本發(fā)明屬于數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域，涉及一種全同態(tài)加密方法，具體涉及一種單密文同態(tài)計(jì)算的全同態(tài)加密方法，可用于云計(jì)算環(huán)境下的數(shù)據(jù)安全外包計(jì)算。

背景技術(shù)：

隨著新型互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的不斷發(fā)展，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)爆發(fā)式增長(zhǎng)的態(tài)勢(shì)，海量數(shù)據(jù)往往以委托計(jì)算服務(wù)的模式保存在云服務(wù)器中。存儲(chǔ)在云端的一些數(shù)據(jù)往往含有隱私信息，或者云端的保密機(jī)制不完善，容易泄露一部分?jǐn)?shù)據(jù)信息。因此，需要對(duì)隱私數(shù)據(jù)進(jìn)行加密保護(hù)，然而，一旦對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加密處理后，原始數(shù)據(jù)的原有的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就遭到破壞了，因此，就失去了信息處理的功能。為此，需要一種密碼技術(shù)，既能對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加密，又能保證可以對(duì)加密后的數(shù)據(jù)進(jìn)行信息處理。而全同態(tài)加密算法不僅僅可以實(shí)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)的隱私保護(hù)功能，同時(shí)又支持對(duì)密文數(shù)據(jù)進(jìn)行任意次的同態(tài)加法和同態(tài)乘法計(jì)算，為云計(jì)算和大數(shù)據(jù)環(huán)境提供了通用的安全方案。

全同態(tài)加密問題在1978年就由rivest等人提出，成為密碼學(xué)中一個(gè)開放難題。最早提出的公鑰密碼rsa和elgamal加密算法都只具有乘法同態(tài)性質(zhì)，應(yīng)用最廣泛的paillier加密系統(tǒng)滿足加法同態(tài)性。之后出現(xiàn)了淺同態(tài)加密方案，2005年提出的bgn密碼支持一次乘法同態(tài)和任意次加法同態(tài)。這些方案能夠解決的應(yīng)用問題有限，很難將其拓展應(yīng)用到更廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景。

2009年gentry構(gòu)造了首個(gè)全同態(tài)加密方案，實(shí)現(xiàn)了歷史性的跨越。和淺同態(tài)加密方案相比，全同態(tài)加密方法不受運(yùn)算次數(shù)的限制，即支持密文任意次的同態(tài)加法運(yùn)算和同態(tài)乘法運(yùn)算。然而，現(xiàn)有可證明安全的全同態(tài)加密方案在密文中均引入了噪音，因此，在密文同態(tài)計(jì)算階段，隨著電路層數(shù)增加，同態(tài)計(jì)算的密文中的噪音也會(huì)逐漸積累，而當(dāng)噪音超過(guò)門限值時(shí)便需要對(duì)密文進(jìn)行刷新，導(dǎo)致整個(gè)加密方法效率低。現(xiàn)如今，全同態(tài)加密方案主要應(yīng)用于云計(jì)算環(huán)境下的數(shù)據(jù)安全外包計(jì)算，學(xué)術(shù)界對(duì)此做了大量的研究，例如，2016年yonggewang在“privacypreservingcomputationincloud加密usingnoise-freefullyhomomorphicencryption(fhe)schemes”(europeansymposiumonresearchincomputersecurity2016)公開了一種基于八元數(shù)的全同態(tài)加密方法，應(yīng)用于數(shù)據(jù)安全外包計(jì)算，該方法是：用戶將模數(shù)q、一個(gè)8維同性子空間、隨機(jī)數(shù)φ和8×8的可逆矩陣作為密鑰；用隨機(jī)數(shù)φ對(duì)明文處理，得到相應(yīng)的明文矩陣，使用8×8的可逆矩陣及其逆矩陣，對(duì)處理后的明文矩陣進(jìn)行加密，得到密文矩陣。由于在加解密階段及同態(tài)計(jì)算階段使用了8×8的可逆矩陣，該方法使得密文存儲(chǔ)空間大，計(jì)算繁瑣，導(dǎo)致全同態(tài)加密的效率低。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明目的在于克服上述現(xiàn)有技術(shù)存在的缺陷，提出了一種單密文同態(tài)計(jì)算的全同態(tài)加密方法，旨在實(shí)現(xiàn)單密文同態(tài)計(jì)算的全同態(tài)加密，并提高全同態(tài)加密的效率。

