專利名稱：一種基于穩(wěn)定子碼的量子低密度奇偶校驗(yàn)碼的構(gòu)造方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及量子低密度奇偶校驗(yàn)碼的構(gòu)造方法，研究內(nèi)容屬于通信信號處理領(lǐng)域。
背景技術(shù)：
量子通信和量子計(jì)算理論為信息技術(shù)的發(fā)展提供一個全新方向。為了可靠地實(shí)現(xiàn)量子信 息的傳輸和處理，量子態(tài)經(jīng)過一定的時空距離后必須保持不變，或者發(fā)生的錯誤能夠正確恢 復(fù)。但是，由于量子系統(tǒng)不可避免地與外界環(huán)境進(jìn)行相互作用，這種作用引起量子態(tài)與環(huán)境 態(tài)糾纏，從而破壞了量子態(tài)信息。不僅如此，當(dāng)執(zhí)行量子計(jì)算時，很難保證量子計(jì)算的每一 步都不產(chǎn)生錯誤和誤差。在經(jīng)過多步計(jì)算后，極小的不精確性將被放大而導(dǎo)致計(jì)算失敗，使 得量子算法難以實(shí)施。借鑒經(jīng)典糾錯方法，量子糾錯編碼(quantum error correcting codes) 技術(shù)成為克服這一困難的有效手段。
受到經(jīng)典糾錯編碼技術(shù)的啟發(fā)，Shor在1994年提出了一種用9量子位編1量子比特糾 1量子比特的重復(fù)碼。盡管這種編碼方案簡單、效率不高，但是Shor的方法促進(jìn)了量子糾 錯編碼理論的產(chǎn)生與發(fā)展。通過借鑒經(jīng)典糾錯編碼理論，人們提出了一系列量子糾錯編碼方 案，并且逐漸形成了量子糾錯編碼的理論體系，如穩(wěn)定子碼。從原理上講，量子糾錯編碼是 結(jié)合了量子力學(xué)原理的經(jīng)典糾錯編碼在希爾伯特(Hilbert)空間上的擴(kuò)展。仿照經(jīng)典糾錯 編碼技術(shù)，獲得與此相應(yīng)的量子糾錯編碼技術(shù)是研究量子糾錯編碼技術(shù)的常用方法。
經(jīng)典低密度奇偶校驗(yàn)碼(low density parity check, LDPC)是一類可以用稀疏矩陣或 二分圖定義的線性分組糾錯碼,它的優(yōu)異性能已引起學(xué)術(shù)界和產(chǎn)業(yè)界的高度重視。業(yè)己證明， 經(jīng)典低密度奇偶校驗(yàn)碼具有逼近香農(nóng)(Shannon)限的性能，將經(jīng)典低密度奇偶校驗(yàn)碼的設(shè) 計(jì)思路推廣到量子信息領(lǐng)域，依據(jù)量子穩(wěn)定子碼的原理，獲得基于穩(wěn)定子碼的量子低密度奇 偶校驗(yàn)碼(quantum low density parity check codes,量子LDPC)是完全可能的。
同時，量子LDPC碼與其它量子糾錯碼相比，具有以下特性(l)它的經(jīng)典對應(yīng)碼是目前 最好的糾錯碼，依賴于稀疏圖特性；(2)量子LDPC碼使得與量子糾錯過程相互作用的量子位 數(shù)保持最少，每個量子比特只與有限量子位作用；(3)長和碼率選擇具有巨大的靈活性。因 此，量子LDPC碼構(gòu)造方法的獲取具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。
發(fā)明內(nèi)容
技術(shù)問題本發(fā)明的目的在于提供一種基于穩(wěn)定子碼的量子低密度奇偶校驗(yàn)碼的構(gòu)造 方法，通過數(shù)值分析，驗(yàn)證此方法的有效性，并分析由這種構(gòu)造方法獲得的量子LDPC碼的 性能。由于量子LDPC碼的校驗(yàn)矩陣是稀疏的，只有少量量子比特參與Pauli運(yùn)算，因此可 有效地降低符號錯誤的傳播，有望成為量子計(jì)算統(tǒng)一的糾錯手段。技術(shù)方案量子穩(wěn)定子碼理論設(shè)S為"量子位Pauli算子群G,,的一個阿貝爾(Abel) 子群。由于S中的元素相互對易，它們在"量子位的Hilbert空間可同時對角化。設(shè)S中所 有元素本征值為+1的共同本征空間為Hs，則當(dāng)l^〉c/Z時，對于任意的M(MES)，存在 M|^〉 = |y〉。則Hs所對應(yīng)的量子碼為穩(wěn)定子碼(Stabilizer code),子群S稱為穩(wěn)定子碼 的穩(wěn)定子，M為S的生成元。穩(wěn)定子碼C(S)能夠用公式表示為
穩(wěn)定子碼也可看作是GF(4)域中基于GF4 = {0,1, ,ct}的碼字，其中 l + ^y + 2=l + 6) + CT = 0。它與Pauli算子I,X，Z,Y之間存在著如下的映射關(guān)系 /o0,%O6J，Zec7，;r<^l 。此外，根據(jù)跡運(yùn)算^0)=義+ ; = 1 + 12，可以計(jì)算出 如果&(^)為0，則與Pauli算子關(guān)聯(lián)的a,b對易；如果&("&為1，則他們反對易。從而得到 基于GF/內(nèi)積的定義為
