技術(shù)特征：

1.基于觀測器的電動(dòng)車永磁同步電機(jī)系統(tǒng)誤差補(bǔ)償控制方法，其特征在于，包括如下步驟：

a建立考慮鐵損的永磁同步電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\mathrm{\Θ}}{dt}=\mathrm{\ω}\\ \frac{d\mathrm{\ω}}{dt}=\frac{n_p{\mathrm{\λ}}_{PM}}{J}{i}_{oq}-\frac{T_L}{J}\\ \frac{{\mathrm{di}}_{oq}}{dt}=\frac{R_c}{L_{mq}}{i}_q-\frac{R_c}{L_{mq}}{i}_{oq}-\frac{n_p{L}_d}{L_{mq}}{\mathrm{\ωi}}_{od}-\frac{n_p{\mathrm{\λ}}_{PM}}{L_{mq}}\mathrm{\ω}\\ \frac{{\mathrm{di}}_q}{dt}=-\frac{R_1}{L_{lq}}{i}_q+\frac{R_c}{L_{lq}}{i}_{oq}+\frac{1}{L_{lq}}{u}_q\\ \frac{{\mathrm{di}}_{od}}{dt}=\frac{R_c}{L_{md}}{i}_d-\frac{R_c}{L_{md}}{i}_{od}+\frac{n_p{L}_q}{L_{md}}{\mathrm{\ωi}}_{oq}\\ \frac{{\mathrm{di}}_d}{dt}=-\frac{R_1}{L_{ld}}{i}_d+\frac{R_c}{L_{ld}}{i}_{od}+\frac{1}{L_{ld}}{u}_d\end{array}\right.---\left(1\right)$

定義Θ表示電機(jī)角位置，ω表示電機(jī)角速度，n_p表示極對數(shù)，J表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，T_L表示負(fù)載轉(zhuǎn)矩；i_d和i_q表示d-q軸定子電流；u_d和u_q表示d-q軸定子電壓；i_od和i_oq表示d-q軸勵(lì)磁電流分量；L_d和L_q表示d-q軸電感；L_ld和L_lq表示d-q軸漏感；L_md和L_mq表示d-q軸勵(lì)磁電感；R₁和R_c表示定子電阻和鐵心損耗電阻；λ_PM是轉(zhuǎn)子永磁體的勵(lì)磁磁通；

為簡化考慮鐵損的永磁同步電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，定義新的變量：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=\mathrm{\Θ},x_2=\mathrm{\ω},x_3=i_{oq},x_4=i_q,x_5=i_{od},x_6=i_d\\ a_1=n_p{\mathrm{\λ}}_{PM},a_2=n_p(L_{md}-L_{mq}),b_1=\frac{R_c}{L_{mq}}\\ b_2=-\frac{n_p{L}_d}{L_{mq}},b_3=-\frac{n_p{\mathrm{\λ}}_{PM}}{L_{mq}},b_4=-\frac{R_1}{L_{lq}},b_5=\frac{R_c}{L_{lq}}\\ c_1=\frac{1}{L_{lq}}\end{array}\right.;$

則考慮鐵損的永磁同步電機(jī)的動(dòng)態(tài)模型表示為：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=\frac{a_1}{J}{x}_3-\frac{T_L}{J}\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=b_1{x}_4-b_1{x}_3+b_2{x}_2{x}_5+b_3{x}_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_4=b_4{x}_4+b_5{x}_3+c_1{u}_q\\ {\stackrel{\·}{x}}_5=b_1{x}_6-b_1{x}_5-b_2{x}_2{x}_3\\ {\stackrel{\·}{x}}_6=b_4{x}_6+b_5{x}_5+c_1{u}_d\end{array}\right.---\left(2\right)$

b根據(jù)命令濾波技術(shù)和自適應(yīng)反步法原理，設(shè)計(jì)一種基于觀測器的電動(dòng)車永磁同步電機(jī)系統(tǒng)誤差補(bǔ)償控制方法，模型簡化為兩個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng)，即由狀態(tài)變量x₁，x₂，x₃和控制輸入u_q組成的子系統(tǒng)以及由狀態(tài)變量x₄，x₅,x₆和控制輸入u_d組成的子系統(tǒng)；