為實(shí)現(xiàn)上述技術(shù)目的，本發(fā)明采取的技術(shù)方案包括如下步驟：

(1)用戶設(shè)置參數(shù)：

用戶根據(jù)安全參數(shù)隨機(jī)生成兩個(gè)k比特長(zhǎng)的大素?cái)?shù)p和q，滿足p-1和q-1均與3互素并定義明文空間m^*和密文空間c^*，其中，k≥1024；

(2)用戶獲取加密公鑰pk和解密私鑰sk：

(2.1)用戶計(jì)算rsa模數(shù)n，n＝pq，并令加密公鑰pk＝n；

(2.2)用戶計(jì)算rsa模數(shù)n的歐拉函數(shù)值

(2.3)用戶采用擴(kuò)展歐幾里得算法計(jì)算3在下的逆元d，滿足同余式并令解密私鑰sk＝d；

(2.4)用戶定義明文空間為

(3)用戶對(duì)明文m進(jìn)行加密：

(3.1)用戶根據(jù)需求選擇明文并在中均勻且隨機(jī)地選取整數(shù)a和整數(shù)b；

(3.2)用戶利用加密公鑰pk，計(jì)算上的整數(shù)u和整數(shù)v：

u≡a³(modn)，

v≡b³(modn)；

(3.3)用戶在中均勻且隨機(jī)地選取整數(shù)aij，其中，i,j＝0,1,2，并由這些整數(shù)構(gòu)造二元多項(xiàng)式f(x,y)：

(3.4)用戶利用二元多項(xiàng)式f(x,y)，計(jì)算根為(a,b)的二元多項(xiàng)式f(x,y)：

f(x,y)≡f(x,y)-f(a,b)(modn)；

(3.5)用戶利用二元多項(xiàng)式f(x,y)，計(jì)算密文二元多項(xiàng)式c(x,y)：

c(x,y)≡f(x,y)+m(modn)；

(3.6)用戶由上的整數(shù)u、v和二元多項(xiàng)式c(x,y)，得到三元組c＝(u,v,c(x,y))；并將其作為明文m加密之后的密文；

(4)用戶對(duì)密文c進(jìn)行解密，實(shí)現(xiàn)步驟為：

(4.1)用戶由密文c＝(u,v,c(x,y))中的整數(shù)u、整數(shù)v和解密私鑰sk，計(jì)算整數(shù)a和整數(shù)b；

(4.2)用戶由整數(shù)a、整數(shù)b與密文二元多項(xiàng)式c(x,y)，計(jì)算明文m：

m≡c(a,b)(modn)；

(5)云服務(wù)器對(duì)密文進(jìn)行同態(tài)運(yùn)算：云服務(wù)器使用加密公鑰pk，對(duì)密文空間c^*中任意一個(gè)密文進(jìn)行同態(tài)加法運(yùn)算和同態(tài)乘法運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)步驟為：

(5.1)云服務(wù)器用加密公鑰pk，對(duì)密文c＝(u,v,c(x,y))進(jìn)行同態(tài)加法計(jì)算，得到屬于密文空間c^*的加法同態(tài)密文c+＝(u,v,2c(x,y)(modn))；

(5.2)云服務(wù)器根據(jù)整數(shù)u和v，構(gòu)造二元截?cái)喽囗?xiàng)式環(huán)環(huán)中的元素為關(guān)于變量x、y次數(shù)均不超過(guò)2、系數(shù)屬于含有9項(xiàng)系數(shù)的二元多項(xiàng)式；