當(dāng)穩(wěn)定子碼的生成元被表示為一個G仄"的行向量時，所有的生成元將構(gòu)成 一個矩陣M，常稱為穩(wěn)定子碼的奇偶校驗(yàn)矩陣。定義穩(wěn)定子碼的第z'個生成元以及M矩陣 第/行的向量，都由M,所給出。應(yīng)用(2)定義的內(nèi)積，這些行將是正交的。因此對于任意 基于GF (4)的行正交的(n-A:)x"矩陣，都定義著一個"量子位的穩(wěn)定子碼。
根據(jù)以上對穩(wěn)定子碼的介紹及其相關(guān)性質(zhì)的論證，我們可以得到基于穩(wěn)定子碼的量子 LDPC碼，該碼與一般穩(wěn)定子碼的不同之處在于[n,k]穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)矩陣G:[(^ IG」為稀 疏矩陣。
基于穩(wěn)定子碼的量子低密度奇偶校驗(yàn)碼的構(gòu)造方法利用已生成的二元伽羅華域GF(2)上 的稀疏校驗(yàn)矩陣來構(gòu)造四元伽羅華域GF(4)上的穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)矩陣，完成基于穩(wěn)定子碼的 量子經(jīng)典低密度奇偶校驗(yàn)碼LDPC的構(gòu)造；所述的"低密度"是來源于矩陣的稀疏性，即校驗(yàn) 矩陣中只有很少一部分的'T'元素，絕大多數(shù)都是"0";其中經(jīng)典低密度奇偶校驗(yàn)碼LDPC 的定義為("，乂'， A)碼是長為"的碼字，在它的奇偶校驗(yàn)矩陣中，每一行和列中l(wèi)的個數(shù)是固 定的，其中每一列y個l ， 乂2丄每行/t個l， A:>_/;列之間l的重疊數(shù)目小于等于l;
具體構(gòu)造步驟為-
步驟一根據(jù)經(jīng)典低密度奇偶校驗(yàn)碼LDPC的定義，在二元伽羅華域GF(2)域上，其中 域元素僅取0和l,構(gòu)造大小為(W-"xw的稀疏校驗(yàn)矩陣，即n個比特編碼k個碼字，要求 此校驗(yàn)矩陣存在4環(huán)，且相應(yīng)的兩行只包含1個4環(huán)，即非零元重疊位的個數(shù)為2，根據(jù)校 驗(yàn)矩陣的性質(zhì)，該稀疏校驗(yàn)矩陣必為滿秩；
步驟二根據(jù)已生成的校驗(yàn)矩陣，構(gòu)造四元伽羅華域GF(4)上的校驗(yàn)矩陣,其中域元素 取值0,1,W,CT ;主要過程是在已生成的校驗(yàn)矩陣中的"l"元素位置填入四元伽羅華域上的第 一非零元素《 、第二非零元素CT或第三非零元素1;
方法1):在填入第一非零元W，第二非零元素C7或第三非零元素1時，要確保每一 列中的非零元相同，如當(dāng)?shù)谝涣惺状纬霈F(xiàn)"1"時用W填充，則當(dāng)其他行第一列也有"1"出現(xiàn)時，
其中，s= nM、6,e跳x…,"則必須填入W，而不能是CT或1;
方法2):若某兩行不存在非零元的重疊位，則該兩行中的非零元可以任意填寫；若某 兩行中包含1個非零元重疊，則該重疊位填入相同的非零元，以保證相應(yīng)的兩個穩(wěn)定子生成 元對易；若某兩行包含1個4環(huán)，則在該4環(huán)的對角位上填入相同的非零元，而同一條邊上 的"l"應(yīng)選擇為不同的非零元；最后，檢驗(yàn)所有的行向量是否相互獨(dú)立且對易；
步驟三將[n，k]碼的校驗(yàn)矩陣?yán)酶咚瓜シㄞD(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以得到編碼后的相位翻
0001 乂〖0/]，和編碼后的比特翻轉(zhuǎn)？算子
;
轉(zhuǎn)Z算子G，=
步驟四根據(jù)n-k個穩(wěn)定子碼生成元和編碼后的Z, ^算子，代入穩(wěn)定子碼公式，
、"1
<formula>formula see original document page 5</formula>
將可得到每一個編碼后的量子態(tài)狀態(tài)lq…q、又稱為邏輯態(tài)的表達(dá)形式，所有邏輯
態(tài)將張成量子碼空間，因此常將邏輯態(tài)稱為量子碼，即通過上述步驟可得到量子碼字；其中，
vw;是量子校驗(yàn)矩陣的每一行矢量，M為穩(wěn)定子碼生成元，7"是邏輯態(tài)第/位上的比特翻轉(zhuǎn)
算子(Z=l，...，Ar) ,S是穩(wěn)定子。
有益效果本發(fā)明通過經(jīng)典LDPC碼的稀疏的校驗(yàn)矩陣的構(gòu)造方法，獲得了一種基于 GF(4)域的穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)矩陣的構(gòu)造。同時，為了提高譯碼的性能，也提出一種改進(jìn)的構(gòu) 造穩(wěn)定子碼校驗(yàn)矩陣的構(gòu)造方法。經(jīng)數(shù)值仿真證明，這兩種方法簡單有效，且改進(jìn)的構(gòu)造方 法性能更好。這為量子LDPC碼提供一種構(gòu)造方法，同時也為量子計(jì)算和量子通信中發(fā)生錯 誤能夠正確恢復(fù)提供了有效方法。
