本發(fā)明涉及計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和三維動(dòng)畫制作領(lǐng)域，尤其是指一種基于低秩頂點(diǎn)軌跡子空間提取的動(dòng)畫網(wǎng)格序列壓縮算法。

背景技術(shù)：

隨著動(dòng)畫產(chǎn)業(yè)的持續(xù)發(fā)展，如何高效地存儲(chǔ)或傳輸這些傾注動(dòng)畫師心血的產(chǎn)品，是另一個(gè)重要且迫切的問題。我們希望能夠用較少的代價(jià)存儲(chǔ)和傳輸擁有大量冗余信息的幾何序列，這涉及到幾何序列的緊湊表示和壓縮。實(shí)際上，壓縮可以看作緊湊表示的一種特例。不同于圖片或視頻的壓縮，動(dòng)畫序列在傳輸之前，往往經(jīng)過去噪平滑、頂點(diǎn)稠密對(duì)應(yīng)等處理，因此數(shù)據(jù)的質(zhì)量高，而且?guī)g的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)非常類似，甚至幾乎完全一樣。這種獨(dú)特的數(shù)據(jù)模式，決定了幾何序列壓縮一般具有極高的壓縮率和獨(dú)特的處理手段。任何高效的算法都離不開處理對(duì)象自身的結(jié)構(gòu)和表示方式，而緊湊表示與幾何序列的表示方式密切相關(guān)。傳統(tǒng)的、用于計(jì)算機(jī)動(dòng)畫的幾何序列主要由三角形面網(wǎng)格或四邊形面網(wǎng)格構(gòu)成。因此，形狀的緊湊表示可以轉(zhuǎn)化為對(duì)多邊形網(wǎng)格序列的預(yù)測(cè)(在傳輸前的預(yù)處理階段，一般無法避免由量化造成的精度損失)，基本思想是利用幀內(nèi)的空間連續(xù)性、幀間的時(shí)間連續(xù)性來估計(jì)頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。最近，針對(duì)網(wǎng)格質(zhì)量度量的一些研究指出，重構(gòu)的絕對(duì)誤差并不是決定網(wǎng)格視覺質(zhì)量的最重要因素,換句話，在相同視覺誤差的條件下，基于視覺感知的壓縮技術(shù)能夠達(dá)到更高的壓縮比。因此，如何將視覺感知等心理學(xué)范疇的概念用數(shù)學(xué)進(jìn)行建模，并最終在工程上實(shí)現(xiàn)，將成為未來又一重大挑戰(zhàn)。

網(wǎng)格壓縮技術(shù)的基本思想主要有兩點(diǎn)：數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)和數(shù)據(jù)量化。在預(yù)測(cè)階段，提取源網(wǎng)格的子集，并利用該子集對(duì)其補(bǔ)集使用某種預(yù)測(cè)方法進(jìn)行估計(jì)，得到對(duì)源數(shù)據(jù)的逼近。完畢后，由估計(jì)數(shù)據(jù)和源數(shù)據(jù)做差得到的余項(xiàng)將采用熵編碼對(duì)其進(jìn)行壓縮。預(yù)測(cè)方法的好壞，將影響后續(xù)余項(xiàng)量化的效率，當(dāng)預(yù)測(cè)方法適合數(shù)據(jù)自身的特點(diǎn)，那么余項(xiàng)的熵值較小，相反，則需要花費(fèi)更多的比特存貯余項(xiàng)。預(yù)測(cè)一般分為兩種：姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)和幾何細(xì)節(jié)的預(yù)測(cè)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)和幾何細(xì)節(jié)在相鄰兩幀中不發(fā)生明顯變化時(shí)，序列將體現(xiàn)較強(qiáng)的時(shí)空連續(xù)性。

現(xiàn)有很多關(guān)于網(wǎng)格重建質(zhì)量的評(píng)估手段，用于壓縮，濾波和水印等的幾何處理應(yīng)用。這些評(píng)估手段著眼于形狀的扭曲程度。早期的方法直接計(jì)算兩個(gè)待比較網(wǎng)格之間的幾何距離，而目前的工作主要聚焦于感知角度。盡管靜態(tài)網(wǎng)格的評(píng)估方法能夠直接應(yīng)用至動(dòng)態(tài)網(wǎng)格，但也有工作專門針對(duì)動(dòng)畫網(wǎng)格序列。在這些評(píng)估方法當(dāng)中，KG錯(cuò)誤和STED錯(cuò)誤成功地、廣泛地用于動(dòng)態(tài)幾何壓縮之中，成為最常用的評(píng)估方法。這兩種方法成為常用標(biāo)準(zhǔn)的原因，是考慮了邊長(zhǎng)變化對(duì)視覺感知的影響——KG錯(cuò)誤考慮了單個(gè)模型內(nèi)部每個(gè)頂點(diǎn)的歐氏距離誤差及其一鄰域的平滑程度；STED錯(cuò)誤則考慮了單個(gè)模型內(nèi)部每個(gè)頂點(diǎn)的鄰域邊集之長(zhǎng)度變化，以及連接相鄰幀對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)之間的虛擬邊之長(zhǎng)度變化。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明針對(duì)早期壓縮工作中并沒有考慮不同剛性塊的不同運(yùn)動(dòng)對(duì)整個(gè)網(wǎng)格上所有頂點(diǎn)軌跡線的相關(guān)性影響的缺陷，提出了提出一種基于低秩頂點(diǎn)軌跡子空間提取的動(dòng)畫網(wǎng)格序列壓縮算法，使得通過剛性變換后的頂點(diǎn)軌跡位于維度更低的子空間中，提高壓縮率。

為實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明所提供的技術(shù)方案為：一種基于低秩頂點(diǎn)軌跡子空間提取的壓縮算法，包括以下步驟：

1)剛性塊聚類

將運(yùn)動(dòng)物體分割為若干接近于剛性運(yùn)動(dòng)的塊；計(jì)算每個(gè)頂點(diǎn)在幀間的剛性變換，并對(duì)這些剛性變換進(jìn)行K-means聚類，使得每個(gè)頂點(diǎn)即軌跡位于相應(yīng)的剛性塊中；剛性塊表示為其中，N_S是塊的數(shù)目；

2)低秩剛性塊對(duì)齊

對(duì)步驟1)進(jìn)行剛性變換后的新軌跡進(jìn)行低秩分析，目的是估計(jì)可以令到所有軌跡位于低秩子空間的剛性變換；

記這些變換序列的集合為用來表示對(duì)齊后的網(wǎng)格序列，其中，是第f幀中新的三維空間嵌入；類似地，采用P^f以及來分別表示對(duì)齊后的頂點(diǎn)位置、形狀矩陣以及形狀序列矩陣；根據(jù)上述記號(hào)，建立關(guān)系：其中，j(i)表示頂點(diǎn)i所在剛性塊的索引；