假設(shè)f(Z)在緊集Ω_Z中是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)，對于任意的常數(shù)ε＞0，總是有一個(gè)模糊邏輯系統(tǒng)W^TS(Z)滿足：式中，輸入向量q是模糊輸入維數(shù)，R^q為實(shí)數(shù)向量集，W＝[W₁,...,W_l]^T∈R^l是模糊權(quán)向量，模糊節(jié)點(diǎn)數(shù)l為正整數(shù)，且l＞1，R^l為實(shí)數(shù)向量集，S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l為基函數(shù)向量，通常選取基函數(shù)s_i(Z)為如下的高斯函數(shù)：

其中，μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^T是Gaussian函數(shù)分布曲線的中心位置，而η_i則為其寬度；

定義命令濾波器為：

其中，均為命令濾波器的輸出信號，α_u為命令濾波器的輸入信號，u＝1,2,3,5；如果輸入信號α_u對于所有的t≥0，使得以及成立，其中，ρ₁和ρ₂均為正常數(shù)；同時(shí)則可得出，對任意的常數(shù)μ＞0，存在ω_n＞0且ζ∈(0,1]，使得和是有界的；

定義跟蹤誤差變量為

定義x_d為期望的速度信號；虛擬控制信號α₁,α₂,α₃,α₅為命令濾波器的輸入信號；x_1,c,x_2,c,x_3,c,x_5,c為命令濾波器的輸出；k_n為正的設(shè)計(jì)參數(shù)，n＝1,2,...6；

控制方法中每一步都會選取一個(gè)合適Lyapunov函數(shù)構(gòu)建一個(gè)虛擬控制函數(shù)或者真實(shí)的控制律；控制方法具體包括以下步驟：

b.0降維觀測器的設(shè)計(jì)

根據(jù)微分方程得其中，定義S₂(Z)＝φ₂(Z)，則由萬能逼近定理可知，對于光滑函數(shù)f₂(Z)，給定ε₂≥0，存在模糊邏輯系統(tǒng)θ₂^*Tφ₂(Z)，使得f₂(Z)＝θ₂^*Tφ₂(Z)+δ₂(Z)，其中，δ₂(Z)表示逼近誤差，并滿足不等式|δ₂(Z)|≤ε₂，則

所以，降維觀測器設(shè)計(jì)為：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+g_1(y-{\hat{x}}_1)\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2=x_3+g_2(y-{\hat{x}}_1)+{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2^T{\mathrm{\φ}}_2\left(Z\right)\\ \hat{y}={\hat{x}}_1\end{array}\right.;$

將降維觀測器簡化為：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\hat{x}}=Ax+Gy+{\mathrm{Bx}}_3+\widehat{\mathrm{\ω}}\\ \hat{y}=C^T\hat{x}\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，x＝[x₁,x₂]^T，為x的估計(jì)值，B＝[0,1]^T，是的估計(jì)值，G＝[g₁,g₂]^T是降維觀測器的增益矢量，C＝[1,0]^T，是系統(tǒng)輸出y的估計(jì)值；定義為觀測器誤差，則系統(tǒng)觀測器的誤差表達(dá)式為:其中，ε＝[0,ε₂]^T，

假設(shè)存在矩陣Q^T＝Q＞0，則存在正定矩陣P^T＝P＞0，使得A^TP+PA＝-Q；選取Lyapunov函數(shù)V₀＝e^TPe，對V₀求導(dǎo)，得到由楊氏不等式得，將其代入上式，可得：

${\stackrel{\·}{V}}_0\≤-e^{T}Qe+2\left|\right|e|{|}^2+|\left|P\right|{|}^2{\mathrm{\ϵ}}_2^2+\left|\right|P|{|}^2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(4\right)$

b.1根據(jù)微分方程對z₁求導(dǎo)可得誤差動(dòng)態(tài)方程：定義命令濾波補(bǔ)償后的跟蹤誤差信號為：v₁＝z₁-ξ₁；選擇Lyapunov函數(shù)：對V₁求導(dǎo)得：

${\stackrel{\·}{V}}_1={\stackrel{\·}{V}}_0+v_1({\hat{x}}_2+e_2-{\stackrel{\·}{x}}_d-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1)={\stackrel{\·}{V}}_0+v_1\[z_2+(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+{\mathrm{\α}}_1+e_2-{\stackrel{\·}{x}}_d-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1\]---\left(5\right)$