圖1是第一種構(gòu)造方法，(16，4)和(20，5)量子碼誤幀率性能。
圖2是改進(jìn)算法與第一種方法的性能比較，(16，4)量子碼的誤幀率性能。
具體實(shí)施例方式
步驟一根據(jù)經(jīng)典LDPC碼的構(gòu)造方法，在GF(2)上構(gòu)造大小為(w-A)x"的稀疏校驗(yàn) 矩陣。要求該校驗(yàn)矩陣存在4環(huán)，且相應(yīng)的兩行只包含1個4環(huán)，即非零元重疊位的個數(shù)為 2。依據(jù)校驗(yàn)矩陣的性質(zhì)，該稀疏校驗(yàn)矩陣必為滿秩。
步驟二根據(jù)構(gòu)造出的稀疏校驗(yàn)矩陣，構(gòu)造GF(4)上的校驗(yàn)矩陣。具體方法為在該校 驗(yàn)矩陣中為"1"的地方填入W, CT或1。注意，在填入非零元《， CT或1時，要確保每一列 中的非零元相同，即當(dāng)?shù)谝涣惺状纬霈F(xiàn)"l"時用《填充，則當(dāng)其他行第一列也有"l"出現(xiàn)時， 則必須填入W,而不能是OT或1。
步驟三將["，Jt]碼的校驗(yàn)矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型，得到編碼后的歹算子<formula>formula see original document page 5</formula>和編碼后的歹算子<formula>formula see original document page 5</formula>
考慮[n，k]穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)矩陣G-[G,IG」。該矩陣行對換對應(yīng)于重新標(biāo)記生成元，
該矩陣兩邊相應(yīng)列的對換對應(yīng)于重新標(biāo)記量子比特，將兩行相加對應(yīng)于乘以生成元；因此，
存在具有不同生成元集合的一個等價(jià)碼和矩陣G相對應(yīng)。G矩陣是n-k行，首先對G,應(yīng)用Gauss消去法，且在必要是對換量子比特，可得到:
<formula>formula see original document page 6</formula> (3)
其中r是G,的秩。下一步，對她行Gauss消去法，必要時對換量子比特以得到:
<formula>formula see original document page 6</formula> (4)
最后s個生成元不能與最前r個生成元對易，除非￡>2 = 0 ,因此，我們可以假定s = 0 。進(jìn)而， 通過對行取適當(dāng)?shù)木€性組合，我們也可使C,-0。所以，穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)矩陣將具有如下
形式
<formula>formula see original document page 6</formula>
其中，我們已經(jīng)重新標(biāo)記￡2為￡, D,為Z)。不難看出，這種方法不是唯一的；但是，我 們說，具有上式形式的校驗(yàn)矩陣處于標(biāo)準(zhǔn)型。給定量子碼的標(biāo)準(zhǔn)型后，很容易為這個碼定義 得到相應(yīng)的淳子。設(shè)A個編碼后的遵子，我們寫出校驗(yàn)矩陣為
G = |F 3 |F4F5F6] (6) 其中所有矩陣均具有A個行，而各自的列維數(shù)分別為/ -A"-A, r和A，我們選
取這些矩陣使得G, =
。這些編碼后的Z算子與穩(wěn)定子生成元的對易性是由方 程/x(乂)+ 4 =0導(dǎo)出的。采用類似的方法，我們可選擇具有Ax2"校驗(yàn)矩陣
為編碼后％算子。X算子將具有如下性質(zhì)相互獨(dú)立且與所有生成元相獨(dú)立， 相互對易并與所有穩(wěn)定子生成元對易；并且，^;與除2;以外的所有《對易，而與Zj反 對易。
步驟四根據(jù)/2-A個穩(wěn)定子生成元和編碼后的歹，7算子，編碼得到量子碼字。 注意，在步驟二中填入非零元CT或1時，確保每一列中的非零元相同，該做法是 為了確保用該構(gòu)造方法構(gòu)造的w-A個穩(wěn)定子生成元是獨(dú)立的，并且它們相互對易。但是，
這樣做雖然可以保證所有的穩(wěn)定子生成元相互對易，但對譯碼性能將產(chǎn)生不利的影響。例如，
當(dāng)16位量子碼字的第一位發(fā)生比特翻轉(zhuǎn)錯誤時，所得到的量子碼字與12個穩(wěn)定子生成元均 對易，即差錯圖樣五。與12個穩(wěn)定子生成元均對易。因此，這類錯誤將無法得到糾正，從
而影響量子碼的譯碼性能。為了克服此類缺陷，在構(gòu)造稀疏校驗(yàn)矩陣時應(yīng)盡量避免每列只包含同一類的非零元。在原構(gòu)造方法基礎(chǔ)上，現(xiàn)進(jìn)一步提出改進(jìn)算法。 具體改進(jìn)算法如下
