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一種適用于SiC基橋臂功率電路的死區(qū)時(shí)間優(yōu)化控制方法與流程

文檔序號(hào):11840485閱讀:752來源:國(guó)知局
一種適用于SiC基橋臂功率電路的死區(qū)時(shí)間優(yōu)化控制方法與流程

本發(fā)明涉及一種適用于SiC基橋臂功率電路的死區(qū)時(shí)間優(yōu)化控制方法,屬于橋臂電路死區(qū)時(shí)間控制技術(shù)領(lǐng)域。



背景技術(shù):

在橋臂電路的設(shè)計(jì)中,為了避免上、下管同時(shí)導(dǎo)通,出現(xiàn)橋臂直通現(xiàn)象,需要在PWM控制信號(hào)中設(shè)置死區(qū)時(shí)間,但是當(dāng)死區(qū)時(shí)間設(shè)置過短時(shí),上、下管易發(fā)生直通導(dǎo)致過大的功耗乃至故障;而當(dāng)死區(qū)時(shí)間設(shè)置過長(zhǎng)時(shí),又會(huì)因續(xù)流二極管導(dǎo)通時(shí)間過長(zhǎng)增加電路損耗,降低效率。因此對(duì)于電壓源型變換器來說,死區(qū)時(shí)間的設(shè)置與整機(jī)可靠性和效率有很大關(guān)系。另外,死區(qū)時(shí)間的長(zhǎng)短還會(huì)對(duì)功率變換器的輸出電壓質(zhì)量產(chǎn)生影響。

對(duì)于SiC基電壓源型變換器,由于SiC器件開關(guān)速度快,死區(qū)時(shí)間設(shè)定對(duì)變換器性能影響更為突出。首先,死區(qū)時(shí)間與器件的開關(guān)時(shí)間有關(guān),而SiC器件的開關(guān)時(shí)間又與負(fù)載大小有較大關(guān)系。死區(qū)時(shí)間的傳統(tǒng)設(shè)置方法是通過測(cè)量開關(guān)器件在重載、高溫工作條件下的關(guān)斷時(shí)間,以此為依據(jù)來設(shè)置死區(qū)時(shí)間,若SiC基電壓源型變換器仍采用這種方法則會(huì)導(dǎo)致死區(qū)時(shí)間過大,不能充分發(fā)揮SiC器件給變換器帶來的性能優(yōu)勢(shì),而且會(huì)導(dǎo)致續(xù)流二極管的損耗增大。可見,死區(qū)時(shí)間的合理調(diào)整對(duì)于SiC基電壓型變換器非常重要。



技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素:

本發(fā)明所要解決的技術(shù)問題是:提供一種適用于SiC基橋臂功率電路的死區(qū)時(shí)間優(yōu)化控制方法,對(duì)電壓源型變換器橋臂中開關(guān)器件死區(qū)時(shí)間的設(shè)置進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整,在保證系統(tǒng)可靠性的前提下,降低由死區(qū)時(shí)間帶來的功率損耗,提高變換器的工作效率。

本發(fā)明為解決上述技術(shù)問題采用以下技術(shù)方案:

一種適用于SiC基橋臂功率電路的死區(qū)時(shí)間優(yōu)化控制方法,該優(yōu)化控制方法將實(shí)時(shí)在線測(cè)量得到的開關(guān)管漏源電壓上升時(shí)間tvr、計(jì)算得到的柵極電壓下降至閾值電壓的時(shí)間tgs、離線測(cè)量得到的溝道電流下降時(shí)間tcf、預(yù)設(shè)的最大死區(qū)時(shí)間tdt(max)一起輸入微控制器中,微控制器根據(jù)以下比較公式對(duì)上述四種時(shí)間進(jìn)行比較,并輸出最優(yōu)死區(qū)時(shí)間tdt(opt);所述比較公式為:

<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>o</mi> <mi>p</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>v</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

其中,表示負(fù)載最大、結(jié)溫最高工作條件時(shí),離線測(cè)量得到的溝道電流下降時(shí)間。

作為本發(fā)明的一種優(yōu)選方案,所述開關(guān)管漏源電壓上升時(shí)間tvr的測(cè)量方法為:

在上管電路中加入柵源電壓檢測(cè)電路H、漏源電壓檢測(cè)電路H、邊沿檢測(cè)器H、上管輔助調(diào)節(jié)電路、上管信號(hào)隔離電路;在下管電路中加入柵源電壓檢測(cè)電路L、漏源電壓檢測(cè)電路L、邊沿檢測(cè)器L、下管輔助調(diào)節(jié)電路、下管信號(hào)隔離電路;在整個(gè)SiC基橋臂功率電路中加入信號(hào)隔離電路;

當(dāng)上管關(guān)斷時(shí),邊沿檢測(cè)器H通過柵源電壓檢測(cè)電路H以一定頻率檢測(cè)上管柵源電壓,當(dāng)上管柵源電壓下降時(shí),邊沿檢測(cè)器H輸出脈沖信號(hào)sH1,經(jīng)信號(hào)隔離電路送入上管輔助調(diào)節(jié)電路,上管輔助調(diào)節(jié)電路輸出反饋信號(hào)sH(aux),經(jīng)上管信號(hào)隔離電路反饋到邊沿檢測(cè)器H,同時(shí),上管輔助調(diào)節(jié)電路輸出上管柵源電壓下降沿tH(aux);同理,下管輔助調(diào)節(jié)電路通過漏源電壓檢測(cè)電路L檢測(cè)下管柵源電壓下降沿tL(aux),tH(aux)和tL(aux)之差即為tvr

當(dāng)下管關(guān)斷時(shí),邊沿檢測(cè)器L通過柵源電壓檢測(cè)電路L以一定頻率檢測(cè)下管柵源電壓,當(dāng)下管柵源電壓下降時(shí),邊沿檢測(cè)器L輸出脈沖信號(hào)sL1,經(jīng)信號(hào)隔離電路送入下管輔助調(diào)節(jié)電路,下管輔助調(diào)節(jié)電路輸出反饋信號(hào)sL(aux),經(jīng)下管信號(hào)隔離電路反饋到邊沿檢測(cè)器L,同時(shí),下管輔助調(diào)節(jié)電路輸出下管柵源電壓下降沿tL(aux);同理,上管輔助調(diào)節(jié)電路通過漏源電壓檢測(cè)電路H檢測(cè)上管漏源電壓下降沿tH(aux),tL(aux)和tH(aux)之差即為tvr。

作為本發(fā)明的一種優(yōu)選方案,所述柵極電壓下降至閾值電壓的時(shí)間tgs的計(jì)算方法為:根據(jù)柵極驅(qū)動(dòng)等效電路計(jì)算可得,所述柵極驅(qū)動(dòng)等效電路由柵極驅(qū)動(dòng)電路等效電阻、柵極電路等效電感、源極共模電感和開關(guān)管的輸入電容串聯(lián)而成。

作為本發(fā)明的一種優(yōu)選方案,所述柵極電壓下降至閾值電壓的時(shí)間tgs由下述二階電路方程求得:

<mrow> <msub> <mi>LC</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>dt</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>G</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>du</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>dt</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>

其中,L為柵極電路等效電感與源極共模電感之和,Ciss為開關(guān)管的輸入電容,uGS為柵極電壓,RG為柵極驅(qū)動(dòng)電路等效電阻。

作為本發(fā)明的一種優(yōu)選方案,所述離線測(cè)量得到的溝道電流下降時(shí)間tcf為:離線狀態(tài)下,在負(fù)載最大、結(jié)溫最高工作條件時(shí)測(cè)量得到的溝道電流下降時(shí)間。

本發(fā)明采用以上技術(shù)方案與現(xiàn)有技術(shù)相比,具有以下技術(shù)效果:

1、本發(fā)明適用于SiC基橋臂功率電路的死區(qū)時(shí)間優(yōu)化控制方法,可以根據(jù)負(fù)載情況調(diào)整控制信號(hào)的死區(qū)時(shí)間,在保證系統(tǒng)工作的可靠性的基礎(chǔ)上,能有效地降低由死區(qū)時(shí)間帶來的損耗,提高變換器的工作效率。