3)主成分分析

對(duì)步驟2)對(duì)齊后的形狀序列矩陣進(jìn)行主成份分析，計(jì)算對(duì)應(yīng)的主成份方向和混合系數(shù)；在這個(gè)階段，處理的數(shù)據(jù)不再是軌跡本身，而是每條頂點(diǎn)軌跡相對(duì)于平均網(wǎng)格的偏移軌跡；

4)預(yù)測(cè)與量化

對(duì)步驟3)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步的預(yù)測(cè)和量化；這個(gè)階段主要利用網(wǎng)格自身的幾何信息以及運(yùn)動(dòng)時(shí)的連貫性來預(yù)測(cè)既得數(shù)據(jù)，從而得到與既得數(shù)據(jù)非常接近的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)；其后，保存的是預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)及其與既得數(shù)據(jù)之間的殘差；殘差通常是用過浮點(diǎn)數(shù)來表示；最終，通過算術(shù)編碼器量化浮點(diǎn)數(shù)并得到殘差的整數(shù)即近似表達(dá)，以二進(jìn)制文件的方式保存；

5)解壓與重構(gòu)處理

解壓端將利用步驟4)保存好的整數(shù)數(shù)據(jù)，包括PCA基、PCA混合系數(shù)以及錨點(diǎn)，通過泊松方程重構(gòu)對(duì)齊后序列；緊接著，解壓剛性變換并將其作用到對(duì)齊序列，最終重構(gòu)原始的動(dòng)畫網(wǎng)格序列；由于涉及泊松方程，需要為原始數(shù)據(jù)尋找錨點(diǎn)，一方面用于使得該方程有唯一解，另一方面用于補(bǔ)償由于PCA和量化過程引起的拉普拉斯軌跡誤差所導(dǎo)致變形；

新的壓縮算法的計(jì)算框架可以用下面的公式來大致描述：

其中，M是給定的數(shù)據(jù)矩陣，是作用到M上的剛性變換，Φ是主成份向量矩陣，其取值取決于變換后的M，L則是作用至主成份系數(shù)矩陣的線性預(yù)測(cè)算子，代表預(yù)測(cè)后的殘差。

在步驟1)中，所述的剛性塊聚類，其方法為：

通過計(jì)算每個(gè)頂點(diǎn)一鄰域包含頂點(diǎn)本身的剛性變換，作為該頂點(diǎn)在某一時(shí)間段內(nèi)的變形；具體地，對(duì)于頂點(diǎn)i的位置向量擬合旋轉(zhuǎn)與平移變換參數(shù)最小化以下能量：

其中，表示第i個(gè)頂點(diǎn)的一鄰域；根據(jù)幀的先后順序，將第i個(gè)頂點(diǎn)的剛性變換參數(shù)排成一個(gè)序列：這個(gè)序列可以看作頂點(diǎn)i的剛性變換軌跡；

變換參數(shù)確定下來后，應(yīng)用K-means方法對(duì)頂點(diǎn)進(jìn)行聚類以獲得近似剛性運(yùn)動(dòng)塊；除了考慮運(yùn)動(dòng)的相似性外，在剛性塊分割時(shí)還考慮空間上的近鄰關(guān)系；

因此，給定頂點(diǎn)i和頂點(diǎn)j，定義兩點(diǎn)間的距離如下：

d(i,j)＝d_m(i,j)+λ₁d_e(i,j)+λ₂d_g(i,j) (3)

其中，

$d_m(i,j)=\sqrt{\underset{f=1}{\overset{N_F-1}{\Σ}}\left(\right||R_i^f-R_j^f|{|}_F^2+\left|\right|t_i^f-t_j^f\left|{|}_2^2\right)}$

$d_g(i,j)=\frac{1}{N_F}\underset{f=1}{\overset{N_F}{\Σ}}{d}_g(p_i^f,p_j^f),d_e(i,j)=\frac{1}{N_F}\underset{f=1}{\overset{N_F}{\Σ}}{d}_e(p_i^f,p_j^f)$

使用兩種距離的理由有二；第一，考慮歐氏距離能夠令剛性塊之間的過渡更加平滑；第二，引入測(cè)地距離可以避免因?yàn)闅W氏距離很近而把位于兩個(gè)拓?fù)洳贿B通的剛性塊聚成一類的問題；分割結(jié)束后得到若干不重合的頂點(diǎn)集其中，N_S代表物體包含的剛性塊數(shù)目。

在步驟2)中，所述的低秩剛性塊對(duì)齊，其方法為：

定義為對(duì)齊后的序列的平均形狀矩陣，即將尋找軌跡低維子空間的問題形式化為如下的能量：

其中，A則為的低秩估計(jì)；注意到公式(4)是一個(gè)非線性優(yōu)化問題，因?yàn)锳依賴于未知的剛性變換；其中一種簡(jiǎn)單的求解方法，是通過塊坐標(biāo)下降法，對(duì)兩種不同類型的變量輪流求解；當(dāng)變換估計(jì)完畢，固定變換，則A能夠通過收縮閾值操作來求解；當(dāng)A求解完畢并固定，求解關(guān)于變換矩陣的線性方程組；當(dāng)變換被約束為剛性時(shí)，即則和能夠通過SVD獲得；初始化為單位矩陣，為零向量；

給出替代的建模方法，能夠獲得較好的局部解:

其中，λ控制數(shù)據(jù)項(xiàng)與調(diào)整項(xiàng)之間的權(quán)重關(guān)系；公式(5)的調(diào)整項(xiàng)用于防止陷入較差的局部最優(yōu)解；為了理解陷入局部次優(yōu)的原因，觀察不帶第二項(xiàng)的能量(5)，其實(shí)這等價(jià)于直接對(duì)源矩陣進(jìn)行PCA，并取前N_B個(gè)主成份；

利用平均姿態(tài)約束來進(jìn)一步松弛公式(5)，其形式化描述如下：

其中，N_B是用戶指定的參數(shù)，用以控制矩陣A的秩；將N_B設(shè)為PCA基的個(gè)數(shù)；最小化能量(6)的方法與最小化能量(4)的類似，依然采用塊坐標(biāo)下降法迭代求解與A。

在步驟3)中，所述的主成分分析，其方法為：

對(duì)齊后的網(wǎng)格序列減去平均姿態(tài)，得到每個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)平均姿態(tài)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的偏移量；采用類似P的組織方式，將上述的偏移量組合為一個(gè)新的殘差矩陣，即尋找N_B個(gè)主成即每個(gè)行向量構(gòu)成一個(gè)主成份，使得下面的公式成立：

D＝CΦ, (7)

