_{b, m}, z_{b, m})}。

步驟4：計(jì)算基準(zhǔn)圓柱體C A 最大實(shí)體邊界圓柱體C C_AM的直徑D_AM，當(dāng)基準(zhǔn)圓柱體C A 是軸時(shí)，D_AM = D_A +e s_A；當(dāng)基準(zhǔn)圓柱體C A 是孔時(shí)，D_AM = D_A +E I_A；

解目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2：

s.t.

解得圓柱體C C_b相對(duì)于圓柱體C C_AM的極限當(dāng)量直徑d_{b, AM, coa, mM}=|min d_{b, AM, coa}|。

步驟5：計(jì)算被測(cè)圓柱體C b 的最大實(shí)體實(shí)效尺寸：當(dāng)被測(cè)圓柱體C b 是軸時(shí)，D_bMV = D_b +e s_b +T_{b, AM, coa}；當(dāng)被測(cè)圓柱體C b 是孔時(shí)，D_bMV = D_b +E I_b -T_{b, AM, coa}。

當(dāng)被測(cè)圓柱體C b 是軸時(shí)，如果極限當(dāng)量直徑d_{b, AM, coa, mM} ≤ D_bMV，那么給出結(jié)論“實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的同軸度誤差合格”，否則給出結(jié)論“實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的同軸度誤差不合格”。

當(dāng)被測(cè)圓柱體C b 是孔時(shí)，如果D_bMV≤d_{b, AM, coa, mM}，那么給出結(jié)論“實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的同軸度誤差合格”，否則給出結(jié)論“實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的同軸度誤差不合格”。

在零件誤差分析問(wèn)題中，需要求解一些目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，其特點(diǎn)包括：需要同時(shí)考量誤差值和名義參數(shù)，而這兩類數(shù)值的大小通常差別幾個(gè)數(shù)量級(jí)；最優(yōu)解的附近的函數(shù)值變化較緩和；等式約束通常有確定的解；通常能給出至少一個(gè)可行的解。針對(duì)這些特點(diǎn)，本發(fā)明提供一種多層粒子群算法來(lái)解決前述兩個(gè)目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，其特征是步驟如下：

步驟01：定義多層粒子群算法的參數(shù)或使用其默認(rèn)值，包括分辨率T_POS、粒子數(shù)N_P（N_P≥ 2）、內(nèi)層最大迭代次數(shù)N_i,rd（N_i,rd ≥ 1）、外層最大迭代次數(shù)N_o,rd、外層最小迭代次數(shù)n_o,rd、質(zhì)量權(quán)因子W 、局部權(quán)因子C₁、全局權(quán)因子C₂。

步驟02：定義N_P個(gè)粒子p_PSO,k(p_{PSO, k,1}, p _{PSO, k,2}, …, p_{PSO, k,Q})，其值對(duì)應(yīng)目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中的自變量(x₁, x₂, …, x_Q)，p_{PSO, k, q}的取值區(qū)間分別與x_q的取值區(qū)間相同；k =1, 2 … N_P；q =1, 2 … Q ；所有粒子組成粒子集{p_PSO,k}；設(shè)置一個(gè)粒子p_PSO,1的初始值或使用其默認(rèn)值。

將外層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟03：分別在p_{PSO, k, q}的取值區(qū)間按平均分布隨機(jī)取(N_P -1)個(gè)值，構(gòu)建(N_P -1)個(gè)粒子p_PSO,k；k =2, 3 … N_P；q =1, 2 … Q 。

分別在p_{PSO, k, q}的取值區(qū)間按平均分布隨機(jī)取N_P個(gè)值，構(gòu)建N_P個(gè)粒子p_PSO,k的初始速度v_{PSO, k} (v_{PSO, k,1}, v _{PSO, k,2}, …, v_{PSO, k,q})；所有粒子的速度組成速度集{v_PSO,k}；k =1, 2 … N_P；q =1, 2 … Q 。

定義N_P個(gè)粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；k =1, 2 … N_P。

將p_{PSO, k, q}的值分別代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中的變量x _q及其等式約束，并計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值f_k=f (x₁,x₂, …, x_Q)；k =1, 2 … N_P；q =1, 2 … Q 。

記錄粒子p_PSO,k對(duì)應(yīng)的局部最優(yōu)值f_k,min=f_k，k =1, 2 … N_P。

記錄全局最優(yōu)值f_min=min f_k,min，并記錄與min f_k,min對(duì)應(yīng)的粒子的值為全局最優(yōu)解p_PSO,min。

將內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟04：將粒子p_PSO,k的值更新為p_PSO,k +v_{PSO, k}，k =1, 2 … N_P。

令(x₁, x₂, … , x_Q)=p_PSO,k，并代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的不等式約束；如果不等式約束成立，那么將(x₁, x₂, … , x_Q)代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中的等式約束，并計(jì)算和更新相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值f_k；如果f_k ≤ f_k,min，那么更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)值f_k,min=f_k，并更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；如果f_k ≤ f_min，那么更新全局最優(yōu)值f_min=f_k，并更新全局最優(yōu)解為p_PSO,min=p_PSO,k；k =1, 2 … N_P；q =1, 2 … Q 。

如果各粒子的局部最優(yōu)值和局部最優(yōu)解非常接近，即，(|max f_k,min– min f_k,min| ≤ T_POS)且(|p_{PSO,k,min, mean} – p_PSO,k,min| ≤ T_POS)，其中，p_{PSO,k,min, mean}為p_PSO,k,min的算術(shù)平均值，k =1, 2 … N_P；那么，轉(zhuǎn)到步驟07，否則轉(zhuǎn)到步驟05。

步驟05：將粒子p_PSO,k的速度v_PSO,k的值更新為W v_PSO,k +C_rand1C₁ (p_PSO,k,min - p_PSO,k) + C_rand2C₂ (p_PSO,min - p_PSO,k)，其中，C_rand1、C_rand2是在區(qū)間[0, 1]中相互獨(dú)立地按平均分布隨機(jī)選取的兩個(gè)值；k =1, 2 … N_P。

步驟06：累積一次內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)；如果內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)大于N_i,rd，那么跳轉(zhuǎn)到步驟07，否則跳轉(zhuǎn)到步驟04。

步驟07：記錄每次迭代得到的內(nèi)層粒子群算法的全局最優(yōu)值f_min,s=f_min,其中，s是外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

將粒子p_PSO,1的值設(shè)置為當(dāng)前的全局最優(yōu)解p_PSO,min。

當(dāng)外層粒子群算法的迭代次數(shù)s > n_o,rd時(shí)，令g =s -n_o,rd，判斷多層粒子群算法的收斂性；如果|f_min,s– min f_{min, g} | ≤ T_POS，那么，結(jié)束多層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解p_PSO,min和最優(yōu)值f_min，否則，累積一次外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

如果外層粒子群算法的迭代次數(shù)大于N_o,rd，那么停止外層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解(x₁, x₂, … , x_Q)=p_PSO,min和最優(yōu)值min f =f_min，否則，更新粒子p_PSO,1的初始值為p_PSO,min跳轉(zhuǎn)到步驟03。

