lt;巧-，A = .r，>'，三， "j)
[0065] 其中>(U=x，乂 表示磁力矩器在地屯、赤道慣性坐標(biāo)系中的k軸上能產(chǎn)生的 最大磁偶極矩分量。
[0066] 其它步驟及參數(shù)與【具體實(shí)施方式】一相同。
【具體實(shí)施方式】 [0067] 本實(shí)施方式與一或二不同的是：步驟二中求解代 數(shù)Lyapunov方程正定解P。的具體過程；
[0068]代數(shù)Lyapunov方程
[0069] A中 〇+P〇A=-護(hù)D (14)
[0070] 令巧二[65,61，《3，古。4，女6；；，女(?6]，其中6摩示6階單位矩陣16的第^'列，則計(jì)算
[0071]
[007引其中Ai，As和A3均為與《。無(wú)關(guān)的常數(shù)矩陣，表示如下
[0073]
[0074] 假設(shè)010203聲0,則在D= 0時(shí)，代數(shù)Lyapunov方程（14)的所有解表示為
[00巧]
[007引其中？2=diag{302丫2, 丫2)，丫2為任意常數(shù)，
[0077]
[0078] 其中丫 1，丫 3和丫 13是任何標(biāo)量，并使得下式成立
[0079]
[0080] 如果選擇丫 13= 0和K二^朽，得正定矩陣
[0081]
[0082] 其它步驟及參數(shù)與【具體實(shí)施方式】一或二相同。
【具體實(shí)施方式】 [0083] 四；本實(shí)施方式與一至=之一不同的是：步驟=中控 制受限情形下的線性反饋控制律的具體設(shè)計(jì)過程：
[0084] 步驟3. 1 ;定義飽和函數(shù)；
[0085] sat。（?）是向量值飽和函數(shù)，其飽和度向量表示為
[008引 曰=[a。曰 2,…，曰JT,曰d〉0,dGI[l，r] = {1，2,…，r}，
[0087]即

[00川步驟3. 2 ;對(duì)于任何n〉0和5〉0,定義周期矩陣Qs(t)=護(hù)D+5p0B(t)BT(t)P^Ac(t)=A-nB(t)BT(t)Po，其中BT(t)是輸入矩陣B(t)的轉(zhuǎn)置，驗(yàn)證（Ac(t)，Q6(t))是可檢 測(cè)的；
[0092] 通過反證法驗(yàn)證；假設(shè)（A。(t)，Qs(t))不可測(cè)，則存在一個(gè)特征指數(shù) PGE(Ae(t))使得（15)式成立
[0093]
(15)
[0094] 其中E(Ae(t))是Ae(t)的特征指數(shù)的集合，t。表示初始時(shí)刻，Ut)是WT為周期 的向量，稱之為與P相關(guān)的右廣義特征向量，且滿足
[0101]令1。似=PcUt)聲0,從恒等式（18)和式（19)可得下式
[010引上式蘊(yùn)含P是-AT的一個(gè)特征指數(shù)，C0(t)是與P相關(guān)的右廣義特征向量，即[010引 PGE(-AT) (21)
[0107]再次利用恒等式（18)和式（19)，可導(dǎo)出下式
[010引
[0109]其中|H(t)表示Ut)的共輛轉(zhuǎn)置，Re(P)表示P的實(shí)數(shù)部分；上面的等式可 改寫成下式
[0110]
[0111] 由此可知，對(duì)于任何t>t。，有下式成立
[0112]
[011引如果Re(P)〉0,則有
[0114]limt一mCH(t)P〇C(t) = - ， (22)
[0115] 又由于P。正定并且C(t)是WT為周期的，所W(22)是不可能成立的；類似的， 如果Re(P)<0,則|8(1)口。| (t) =〇°，該也是不可能的；因此必有（23)式成立
[0116] Re (P ) = 0. (23)
[0117] 注意到從（17)式可得BT(tU〇(t) =0;通過式（20)，（21)和（23)，可W推出 (-AT，BT(t))是不可檢測(cè)的，即（A，B(t))是不可鎮(zhèn)定的；該與（A，B(t))是可控的矛盾；所W (Ac(t)，Qs(t))是可檢測(cè)的；
[0118] 步驟3.3;令5〉〇是任意常數(shù)，驗(yàn)證周期矩陣Ae(t) =4-118(*)8了(*)口。的漸近穩(wěn) 定性；將代數(shù)Lyapunov方程（14)改寫成下式
[0119]
[0120] 因?yàn)椋ˋ-riB(t)BT(t)Pa，Q2。似）是可檢測(cè)的并且P。正定，由Lyapunov矩陣方程理 論可知A。(t) =A-nB(t)RT(t)P。是漸近穩(wěn)定的；