其中，是PCA的混合系數(shù)所構(gòu)成的矩陣。

在步驟4)中，所述的預(yù)測(cè)與量化過程中包括的剛性變換的預(yù)測(cè)結(jié)果通過混合預(yù)測(cè)器得到PCA系數(shù)矩陣與錨點(diǎn)矩陣Y，周期檢測(cè)后得到的PCA基與稀疏矩陣H，以及平均姿態(tài)網(wǎng)格數(shù)據(jù)

a)剛性變換的預(yù)測(cè)：

考察相鄰兩個(gè)剛性塊邊界之間的相對(duì)位移，定義分別為第f幀的剛性塊V_i、V_j的邊界點(diǎn)矩陣，由邊界點(diǎn)的三維笛卡爾坐標(biāo)構(gòu)成；假設(shè)現(xiàn)在已重構(gòu)了前面的一些幀，并且第f幀的剛性快V_i的所有頂點(diǎn)位置已重構(gòu)，即近似地恢復(fù)至原始時(shí)的位置包括現(xiàn)在須要估計(jì)第f幀的剛性塊V_j所對(duì)應(yīng)的變換；該估計(jì)由兩個(gè)變換插值得到，而這兩個(gè)變換分別是：第f幀前k幀的剛性變換以及前1幀V_i與V_j的相對(duì)位置關(guān)系；具體如下式：

其中，分別是COBRA的預(yù)測(cè)函數(shù)，即當(dāng)前時(shí)刻變換參數(shù)能夠使用前k幀的對(duì)應(yīng)變換參數(shù)來預(yù)測(cè)；k的取值視乎預(yù)測(cè)函數(shù)的階數(shù)，當(dāng)k＝1時(shí)，使用前1幀變換參數(shù)的值；當(dāng)k＝2，使用前1幀變換參數(shù)的速度即由前2幀的參數(shù)差分得到；當(dāng)k＝3時(shí)，使用前1幀變換參數(shù)的加速度即由前3幀的參數(shù)二次差分得到，依此類推；與分別由公式(9)得到：

$({\hat{q}}_j^f,{\hat{t}}_j^f)=\underset{{\hat{R}}_j^f,{\hat{t}}_j^f}{\arg \min }\left|\right|G_i^f{b}_j^{f-1}+s_i^f-{\hat{R}}_j^f{b}_j^f-{\hat{t}}_j^f|{|}_F^2,s.t.{\hat{R}}_j^f{\left({\hat{R}}_j^f\right)}^T=I,$

$(G_i^f,s_i^f)=\underset{G_i^f,s_i^f}{\arg \min }\left|\right|G_i^f{b}_i^{f-1}+s_i^f-b_i^f|{|}_F^2,s.t.G_i^f{\left(G_i^f\right)}^T=I.---\left(9\right)$

在公式(9)中，和代表從到的剛性變換，并將該變換作用至中，目的是將和的相對(duì)位置關(guān)系“遷移”至與之間；公式(8)中的參數(shù)并不是常數(shù)，而是視預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)變換之間的偏離程度而定；具體來說，根據(jù)偏離程度修正自身，分別使得與盡可能接近與修正后的兩個(gè)參數(shù)參與下一幀的預(yù)測(cè)；兩個(gè)參數(shù)在第一幀的初始值都設(shè)為1；通過剛性變換預(yù)測(cè)得到的殘差記為

b)PCA系數(shù)矩陣與錨點(diǎn)矩陣Y

需要對(duì)PCA混合系數(shù)矩陣C進(jìn)行預(yù)測(cè)；C看作定義在平均姿態(tài)網(wǎng)格上的向量場(chǎng)，而拉普拉斯矩陣也能夠認(rèn)為是每個(gè)頂點(diǎn)上的向量基于局部空間的線性預(yù)測(cè)器，因?yàn)樵撓蛄磕軌蛴闷湟秽徲虻钠渌蛄窟M(jìn)行線性混合來估計(jì)；設(shè)計(jì)一種混合了多種矩陣、具有拉普拉斯矩陣相似結(jié)構(gòu)的混合預(yù)測(cè)器L；

矩陣L由余切拉普拉斯矩陣、均值拉普拉斯矩陣與最優(yōu)權(quán)重矩陣三者混合而成；具體地，對(duì)平均姿態(tài)模型的每個(gè)頂點(diǎn)，最小化以下能量：

其中，γ是調(diào)整系數(shù)，用于調(diào)整數(shù)據(jù)項(xiàng)和最優(yōu)化權(quán)重ω_ij的范數(shù)，硬約束使權(quán)重具有仿射不變性，即平均網(wǎng)格的第i個(gè)頂點(diǎn)及其一鄰域進(jìn)行了仿射變換，相關(guān)的ω_ij不變；能量(10)的第一項(xiàng)使權(quán)重在鄰接點(diǎn)上均勻分布，一方面是為了得到唯一解，另一方面是限制權(quán)重過大而導(dǎo)致所做的預(yù)測(cè)存在較大的偏差；第二項(xiàng)是令到第i個(gè)頂點(diǎn)能夠用其一鄰域的頂點(diǎn)通過線性混合得到；當(dāng)所有的ω_ij求解完畢，得到一個(gè)具有與經(jīng)典拉普拉斯矩陣結(jié)構(gòu)相同、但非零項(xiàng)取值不同的最優(yōu)化權(quán)重矩陣；由于最小化過程在平均姿態(tài)網(wǎng)格上執(zhí)行，當(dāng)待預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的分布恰好與平均姿態(tài)網(wǎng)格頂點(diǎn)位置的分布相同時(shí)，預(yù)測(cè)才會(huì)與真實(shí)數(shù)據(jù)相同，因此稱ω_ij為最優(yōu)化權(quán)重；預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確程度與待預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的分布與平均姿態(tài)網(wǎng)格頂點(diǎn)位置的分布的相似程度有關(guān)；在實(shí)際應(yīng)用中，只用一部分最優(yōu)化權(quán)重矩陣的行向量來填充混合預(yù)測(cè)矩陣，而后者所剩下的行則由經(jīng)典拉普拉斯矩陣的對(duì)應(yīng)行來填充；

混合方法包括兩步；首先，分別使用余切拉普拉斯矩陣、均值拉普拉斯矩陣與最優(yōu)權(quán)重矩陣作用至PCA的混合系數(shù)矩陣C，得到三個(gè)新的微分系數(shù)矩陣；混合矩陣L的計(jì)算如下：分別計(jì)算每一個(gè)微分系數(shù)矩陣第i行的l₂范數(shù)，取能夠產(chǎn)生最小范數(shù)的預(yù)測(cè)矩陣的第i行作為L(zhǎng)的第i行元素；采用上述的混合方法，其目的在于將L作用到C之后，使得到的微分系數(shù)矩陣的Frobenius范數(shù)盡可能最??；這樣做能夠使得后續(xù)的量化編碼效率更高；

定義微分系數(shù)矩陣錨點(diǎn)矩陣的第i行Y_i來源于C的某一行；錨點(diǎn)的數(shù)量N_A和選擇方法可參考Sorkine等人的工作；

C)周期檢測(cè)后得到的PCA基與稀疏矩陣H

在給出形式化描述前，須要指出的是：原始網(wǎng)格動(dòng)畫的周期性運(yùn)動(dòng)，在對(duì)齊操作后依然被保留下來，并存在于殘差矩陣內(nèi)；當(dāng)使用PCA對(duì)殘差矩陣進(jìn)行逼近后，周期性運(yùn)動(dòng)的信息將遷移至PCA基之中；換言之，只要對(duì)PCA基進(jìn)行稀疏編碼，即能找到潛在的重復(fù)模式；周期檢測(cè)的稀疏編碼的形式化描述如下：

min_H||ΨH-Ψ||²+η||H||₁ (11)