2、本發(fā)明適用于SiC基橋臂功率電路的死區(qū)時(shí)間優(yōu)化控制方法,能夠充分發(fā)揮SiC器件的性能優(yōu)勢(shì),提高整機(jī)工作效率。

附圖說明

圖1是橋臂式結(jié)構(gòu)電路示意圖。

圖2是橋臂結(jié)構(gòu)電路的典型控制信號(hào)示意圖。

圖3是柵極驅(qū)動(dòng)電路等效電路示意圖。

圖4是漏源電壓上升時(shí)間tvr隨負(fù)載變化影響示意圖。

圖5是本發(fā)明死區(qū)時(shí)間優(yōu)化控制方法的電路框圖。

圖6是漏源電壓上升時(shí)間tvr測(cè)量原理波形示意圖。

圖7是本發(fā)明死區(qū)時(shí)間優(yōu)化控制方法的電路原理圖。

具體實(shí)施方式

下面詳細(xì)描述本發(fā)明的實(shí)施方式,所述實(shí)施方式的示例在附圖中示出。下面通過參考附圖描述的實(shí)施方式是示例性的,僅用于解釋本發(fā)明,而不能解釋為對(duì)本發(fā)明的限制。

本發(fā)明提出了一種適用于SiC基橋臂功率電路的死區(qū)時(shí)間優(yōu)化控制方法,通過實(shí)時(shí)檢測(cè)開關(guān)管的工作狀態(tài),可以根據(jù)負(fù)載情況調(diào)整控制信號(hào)的死區(qū)時(shí)間,在保證系統(tǒng)工作的可靠性基礎(chǔ)上,有效地降低由冗余死區(qū)時(shí)間帶來的損耗,提高變換器的工作效率。

由圖2所示,在橋臂電路的控制信號(hào)中,一個(gè)開關(guān)周期中需要設(shè)置兩段死區(qū)時(shí)間,分別為:(1)上管關(guān)斷,下管開通之前的死區(qū)時(shí)間(t1~t2);(2)下管關(guān)斷,上管開通之前的死區(qū)時(shí)間(t3~t4)。

在典型的橋臂結(jié)構(gòu)應(yīng)用中,上管導(dǎo)通時(shí),負(fù)載電流由電源,經(jīng)上管、橋臂中點(diǎn)流入負(fù)載端。上管關(guān)斷時(shí),在死區(qū)時(shí)間(t1~t2)內(nèi),負(fù)載電流會(huì)換流至與下管反并聯(lián)的續(xù)流二極管中,此時(shí)橋臂中點(diǎn)的電壓會(huì)發(fā)生突變,上管漏源電壓也會(huì)發(fā)生突變。下管導(dǎo)通時(shí),負(fù)載電流由負(fù)載端,經(jīng)橋臂中點(diǎn)、下管流入接地點(diǎn)。當(dāng)下管關(guān)斷時(shí),在死區(qū)時(shí)間(t3~t4)內(nèi),負(fù)載電流換流至上管并聯(lián)的續(xù)流二極管中,橋臂中點(diǎn)的電壓會(huì)發(fā)生突變,下管漏源電壓也發(fā)生突變。

由以上分析可見,在典型的橋臂結(jié)構(gòu)應(yīng)用中,上、下管關(guān)斷時(shí)漏源電壓均會(huì)突變,二者死區(qū)時(shí)間優(yōu)化調(diào)整策略相同。開關(guān)管關(guān)斷時(shí),開關(guān)管柵源電壓下降到閾值電壓的時(shí)間tgs不僅僅與柵極驅(qū)動(dòng)回路參數(shù)有關(guān),還與功率回路中開關(guān)管溝道電流降低至零的時(shí)間tcf和漏源電壓上升時(shí)間tvr有關(guān)。