為了便于本方法的使用，前述多層粒子群算法的默認(rèn)參數(shù)可以設(shè)置如下：

分辨率T_POS默認(rèn)值是0.00005、粒子數(shù)N_P默認(rèn)值是20、內(nèi)層最大迭代次數(shù)N_i,rd默認(rèn)值是100、外層最大迭代次數(shù)N_o,rd默認(rèn)值是100、外層最小迭代次數(shù)n_o,rd默認(rèn)值是50、質(zhì)量權(quán)因子W 默認(rèn)值是0.5、局部權(quán)因子C₁默認(rèn)值是2、全局權(quán)因子C₂默認(rèn)值是2；p_PSO,1的初始值默認(rèn)為零向量。

為了提高本發(fā)明的計(jì)算效率，本發(fā)明中的目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1可以用下述方法求解：

求解目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1的多層粒子群算法如下：

步驟11：定義多層粒子群算法的參數(shù)或使用其默認(rèn)值，包括分辨率T_POS、粒子數(shù)N_P（N_P≥ 2）、內(nèi)層最大迭代次數(shù)N_i,rd（N_i,rd ≥ 1）、外層最大迭代次數(shù)N_o,rd、外層最小迭代次數(shù)n_o,rd、質(zhì)量權(quán)因子W 、局部權(quán)因子C₁、全局權(quán)因子C₂。

步驟12：定義N_P個(gè)粒子p_PSO,k(p_{PSO, k,1}, p_{PSO, k,2}, p_{PSO, k,3}, p_{PSO, k,4})，其值對(duì)應(yīng)目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1中的變量(x₀, y₀, α₀, β₀)，p_{PSO, k,1}、p_{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間分別與x₀、y₀、α₀、β₀的取值區(qū)間相同，即：p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}∈[-D_A, D_A]，p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}∈[-π , π ]；k =1, 2 … N_P；所有粒子組成粒子集{p_PSO,k}；設(shè)置一個(gè)粒子p_PSO,1(p _PSO,1,1, p _PSO,1,2, p_PSO,1,3, p_PSO,1,4)的初始值為(0, 0, 0, 0)。

將外層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟13：分別在p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間按平均分布隨機(jī)取(N_P -1)個(gè)值，構(gòu)建(N_P -1)個(gè)粒子p_PSO,k；k =2, 3 … N_P。

分別在p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間按平均分布隨機(jī)取N_P個(gè)值，構(gòu)建N_P個(gè)粒子p_PSO,k的初始速度v_{PSO, k} (v_{PSO, k,1}, v _{PSO, k,2}, v_{PSO, k,3}, v_{PSO, k,4})；所有粒子的速度組成速度集{v_PSO,k}；k =1, 2 … N_P。

定義N_P個(gè)粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；k =1, 2 … N_P。

將p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的值分別代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1中的變量x₀、y₀、α₀、β₀及其等式約束，并計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值d_1,A,k，k =1, 2 … N_P；即，

where

記錄粒子p_PSO,k對(duì)應(yīng)的局部最優(yōu)值d_1,A,k,min=d_1,A,k，k =1, 2 … N_P。

記錄全局最優(yōu)值d_1,A,min=min d_1,A,k,min，并記錄與min d_1,A,k,min對(duì)應(yīng)的粒子的值為全局最優(yōu)解p_PSO,min。

將內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟14：將粒子p_PSO,k的值更新為p_PSO,k +v_{PSO, k}，k =1, 2 … N_P。

令(x₀, y₀, α₀, β₀)=p_PSO,k，并代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1的不等式約束，即0≤-x_{0,b,under,1/2}cosα₀sinβ₀+y_{0,b,under,1/2}sinα₀+z_{0,b,under,1/2}cosα₀cosβ₀，x₀、y₀∈[-D_A, D_A]，α₀、β₀∈[-π , π ]；如果不等式約束成立，那么將(x₀, y₀, α₀, β₀)代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1中的等式約束，計(jì)算并更新相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值d_1,A,k；如果d_1,A,k ≤ d_1,A,k,min，那么更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)值d_1,A,k,min=d_1,A,k，并更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；如果d_1,A,k ≤ d_1,A,min，那么更新全局最優(yōu)值d_1,A,min=d_1,A,k，并更新全局最優(yōu)解為p_PSO,min=p_PSO,k；k =1, 2 … N_P。

如果各粒子的局部最優(yōu)值和局部最優(yōu)解非常接近，即，(|max d_1,A,k,min– min d_1,A,k,min| ≤ T_POS)且(|p_{PSO,k,min, mean} – p_PSO,k,min| ≤ T_POS)，其中，p_{PSO,k,min, mean}為p_PSO,k,min的算術(shù)平均值，k =1, 2 … N_P；那么，轉(zhuǎn)到步驟17，否則轉(zhuǎn)到步驟15。

步驟15：將粒子p_PSO,k的速度v_PSO,k的值更新為W v_PSO,k +C_rand1C₁ (p_PSO,k,min - p_PSO,k) + C_rand2C₂ (p_PSO,min - p_PSO,k)，其中，C_rand1、C_rand2是在區(qū)間[0, 1]中相互獨(dú)立地按平均分布隨機(jī)選取的兩個(gè)值；k =1, 2 … N_P；

步驟16：累積一次內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)；如果內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)大于N_i,rd，那么跳轉(zhuǎn)到步驟17，否則跳轉(zhuǎn)到步驟14。

步驟17：記錄每次迭代得到的內(nèi)層粒子群算法的全局最優(yōu)值d_1,A,min,s=d_1,A,min,其中，s 是外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

將粒子p_PSO,1的值設(shè)置為當(dāng)前的全局最優(yōu)解p_PSO,min。

當(dāng)外層粒子群算法的迭代次數(shù)s > n_o,rd時(shí)，令g =s -n_o,rd，判斷多層粒子群算法的收斂性；如果|d_1,A,min,s– min d_{1,A,min, g} | ≤ T_POS，那么，結(jié)束多層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1的最優(yōu)解p_PSO,min和最優(yōu)值d_1,A,min，否則，累積一次外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

如果外層粒子群算法的迭代次數(shù)大于N_o,rd，那么停止外層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1的最優(yōu)解(x₀, y₀, α₀, β₀)=p_PSO,min和最優(yōu)值min d_{1, A}=d_1,A,min，否則，更新粒子p_PSO,1的初始值為p_PSO,min跳轉(zhuǎn)到步驟13。

為了提高本發(fā)明的計(jì)算效率，本發(fā)明中的目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2可以用下述方法求解：

求解目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的多層粒子群算法如下：

步驟21：定義多層粒子群算法的參數(shù)或使用其默認(rèn)值，包括分辨率T_POS、粒子數(shù)N_P（N_P≥ 2）、內(nèi)層最大迭代次數(shù)N_i,rd（N_i,rd ≥ 1）、外層最大迭代次數(shù)N_o,rd、外層最小迭代次數(shù)n_o,rd、質(zhì)量權(quán)因子W 、局部權(quán)因子C₁、全局權(quán)因子C₂。