其中，的每一列由Φ的每一列歸一化所得，即每一列除以該列的模長(zhǎng)；H是一個(gè)稀疏方陣，η則是權(quán)重調(diào)節(jié)系數(shù)，取值固定為0.01；歸一化Φ能夠排除模長(zhǎng)對(duì)稀疏性的影響；一方面，當(dāng)Φ存在兩個(gè)具有相同朝向但長(zhǎng)度不同的列向量時(shí)，認(rèn)為兩者依然具有相同運(yùn)動(dòng)模式，只是振幅不同；另一方面，某個(gè)列向量有可能由單個(gè)其他列向量表示，也可能由其他若干個(gè)列向量混合表示，如果第一種情況得到的系數(shù)絕對(duì)值大于第二種情況的系數(shù)絕對(duì)值的總和，那么最小化能量(11)將得到稠密解，而歸一化能避免出現(xiàn)這種情況；

若H的第i列只有一個(gè)非零值1，且該值位于第i行，則表明不存在與Φ的第i列相同的其它列向量；若多于一個(gè)非零值，則表明可能存在相同列，這時(shí)須要判斷非零值的行索引在H中對(duì)應(yīng)的各列是否相同；當(dāng)兩個(gè)列向量夾角小于給定閾值的時(shí)候，認(rèn)為它們相同；獲得重復(fù)模式后，削減Φ的部分列向量，得到3N_K是沒有重復(fù)模式的軌跡長(zhǎng)度；注意，隨著閾值增大，N_K會(huì)減少，但重建誤差也會(huì)增大；另外，即使在閾值很小的情況下，并不總能保證任意動(dòng)畫序列都能找到重復(fù)模式；最后，采用COBRA算法來漸進(jìn)式地預(yù)測(cè)和量化中的浮點(diǎn)數(shù)；

d)平均姿態(tài)網(wǎng)格數(shù)據(jù)

平均網(wǎng)格采用現(xiàn)有的靜態(tài)網(wǎng)格壓縮方法，主要分為兩部分：頂點(diǎn)的連結(jié)關(guān)系壓縮和頂點(diǎn)的幾何位置壓縮；前者使用基于頂點(diǎn)價(jià)驅(qū)動(dòng)的連接關(guān)系壓縮算法；后者采用網(wǎng)格高通濾波來完成。

在步驟5)中，所述的解壓與重構(gòu)處理，其方法為：

解碼平均姿態(tài)模型后，計(jì)算得到混合預(yù)測(cè)矩陣通過求解泊松方程來重構(gòu)系數(shù)矩陣具體地，給定混合矩陣微分系數(shù)矩陣以及錨點(diǎn)矩陣希望找到使得其微分坐標(biāo)盡可能與相等；注意到不滿秩，其零向量空間的維度等于網(wǎng)格的連通分量個(gè)數(shù)，對(duì)于封閉網(wǎng)格，至少需要一個(gè)已知頂點(diǎn)作為邊界條件，泊松方程才有唯一解；在實(shí)際應(yīng)用中，泊松重構(gòu)的穩(wěn)定性受邊界條件影響，須要選擇多個(gè)錨點(diǎn)共同構(gòu)成邊界條件，因此，PCA系數(shù)矩陣的泊松重構(gòu)描述為如下優(yōu)化問題：

$\underset{\stackrel{\‾}{C}}{\min }\left|\right|\tilde{L}\tilde{C}-\tilde{\hat{C}}|{|}_F^2+\mathrm{\λ}\underset{i=1}{\overset{N_A}{\Σ}}||{\tilde{Y}}_i-{\tilde{C}}_i|{|}_F^2,s.t.\mathrm{\λ}\>0,---\left(12\right)$

其中，λ是控制邊界條件約束程度的系數(shù)；優(yōu)化上述能量等價(jià)于求解線性方程組：

${\tilde{U}}^T\tilde{U}\tilde{C}={\tilde{U}}^T\tilde{V}---\left(13\right)$

和分別是對(duì)和的增廣；增廣方法是：對(duì)于在其最后一行后插入如下矩陣

對(duì)于則將添加至的末尾；λ設(shè)置為100。

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比，具有如下優(yōu)點(diǎn)與有益效果：

1、壓縮率更高、扭曲率更低

圖7列出了圖6例子中采用不同策略時(shí)的碼率和STED扭曲值，其中包括本文算法結(jié)果以及通過實(shí)現(xiàn)文獻(xiàn)等人的算法所得的結(jié)果；沒有采用剛性塊對(duì)齊策略、采用剛性塊策略以及文獻(xiàn)等人算法的比較結(jié)果顯示，我們的算法對(duì)剛性運(yùn)動(dòng)比較明顯的形狀序列壓縮效果較好；在圖7中間三個(gè)例子中，本文算法性能與文獻(xiàn)等人的互有優(yōu)劣，但不明顯；而在最后一個(gè)例子中，本文算法有微弱優(yōu)勢(shì)；

2、對(duì)剛性運(yùn)動(dòng)的模型壓縮效果更好

我們的方法混合拉普拉斯(有對(duì)齊)對(duì)剛性運(yùn)動(dòng)比較明顯的形狀序列壓縮效果較好，對(duì)于具有剛性運(yùn)動(dòng)特征的物體，例如Humanoid模型，能達(dá)到非常高的壓縮率(碼率越低越好)，而且扭曲也比其他方法小。而對(duì)于表面小尺度范圍充滿非剛性運(yùn)動(dòng)的物體，例如圖7中的Squat2和CowHeavy序列，在集成了局部微分坐標(biāo)剛性變換預(yù)測(cè)器后，也能得到接近于L等人的結(jié)果。

附圖說明

圖1為本發(fā)明的壓縮算法流程圖。

圖2為本發(fā)明實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用K-means方法對(duì)頂點(diǎn)進(jìn)行聚類的結(jié)果圖。

圖3為本發(fā)明展示的一個(gè)為了說明陷入局部次優(yōu)解的例圖。

圖4為本發(fā)明的剛性聚類結(jié)果圖。

圖5為本發(fā)明的解碼流程圖。

圖6為本發(fā)明的測(cè)試的各類模型圖。

圖7為本壓縮算法的碼率與質(zhì)量比較圖。

圖8為本壓縮算法的所有例子的計(jì)算耗時(shí)比較圖。

圖9為本壓縮算法中剛性塊數(shù)目與重構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合具體實(shí)施例對(duì)本發(fā)明作進(jìn)一步說明。