(5.3)云服務(wù)器用加密公鑰pk，對(duì)密文c＝(u,v,c(x,y))進(jìn)行同態(tài)乘法計(jì)算，并使用二元截?cái)喽囗?xiàng)式環(huán)對(duì)密文同態(tài)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行取模，得到屬于密文空間c^*的同態(tài)乘法密文c×＝(u,v,c²(x,y)(modn,x³-u,y³-v))；

(6)用戶對(duì)同態(tài)密文進(jìn)行解密：

用戶使用解密私鑰sk對(duì)運(yùn)算后的密文進(jìn)行解密，得到相應(yīng)明文進(jìn)行相同計(jì)算的結(jié)果，實(shí)現(xiàn)步驟為：

(6.1)用戶使用解密私鑰sk＝d和rsa模數(shù)n，對(duì)加法同態(tài)密文c+＝(u,v,2c(x,y)(modn))進(jìn)行解密，得到對(duì)應(yīng)的明文m+，m+≡2m≡m+m(modn)，解密過(guò)程為：

用戶用公式a≡u(píng)^d(modn)、b≡v^d(modn)計(jì)算，得到整數(shù)a和整數(shù)b，將整數(shù)a和整數(shù)b代入2c(x,y)≡2f(x,y)+2m(modn)中，得到2c(a,b)≡2m(modn)；

(6.2)用戶使用解密私鑰sk＝d和rsa模數(shù)n，對(duì)乘法同態(tài)計(jì)算之后獲得的密文c×＝(u,v,c²(x,y)(modn,x³-u,y³-v))進(jìn)行解密，得到與同態(tài)計(jì)算密文相對(duì)應(yīng)的明文m×，m×≡m²≡mm(modn)解密過(guò)程為：

用戶用公式a≡u(píng)^d(modn)、b≡v^d(modn)計(jì)算，得到整數(shù)a和b并代入c²(x,y)≡f²(x,y)+2mf(x,y)+m²(modn,x³-u,y³-v)中，得到c²(a,b)≡m²(modn)。

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比，具有以下優(yōu)點(diǎn)：

1、本發(fā)明由于在密文同態(tài)計(jì)算過(guò)程中，云服務(wù)器使用加密公鑰對(duì)密文空間c^*中任意一個(gè)密文進(jìn)行同態(tài)加法運(yùn)算和同態(tài)乘法運(yùn)算，計(jì)算得到的結(jié)果仍是單個(gè)同態(tài)密文，實(shí)現(xiàn)了全同態(tài)加密單密文的同態(tài)計(jì)算。

2、本發(fā)明在密文同態(tài)乘法運(yùn)算中，采用二元截?cái)喽囗?xiàng)式環(huán)對(duì)密文同態(tài)乘法的計(jì)算結(jié)果取模，使二元多項(xiàng)式在乘法計(jì)算過(guò)程中的項(xiàng)數(shù)為常數(shù)，控制了密文的增長(zhǎng)，提高了全同態(tài)加密的效率。

附圖說(shuō)明

圖1為本發(fā)明的實(shí)現(xiàn)流程圖。

具體實(shí)施方式

以下結(jié)合附圖和具體實(shí)施例，對(duì)本發(fā)明進(jìn)行進(jìn)一步詳細(xì)說(shuō)明。

參照?qǐng)D1，一種單密文同態(tài)計(jì)算的全同態(tài)加密方法，包括如下步驟：

步驟1)用戶設(shè)置參數(shù)：

用戶根據(jù)安全參數(shù)隨機(jī)生成兩個(gè)k比特長(zhǎng)的大素?cái)?shù)p和q，滿足p-1和q-1均與3互素，并定義明文空間m^*和密文空間c^*，其中，k＝1024；