步驟22：定義粒子p_PSO,k(p_{PSO, k,1}, p _{PSO, k,2}, p_{PSO, k,3}, p_{PSO, k,4})的值對(duì)應(yīng)目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2中的變量(d x_A, d y_A, d r x_A, d r y_A)，p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間分別與d x_A、d y_A、d r x_A、d r y_A的取值區(qū)間相同，k =1, 2 … N_P；所有粒子組成粒子集{p_PSO,k}；設(shè)置一個(gè)粒子p_PSO,1(p _PSO,1,1, p _PSO,1,2, p_PSO,1,3, p_PSO,1,4)的初始值為(0, 0, 0, 0)。

將外層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟23：分別在p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間中按平均分布隨機(jī)取(N_P -1)個(gè)值，構(gòu)建(N_P -1)個(gè)粒子p_PSO,k；k =2, 3 … N_P。

分別在p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間中按平均分布隨機(jī)取N_P個(gè)值，構(gòu)建N_P個(gè)粒子p_PSO,k的初始速度v_{PSO, k} (v_{PSO, k,1}, v _{PSO, k,2}, v_{PSO, k,3}, v_{PSO, k,4})；所有粒子的速度組成速度集{v_PSO,k}；k =1, 2 … N_P。

定義N_P個(gè)粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；k =1, 2 … N_P。

將p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的值代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2中的變量d x_A、d y_A、d r x_A、d r y_A及其等式約束，并計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值d_b,AM,coa,k，k =1, 2 … N_P。

記錄粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)值d_{b,AM,coa,k,min}=d_b,AM,coa,k，k =1, 2 … N_P。

記錄全局最優(yōu)值d_b,AM,coa,min=min d_{b,AM,coa,k,min}，并記錄與min d_{b,AM,coa,k,min}對(duì)應(yīng)的粒子的值為全局最優(yōu)解p_PSO,min。

將內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟24：將粒子p_PSO,k的值更新為p_PSO,k +v_{PSO, k}，k =1, 2 … N_P。

令(d x_A, d y_A, d r x_A, d r y_A)=p_PSO,k，并代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的不等式約束，如果不等式約束成立，那么將(d x_A, d y_A, d r x_A, d r y_A)代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的等式約束，計(jì)算并更新相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值d_b,AM,coa,k；如果d_b,AM,coa,k ≤ d_{b,AM,coa,k,min}，那么更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)值d_{b,AM,coa,k,min}=d_b,AM,coa,k，并更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；如果d_b,AM,coa,k ≤ d_b,AM,coa,min，那么更新全局最優(yōu)值d_b,AM,coa,min=d_b,AM,coa,k，并更新全局最優(yōu)解為p_PSO,min=p_PSO,k；k =1, 2 … N_P。

如果各粒子的局部最優(yōu)值和局部最優(yōu)解非常接近，即，(|max d_{b,AM,coa,k,min}– min d_{b,AM,coa,k,min}| ≤ T_POS)且(|p_{PSO,k,min, mean} – p_PSO,k,min| ≤ T_POS)，其中，p_{PSO,k,min, mean}為p_PSO,k,min的算術(shù)平均值，k =1, 2 … N_P；那么，轉(zhuǎn)到步驟27，否則轉(zhuǎn)到步驟25。

步驟25：將粒子p_PSO,k的速度v_PSO,k的值更新為W v_PSO,k +C_rand1C₁ (p_PSO,k,min - p_PSO,k) + C_rand2C₂ (p_PSO,min - p_PSO,k)，其中，C_rand1、C_rand2是在區(qū)間[0, 1]中相互獨(dú)立地按平均分布隨機(jī)選取的兩個(gè)值；k =1, 2 … N_P。

步驟26：累積一次內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)；如果內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)大于N_i,rd，那么停止內(nèi)層粒子群算法并跳轉(zhuǎn)到步驟27，否則跳轉(zhuǎn)到步驟24。

步驟27：記錄每次迭代得到的外層粒子群算法的全局最優(yōu)值d_{b,AM,coa,min,s}=d_b,AM,coa,min,其中，s 是外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

將粒子p_PSO,1的值設(shè)置為當(dāng)前的全局最優(yōu)解p_PSO,min。

當(dāng)外層粒子群算法的迭代次數(shù)s > n_o,rd時(shí)，令g =s -n_o,rd，判斷多層粒子群算法的收斂性；如果|d_{b,AM,coa,min,s}– min d_{b,AM,coa,min, g} | ≤ T_POS，那么，結(jié)束多層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的最優(yōu)解p_PSO,min和最優(yōu)值d_b,AM,coa,min，否則，累積一次外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

如果外層粒子群算法的迭代次數(shù)大于N_o,rd，那么停止外層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的最優(yōu)解(d x_A, d y_A, d r x_A, d r y_A) =p_PSO,min和最優(yōu)值min d_b,AM,coa=d_b,AM,coa,min，否則，更新粒子p_PSO,1的初始值為p_PSO,min并跳轉(zhuǎn)到步驟23。

附圖說(shuō)明

圖1，本發(fā)明的基本方法的流程圖。

圖2，本發(fā)明中求解目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的多層粒子群算法的基本方法的流程圖。

圖3，步驟4中軸類零件相對(duì)于最大實(shí)體邊界的運(yùn)動(dòng)。

圖4，實(shí)驗(yàn)對(duì)象的幾何設(shè)計(jì)圖。

具體實(shí)施方式

實(shí)驗(yàn)實(shí)施例：

步驟1：獲取被測(cè)圓柱體b 、基準(zhǔn)圓柱體A 的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)；判斷被測(cè)圓柱體b 的同軸度公差是否能用本方法評(píng)定，如果被測(cè)圓柱體b 的同軸度公差及基準(zhǔn)圓柱體A 都有最大實(shí)體要求，并且基準(zhǔn)圓柱體A 只有尺寸公差要求——該尺寸公差要求可以應(yīng)用包容原則，那么跳轉(zhuǎn)到步驟2，否則結(jié)束本快速評(píng)定方法，并給出結(jié)論“被測(cè)圓柱體的同軸度公差不能用本方法評(píng)定”。

所述的被測(cè)圓柱體b 的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)包括：是孔要素還是軸要素、名義直徑D_b、名義長(zhǎng)度L_b、軸的上偏差e s_b或孔的上偏差E S_b、軸的下偏差e i_b或孔的下偏差E I_b、同軸度公差T_{b, AM, coa}、同軸度公差是否標(biāo)注最大實(shí)體要求、同軸度公差的基準(zhǔn)圓柱體A 是否標(biāo)注最大實(shí)體狀態(tài)。

所述的基準(zhǔn)圓柱體A 的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)包括：是孔要素還是軸要素、名義直徑D_A、名義長(zhǎng)度L_A、軸的上偏差e s_A或孔的上偏差E S_A、軸的下偏差e i_A或孔的下偏差E I_A、尺寸公差是否應(yīng)用包容原則、其它幾何公差。