步驟一根據(jù)經(jīng)典LDPC碼的構(gòu)造方法在GF(2)上構(gòu)造大小為(w-A:)x"的稀疏校驗(yàn)矩 陣，要求該校驗(yàn)矩陣存在4環(huán)，且相應(yīng)的兩行只包含1個4環(huán)，即非零元重疊位的個數(shù)為2。 根據(jù)校驗(yàn)矩陣的性質(zhì)，該稀疏校驗(yàn)矩陣必為滿秩。
步驟二根據(jù)構(gòu)造出的稀疏校驗(yàn)矩陣，構(gòu)造GF(4)上的校驗(yàn)矩陣，具體方法為在該校 驗(yàn)矩陣中為"1"的地方填入fy， gt或1。
若某兩行不存在非零元的重疊位，則該兩行中的非零元可以任意填寫； 若某兩行中包含1個非零元重疊，則該重疊位填入相同的非零元，以保證相應(yīng)的兩個穩(wěn) 定子生成元對易；
若某兩行包含1個4環(huán)，則在該4環(huán)的對角位上填入相同的非零元，而同一條邊上的 "1"應(yīng)選擇為不同的非零元
最后，檢驗(yàn)所有的行向量是否相互獨(dú)立且對易。
步驟三:將[n, k]碼的校驗(yàn)矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型,得到編碼后的Z算子Gz =
， 和編碼后的J算子
。
步驟四根據(jù)n-k個穩(wěn)定子生成元和編碼后的歹，亍算子，編碼得到量子碼字。 這樣，采用步驟二中的方法填入非零元ct或1，避免了一列中出現(xiàn)完全相同的非
零元的情況。
為了直觀顯示基于穩(wěn)定子碼的量子LDPC碼的構(gòu)造過程，現(xiàn)以(16， 4)量子碼為例加以 說明，該碼可以編4個量子比特，穩(wěn)定子生成元個數(shù)為16-4=12。
步驟一根據(jù)經(jīng)典LDPC碼的構(gòu)造方法，在GF(2)域上構(gòu)造大小為12xl6的稀疏校驗(yàn)矩 陣，要求此校驗(yàn)矩陣存在4環(huán)，且相應(yīng)的兩行只包含1個4環(huán)，即非零元重疊位的個數(shù)為2。
1100100000000000
0110110000000000
1101001000000000
0011001100000000
0010010110000000
0000000011000000
0000010011100000
0001000100110000
0000000001111000
1000001000001100
0000000000011110
0000100000001111
步驟二根據(jù)構(gòu)造出的稀疏校驗(yàn)矩陣，構(gòu)造GF(4)上的穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)矩陣。具體方法 為在原校驗(yàn)矩陣為"1"的地方填入w, ct或1。1000
010
10flj00
00ST<y00
00CT00
000000
00000C7
00000
000000
ST00000
000000
00000
得到12個穩(wěn)定子生成元:
/
z/z
z//
//z//
//z//z
/////
/////z
/////
//////
了////
/了///
//%/
因此得到穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)矩陣G:
110000
011001
110000
001000
001001
000000
000001
000000
000000
100000
000000
000000
得到穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)矩陣G:
0000000000
0000000000
000000000
STl00000000
01 0000000
00nr000000
00必C7100000
0l001C70000
0001GTa 000
00000a;l00
00000cr必lHT0
00000001C7
/////////
了/////////
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/了z//////
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了////z/
77zz
0000 0000 00
0000 0000 00
i000 0000 00
ii00 0000 00
0i00 0000 00
0001 0000 00
0001 1000 00
0i00 1100 00
0001 1100 00
1000 0001 00
0000 0101 10
0000 0001 110100100000000000
0100100000000000
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0001000100000000
0000000110000000
0000000010000000
0000000010100000