步驟2)用戶獲取加密公鑰pk和解密私鑰sk：

步驟2.1)用戶計(jì)算rsa模數(shù)n，n＝pq，并令加密公鑰pk＝n；

步驟2.2)用戶計(jì)算rsa模數(shù)n的歐拉函數(shù)值

步驟2.3)用戶采用擴(kuò)展歐幾里得算法計(jì)算3在下的逆元d，滿足同余式并令解密私鑰sk＝d；

步驟2.4)用戶定義明文空間為

步驟3)用戶對(duì)明文m進(jìn)行加密：

步驟3.1)用戶根據(jù)需求選擇明文并在中均勻且隨機(jī)地選取整數(shù)a和整數(shù)b；

步驟3.2)用戶利用加密公鑰pk，計(jì)算上的整數(shù)u和整數(shù)v：

u≡a³(modn)，

v≡b³(modn)；

步驟3.3)用戶在中均勻且隨機(jī)地選取整數(shù)aij，其中，i,j＝0,1,2，并由這些整數(shù)構(gòu)造二元多項(xiàng)式f(x,y)：

步驟3.4)用戶利用二元多項(xiàng)式f(x,y)，計(jì)算含有根(a,b)的二元多項(xiàng)式f(x,y)：

f(x,y)≡f(x,y)-f(a,b)(modn)；

步驟3.5)用戶利用二元多項(xiàng)式f(x,y)，計(jì)算密文二元多項(xiàng)式c(x,y)：

c(x,y)≡f(x,y)+m(modn)；

步驟3.6)用戶由上的兩個(gè)整數(shù)u、整數(shù)v和二元多項(xiàng)式c(x,y)得到三元組c＝(u,v,c(x,y))；并將其作為明文m加密之后的密文；

步驟4)用戶對(duì)密文c進(jìn)行解密，實(shí)現(xiàn)步驟為：

步驟4.1)用戶由密文c＝(u,v,c(x,y))中的整數(shù)u、整數(shù)v和解密私鑰sk，計(jì)算整數(shù)a和整數(shù)b：

步驟4.1.1)用戶由密文c中的整數(shù)u和解密私鑰sk，計(jì)算整數(shù)a：

由u≡a³(modn)，得u^d≡a^3d(modn)，又由得到n是整數(shù)，則得到同余式又由歐拉定理得故u^d≡a(modn)，因此a≡u(píng)^d(modn)；

步驟4.1.2)用戶由密文c中的整數(shù)v和解密私鑰sk，計(jì)算整數(shù)b：

計(jì)算過(guò)程與步驟4.1.1)相同，此過(guò)程利用v≡b³(modn)，得到v^d≡b^3d(modn)，最終得到b≡v^d(modn)；

步驟4.2)用戶由整數(shù)a、整數(shù)b與二元多項(xiàng)式c(x,y)，計(jì)算明文m：

用戶將整數(shù)a和整數(shù)b代入二元多項(xiàng)式c(x,y)中，計(jì)算c(a,b)(modn)：

c(a,b)≡f(a,b)+m(modn)；

本發(fā)明能夠正確解密的原理在于：在對(duì)明文加密的過(guò)程中，用戶構(gòu)造了一個(gè)含有根(a,b)的二元多項(xiàng)式f(x,y)，使得此二元多項(xiàng)式滿足f(a,b)≡0(modn)，在對(duì)密文解密時(shí)，用戶將根(a,b)代入密文二元多項(xiàng)式c(x,y)中，最終，得到明文m，m≡c(a,b)≡f(a,b)+m≡m(modn)；

步驟5)云服務(wù)器對(duì)密文進(jìn)行同態(tài)運(yùn)算：云服務(wù)器使用加密公鑰pk，對(duì)密文空間c^*中任意一個(gè)密文進(jìn)行同態(tài)加法運(yùn)算和同態(tài)乘法運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)步驟為：

步驟5.1)云服務(wù)器用加密公鑰pk，對(duì)密文c＝(u,v,c(x,y))進(jìn)行同態(tài)加法計(jì)算，得到屬于密文空間c^*的加法同態(tài)密文c+＝(u,v,2c(x,y)(modn))；