本實(shí)施例所述的基于低秩頂點(diǎn)軌跡子空間提取的動(dòng)畫網(wǎng)格序列壓縮算法，其具體情況如下：給定待壓縮的原始動(dòng)畫網(wǎng)格序列，通過運(yùn)動(dòng)分析，姿態(tài)對(duì)齊，主成分分析，進(jìn)一步預(yù)測(cè)得到了若干準(zhǔn)備送入二進(jìn)制編碼器的殘差數(shù)據(jù)，使用上下文適應(yīng)二進(jìn)制算術(shù)編碼器(CABAC)來完成所有量化結(jié)果的編碼壓縮，以及后面的解碼中基于泊松方程的曲面重建方法。以此為基礎(chǔ)，本發(fā)明提出編碼框架(如圖1所示)，解碼框架(如圖5所示)。

新的壓縮算法的計(jì)算框架可以用下面的公式來大致描述：

其中，M是給定的數(shù)據(jù)矩陣，是作用到M上的剛性變換，Φ是主成份向量矩陣，其取值取決于變換后的M，L則是作用至主成份系數(shù)矩陣的線性預(yù)測(cè)算子，代表預(yù)測(cè)后的殘差；

從概念上看，上述計(jì)算框架所產(chǎn)生的待壓縮數(shù)據(jù)，主要包括公式(1)中除M以外的所有量。其中，含有大量的浮點(diǎn)數(shù)，值一般很接近0，因此可以高效地對(duì)其進(jìn)行編碼壓縮；盡管的熵不一定隨著浮點(diǎn)數(shù)值的減小而下降，但在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，如果的Frobenius范數(shù)越小，則減少其熵的可能性就越高。假設(shè)量化系數(shù)不變，當(dāng)范數(shù)減少到一定程度，的碼值會(huì)出現(xiàn)較多的重復(fù)；

本實(shí)施例上述的基于低秩頂點(diǎn)軌跡子空間提取的動(dòng)畫網(wǎng)格序列壓縮算法，算法流程如圖1所示，包括以下步驟：

1)剛性塊聚類(運(yùn)動(dòng)分析)

對(duì)于輸入的原始動(dòng)畫網(wǎng)格序列，通過計(jì)算每個(gè)頂點(diǎn)一鄰域(包含頂點(diǎn)本身)的剛性變換，作為該頂點(diǎn)在某一時(shí)間段內(nèi)的變形；具體地，對(duì)于頂點(diǎn)i的位置向量擬合旋轉(zhuǎn)與平移變換參數(shù)(本節(jié)這對(duì)符號(hào)用來表示第f幀第i個(gè)點(diǎn)到第f+1幀的局部剛性變換，而其它節(jié)，這對(duì)符號(hào)都表示第f幀，第i個(gè)剛性塊到第f+1幀相應(yīng)塊的剛性塊變換矩陣)最小化以下能量：

其中，表示第i個(gè)頂點(diǎn)的一鄰域；根據(jù)幀的先后順序，將第i個(gè)頂點(diǎn)的剛性變換參數(shù)排成一個(gè)序列：這個(gè)序列可以看作頂點(diǎn)i的剛性變換軌跡；

變換參數(shù)確定下來后，我們應(yīng)用K-means方法對(duì)頂點(diǎn)進(jìn)行聚類以獲得近似剛性運(yùn)動(dòng)塊；除了考慮運(yùn)動(dòng)的相似性外，在剛性塊分割時(shí)我們還考慮空間上的近鄰關(guān)系。因此，給定頂點(diǎn)i和頂點(diǎn)j,我們定義兩點(diǎn)間的距離如下：

d(i,j)＝d_m(i,j)+λ₁d_e(i,j)+λ₂d_g(i,j) (3)

其中，

$d_m(i,j)=\sqrt{\underset{f=1}{\overset{N_F-1}{\Σ}}\left(\right||R_i^f-R_j^f|{|}_F^2+\left|\right|t_i^f-t_j^f\left|{|}_2^2\right)}$

$d_g(i,j)=\frac{1}{N_F}\underset{f=1}{\overset{N_F}{\Σ}}{d}_g(p_i^f,p_j^f),d_e(i,j)=\frac{1}{N_F}\underset{f=1}{\overset{N_F}{\Σ}}{d}_e(p_i^f,p_j^f)$

分割結(jié)束后得到若干不重合的頂點(diǎn)集其中，N_S代表物體包含的剛性塊數(shù)目；

2)低秩剛性塊對(duì)齊(姿態(tài)對(duì)齊)

我們對(duì)進(jìn)行剛性變換后的新軌跡進(jìn)行低秩分析，目的是估計(jì)可以令到所有軌跡位于低秩子空間的剛性變換,利用矩陣低秩分析方法，求出相鄰幀間對(duì)應(yīng)剛性塊的剛性變換，以便把所有姿態(tài)對(duì)齊。對(duì)于有N_F幀的序列來說，每個(gè)剛性塊會(huì)對(duì)應(yīng)N_F個(gè)剛性變換，這些變換構(gòu)成一個(gè)變換序列；N_S個(gè)剛性塊，就有N_S個(gè)這樣的變換序列。記這些變換序列的集合為用來表示對(duì)齊后的網(wǎng)格序列，其中，是第f幀新的三維空間嵌入；類似地，采用P^f以及來分別表示對(duì)齊后的頂點(diǎn)位置、形狀矩陣以及形狀序列矩陣；根據(jù)上述記號(hào)，我們可以建立以下關(guān)系：

其中，j(i)表示頂點(diǎn)i所在剛性塊的索引；

定義為對(duì)齊后的序列的平均形狀矩陣，即我們將尋找軌跡低維子空間的問題形式化為如下的能量：

其中，已在前面描述，A則為的低秩估計(jì)；注意到公式(4)是一個(gè)非線性優(yōu)化問題，因?yàn)锳依賴于未知的剛性變換；其中一種簡(jiǎn)單的求解方法，是通過塊坐標(biāo)下降法，對(duì)兩種不同類型的變量輪流求解；當(dāng)變換估計(jì)完畢，固定變換，則A可以通過收縮閾值操作(Shrinkage thresholding operator)來求解；當(dāng)A求解完畢并固定，求解關(guān)于變換矩陣的線性方程組；當(dāng)變換被約束為剛性時(shí)，即則和可以通過SVD獲得；對(duì)于初始化，并沒有嚴(yán)格的要求，我們初始化為單位矩陣，為零向量；

注意，當(dāng)α選取“適合”于具體應(yīng)用的值時(shí)，優(yōu)化上述能量得到的解才是符合要求的低秩解；如果α選取不當(dāng)，得到的解很有可能是次優(yōu)解；我們希望α的值盡可能大，同時(shí)希望A的秩不變；但是，如果采用試錯(cuò)的方法尋找α，例如二分法，計(jì)算代價(jià)較大，另一方面，難以找到一種高效的確定α值的方法；因此，我們給出替代的建模方法，該方法不含與具體例子十分相關(guān)的參數(shù)，但同時(shí)能夠獲得較好的局部解(如圖4):