0001000100100000
0000000000101000
0000000000001100
0000000000001100
0000100000000100
步驟三將穩(wěn)定子碼校驗(yàn)矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，得到編碼后的乏算和7算子。 將穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形
10000000000000000000000000000011
01000000000000000000000000001011
00100000000000000010000000000111
00010000000000000000000000000010
00001000000000000000100000010011
00000100000000000000010000000001
00000010000000000000000000100011
00000001000000000000000100111011
00000000000000000000000010000000
00000000000000000000000001000000
00000000000000000000000000101101
00000000000000000000000000010101
由此可以得到
0000—_001r
00001011
00000111—0000
0 00 00 00 0c=0 00 11 10 0=0 10 10 00 1
000000010101
00001110
00000011—
于是得到編碼后的z算子和X算子
z,=麗/麗/z/// z2 = /蕭/層/z// 耳=皿顏層z/耳=瓜層層瓜
通過標(biāo)準(zhǔn)型變換后，穩(wěn)定子校驗(yàn)矩陣轉(zhuǎn)化為///////////z
///////////z/zz
////////////zz
/////////////z/
//////////z//zz
/////////////z
/////////z///zz
/////////zzz/zz
////////z///////
/////////z//////
//////////z/zz/z
//////////z/z
步驟四根據(jù)12個穩(wěn)定子生成元和編碼后的Z， X算子，根據(jù)穩(wěn)定子碼的編碼公式
<formula>formula see original document page 10</formula>
便可得到穩(wěn)定子碼的全部碼字。
結(jié)果分析數(shù)值計(jì)算了碼率都為1/4的量子LDPC碼，分別能編4和5個量子比特，編 碼長度為16和20，錯誤模型為退極化信道，其中信息在信道傳輸中比特錯誤概率為P，即 發(fā)生比特翻轉(zhuǎn)錯誤、相位翻轉(zhuǎn)錯誤以及比特和相位均發(fā)生錯誤的概率各為P/3。
圖1為(16，4)碼與(20，5)碼誤幀率性能，縱坐標(biāo)為誤幀率，橫坐標(biāo)為比特錯誤的概率。從 圖中可以看出，(16,4)碼幀率卻比(20，5)碼稍好，這與之前采用稀疏矩陣編碼得到的量子 LDPC碼的性能相類似。但是，這里采用的是退極化信道，而不再是高斯信道，這與之前采 用稀疏矩陣編碼方法相比，性能明顯要差，(20，5)碼在比特錯誤為0.025時，誤幀率已超過 10"。
同樣通過構(gòu)造(16， 4)量子碼為例加以說明改進(jìn)的構(gòu)造方法。根據(jù)改進(jìn)構(gòu)造方法的步 驟一、二、三、四得到(16,4)碼的校驗(yàn)矩陣為
z/if//////////
/z//////////
z//%/////了///
////zz////////
//z///z///////
///////z////^z
///////%/////
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///z/////z從中可以看出該校驗(yàn)矩陣的每一列均包含不同的非零元，因此可克服釆用初始方法構(gòu)造 檢驗(yàn)矩陣時某些差錯無法檢測的缺陷。
圖2為兩種構(gòu)造算法下(16，4)碼的譯碼性能比較，從圖中可以看到改進(jìn)構(gòu)造算法獲得的 量子碼在誤幀率性能上比初始方法有了明顯的改善。
權(quán)利要求