在對(duì)密文進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，只需將密文c＝(u,v,c(x,y))中的密文二元多項(xiàng)式c(x,y)進(jìn)行加法計(jì)算，即c(x,y)+c(x,y)≡2c(x,y)(modn)，得到加法同態(tài)密文c+＝(u,v,2c(x,y)(modn))，因此，對(duì)于密文空間c^*中的任意一個(gè)密文進(jìn)行同態(tài)加法計(jì)算，得到屬于密文空間c^*的一個(gè)密文；

步驟5.2)云服務(wù)器根據(jù)整數(shù)u和整數(shù)v，構(gòu)造二元截?cái)喽囗?xiàng)式環(huán)環(huán)中的元素為關(guān)于變量x、y次數(shù)不超過(guò)2、系數(shù)屬于含有9項(xiàng)系數(shù)的二元多項(xiàng)式；

步驟5.3)云服務(wù)器用加密公鑰pk，對(duì)密文c＝(u,v,c(x,y))進(jìn)行同態(tài)乘法計(jì)算，并使用二元截?cái)喽囗?xiàng)式環(huán)對(duì)密文同態(tài)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行取模，得到屬于密文空間c^*的同態(tài)乘法密文c×＝(u,v,c²(x,y)(modn,x³-u,y³-v))；

在對(duì)密文進(jìn)行乘法計(jì)算時(shí)，只需將密文c＝(u,v,c(x,y))中的密文二元多項(xiàng)式c(x,y)進(jìn)行乘法計(jì)算，即c(x,y)c(x,y)≡c²(x,y)(modn,x³-u,y³-v)，得到乘法同態(tài)密文c×＝(u,v,c²(x,y)(modn,x³-u,y³-v))，因此，對(duì)于密文空間c^*中的任意一個(gè)密文進(jìn)行同態(tài)乘法計(jì)算，得到仍然屬于密文空間c^*的一個(gè)密文；

云服務(wù)器在對(duì)密文c＝(u,v,c(x,y))進(jìn)行同態(tài)乘法計(jì)算時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)關(guān)于變量x,y的次數(shù)均不超過(guò)4、最多含有25項(xiàng)的二元多項(xiàng)式c²(x,y)，因此，在同態(tài)乘法計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)了密文擴(kuò)張的現(xiàn)象，云服務(wù)器使用截?cái)喽囗?xiàng)式可以把密文長(zhǎng)度控制在常數(shù)級(jí)，截?cái)噙^(guò)程如下：

在具體計(jì)算二元多項(xiàng)式c²(x,y)時(shí)，對(duì)同態(tài)乘法計(jì)算的結(jié)果模上多項(xiàng)式x³-u和y³-v，也就是說(shuō)，在計(jì)算的結(jié)果中碰到x⁴替換成ux，y⁴替換成vy，x³替換成u，y³替換成v，最終得到一個(gè)二元多項(xiàng)式：

c1(x,y)≡c²(x,y)≡(f(x,y)+m)²≡f²(x,y)+2mf(x,y)+m²(modn,x³-u,y³-v)，且f1(x,y)同樣是一個(gè)關(guān)于x,y次數(shù)均不超過(guò)2、最多含有9項(xiàng)的二元多項(xiàng)式；

每一次同態(tài)乘法計(jì)算時(shí)都使用截?cái)喽囗?xiàng)式，使得二元多項(xiàng)式在乘法計(jì)算過(guò)程中的項(xiàng)數(shù)保持為常數(shù)級(jí)，從而控制了密文的增長(zhǎng)；

步驟6)用戶對(duì)同態(tài)密文進(jìn)行解密：

用戶使用解密私鑰sk對(duì)運(yùn)算后的密文進(jìn)行解密，得到相應(yīng)明文進(jìn)行相同計(jì)算的結(jié)果，實(shí)現(xiàn)步驟為：

步驟6.1)用戶使用解密私鑰sk和rsa模數(shù)n，對(duì)加法同態(tài)密文c+＝(u,v,2c(x,y)(modn))進(jìn)行解密，得到對(duì)應(yīng)的明文m+，m+≡2m≡m+m(modn)，在解密過(guò)程中，只需要對(duì)加法同態(tài)密文c+＝(u,v,2c(x,y)(modn))中的二元多項(xiàng)式2c(x,y)進(jìn)行運(yùn)算：