其中，λ控制數(shù)據(jù)項(xiàng)與調(diào)整項(xiàng)之間的權(quán)重關(guān)系；公式(5)的調(diào)整項(xiàng)用于防止陷入較差的局部最優(yōu)解；為了理解陷入局部次優(yōu)的原因，觀察不帶第二項(xiàng)的能量(5)，其實(shí)這等價(jià)于直接對(duì)源矩陣進(jìn)行PCA，并取前N_B個(gè)主成份；在圖3中，所有的模型均具有相同的姿態(tài)，如果完全對(duì)齊，那么除去少量的數(shù)值誤差，得到對(duì)齊結(jié)果秩應(yīng)該為1，但通過PCA取少量的前N_B個(gè)主成份，無法滿足這樣的要求；如果一定要使用PCA達(dá)到如下效果，有兩種可能的方案；第一種，只能在迭代開始時(shí)，設(shè)置N_B為一個(gè)非常大的值，然后隨著迭代次數(shù)增多，慢慢將N_B減少，但這樣做會(huì)存在迭代次數(shù)多，計(jì)算量大的問題，而且當(dāng)減少速度過快時(shí)，也可能被困于局部次優(yōu)；第二種，在源序列中選定一個(gè)參考幀，計(jì)算其他幀到參考幀的剛性變換，并作為初始化結(jié)果；但這種方法存在潛在的問題，由于我們無法預(yù)先知道某個(gè)參考幀的姿態(tài)就是使得能量(5)獲得局部最優(yōu)的姿態(tài)，當(dāng)采用選定某幀作為目標(biāo)姿態(tài)時(shí)，無形中限制了解空間的范圍；

調(diào)整項(xiàng)包含所有姿態(tài)的兩兩相互合，其計(jì)算量較大；為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們利用平均姿態(tài)約束來進(jìn)一步松弛公式(5)，其形式化描述如下：

其中，N_B是用戶指定的參數(shù)，用以控制矩陣A的秩；在我們的實(shí)驗(yàn)中，總是將N_B設(shè)為PCA基的個(gè)數(shù)；最小化能量(6)的方法與最小化能量(4)的類似，依然采用塊坐標(biāo)下降法迭代求解與A；

3)主成份分析

對(duì)對(duì)齊后的形狀序列矩陣進(jìn)行主成份分析，計(jì)算對(duì)應(yīng)的主成份方向和混合系數(shù)；在這個(gè)階段，我們處理的數(shù)據(jù)不再是軌跡本身，而是每條頂點(diǎn)軌跡相對(duì)于平均網(wǎng)格的偏移軌跡；

將對(duì)齊后的網(wǎng)格序列減去平均姿態(tài)，得到每個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)平均姿態(tài)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的偏移量；我們可以采用類似P的組織方式，將上述的偏移量組合為一個(gè)新的殘差矩陣，即我們尋找N_B個(gè)主成(每個(gè)行向量構(gòu)成一個(gè)主成份)，使得下面的公式成立：

D＝CΦ, (7)

其中，是PCA的混合系數(shù)所構(gòu)成的矩陣；

4)預(yù)測(cè)與量化

對(duì)上述步驟產(chǎn)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步的預(yù)測(cè)和量化，目標(biāo)是獲得剛性變換的預(yù)測(cè)結(jié)果通過混合預(yù)測(cè)器得到PCA系數(shù)矩陣與錨點(diǎn)矩陣Y，周期檢測(cè)后得到的PCA基與稀疏矩陣H，以及平均姿態(tài)網(wǎng)格數(shù)據(jù)這個(gè)階段主要利用網(wǎng)格自身的幾何信息以及運(yùn)動(dòng)時(shí)的連貫性來預(yù)測(cè)既得數(shù)據(jù)，從而得到與既得數(shù)據(jù)非常接近的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)；其后，我們保存的是預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)及其與既得數(shù)據(jù)之間的殘差；殘差一般是用過浮點(diǎn)數(shù)來表示；最終，通過算術(shù)編碼器量化浮點(diǎn)數(shù)并得到殘差的整數(shù)(近似)表達(dá)，以二進(jìn)制文件的方式保存；

具體過程如下:

a)剛性變換的預(yù)測(cè)

我們考察相鄰兩個(gè)剛性塊邊界之間的相對(duì)位移，定義分別為第f幀的剛性塊V_i、V_j的邊界點(diǎn)矩陣，由邊界點(diǎn)的三維笛卡爾坐標(biāo)構(gòu)成；假設(shè)現(xiàn)在我們已重構(gòu)了前面的一些幀，并且第f幀的剛性快V_i的所有頂點(diǎn)位置已重構(gòu)，即(近似地)恢復(fù)至原始時(shí)的位置(包括)，現(xiàn)在須要估計(jì)第f幀的剛性塊V_j所對(duì)應(yīng)的變換；該估計(jì)由兩個(gè)變換插值得到，而這兩個(gè)變換分別是：第f幀前k幀的剛性變換以及前1幀V_i與V_j的相對(duì)位置關(guān)系；具體如下式：

其中，分別是COBRA的預(yù)測(cè)函數(shù)，即當(dāng)前時(shí)刻變換參數(shù)可以使用前k幀(時(shí)刻)的對(duì)應(yīng)變換參數(shù)來預(yù)測(cè)；k的取值視乎預(yù)測(cè)函數(shù)的階數(shù)，當(dāng)k＝1時(shí)，使用前1幀變換參數(shù)的值；當(dāng)k＝2，使用前1幀變換參數(shù)的速度(由前2幀的參數(shù)差分得到)；當(dāng)k＝3時(shí)，使用前1幀變換參數(shù)的加速度(由前3幀的參數(shù)二次差分得到)，依此類推；(對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)矩陣)與分別由公式(9)得到：

$({\hat{q}}_j^f,{\hat{t}}_j^f)=\underset{{\hat{R}}_j^f,t_j^f}{\arg \min }\left|\right|G_i^f{b}_j^{f-1}+s_i^f-{\hat{R}}_j^f{b}_j^f-{\hat{t}}_j^f|{|}_F^2,s.t.{\hat{R}}_j^f{\left({\hat{R}}_j^f\right)}^T=I,$

$(G_i^f,s_i^f)=\underset{G_i^f,s_i^f}{\arg \min }\left|\right|G_i^f{b}_i^{f-1}+s_i^f-b_i^f|{|}_F^2,s.t.G_i^f{\left(G_i^f\right)}^T=I.---\left(9\right)$

在公式(9)中，和代表從到的剛性變換，并將該變換作用至中，目的是將和的相對(duì)位置關(guān)系“遷移”至與之間；公式(8)中的參數(shù)并不是常數(shù)，而是視預(yù)測(cè)結(jié)果(由公式(8)得到)與真實(shí)變換之間的偏離程度而定；具體來說，根據(jù)偏離程度修正自身，分別使得與盡可能接近與修正后的兩個(gè)參數(shù)參與下一幀的預(yù)測(cè)；兩個(gè)參數(shù)在第一幀的初始值都設(shè)為1；通過剛性變換預(yù)測(cè)得到的殘差記為

b)PCA系數(shù)矩陣與錨點(diǎn)矩陣Y

我們需要對(duì)PCA混合系數(shù)矩陣C進(jìn)行預(yù)測(cè)；為了達(dá)到更高的壓縮率，我們?cè)O(shè)計(jì)一種混合了多種矩陣、具有拉普拉斯矩陣相似結(jié)構(gòu)的混合預(yù)測(cè)器L；