1.一種基于穩(wěn)定子碼的量子低密度奇偶校驗(yàn)碼的構(gòu)造方法，其特征在于該方法利用已生成的二元伽羅華域GF(2)上的稀疏校驗(yàn)矩陣來構(gòu)造四元伽羅華域GF(4)上的穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)矩陣，完成基于穩(wěn)定子碼的量子經(jīng)典低密度奇偶校驗(yàn)碼LDPC的構(gòu)造；所述的“低密度”是來源于矩陣的稀疏性，即校驗(yàn)矩陣中只有很少一部分的“1”元素，絕大多數(shù)都是“0”；其中經(jīng)典低密度奇偶校驗(yàn)碼LDPC的定義為(n，j，k)碼是長為n的碼字，在它的奇偶校驗(yàn)矩陣中，每一行和列中1的個數(shù)是固定的，其中每一列j個1，j≥3，每行k個1，k＞j；列之間1的重疊數(shù)目小于等于1；具體構(gòu)造步驟為步驟一根據(jù)經(jīng)典低密度奇偶校驗(yàn)碼LDPC的定義，在二元伽羅華域GF(2)域上，其中域元素僅取0和1，構(gòu)造大小為(n-k)×n的稀疏校驗(yàn)矩陣，即n個比特編碼k個碼字，要求此校驗(yàn)矩陣存在4環(huán)，且相應(yīng)的兩行只包含1個4環(huán)，即非零元重疊位的個數(shù)為2，根據(jù)校驗(yàn)矩陣的性質(zhì)，該稀疏校驗(yàn)矩陣必為滿秩；步驟二根據(jù)已生成的校驗(yàn)矩陣，構(gòu)造四元伽羅華域GF(4)上的校驗(yàn)矩陣，其中域元素取值0，1，ω， id="icf0001" file="A2008102361650002C1.tif" wi="3" he="2" top= "120" left = "42" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>；主要過程是在已生成的校驗(yàn)矩陣中的“1”元素位置填入四元伽羅華域上的第一非零元素ω、第二非零元素 id="icf0002" file="A2008102361650002C2.tif" wi="3" he="2" top= "127" left = "73" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>或第三非零元素1；方法1)在填入第一非零元ω，第二非零元素 id="icf0003" file="A2008102361650002C3.tif" wi="3" he="2" top= "134" left = "110" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>或第三非零元素1時，要確保每一列中的非零元相同，如當(dāng)?shù)谝涣惺状纬霈F(xiàn)“1”時用ω填充，則當(dāng)其他行第一列也有“1”出現(xiàn)時，則必須填入ω，而不能是 id="icf0004" file="A2008102361650002C4.tif" wi="3" he="2" top= "148" left = "66" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>或1；方法2)若某兩行不存在非零元的重疊位，則該兩行中的非零元可以任意填寫；若某兩行中包含1個非零元重疊，則該重疊位填入相同的非零元，以保證相應(yīng)的兩個穩(wěn)定子生成元對易；若某兩行包含1個4環(huán)，則在該4環(huán)的對角位上填入相同的非零元，而同一條邊上的“1”應(yīng)選擇為不同的非零元；最后，檢驗(yàn)所有的行向量是否相互獨(dú)立且對易；步驟三將[n，k]碼的校驗(yàn)矩陣?yán)酶咚瓜シㄞD(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以得到編碼后的相位翻轉(zhuǎn)<overscore>Z</overscore>算子<maths id="math0001" num="0001" ><math><![CDATA[ <mrow><msub> <mi>G</mi> <mi>z</mi></msub><mo>=</mo><mo>[</mo><mn>000</mn><mo>|</mo><msubsup> <mi>A</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi></msubsup><mn>0</mn><mi>I</mi><mo>]</mo><mo>,</mo> </mrow>]]></math> id="icf0005" file="A2008102361650002C5.tif" wi="31" he="6" top= "188" left = "44" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/></maths>和編碼后的比特翻轉(zhuǎn)<overscore>X</overscore>算子