利用楊氏不等式，有

構(gòu)建虛擬控制信號α₁：

定義補(bǔ)償誤差

其中，ξ(0)＝0，||ξ_n||是有界的，有常數(shù)μ＞0，

按照公式(6)、公式(7)和公式(8)，將公式(5)改寫為：

${\stackrel{\·}{V}}_1\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-k_1{v}_1^2+v_1{v}_2+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2---\left(9\right)$

b.2根據(jù)微分方程對z₂求導(dǎo)可得誤差動(dòng)態(tài)方程：定義命令濾波補(bǔ)償后的跟蹤誤差信號為：v₂＝z₂-ξ₂；

選擇Lyapunov函數(shù)：常數(shù)r₁＞0，對V₂求導(dǎo)得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-k_1{v}_1^2+v_2(v_1+z_3+(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+{\mathrm{\α}}_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}+{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2}^T{\mathrm{\φ}}_2(Z)-{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2}^T{\mathrm{\φ}}_2(Z)+g_2{e}_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_2)\\ +\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T}{r_1}\left(r_1{v}_2{\mathrm{\φ}}_2\right(Z)-{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_2)\end{array}---\left(10\right)$

利用楊氏不等式，有：

選取自適應(yīng)律

其中，常數(shù)m₁＞0；

構(gòu)建虛擬控制信號α₂：

定義補(bǔ)償信號

根據(jù)楊氏不等式，同時(shí)按照公式(11)、(12)和(13)將公式(10)改寫為：

${\stackrel{\·}{V}}_2\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-k_1{v}_1^2-k_2{v}_2^2+v_2{v}_3+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2---\left(14\right)$

b.3根據(jù)微分方程對z₃求導(dǎo)可得誤差動(dòng)態(tài)方程：定義命令濾波補(bǔ)償后的跟蹤誤差信號為：v₃＝z₃-ξ₃；

選擇Lyapunov函數(shù)：對V₃求導(dǎo)可得：

${\stackrel{\·}{V}}_3={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3{\stackrel{\·}{v}}_3={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3({\stackrel{\·}{x}}_3-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_3)={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3\[f_3+b_1{x}_4-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_3\]---\left(15\right)$

其中，f₃(Z)＝-b₁x₃+b₂x₂x₅+b₃x₂，根據(jù)萬能逼近定理可知，對于光滑函數(shù)f₃(Z)，給定ε₃≥0，存在模糊邏輯系統(tǒng)W₃^TS₃(Z)，使得f₃(Z)＝W₃^TS₃(Z)+δ₃(Z)，其中，δ₃(Z)表示逼近誤差，并滿足|δ₃(Z)|≤ε₃；從而有：

$v_3{f}_3\left(Z\right)\≤\frac{1}{2l_3^2}{v}_3^2\left|\right|W_3|{|}^2{S}_3^T{S}_3+v_3^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_3^2---\left(16\right)$

其中，||W₃||為向量W₃的范數(shù)，常數(shù)l₃＞0；

構(gòu)建虛擬控制信號α₃：

定義補(bǔ)償誤差

按照公式(16)、(17)和(18)將公式(15)改寫為：

${\stackrel{\·}{V}}_3\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+b_1{v}_3{v}_4+\frac{1}{2l_3^2}{v}_3^2\left(\right|\left|W_3\right|{|}^2-\hat{W})S_3^T{S}_3+\frac{l_3^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_3^2}{4}+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(19\right)$

b.4根據(jù)微分方程對z₄求導(dǎo)可得誤差動(dòng)態(tài)方程：定義命令濾波補(bǔ)償后的跟蹤誤差信號為：v₄＝z₄-ξ₄；

選擇Lyapunov函數(shù)：對V₄求導(dǎo)可得：

${\stackrel{\·}{V}}_4={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4{\stackrel{\·}{v}}_4={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4({\stackrel{\·}{x}}_4-{\stackrel{\·}{x}}_{3,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4)={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4(f_4+c_1{u}_q-{\stackrel{\·}{x}}_{3,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4)---\left(20\right)$

其中，f₄(Z)＝b₄x₄+b₅x₃，根據(jù)萬能逼近定理，對于光滑函數(shù)f₄(Z)，給定ε₄≥0，存在模糊邏輯系統(tǒng)W₄^TS₄(Z)，使得f₄(Z)＝W₄^TS₄(Z)+δ₄(Z)，其中，δ₄(Z)表示逼近誤差，并滿足|δ₄(Z)|≤ε₄；從而有：