矩陣L由余切拉普拉斯矩陣、均值拉普拉斯矩陣與最優(yōu)權(quán)重矩陣三者混合而成；前兩種矩陣在可以參考其他資料，這里只介紹最優(yōu)權(quán)重矩陣的構(gòu)造；具體地，對(duì)平均姿態(tài)模型的每個(gè)頂點(diǎn)，我們最小化以下能量：

其中，γ是調(diào)整系數(shù)，用于調(diào)整數(shù)據(jù)項(xiàng)和最優(yōu)化權(quán)重ω_ij的范數(shù)，硬約束使權(quán)重具有仿射不變性，即平均網(wǎng)格的第i個(gè)頂點(diǎn)及其一鄰域進(jìn)行了仿射變換，相關(guān)的ω_ij不變；一般情況下，當(dāng)所有的ω_ij求解完畢，得到一個(gè)具有與經(jīng)典拉普拉斯矩陣結(jié)構(gòu)相同、但非零項(xiàng)取值不同的最優(yōu)化權(quán)重矩陣；由于最小化過程在平均姿態(tài)網(wǎng)格上執(zhí)行，當(dāng)待預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的分布恰好與平均姿態(tài)網(wǎng)格頂點(diǎn)位置的分布相同時(shí)，預(yù)測(cè)才會(huì)與真實(shí)數(shù)據(jù)相同，因此稱ω_ij為(估計(jì)平均姿態(tài)網(wǎng)格的)最優(yōu)化權(quán)重；但一般情況下，這是不可能的，因此，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確程度與待預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的分布與平均姿態(tài)網(wǎng)格頂點(diǎn)位置的分布的相似程度有關(guān)；在實(shí)際應(yīng)用中，我們只用一部分最優(yōu)化權(quán)重矩陣的行向量來填充混合預(yù)測(cè)矩陣，而后者所剩下的行則由經(jīng)典拉普拉斯矩陣的對(duì)應(yīng)行來填充；

混合方法包括兩步；首先，分別使用余切拉普拉斯矩陣、均值拉普拉斯矩陣與最優(yōu)權(quán)重矩陣作用至PCA的混合系數(shù)矩陣C(此操作可參看公式(1))，得到三個(gè)新的微分系數(shù)矩陣；混合矩陣L的計(jì)算如下：分別計(jì)算每一個(gè)微分系數(shù)矩陣第i行的l₂范數(shù)，取能夠產(chǎn)生最小范數(shù)的預(yù)測(cè)矩陣的第i行作為L(zhǎng)的第i行元素；采用上述的混合方法，其目的在于將L作用到C之后，使得到的微分系數(shù)矩陣的Frobenius范數(shù)盡可能最小

定義微分系數(shù)矩陣錨點(diǎn)矩陣的第i行Y_i來源于C的某一行；錨點(diǎn)的數(shù)量N_A和選擇方法可參考Sorkine等人的工作；

c)周期檢測(cè)后得到的PCA基與稀疏矩陣H

周期檢測(cè)的稀疏編碼的形式化描述如下：

min_H||ΨH-Ψ||²+η||H||₁ (11)其中，的每一列由Φ的每一列歸一化所得，即每一列除以該列的模長(zhǎng)；H是一個(gè)稀疏方陣，η則是權(quán)重調(diào)節(jié)系數(shù)，在我們的實(shí)驗(yàn)中取值固定為0.01；歸一化Φ能夠排除模長(zhǎng)對(duì)稀疏性的影響；一方面，當(dāng)Φ存在兩個(gè)具有相同朝向但長(zhǎng)度不同的列向量時(shí)，可以認(rèn)為兩者依然具有相同運(yùn)動(dòng)模式，只是振幅不同；另一方面，某個(gè)列向量有可能由單個(gè)其他列向量表示，也可能由其他若干個(gè)列向量混合表示，如果第一種情況得到的系數(shù)絕對(duì)值大于第二種情況的系數(shù)絕對(duì)值的總和，那么最小化能量(11)將得到稠密解，而歸一化能避免出現(xiàn)這種情況；

最小化能量(11)是經(jīng)典的LASSO問題，由于H的規(guī)模較小，可以通過內(nèi)點(diǎn)法來求解；若H的第i列只有一個(gè)非零值1，且該值位于第i行，則表明不存在與Φ的第i列相同的其它列向量；若多于一個(gè)非零值，則表明可能存在相同列，這時(shí)須要判斷非零值的行索引在H中對(duì)應(yīng)的各列是否相同；當(dāng)兩個(gè)列向量夾角小于給定閾值的時(shí)候，認(rèn)為它們相同；獲得重復(fù)模式后，我們可以削減Φ的部分列向量，得到 3N_K是沒有重復(fù)模式的軌跡長(zhǎng)度；注意，隨著閾值增大，N_K會(huì)減少，但重建誤差也會(huì)增大；另外，即使在閾值很小的情況下，并不總能保證任意動(dòng)畫序列都能找到重復(fù)模式；最后，我們采用COBRA算法來漸進(jìn)式地預(yù)測(cè)和量化中的浮點(diǎn)數(shù)；

d)平均姿態(tài)網(wǎng)格數(shù)據(jù)

平均網(wǎng)格采用現(xiàn)有的靜態(tài)網(wǎng)格壓縮方法，主要分為兩部分：頂點(diǎn)的連結(jié)關(guān)系壓縮和頂點(diǎn)的幾何位置壓縮；前者使用基于頂點(diǎn)價(jià)驅(qū)動(dòng)的連接關(guān)系壓縮算法；后者采用網(wǎng)格高通濾波來完成；

5)解壓與重構(gòu)

解壓端將利用保存好的整數(shù)數(shù)據(jù)，包括PCA基、PCA混合系數(shù)以及錨點(diǎn)；

解碼平均姿態(tài)模型后，計(jì)算得到混合預(yù)測(cè)矩陣我們通過求解泊松方程(Poisson's equation)來重構(gòu)系數(shù)矩陣具體地，給定混合矩陣微分系數(shù)矩陣以及錨點(diǎn)矩陣我們希望找到使得其微分坐標(biāo)盡可能與相等；注意到不滿秩，其零向量空間(Null space)的維度等于網(wǎng)格的連通分量個(gè)數(shù)，對(duì)于封閉網(wǎng)格，至少需要一個(gè)已知頂點(diǎn)作為邊界條件，泊松方程才有唯一解；在實(shí)際應(yīng)用中，泊松重構(gòu)的穩(wěn)定性受邊界條件影響，一般須要選擇多個(gè)錨點(diǎn)共同構(gòu)成邊界條件，因此，PCA系數(shù)矩陣的泊松重構(gòu)可描述為如下優(yōu)化問題：