步驟2：獲取實(shí)際被測(cè)圓柱體b 、實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的測(cè)量數(shù)據(jù)，包括以下四個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集：

實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)P_{measure, A, under, 1}、P_{measure,A,under,2}分別在實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的兩個(gè)底面上，兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, A, under, 1} (x_{measure, A, under, 1}, y_{measure, A, under, 1}, z_{measure, A, under, 1})、p_{measure, A, under, 2} (x_{measure, A, under, 2}, y_{measure, A, under, 2}, z_{measure, A, under, 2})形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, A, under, i}}，i =1, 2；實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的側(cè)面上的測(cè)點(diǎn)P_{measure, A, n}的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, A, n}(x_{measure, A, n}, y_{measure, A, n}, z_{measure, A, n})，n =1, 2 … N ，N 為測(cè)點(diǎn)數(shù)目且為正整數(shù)，所有的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, A, n}(x_{measure, A, n}, y_{measure, A, n}, z_{measure, A, n})形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, A, n}}；實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)P_{measure, b, under, 1}、P_{measure,b,under,2}分別在實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的兩個(gè)底面上，兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, b, under, 1} (x_{measure, b, under, 1}, y_{measure, b, under, 1}, z_{measure, b, under, 1})、p_{measure, b, under, 2} (x_{measure, b, under, 2}, y_{measure, b, under, 2}, z_{measure, b, under, 2})形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, b, under, j}}，j =1, 2；實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的側(cè)面上的測(cè)點(diǎn)P_{measure, b, m}的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, b, m}(x_{measure, b, m}, y_{measure, b, m}, z_{measure, b, m})，m =1, 2 … M ，M 為測(cè)點(diǎn)數(shù)目且為正整數(shù)，所有的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)p_{measure, b, m}(x_{measure, b,m}, y_{measure, b, m}, z_{measure, b, m})形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, b, m}}。

評(píng)價(jià)實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 和實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的尺寸誤差是否合格，如果上述誤差都合格，跳轉(zhuǎn)到步驟3，否則結(jié)束本快速評(píng)定方法，并給出結(jié)論“實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 和/或?qū)嶋H被測(cè)圓柱體b 的其它誤差不合格”。

步驟3：計(jì)算p_{measure, A, under, 1/2}=(p_{measure, A, under, 1}+p_{measure, A, under, 2})/2。

將步驟2中獲取的四個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到四個(gè)粗略平移數(shù)據(jù)集{p_{0, A, under, i}(x_{0, A, under, i}, y_{0, A, under, i}, z_{0, A, under, i})|p_{0, A, under, i} =p_{measure, A, under, i} -p_{measure, A, under, 1/2}，i =1, 2}、{p_{0, A, n}(x_{0, A, n}, y_{0, A, n}, z_{0, A, n})|p_{0, A, n} =p_{measure, A, n} -p_{measure, A, under, 1/2}，n =1, 2 … N }、{p_{0, b, under, j}(x_{0, b, under, j}, y_{0, b, under, j}, z_{0, b, under, j})|p_{0, b, under, j} =p_{measure, b, under, j} -p_{measure, A, under, 1/2}，，j =1, 2}、{p_{0, b, m}(x_{0, b, m}, y_{0, b, m}, z_{0, b, m})|p_{0, b, m} =p_{measure, b, m} -p_{measure, A, under, 1/2}，m =1, 2 … M }。

計(jì)算p_{0, b, under, 1/2}(x_{0, b, under, 1/2}, y_{0, b, under, 1/2}, z_{0, b, under, 1/2})=(p_{0, b, under, 1}+p_{0, b, under, 2})/2。

解目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1：

s.t.

步驟11：使用多層粒子群算法的默認(rèn)參數(shù)，包括分辨率T_POS=0.00005、粒子數(shù)N_P=20、內(nèi)層最大迭代次數(shù)N_i,rd=100、外層最大迭代次數(shù)N_o,rd =100、外層最小迭代次數(shù)n_o,rd=50、質(zhì)量權(quán)因子W =0.5、局部權(quán)因子C₁=2、全局權(quán)因子C₂=2。

步驟12：定義20個(gè)粒子p_PSO,k(p_{PSO, k,1}, p _{PSO, k,2}, p_{PSO, k,3}, p_{PSO, k,4})，其值對(duì)應(yīng)目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1中的變量(x₀, y₀, α₀, β₀)，p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間分別與x₀、y₀、α₀、β₀的取值區(qū)間相同，即：p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}∈[-D_A, D_A]，p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}∈[-π , π ]；k =1, 2 … 2 0 ；所有粒子組成粒子集{p_PSO,k}；設(shè)置一個(gè)粒子p_PSO,1(p _PSO,1,1, p _PSO,1,2, p_PSO,1,3, p_PSO,1,4)的初始值為(0, 0, 0, 0)。

將外層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟13：分別在p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間按平均分布隨機(jī)取19個(gè)值，構(gòu)建19個(gè)粒子p_PSO,k；k =2, 3 … 20。

分別在p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間按平均分布隨機(jī)取20個(gè)值，構(gòu)建20個(gè)粒子p_PSO,k的初始速度v_{PSO, k} (v_{PSO, k,1}, v _{PSO, k,2}, v_{PSO, k,3}, v_{PSO, k,4})；所有粒子的速度組成速度集{v_PSO,k}；k =1, 2 … 20。

定義20個(gè)粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；k =1, 2 … 20。

將p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的值分別代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1中的變量x₀、y₀、α₀、β₀及其等式約束，并計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值d_1,A,k，k =1, 2 … 20；即，

where

記錄粒子p_PSO,k對(duì)應(yīng)的局部最優(yōu)值d_1,A,k,min=d_1,A,k，k =1, 2 … 20。

記錄全局最優(yōu)值d_1,A,min=min d_1,A,k,min，并記錄與min d_1,A,k,min對(duì)應(yīng)的粒子的值為全局最優(yōu)解p_PSO,min。

將內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟14：將粒子p_PSO,k的值更新為p_PSO,k +v_{PSO, k}，k =1, 2 … 20。

令(x₀, y₀, α₀, β₀)=p_PSO,k，并代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1的不等式約束，即0≤-x_{0,b,under,1/2}cosα₀sinβ₀+y_{0,b,under,1/2}sinα₀+z_{0,b,under,1/2}cosα₀cosβ₀，x₀、y₀∈[-D_A, D_A]，α₀、β₀∈[-π , π ]；如果不等式約束成立，那么將(x₀, y₀, α₀, β₀)代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1中的等式約束，計(jì)算并更新相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值d_1,A,k；如果d_1,A,k ≤ d_1,A,k,min，那么更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)值d_1,A,k,min=d_1,A,k，并更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；如果d_1,A,k ≤ d_1,A,min，那么更新全局最優(yōu)值d_1,A,min=d_1,A,k，并更新全局最優(yōu)解為p_PSO,min=p_PSO,k；k =1, 2 … 20。