$v_4{f}_4\left(Z\right)\≤\frac{1}{2l_4^2}{v}_4^2\left|\right|W_4|{|}^2{S_4}^T{S}_4+v_4^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_4^2---\left(21\right)$

其中，||W₄||為向量W₄的范數(shù)，常數(shù)l₄＞0；

構(gòu)建真實(shí)控制率u_q：

定義補(bǔ)償誤差

按照公式(21)、(22)和(23)，將公式(20)改寫為：

${\stackrel{\·}{V}}_4\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{4}{\Σ}}\frac{1}{2l_j^2}{v}_j^2\left(\right|\left|W_j\right|{|}^2-\hat{W})S_j^T{S}_j+\underset{y=3}{\overset{4}{\Σ}}(\frac{l_y^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_y^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(24\right)$

b.5根據(jù)微分方程對z₅求導(dǎo)可得誤差動(dòng)態(tài)方程：定義命令濾波補(bǔ)償后的跟蹤誤差信號為：v₅＝z₅-ξ₅；

選擇Lyapunov函數(shù)：對V₅求導(dǎo)可得：

${\stackrel{\·}{V}}_5={\stackrel{\·}{V}}_4+v_5{\stackrel{\·}{v}}_5={\stackrel{\·}{V}}_4+v_5({\stackrel{\·}{x}}_5-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_5)={\stackrel{\·}{V}}_4+v_5(f_5+b_1{x}_6-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_5)---\left(25\right)$

其中，根據(jù)萬能逼近定理，對于光滑函數(shù)f₅(Z)，給定ε₅≥0，存在模糊邏輯系統(tǒng)W₅^TS₅(Z)，使得f₅(Z)＝W₅^TS₅(Z)+δ₅(Z)，其中，δ₅(Z)表示逼近誤差，并滿足|δ₅(Z)|≤ε₅；從而有：

$v_5{f}_5\left(Z\right)\≤\frac{1}{2l_5^2}{v}_5^2\left|\right|W_5|{|}^2{S_5}^T{S}_5+v_5^2+\frac{1}{2}{l}_5^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_5^2---\left(26\right)$

其中，||W₅||為向量W₅的范數(shù)，常數(shù)l₅＞0；

構(gòu)建虛擬控制信號α₅：

定義補(bǔ)償誤差

按照公式(26)、(27)和(28)，將公式(25)改寫為：

${\stackrel{\·}{V}}_5\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{5}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+b_1{v}_5{v}_6+\underset{j=3}{\overset{5}{\Σ}}\frac{1}{2l_j^2}{v}_j^2\left(\right|\left|W_j\right|{|}^2-\hat{W})S_j^T{S}_j+\underset{y=3}{\overset{5}{\Σ}}(\frac{l_y^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_y^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(29\right)$

b.6根據(jù)微分方程對z₆求導(dǎo)可得誤差動(dòng)態(tài)方程：定義命令濾波補(bǔ)償后的跟蹤誤差信號為：v₆＝z₆-ξ₆；

選擇Lyapunov函數(shù)：對V₆求導(dǎo)可得：

${\stackrel{\·}{V}}_6={\stackrel{\·}{V}}_5+v_6{\stackrel{\·}{v}}_6={\stackrel{\·}{V}}_5+v_6({\stackrel{\·}{x}}_6-{\stackrel{\·}{x}}_{5,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_6)={\stackrel{\·}{V}}_5+v_6(f_6+c_1{u}_d-{\stackrel{\·}{x}}_{5,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_6)---\left(30\right)$

其中，f₆＝b₄x₆+b₅x₅，根據(jù)萬能逼近定理，對于光滑函數(shù)f₆(Z)，給定ε₆≥0，存在模糊邏輯系統(tǒng)W₆^TS₆(Z)，使得f₆(Z)＝W₆^TS₆(Z)+δ₆(Z)，其中，δ₆(Z)表示逼近誤差，并滿足|δ₆(Z)|≤ε₆；從而有：

$v_6{f}_6\left(Z\right)\≤\frac{1}{2l_6^2}{v}_6^2\left|\right|W_6|{|}^2{S_6}^T{S}_6+v_6^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_6^2---\left(31\right)$