步驟6.1.1)用戶由加法同態(tài)密文c+＝(u,v,2c(x,y)(modn))中的整數(shù)u和解密私鑰sk，利用a≡u(píng)^d(modn)計(jì)算，得到整數(shù)a；

用戶由加法同態(tài)密文c+＝(u,v,2c(x,y)(modn))中的整數(shù)v和解密私鑰sk，利用b≡v^d(modn)計(jì)算，得到整數(shù)b；

步驟6.1.2)用戶把得到的整數(shù)a和整數(shù)b代入二元多項(xiàng)式2c(x,y)中，即x＝a，y＝b，由于c(x,y)≡f(x,y)+m(modn)，得到2c(x,y)≡2f(x,y)+2m(modn)，把整數(shù)a和整數(shù)b代入二元多項(xiàng)式f(x,y)后，得到f(a,b)＝0，進(jìn)而得到2c(a,b)≡2m(modn)，即對(duì)加法同態(tài)密文c+＝(u,v,2c(x,y)(modn))解密后得到明文m+＝2m，明文m+是由單個(gè)明文m做加法計(jì)算得到的，即2m＝m+m，因此，對(duì)任意一個(gè)密文同態(tài)加法計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行解密，得到與相應(yīng)明文進(jìn)行加法運(yùn)算的結(jié)果；

步驟6.2)用戶使用解密私鑰sk＝d和rsa模數(shù)n，對(duì)乘法同態(tài)密文c×＝(u,v,c1(x,y))＝(u,v,c²(x,y)(modn,x³-u,y³-v))進(jìn)行解密，得到相應(yīng)的明文m×，m×≡mm(modn)，在解密過(guò)程中，只需要對(duì)乘法同態(tài)密文(u,v,c1(x,y))中的二元多項(xiàng)式c1(x,y)進(jìn)行運(yùn)算：

步驟6.2.1)用戶由乘法同態(tài)密文c×＝(u,v,c1(x,y))(modn,x³-u,y³-v)中的整數(shù)u和解密私鑰sk，利用a≡u(píng)^d(modn)計(jì)算，得到整數(shù)a；

用戶由乘法同態(tài)密文c×＝(u,v,c1(x,y)(modn,x³-u,y³-v))中的整數(shù)v和解密私鑰sk，利用b≡v^d(modn)計(jì)算，得到整數(shù)b；

步驟6.2.2)用戶把得到的整數(shù)a和整數(shù)b代入二元多項(xiàng)式c1(x,y)中，即令x＝a，y＝b，由于c1(x,y)≡c²(x,y)≡f²(x,y)+2mf(x,y)+m²(modn,x³-u,y³-v)，于是存在上的a(x,y)和b(x,y)使得下面的同余式成立：

c1(x,y)+a(x,y)(x³-u)+b(x,y)(y³-v)≡f²(x,y)+2mf(x,y)+m²(modn)

由于f(a,b)≡0(modn)，a³-u≡0(modn)，b³-v≡0(modn)，進(jìn)而得到c1(a,b)≡m²(modn)，即對(duì)乘法同態(tài)密文c×＝(u,v,c1(x,y)(modn,x³-u,y³-v))解密后得到明文m×＝mm，明文m×是由單個(gè)明文m做乘法計(jì)算得到的，m²＝mm，因此，對(duì)任意一個(gè)密文同態(tài)乘法計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行解密，得到與相應(yīng)明文進(jìn)行乘法計(jì)算的結(jié)果。

在全同態(tài)計(jì)算過(guò)程中，密文c＝(u,v,c(x,y))可以是由經(jīng)過(guò)加密得到的密文，也可是由經(jīng)過(guò)同態(tài)加法計(jì)算得到的密文，滿足對(duì)單個(gè)密文做任意次的同態(tài)加法計(jì)算和同態(tài)乘法計(jì)算，因此，本發(fā)明是一種單密文計(jì)算的全同態(tài)加密方法。