[012。 步驟3. 4 ;設(shè)計(jì)控制受限小衛(wèi)星S軸磁力矩姿態(tài)控制系統(tǒng)的狀態(tài)反饋磁力矩姿態(tài) 鎮(zhèn)定控制器
[0122] m(〇= -sat,(//i^'mjSDl
[0123] 其中n〉〇是任意常數(shù)；驗(yàn)證如下閉環(huán)系統(tǒng)
[0124] ^(0 =心(0 -公(OsaU,護(hù)(〇i:,義(0) 口4)
[0125] 的全局漸近穩(wěn)定性；令5〉〇是任意常數(shù)，定義周期矩陣
[012引 QS(t)=護(hù)D+SP0B(t)BT(t)P0
[0127] 則對(duì)于任何n〉0和5〉〇,由步驟3.3可知周期矩陣Ac(t) =A-nB(t)BT(t)P。是 漸近穩(wěn)定的，從而如下周期Lyapunov微分方程
[012 引 /，(0 + 4.' (/)/，(0 +/，(/H(/) = -4
[0129] 具有唯一周期正定解P(t);選擇式（25)所示顯式的Lyapunov函數(shù)
[0130] (25)
[013"其中巧,,|。=min陽(yáng)、.，巧,，巧：！，
[0139] 其中入。"巧似}，Ami。巧(t)}分別表示周期矩陣P(t)的最大特征值和最小特征 值；V(x(t))是正定的；對(duì)Lyapunov函數(shù)（25)沿閉環(huán)軌跡求導(dǎo)有：
[0140]
[0141] 根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，閉環(huán)系統(tǒng)（24)是全局漸近穩(wěn)定的；
[0142] 步驟3. 5 ;設(shè)計(jì)控制受限小衛(wèi)星基于觀測(cè)器的磁力矩姿態(tài)鎮(zhèn)定控制器
[0143]
[0144] 其中矩陣L使得A+LC是化rwitz的，n〉〇是任意常數(shù)，C(t)是觀測(cè)器的狀態(tài)； 令e(t) =X(t)-C(t)，驗(yàn)證如下閉環(huán)系統(tǒng)
[0145]
(26)
[0146] 的全局漸近穩(wěn)定性；選擇式（27)所示顯式的正定Lyapunov函數(shù)
[0147]
[014引其中口，￥1^(*))，￥2^(*))的表達(dá)式同步驟3.4;
[0巧引Pe(t)是如下周其月Lyapunov微分方程
[0153] (^ + U + !(、)'/;,(/) + (OU + ZC) =
[0154] 的唯一周期正定解；對(duì)Lyapunov函數(shù)（27)沿閉環(huán)軌跡求導(dǎo)有；
[0155]
[0156] 根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，閉環(huán)系統(tǒng)（26)是全局漸近穩(wěn)定的。
[0157] 其它步驟及參數(shù)與【具體實(shí)施方式】一至S之一相同。
[015引具體實(shí)施例
[0159] 直接針對(duì)原始非線性方程（1)和（2)進(jìn)行仿真。假設(shè)某型衛(wèi)星軌道高度600km，傾 斜角是90deg，相關(guān)技術(shù)參數(shù)如下表；
[0160]
[01設(shè)定01= 0. 4023,02= 0. 2200 和03= 0. 2000,選擇P1〉0 和P3X)，則按照本發(fā) 明的步驟得到狀態(tài)反饋控制器中F(t)如下
[0162]
[0163] 其中丫 3〉〇和丫 2〉〇。為了仿真需要，在F(t)中選定}^3=托=W:;在每個(gè)軸上選 定大初始姿態(tài)誤差大約為30deg，并且初始姿態(tài)速率誤差范圍從-0. 03deg/s到0. 03deg/ S，"。=0. 0630deg/s= 0.OOllrad/s;在S軸上最大偶極子矩為 0. 03A.m2,選定q= 3. 1623X108,仿真展示了閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于大初始姿態(tài)和速率誤差的響應(yīng)特性；結(jié)果表明閉環(huán) 系統(tǒng)具有相當(dāng)滿意的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)性能；對(duì)于初始條件4 (t。）= 0 (t。）=iD(t。）= 30deg和沁,,）=如=則/,,)=0.03deg/s，圖3-4記錄了狀態(tài)響應(yīng)曲線；由此可見，系統(tǒng)在 8小時(shí)內(nèi)成功收斂到平衡點(diǎn)；圖5記錄了控制信號(hào)變化曲線，可W看出在大部分時(shí)間中執(zhí)行 器都是飽和的；該說明了閉環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)出本質(zhì)的非線性特征；由于用于控制器設(shè)計(jì)和仿真 的模型是明顯不同的，所W仿真的結(jié)果還說明了本發(fā)明所提出的控制方案具有較好的魯椿 性。