$\underset{\stackrel{\‾}{C}}{\min }\left|\right|\tilde{L}\tilde{C}-\tilde{\hat{C}}|{|}_F^2+\mathrm{\λ}\underset{i=1}{\overset{N_A}{\Σ}}||{\tilde{Y}}_i-{\tilde{C}}_i|{|}_F^2,s.t.\mathrm{\λ}\>0,---\left(12\right)$

其中，λ是控制邊界條件約束程度的系數(shù)；優(yōu)化上述能量等價(jià)于求解線性方程組：

${\tilde{U}}^T\tilde{U}\tilde{C}={\tilde{U}}^T\tilde{V}---\left(13\right)$

和分別是對(duì)和的增廣；增廣方法是：對(duì)于在其最后一行后插入如下矩陣

對(duì)于則將添加至的末尾；λ設(shè)置為100；

綜上所述，在采用以上方案后，本發(fā)明提出了一種新的、基于低秩頂點(diǎn)軌跡子空間提取的動(dòng)畫網(wǎng)格序列壓縮算法，使得通過剛性變換后的頂點(diǎn)軌跡位于維度更低的子空間中，提高壓縮率。本動(dòng)畫網(wǎng)格序列壓縮算法的技術(shù)特點(diǎn)在于：

a)基于對(duì)大多數(shù)物體形狀在運(yùn)動(dòng)過程中一般表現(xiàn)出近似分塊剛性的特點(diǎn)，我們考慮了不同剛性塊的不同運(yùn)動(dòng)對(duì)整個(gè)網(wǎng)格上所有頂點(diǎn)軌跡線性相關(guān)性的影響，通過使剛性變換后的頂點(diǎn)軌跡位于維度更低的子空間中，從而提高壓縮率。

b)首先根據(jù)運(yùn)動(dòng)序列的運(yùn)動(dòng)方式對(duì)物體進(jìn)行分割并據(jù)此估計(jì)從而使變換后的頂點(diǎn)軌跡位于低秩子空間上；接著，計(jì)算對(duì)齊后序列的平均網(wǎng)格，繼而求出每幀的頂點(diǎn)相對(duì)于平均網(wǎng)格對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的偏移，將每幀每頂點(diǎn)的偏移按照M的方式來排列，得到偏移軌跡矩陣并對(duì)其進(jìn)行PCA；然后，為了進(jìn)一步減少PCA混合系數(shù)的存儲(chǔ)量，設(shè)計(jì)了一個(gè)基于混合拉普拉斯矩陣的線性預(yù)測(cè)器；

本實(shí)驗(yàn)經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其可行性，能廣泛用于各種網(wǎng)格序列的壓縮。實(shí)驗(yàn)測(cè)試的各類模型如圖6所示(其中Humanoid模型剛性程度最高，即使在關(guān)節(jié)處變形也不明顯；Horse模型到Squat2模型的剛性程度較低，關(guān)節(jié)處有比較明顯的變形，除此之外，其他區(qū)域基本為剛性運(yùn)動(dòng)；CowHeavy非剛性程度比較明顯的數(shù)據(jù)，基本上不存在嚴(yán)格意義上的剛性塊)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示(圖7中列出了沒有采用剛性塊對(duì)齊與采用剛性對(duì)齊兩種策略的碼率與質(zhì)量比較，扭曲采用STED算法來評(píng)估，碼率則是每幀每個(gè)頂點(diǎn)的比特率；Humanoid模型剛性程度最高，即使在關(guān)節(jié)處變形也不明顯；Horse模型到Squat2模型的剛性程度較低，關(guān)節(jié)處有比較明顯的變形，除此之外，其他區(qū)域基本為剛性運(yùn)動(dòng)；CowHeavy非剛性程度比較明顯的數(shù)據(jù)，基本上不存在嚴(yán)格意義上的剛性塊；列出了上述例子采用不同策略時(shí)的碼率和STED扭曲值，其中包含我們壓縮算法結(jié)果以及通過實(shí)現(xiàn)文獻(xiàn)等人的算法所得的結(jié)果；沒有采用剛性塊對(duì)齊策略、采用剛性塊策略以及文獻(xiàn)等人算法的比較結(jié)果顯示，我們的算法對(duì)剛性運(yùn)動(dòng)比較明顯的形狀序列壓縮效果較好；在圖7中間三個(gè)例子中，本文算法性能與文獻(xiàn)等人的互有優(yōu)劣，但不明顯；而在最后一個(gè)例子中，我們的算法有微弱優(yōu)勢(shì)；)，我們的方法混合拉普拉斯(有對(duì)齊)對(duì)剛性運(yùn)動(dòng)比較明顯的形狀序列壓縮效果較好，對(duì)于具有剛性運(yùn)動(dòng)特征的物體，能達(dá)到非常高的壓縮率(碼率越低越好)，而且扭曲也比其他方法小。而對(duì)于表面小尺度范圍充滿非剛性運(yùn)動(dòng)的物體，在集成了局部微分坐標(biāo)剛性變換預(yù)測(cè)器后，也能得到接近于等人的結(jié)果。從結(jié)果可以看出，本發(fā)明具有壓縮效率高，扭曲變形小，魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)，在處理大尺度剛性變換時(shí)更有優(yōu)勢(shì)。

圖8展示每個(gè)例子在壓縮應(yīng)用的各個(gè)階段的運(yùn)行時(shí)間，全部數(shù)據(jù)均是單幀在不同處理階段的平均耗時(shí)，時(shí)間的單位是毫秒；注意到剛性運(yùn)動(dòng)分析、聚類和解碼過程并不耗時(shí)，相比之下，編碼時(shí)間的影響最為嚴(yán)重；另外，編碼階段包含了若干子過程，其中的低秩對(duì)齊是個(gè)中計(jì)算量最大的子過程，這是由于每次迭代需要對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行SVD以及分塊剛性矩陣變換擬合，而且需要比較多次的迭代才能收斂到理想的程度。

如圖9所示，剛性塊的數(shù)目對(duì)網(wǎng)格序列重建精度有影響，但并非顯著；圖9能量一列中，括號(hào)外的數(shù)據(jù)是沒有對(duì)齊前的能量，括號(hào)中的數(shù)字是對(duì)齊后的能量；扭曲一列采用STED評(píng)估；最后一列是壓縮碼率；以Squat2序列為例，隨著剛性塊數(shù)從5到40增加，STED誤差會(huì)依次下降，當(dāng)塊數(shù)超過20時(shí)，STED誤差下降不明顯；可見，單純?cè)黾觿傂詨K的數(shù)目對(duì)改善誤差的作用有限，尤其在運(yùn)動(dòng)物體局部細(xì)節(jié)變化不明顯的情況下，過多的剛性塊不僅對(duì)改善網(wǎng)格質(zhì)量沒有幫助，反而令到碼率出現(xiàn)上升，減低壓縮性能。

以上所述之實(shí)施例子只為本發(fā)明之較佳實(shí)施例，并非以此限制本發(fā)明的實(shí)施范圍，故凡依本發(fā)明之形狀、原理所作的變化，均應(yīng)涵蓋在本發(fā)明的保護(hù)范圍內(nèi)。