如果各粒子的局部最優(yōu)值和局部最優(yōu)解非常接近，即，(|max d_1,A,k,min– min d_1,A,k,min| ≤ 0.00005)且(|p_{PSO,k,min, mean} – p_PSO,k,min| ≤ 0.00005)，那么，轉(zhuǎn)到步驟17，否則轉(zhuǎn)到步驟15；其中，p_{PSO,k,min, mean}為p_PSO,k,min的算術(shù)平均值，k =1, 2 … 20。

步驟15：將粒子p_PSO,k的速度v_PSO,k的值更新為0.5v_PSO,k +2C_rand1 (p_PSO,k,min - p_PSO,k) + 2C_rand2 (p_PSO,min - p_PSO,k)，其中，C_rand1、C_rand2是在區(qū)間[0, 1]中相互獨(dú)立地按平均分布隨機(jī)選取的兩個(gè)值；k =1, 2 … 20；

步驟16：累積一次內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)；如果內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)大于100，那么跳轉(zhuǎn)到步驟17，否則跳轉(zhuǎn)到步驟14。

步驟17：記錄每次迭代得到的內(nèi)層粒子群算法的全局最優(yōu)值d_1,A,min,s=d_1,A,min,其中，s 是外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

將粒子p_PSO,1的值設(shè)置為當(dāng)前的全局最優(yōu)解p_PSO,min。

當(dāng)外層粒子群算法的迭代次數(shù)s > 50時(shí)，令g =s -50，判斷多層粒子群算法的收斂性；如果|d_1,A,min,s– min d_{1,A,min, g} | ≤ 0.00005，那么，結(jié)束多層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1的最優(yōu)解p_PSO,min和最優(yōu)值d_1,A,min，否則，累積一次外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

如果外層粒子群算法的迭代次數(shù)大于100，那么停止外層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1的最優(yōu)解(x₀, y₀, α₀, β₀)=p_PSO,min和最優(yōu)值min d_{1, A}=d_1,A,min，否則，更新粒子p_PSO,1的初始值為p_PSO,min跳轉(zhuǎn)到步驟13。

解得實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的擬合圓柱體C C_A的直徑d_A=|min d_{1, A}|和對(duì)應(yīng)的p_PSO,min的值(x_0,min, y_0,min, α_0,min, β_0,min)。

將粗略平移數(shù)據(jù)集{p_{0, A, n}(x_{0, A, n}, y_{0, A, n}, z_{0, A, n})}進(jìn)行如下坐標(biāo)變換，n =1, 2 … N ：

得到實(shí)際被測(cè)圓柱所有測(cè)點(diǎn)相對(duì)于實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體的坐標(biāo)集{p_{A, n}(x_{A, n}, y_{A, n}, z_{A, n})}。

將粗略平移數(shù)據(jù)集{p_{0, b, m}(x_{0, b, m}, y_{0, b, m}, z_{0, b, m})}進(jìn)行如下坐標(biāo)變換，m =1, 2 … M ：

得到實(shí)際被測(cè)圓柱所有測(cè)點(diǎn)相對(duì)于實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體的坐標(biāo)集{p_{b, m}(x_{b, m}, y_{b, m}, z_{b, m})}。

步驟4：計(jì)算基準(zhǔn)圓柱體A 最大實(shí)體邊界圓柱體C C_AM的直徑D_AM，當(dāng)基準(zhǔn)圓柱體A是軸時(shí)，D_AM = D_A +e s_A；當(dāng)基準(zhǔn)圓柱體A 是孔時(shí)，D_AM = D_A +E I_A。

解目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2：

s.t.

步驟21：定義多層粒子群算法的參數(shù)或使用其默認(rèn)值，包括分辨率T_POS、粒子數(shù)N_P（N_P≥ 2）、內(nèi)層最大迭代次數(shù)N_i,rd（N_i,rd ≥ 1）、外層最大迭代次數(shù)N_o,rd、外層最小迭代次數(shù)n_o,rd、質(zhì)量權(quán)因子W 、局部權(quán)因子C₁、全局權(quán)因子C₂。

步驟22：定義粒子p_PSO,k(p_{PSO, k,1}, p _{PSO, k,2}, p_{PSO, k,3}, p_{PSO, k,4})的值對(duì)應(yīng)目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2中的變量(d x_A, d y_A, d r x_A, d r y_A)，p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間分別與d x_A、d y_A、d r x_A、d r y_A的取值區(qū)間相同，k =1, 2 … N_P；所有粒子組成粒子集{p_PSO,k}；設(shè)置一個(gè)粒子p_PSO,1(p _PSO,1,1, p _PSO,1,2, p_PSO,1,3, p_PSO,1,4)的初始值為(0, 0, 0, 0)。

將外層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟23：分別在p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間中按平均分布隨機(jī)取(N_P -1)個(gè)值，構(gòu)建(N_P -1)個(gè)粒子p_PSO,k；k =2, 3 … N_P。

分別在p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間中按平均分布隨機(jī)取N_P個(gè)值，構(gòu)建N_P個(gè)粒子p_PSO,k的初始速度v_{PSO, k} (v_{PSO, k,1}, v _{PSO, k,2}, v_{PSO, k,3}, v_{PSO, k,4})；所有粒子的速度組成速度集{v_PSO,k}；k =1, 2 … N_P。

定義N_P個(gè)粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；k =1, 2 … N_P。

將p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的值代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2中的變量d x_A、d y_A、d r x_A、d r y_A及其等式約束，并計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值d_b,AM,coa,k，k =1, 2 … N_P。

記錄粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)值d_{b,AM,coa,k,min}=d_b,AM,coa,k，k =1, 2 … N_P。

記錄全局最優(yōu)值d_b,AM,coa,min=min d_{b,AM,coa,k,min}，并記錄與min d_{b,AM,coa,k,min}對(duì)應(yīng)的粒子的值為全局最優(yōu)解p_PSO,min。

將內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟24：將粒子p_PSO,k的值更新為p_PSO,k +v_{PSO, k}，k =1, 2 … N_P。

令(d x_A, d y_A, d r x_A, d r y_A)=p_PSO,k，并代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的不等式約束，如果不等式約束成立，那么將(d x_A, d y_A, d r x_A, d r y_A)代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的等式約束，計(jì)算并更新相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值d_b,AM,coa,k；如果d_b,AM,coa,k ≤ d_{b,AM,coa,k,min}，那么更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)值d_{b,AM,coa,k,min}=d_b,AM,coa,k，并更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；如果d_b,AM,coa,k ≤ d_b,AM,coa,min，那么更新全局最優(yōu)值d_b,AM,coa,min=d_b,AM,coa,k，并更新全局最優(yōu)解為p_PSO,min=p_PSO,k；k =1, 2 … N_P。

如果各粒子的局部最優(yōu)值和局部最優(yōu)解非常接近，即，(|max d_{b,AM,coa,k,min}– min d_{b,AM,coa,k,min}| ≤ T_POS)且(|p_{PSO,k,min, mean} – p_PSO,k,min| ≤ T_POS)，其中，p_{PSO,k,min, mean}為p_PSO,k,min的算術(shù)平均值，k =1, 2 … N_P；那么，轉(zhuǎn)到步驟27，否則轉(zhuǎn)到步驟25。