[0164] 出于比較的目的，圖中也給出漸近周期線性二次調(diào)節(jié)方法（APLQR):設(shè)計(jì)飽和線 性狀態(tài)反饋控制《 = -5如。(巧,灰|公|(〇/-;.#(〇).其中常數(shù)a"〉〇，Pe是如下方程的解
[016引 A中e+PeA-PeSePe= -Q,
[016引其中.、.=普護(hù)W (〇山，對(duì)于R〇〉0,有R = R(〇= R。/ e 2,當(dāng)e充分小時(shí) APLQR控制器也可用于鎮(zhèn)定小衛(wèi)星S軸磁力矩姿態(tài)控制系統(tǒng)；為了給出一個(gè)相對(duì)較好的控 制性能，選擇如下合適的參數(shù)；Q=diag{0. 1，1，1，0. 1，0. 1，1，0. 1}，R= 7. 281X10哺曰。 =491 ;在圖3-4中，記錄了在相同初始條件下的狀態(tài)響應(yīng)曲線，可W觀察到，系統(tǒng)的狀態(tài)需 要16個(gè)小時(shí)W上的時(shí)間從初始條件轉(zhuǎn)移到平衡點(diǎn)。該個(gè)調(diào)節(jié)時(shí)間大約是本發(fā)明所提出的 控制器調(diào)節(jié)時(shí)間的兩倍。
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 基于代數(shù)Lyapunov方程的控制受限小衛(wèi)星三軸磁力矩姿態(tài)控制方法，其特征在于 它按以下步驟實(shí)現(xiàn)： 步驟一：建立控制受限小衛(wèi)星三軸磁力矩姿態(tài)控制的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)與姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型， 并得到狀態(tài)空間方程； 步驟二：求解代數(shù)Lyapunov方程的顯式解Ptl: ATP〇+P〇A = -DtD 其中A是小衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣，D是任意維數(shù)的矩陣，由于系統(tǒng)矩陣A是臨 界穩(wěn)定或是Lyapunov穩(wěn)定的，保證上述代數(shù)Lyapunov方程存在正定解Ptl; 步驟三：通過代數(shù)Lyapunov方程的正定解Pci，設(shè)計(jì)顯式的控制受限情形下的線性反饋 控制律，即設(shè)計(jì)控制受限小衛(wèi)星三軸磁力矩姿態(tài)控制系統(tǒng)的狀態(tài)反饋磁力矩姿態(tài)鎮(zhèn)定控制 器和基于觀測(cè)器的磁力矩姿態(tài)鎮(zhèn)定控制器；通過構(gòu)造顯式的Lyapunov函數(shù)，保證閉環(huán)系統(tǒng) 的全局漸近穩(wěn)定性。2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于代數(shù)Lyapunov方程的控制受限小衛(wèi)星三軸磁力矩姿態(tài) 控制方法，其特征在于步驟一具體為： (1) 坐標(biāo)系定義 引入地心赤道慣性坐標(biāo)系X-Y-Z記作Fi,其中X軸指向春分點(diǎn)，X-Y面為地球赤道面，Z 軸沿地軸指向北極； Fb記為衛(wèi)星本體坐標(biāo)系，F(xiàn)。為軌道坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)位于衛(wèi)星的質(zhì)心，X。沿著軌道方 向，y。垂直于軌道面，z。是最低點(diǎn)方向； 在軌道坐標(biāo)系F。下描述衛(wèi)星的姿態(tài)，如果衛(wèi)星姿態(tài)