；步驟四根據(jù)n-k個穩(wěn)定子碼生成元和編碼后的<overscore>Z</overscore>，<overscore>X</overscore>算子，代入穩(wěn)定子碼公式，<maths id="math0002" num="0002" ><math><![CDATA[ <mrow><mo>|</mo><msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn></msub><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msub> <mi>c</mi> <mi>k</mi></msub><msub> <mo>></mo> <mi>L</mi></msub><mo>=</mo><mrow> <mo>(</mo> <munderover><mi>Π</mi><mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn></mrow><mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi></mrow> </munderover> <mrow><mo>(</mo><mi>I</mi><mo>+</mo><msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi></msub><mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo></mrow><msubsup> <mover><mi>X</mi><mo>‾</mo> </mover> <mn>1</mn> <msub><mi>c</mi><mn>1</mn> </msub></msubsup><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msubsup> <mover><mi>X</mi><mo>‾</mo> </mover> <mi>k</mi> <msub><mi>c</mi><mi>k</mi> </msub></msubsup><mo>|</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>0</mn><mo>></mo><mo>=</mo><msubsup> <mover><mi>X</mi><mo>‾</mo> </mover> <mn>1</mn> <msub><mi>c</mi><mn>1</mn> </msub></msubsup><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msubsup> <mover><mi>X</mi><mo>‾</mo> </mover> <mi>k</mi> <msub><mi>c</mi><mi>k</mi> </msub></msubsup><mrow> <mo>(</mo> <munder><mi>Σ</mi><mrow> <mi>M</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi></mrow> </munder> <mi>M</mi> <mo>|</mo> <mn>0</mn> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mn>0</mn> <mo>></mo> <mo>)</mo></mrow> </mrow>]]></math></maths>將可得到每一個編碼后的量子態(tài)狀態(tài)|c1…ck＞L又稱為邏輯態(tài)的表達(dá)形式，所有邏輯態(tài)將張成量子碼空間，因此常將邏輯態(tài)稱為量子碼，即通過上述步驟可得到量子碼字；其中，Mi是量子校驗(yàn)矩陣的每一行矢量，M為穩(wěn)定子碼生成元， id="icf0007" file="A2008102361650002C7.tif" wi="5" he="5" top= "234" left = "117" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>是邏輯態(tài)第i位上的比特翻轉(zhuǎn)算子(i＝1，...，k)，S是穩(wěn)定子。
全文摘要
基于穩(wěn)定子碼的量子低密度奇偶校驗(yàn)碼的構(gòu)造方法利用已生成的二元伽羅華域GF(2)上的稀疏校驗(yàn)矩陣來構(gòu)造四元伽羅華域GF(4)上的穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)矩陣，完成基于穩(wěn)定子碼的量子經(jīng)典低密度奇偶校驗(yàn)碼LDPC的構(gòu)造；所述的“低密度”是來源于矩陣的稀疏性，即校驗(yàn)矩陣中只有很少一部分的“1”元素，絕大多數(shù)都是“0”；其中經(jīng)典低密度奇偶校驗(yàn)碼LDPC的定義為(n，j，k)碼是長為n的碼字，在它的奇偶校驗(yàn)矩陣中，每一行和列中1的個數(shù)是固定的，其中每一列j個1，j≥3，每行k個1，k＞j；列之間1的重疊數(shù)目小于等于1；由于量子LDPC碼的校驗(yàn)矩陣是稀疏的，只有少量量子比特參與Pauli運(yùn)算，因此可有效地降低符號錯誤的傳播，有望成為量子計(jì)算統(tǒng)一的糾錯手段。
文檔編號H03M13/11GK101409564SQ20081023616
公開日2009年4月15日 申請日期2008年11月25日 優(yōu)先權(quán)日2008年11月25日
發(fā)明者浩 孫, 王超一, 趙生妹, 鄭寶玉 申請人:南京郵電大學(xué)