步驟25：將粒子p_PSO,k的速度v_PSO,k的值更新為W v_PSO,k +C_rand1C₁ (p_PSO,k,min - p_PSO,k) + C_rand2C₂ (p_PSO,min - p_PSO,k)，其中，C_rand1、C_rand2是在區(qū)間[0, 1]中相互獨(dú)立地按平均分布隨機(jī)選取的兩個(gè)值；k =1, 2 … N_P。

步驟26：累積一次內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)；如果內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)大于N_i,rd，那么停止內(nèi)層粒子群算法并跳轉(zhuǎn)到步驟27，否則跳轉(zhuǎn)到步驟24。

步驟27：記錄每次迭代得到的外層粒子群算法的全局最優(yōu)值d_{b,AM,coa,min,s}=d_b,AM,coa,min,其中，s 是外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

將粒子p_PSO,1的值設(shè)置為當(dāng)前的全局最優(yōu)解p_PSO,min。

當(dāng)外層粒子群算法的迭代次數(shù)s > n_o,rd時(shí)，令g =s -n_o,rd，判斷多層粒子群算法的收斂性；如果|d_{b,AM,coa,min,s}– min d_{b,AM,coa,min, g} | ≤ T_POS，那么，結(jié)束多層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的最優(yōu)解p_PSO,min和最優(yōu)值d_b,AM,coa,min，否則，累積一次外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

如果外層粒子群算法的迭代次數(shù)大于N_o,rd，那么停止外層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的最優(yōu)解(d x_A, d y_A, d r x_A, d r y_A) =p_PSO,min和最優(yōu)值min d_b,AM,coa=d_b,AM,coa,min，否則，更新粒子p_PSO,1的初始值為p_PSO,min并跳轉(zhuǎn)到步驟23。

解得圓柱體C C_b相對(duì)于圓柱體C C_AM的極限當(dāng)量直徑d_{b, AM, coa, mM}=|min d_{b, AM, coa}|。

步驟5：計(jì)算被測(cè)圓柱體b 的最大實(shí)體實(shí)效尺寸：當(dāng)被測(cè)圓柱體b 是軸時(shí)，D_bMV = D_b +e s_b +T_{b, AM, coa}；當(dāng)被測(cè)圓柱體b 是孔時(shí)，D_bMV = D_b +E I_b -T_{b, AM, coa}。

當(dāng)被測(cè)圓柱體C b 是軸時(shí)，如果極限當(dāng)量直徑d_{b, AM, coa, mM}≤ D_bMV，那么給出結(jié)論“實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的同軸度誤差合格”，否則給出結(jié)論“實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的同軸度誤差不合格”。

當(dāng)被測(cè)圓柱體C b 是孔時(shí)，如果D_bMV≤d_{b, AM, coa, mM}，那么給出結(jié)論“實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的同軸度誤差合格”，否則給出結(jié)論“實(shí)際被測(cè)圓柱體C_b的同軸度誤差不合格”。

實(shí)驗(yàn)對(duì)象：

被測(cè)孔有尺寸要求、其孔線的同孔度公差有最大實(shí)體要求并且其基準(zhǔn)孔有尺寸要求和最大實(shí)體要求的階梯孔零件的同孔度誤差合格性檢測(cè)和評(píng)定：

步驟1：獲取如圖4所示的被測(cè)圓柱體b 、基準(zhǔn)圓柱體A 的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)（長(zhǎng)度單位為毫米，角度單位為度，弧度單位為1）。

所述的被測(cè)圓柱體b 的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)包括：是孔要素、名義直徑D_b=24、名義長(zhǎng)度L_b=15、孔的上偏差E S_b=0.4、孔的下偏差E I_b=0、同孔度公差T_{b, AM, coa}=0.2、同孔度公差標(biāo)注最大實(shí)體要求、同孔度公差的基準(zhǔn)圓柱體A 標(biāo)注最大實(shí)體狀態(tài)。

所述的基準(zhǔn)圓柱體A 的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)包括：是孔要素、名義直徑D_A=39、名義長(zhǎng)度L_A=22、孔的上偏差E S_A=0.1、孔的下偏差E I_A=0.07、尺寸公差應(yīng)用包容原則，沒(méi)有幾何公差要求。

被測(cè)圓柱體b 的同孔度公差及基準(zhǔn)圓柱體A 都有最大實(shí)體要求，并且基準(zhǔn)圓柱體A 只有尺寸公差要求并應(yīng)用包容原則，跳轉(zhuǎn)到步驟2。

步驟2：獲取實(shí)際被測(cè)圓柱體b 、實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的測(cè)量數(shù)據(jù)，包括以下四個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集，如表1所示：

實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)P_{measure, A, under, 1}、P_{measure,A,under,2}分別在實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的兩個(gè)底面上，兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, A, under, i}}，i =1, 2；實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的側(cè)面上的測(cè)點(diǎn)P _{measure, A, n}分布在3層圓周上，每層圓周3個(gè)點(diǎn)，其測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, A, n}}，n =1, 2 … 9；實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)P_{measure, b, under, 1}、P_{measure,b,under,2}分別在實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的兩個(gè)底面上，兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, b, under, j}}，j =1, 2；實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的側(cè)面上的測(cè)點(diǎn)P_{measure, b, m}分布在3層圓周上，每層圓周3個(gè)點(diǎn)，其測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)形成測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集{p_{measure, b, m}，m =1, 2 … 9}。

將3層圓周上的測(cè)點(diǎn)P _{measure, A, n}分別擬合為3個(gè)圓，其直徑分別為39.086、39.083、39.099，判定實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的尺寸誤差合格；將3層圓周上的測(cè)點(diǎn)p_{measure, b, m}分別擬合為3個(gè)圓，其直徑分別為24.013、24.017、24.021，判定實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的尺寸誤差合格；跳轉(zhuǎn)到步驟3。

步驟3：計(jì)算p_{measure, A, under, 1/2}=(p_{measure, A, under, 1}+p_{measure, A, under, 2})/2=(261.1905, 229.524, -584.6165)。

將步驟2中獲取的四個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)集進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到四個(gè)粗略平移數(shù)據(jù)集{p_{0, A, under, i}(x_{0, A, under, i}, y_{0, A, under, i}, z_{0, A, under, i})|p_{0, A, under, i} =p_{measure, A, under, i} -p_{measure, A, under, 1/2}，i =1, 2}，如表1所示；{p_{0, A, n}(x_{0, A, n}, y_{0, A, n}, z_{0, A, n})|p_{0, A, n} =p_{measure, A, n} -p_{measure, A, under, 1/2}，n =1, 2 … N }，如表1所示；{p_{0, b, under, j}(x_{0, b, under, j}, y_{0, b, under, j}, z_{0, b, under, j})|p_{0, b, under, j} =p_{measure, b, under, j} -p_{measure, A, under, 1/2}，，j =1, 2}，如表1所示；{p_{0, b, m}(x_{0, b, m}, y_{0, b, m}, z_{0, b, m})|p_{0, b, m} =p_{measure, b, m} -p_{measure, A, under, 1/2}，m =1, 2 … M }，如表1所示。

計(jì)算p_{0, b, under, 1/2}=(p_{0, b, under, 1}+p_{0, b, under, 2})/2=(-23.8675, 3.699, -18.67)。

解目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1：

s.t.