其中，||W₆||為向量W₆的范數(shù)，常數(shù)l₆＞0；

構(gòu)建真實(shí)控制律u_d：

定義補(bǔ)償誤差

按照公式(31)、公式(32)和公式(33)，將公式(30)改寫為：

${\stackrel{\·}{V}}_6\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{6}{\Σ}}\frac{1}{2l_j^2}{v}_j^2\left(\right|\left|W_j\right|{|}^2-\hat{W})S_j^T{S}_j+\underset{y=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_y^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_y^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(34\right)$

c對建立的基于觀測器的電動(dòng)車永磁同步電機(jī)系統(tǒng)誤差補(bǔ)償控制方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析

定義W＝max{||W₃||²,||W₄||²,||W₅||²,||W₆||²}，為W的估計(jì)值，構(gòu)建Lyapunov函數(shù)為：對V求導(dǎo)可得：

$\stackrel{\·}{V}\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_j^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_j^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{r}\hat{W}(\underset{y=3}{\overset{6}{\Σ}}\frac{1}{2l_y^2}{\mathrm{rv}}_y^2{S}_y^T{S}_y-\stackrel{\·}{\hat{W}})---\left(35\right)$

其中，常數(shù)r＞0；選擇相應(yīng)的自適應(yīng)律

$\stackrel{\·}{\hat{W}}=\underset{y=3}{\overset{6}{\Σ}}\frac{1}{2l_y^2}{\mathrm{rv}}_y^2{S}_y^T{S}_y-m\hat{W}---\left(36\right)$

其中，常數(shù)m＞0；

按照公式(36)，將公式(35)改寫為：

$\stackrel{\·}{V}\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_j^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_j^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{m}{r}{\tilde{W}}^T\hat{W}---\left(37\right)$

同樣，再由楊氏不等式可得：

$\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2\≤-\frac{m_1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{m_1}{2r_1}{\mathrm{\θ}}_2^T{\mathrm{\θ}}_2,\frac{m}{r}{\tilde{W}}^T\hat{W}\≤-\frac{m}{2r}{\tilde{W}}^T\tilde{W}+\frac{m}{2r}{W}^{T}W---\left(38\right)$

按照公式(38)，將公式(37)改寫為：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-e^{T}Qe+\frac{9}{4}\left|\right|e|{|}^2+|\left|P\right|{|}^2{\mathrm{\ϵ}}_2^3+\left(\right|\left|P\right|{|}^2-\frac{m_1}{2r_1}+\frac{1}{4}){\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2-\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_j^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_j^2}{4})+\frac{m_1}{2r_1}{\mathrm{\θ}}_2^T{\mathrm{\θ}}_2\\ -\frac{m}{2r}{\tilde{W}}^T\tilde{W}+\frac{m}{2r}{W}^{T}W\≤-aV+b\end{array}---\left(39\right)$

其中，

$a=\min \{\frac{{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q\right)-\frac{9}{4}}{{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(P\right)},2k_1,2k_2,2k_3,2k_4,2k_5,2k_{6}2r_1\left(\right|\left|P\right|{|}^2-\frac{m_1}{2r_1}+\frac{1}{4}),2r\frac{m}{2r}\},$

$b=\left|\right|P|{|}^2{\mathrm{\ϵ}}_2^2+\underset{i=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_i^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_i^2}{4})+\frac{m_1}{2r_1}{\mathrm{\θ}}_2^T{\mathrm{\θ}}_2+\frac{m}{2r}{W}^{T}W;$

其中，λ_min(Q)為Q的最小特征值，λ_max(P)為P的最大特征值；

因此可得：

$V\left(t\right)\≤\[V\left(t_0\right)-\frac{b}{a}\]e^{-a(t-t_0)}+\frac{b}{a}\≤V\left(t_0\right)+\frac{b}{a},\∀t\≥t_0---\left(40\right)$

其中，t₀為t的初值；

因此v_n和是有界的，因?yàn)閃是常數(shù)，所以是有界的，又因?yàn)閦_n＝v_n+ξ_n，||ξ_n||是有界的，因此z_n也是有界的，n＝1,2,...,6；因此x(t)和其他所有控制信號在任何時(shí)間段內(nèi)都是有界的；由公式(40)可得：