步驟11：使用多層粒子群算法的默認(rèn)參數(shù)，包括分辨率T_POS=0.00005、粒子數(shù)N_P=20、內(nèi)層最大迭代次數(shù)N_i,rd=100、外層最大迭代次數(shù)N_o,rd =100、外層最小迭代次數(shù)n_o,rd=50、質(zhì)量權(quán)因子W =0.5、局部權(quán)因子C₁=2、全局權(quán)因子C₂=2。

步驟12：定義20個(gè)粒子p_PSO,k(p_{PSO, k,1}, p _{PSO, k,2}, p_{PSO, k,3}, p_{PSO, k,4})，其值對(duì)應(yīng)目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1中的變量(x₀, y₀, α₀, β₀)，p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間分別與x₀、y₀、α₀、β₀的取值區(qū)間相同，即：p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}∈[-39, 39]，p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}∈[-π , π ]；k =1, 2 … 20；所有粒子組成粒子集{p_PSO,k}；設(shè)置一個(gè)粒子p_PSO,1(p _PSO,1,1, p _PSO,1,2, p_PSO,1,3, p_PSO,1,4)的初始值為(0, 0, 0, 0)。

將外層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟13：分別在p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間按平均分布隨機(jī)取19個(gè)值，構(gòu)建19個(gè)粒子p_PSO,k；k =2, 3 … 20。

分別在p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間按平均分布隨機(jī)取20個(gè)值，構(gòu)建20個(gè)粒子p_PSO,k的初始速度v_{PSO, k} (v_{PSO, k,1}, v _{PSO, k,2}, v_{PSO, k,3}, v_{PSO, k,4})；所有粒子的速度組成速度集{v_PSO,k}；k =1, 2 … 20。

定義20個(gè)粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；k =1, 2 … 20。

將p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的值分別代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1中的變量x₀、y₀、α₀、β₀及其等式約束，并計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值d_1,A,k，k =1, 2 … 20；即，

where

記錄粒子p_PSO,k對(duì)應(yīng)的局部最優(yōu)值d_1,A,k,min=d_1,A,k，k =1, 2 … 20。

記錄全局最優(yōu)值d_1,A,min=min d_1,A,k,min，并記錄與min d_1,A,k,min對(duì)應(yīng)的粒子的值為全局最優(yōu)解p_PSO,min。

將內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟14：將粒子p_PSO,k的值更新為p_PSO,k +v_{PSO, k}，k =1, 2 … 20。

令(x₀, y₀, α₀, β₀)=p_PSO,k，并代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1的不等式約束，即0≤-x_{0,b,under,1/2} cosα₀ sinβ₀ +y_{0,b,under,1/2} sinα₀ + z_{0,b,under,1/2} cosα₀ cosβ₀，x₀、y₀∈[-39, 39]，α₀、β₀∈[-π , π ]；如果不等式約束成立，那么將(x₀, y₀, α₀, β₀)代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1中的等式約束，計(jì)算并更新相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值d_1,A,k；如果d_1,A,k ≤ d_1,A,k,min，那么更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)值d_1,A,k,min=d_1,A,k，并更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；如果d_1,A,k ≤ d_1,A,min，那么更新全局最優(yōu)值d_1,A,min=d_1,A,k，并更新全局最優(yōu)解為p_PSO,min=p_PSO,k；k =1, 2 … 20。如果各粒子的局部最優(yōu)值和局部最優(yōu)解非常接近，即，(|max d_1,A,k,min– min d_1,A,k,min| ≤ 0.00005)且(|p_{PSO,k,min, mean} – p_PSO,k,min| ≤ 0.00005)，其中，p_{PSO,k,min, mean}為p_PSO,k,min的算術(shù)平均值，k =1, 2 … 20；那么，轉(zhuǎn)到步驟17，否則轉(zhuǎn)到步驟15。

步驟15：將粒子p_PSO,k的速度v_PSO,k的值更新為0.5v_PSO,k +2C_rand1 (p_PSO,k,min - p_PSO,k) + 2C_rand2 (p_PSO,min - p_PSO,k)，其中，C_rand1、C_rand2是在區(qū)間[0, 1]中相互獨(dú)立地按平均分布隨機(jī)選取的兩個(gè)值；k =1, 2 … 20；

步驟16：累積一次內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)；如果內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)大于100，那么跳轉(zhuǎn)到步驟17，否則跳轉(zhuǎn)到步驟14。

步驟17：記錄每次迭代得到的內(nèi)層粒子群算法的全局最優(yōu)值d_1,A,min,s=d_1,A,min,其中，s 是外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

將粒子p_PSO,1的值設(shè)置為當(dāng)前的全局最優(yōu)解p_PSO,min。

當(dāng)外層粒子群算法的迭代次數(shù)s > 50時(shí)，令g =s -50，判斷多層粒子群算法的收斂性；如果|d_1,A,min,s– min d_{1,A,min, g} | ≤ 0.00005，那么，結(jié)束多層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1的最優(yōu)解p_PSO,min和最優(yōu)值d_1,A,min，否則，累積一次外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

如果外層粒子群算法的迭代次數(shù)大于100，那么停止外層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題1的最優(yōu)解(x₀, y₀, α₀, β₀)=p_PSO,min和最優(yōu)值min d_{1, A}=d_1,A,min，否則，更新粒子p_PSO,1的初始值為p_PSO,min跳轉(zhuǎn)到步驟13。

解得實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體A 的擬合圓柱體C C_A的直徑d_A=|min d_{1, A}|=39.099和對(duì)應(yīng)的p_PSO,min的值(x_0,min, y_0,min, α_0,min, β_0,min)= (13.9257, 6.4138, 0.012, 0.0149)。

將粗略平移數(shù)據(jù)集{p_{0, A, n}(x_{0, A, n}, y_{0, A, n}, z_{0, A, n})}進(jìn)行如下坐標(biāo)變換，n =1, 2 … N ：

得到實(shí)際被測(cè)圓柱所有測(cè)點(diǎn)相對(duì)于實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體的坐標(biāo)集{p_{A, n}(x_{A, n}, y_{A, n}, z_{A, n})} ，如表1所示。

將粗略平移數(shù)據(jù)集{p_{0, b, m}(x_{0, b, m}, y_{0, b, m}, z_{0, b, m})}進(jìn)行如下坐標(biāo)變換，m =1, 2 … M ：

得到實(shí)際被測(cè)圓柱所有測(cè)點(diǎn)相對(duì)于實(shí)際基準(zhǔn)圓柱體的坐標(biāo)集{p_{b, m}(x_{b, m}, y_{b, m}, z_{b, m})}，如表1所示。

步驟4：計(jì)算基準(zhǔn)圓柱體C A 最大實(shí)體邊界圓柱體C C_AM的直徑D_AM，基準(zhǔn)圓柱體C A 是孔，D_AM = D_A +E I_A =39+0.07=39.07；

解目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2：

s.t.

步驟21：定義多層粒子群算法的參數(shù)或使用其默認(rèn)值，包括分辨率T_POS、粒子數(shù)N_P（N_P≥ 2）、內(nèi)層最大迭代次數(shù)N_i,rd（N_i,rd ≥ 1）、外層最大迭代次數(shù)N_o,rd、外層最小迭代次數(shù)n_o,rd、質(zhì)量權(quán)因子W 、局部權(quán)因子C₁、全局權(quán)因子C₂。

步驟22：定義粒子p_PSO,k(p_{PSO, k,1}, p _{PSO, k,2}, p_{PSO, k,3}, p_{PSO, k,4})的值對(duì)應(yīng)目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2中的變量(d x_A, d y_A, d r x_A, d r y_A)，p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間分別與d x_A、d y_A、d r x_A、d r y_A的取值區(qū)間相同，k =1, 2 … N_P；所有粒子組成粒子集{p_PSO,k}；設(shè)置一個(gè)粒子p_PSO,1(p _PSO,1,1, p _PSO,1,2, p_PSO,1,3, p_PSO,1,4)的初始值為(0, 0, 0, 0)。

將外層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟23：分別在p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間中按平均分布隨機(jī)取(N_P -1)個(gè)值，構(gòu)建(N_P -1)個(gè)粒子p_PSO,k；k =2, 3 … N_P。

分別在p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的取值區(qū)間中按平均分布隨機(jī)取N_P個(gè)值，構(gòu)建N_P個(gè)粒子p_PSO,k的初始速度v_{PSO, k} (v_{PSO, k,1}, v _{PSO, k,2}, v_{PSO, k,3}, v_{PSO, k,4})；所有粒子的速度組成速度集{v_PSO,k}；k =1, 2 … N_P。

定義N_P個(gè)粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；k =1, 2 … N_P。

將p_{PSO, k,1}、p _{PSO, k,2}、p_{PSO, k,3}、p_{PSO, k,4}的值代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2中的變量d x_A、d y_A、d r x_A、d r y_A及其等式約束，并計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值d_b,AM,coa,k，k =1, 2 … N_P。

記錄粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)值d_{b,AM,coa,k,min}=d_b,AM,coa,k，k =1, 2 … N_P。

記錄全局最優(yōu)值d_b,AM,coa,min=min d_{b,AM,coa,k,min}，并記錄與min d_{b,AM,coa,k,min}對(duì)應(yīng)的粒子的值為全局最優(yōu)解p_PSO,min。

將內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)設(shè)置為0。

步驟24：將粒子p_PSO,k的值更新為p_PSO,k +v_{PSO, k}，k =1, 2 … N_P。

令(d x_A, d y_A, d r x_A, d r y_A)=p_PSO,k，并代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的不等式約束，如果不等式約束成立，那么將(d x_A, d y_A, d r x_A, d r y_A)代入目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的等式約束，計(jì)算并更新相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)值d_b,AM,coa,k；如果d_b,AM,coa,k ≤ d_{b,AM,coa,k,min}，那么更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)值d_{b,AM,coa,k,min}=d_b,AM,coa,k，并更新粒子p_PSO,k的局部最優(yōu)解為p_PSO,k,min=p_PSO,k；如果d_b,AM,coa,k ≤ d_b,AM,coa,min，那么更新全局最優(yōu)值d_b,AM,coa,min=d_b,AM,coa,k，并更新全局最優(yōu)解為p_PSO,min=p_PSO,k；k =1, 2 … N_P。

如果各粒子的局部最優(yōu)值和局部最優(yōu)解非常接近，即，(|max d_{b,AM,coa,k,min}– min d_{b,AM,coa,k,min}| ≤ T_POS)且(|p_{PSO,k,min, mean} – p_PSO,k,min| ≤ T_POS)，其中，p_{PSO,k,min, mean}為p_PSO,k,min的算術(shù)平均值，k =1, 2 … N_P；那么，轉(zhuǎn)到步驟27，否則轉(zhuǎn)到步驟25。

步驟25：將粒子p_PSO,k的速度v_PSO,k的值更新為W v_PSO,k +C_rand1C₁ (p_PSO,k,min - p_PSO,k) + C_rand2C₂ (p_PSO,min - p_PSO,k)，其中，C_rand1、C_rand2是在區(qū)間[0, 1]中相互獨(dú)立地按平均分布隨機(jī)選取的兩個(gè)值；k =1, 2 … N_P。

步驟26：累積一次內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)；如果內(nèi)層粒子群算法的迭代次數(shù)大于N_i,rd，那么停止內(nèi)層粒子群算法并跳轉(zhuǎn)到步驟27，否則跳轉(zhuǎn)到步驟24。

步驟27：記錄每次迭代得到的外層粒子群算法的全局最優(yōu)值d_{b,AM,coa,min,s}=d_b,AM,coa,min,其中，s 是外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

將粒子p_PSO,1的值設(shè)置為當(dāng)前的全局最優(yōu)解p_PSO,min。

當(dāng)外層粒子群算法的迭代次數(shù)s > n_o,rd時(shí)，令g =s -n_o,rd，判斷多層粒子群算法的收斂性；如果|d_{b,AM,coa,min,s}– min d_{b,AM,coa,min, g} | ≤ T_POS，那么，結(jié)束多層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的最優(yōu)解p_PSO,min和最優(yōu)值d_b,AM,coa,min，否則，累積一次外層粒子群算法的迭代次數(shù)。

如果外層粒子群算法的迭代次數(shù)大于N_o,rd，那么停止外層粒子群算法并輸出目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題2的最優(yōu)解(d x_A, d y_A, d r x_A, d r y_A) =p_PSO,min和最優(yōu)值min d_b,AM,coa=d_b,AM,coa,min，否則，更新粒子p_PSO,1的初始值為p_PSO,min并跳轉(zhuǎn)到步驟23。

解得圓柱體C C_b相對(duì)于圓柱體C C_AM的極限當(dāng)量直徑d_{b, AM, coa, mM}=|min d_{b, AM, coa}|=23.792。

步驟5：計(jì)算被測(cè)圓柱體b 的最大實(shí)體實(shí)效尺寸：被測(cè)圓柱體b 是孔，D_bMV = D_b +E I_b -T_{b, AM, coa}=24+0-0.3=23.7。

被測(cè)圓柱體b 是孔，23.7=D_bMV≤d_{b, AM, coa, mM}=23.792，給出結(jié)論“實(shí)際被測(cè)圓柱體b 的同軸度誤差合格”。

表1數(shù)據(jù)集和坐標(biāo)集