本發(fā)明中,開關(guān)管柵極電壓下降到閾值電壓的時(shí)間tgs可以通過如圖3所示的等效電路來計(jì)算;如圖4所示,開關(guān)管溝道電流下降時(shí)間tcf受負(fù)載影響不大,可以取重載、高溫工作狀態(tài)下的測(cè)量結(jié)果;開關(guān)管漏源電壓上升時(shí)間tvr受負(fù)載的影響比較大,需要在線實(shí)時(shí)測(cè)量;為了防止負(fù)載過小時(shí),測(cè)量所得的tvr特別大,需要預(yù)設(shè)最大死區(qū)時(shí)間tdt(max)。這些時(shí)間都會(huì)輸入微控制器中,微控制器通過下式輸出最適宜的死區(qū)時(shí)間:

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該死區(qū)時(shí)間優(yōu)化調(diào)整控制方法的具體步驟如下:

以圖1所示電路中上管關(guān)斷為例進(jìn)行說明,要對(duì)SiC基電壓型變換器中橋臂功率電路死區(qū)時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化,需要知道上管柵源電壓下降時(shí)間tgs,溝道電流下降時(shí)間tcf,漏源電壓上升時(shí)間tvr。圖5給出了本發(fā)明死區(qū)時(shí)間優(yōu)化電路框圖。

具體方法如下:

(1)上管柵源電壓下降時(shí)間tgs可以通過如圖3所示等效電路計(jì)算獲得,一旦其驅(qū)動(dòng)電路參數(shù)確定,其柵源電壓下降時(shí)間tgs即可確定。

(2)由于器件溝道電流下降時(shí)間tcf難以測(cè)量,但其受到負(fù)載影響較小,因此tcf可取負(fù)載最大,結(jié)溫最高工作條件下的溝道電流下降時(shí)間tcf,可以事先通過離線測(cè)量獲得。

(3)上管漏源電壓上升時(shí)間tvr與負(fù)載大小有關(guān),需要實(shí)時(shí)測(cè)量。圖6給出了tvr測(cè)量原理波形示意圖,為了確定tvr,需要在橋臂電路中加入兩個(gè)輔助電路:a.柵源電壓檢測(cè)電路(GVTD);b.漏源電壓檢測(cè)電路(DVFD)。圖7給出了死區(qū)時(shí)間優(yōu)化控制電路原理圖,GVTD為上管柵源電壓變化檢測(cè)電路,DVFD為下管漏源電壓檢測(cè)電路(下管漏源電壓下降為零時(shí),上管漏源電壓即上升為電源電壓)。如圖7所示,邊沿檢測(cè)器H通過GVTD以一定頻率檢測(cè)上管柵源電壓,當(dāng)上管柵源電壓下降時(shí),邊沿檢測(cè)器H輸出sH1,經(jīng)信號(hào)隔離電路送入微控制器,微控制器中上管輔助調(diào)節(jié)電路輸出反饋信號(hào)sH(aux),經(jīng)上管信號(hào)隔離電路反饋到邊沿檢測(cè)器,提高檢測(cè)頻率,防止誤檢測(cè)。此時(shí),上管輔助調(diào)節(jié)電路輸出tH(aux)。相似的,下管輔助調(diào)節(jié)電路通過DVFD檢測(cè)下管漏源電壓下降沿,輸出tL(aux)。tH(aux)和tL(aux)之差即為tvr。

(4)由圖4可見,輕載時(shí)漏源電壓上升時(shí)間tvr會(huì)非常大,如果此時(shí)按照測(cè)量結(jié)果選取,死區(qū)時(shí)間設(shè)置過長(zhǎng),因此需預(yù)設(shè)最大死區(qū)時(shí)間tdt(max),防止負(fù)載過小時(shí),死區(qū)時(shí)間過長(zhǎng),影響變換器輸出電壓質(zhì)量和整機(jī)效率。

(5)微控制器采集到上述時(shí)間之后,根據(jù)公式(1)選擇最優(yōu)死區(qū)時(shí)間輸出tdt(opt)。上管關(guān)斷信號(hào)sH與最優(yōu)死區(qū)時(shí)間tdt(opt)相加則為下管開通信號(hào)SL。

以上為圖1所示電路中上管關(guān)斷情況,下管關(guān)斷時(shí)的情況與此相似,需要知道下管柵源電壓下降時(shí)間tgs,溝道電流下降時(shí)間tcf,漏源電壓上升時(shí)間tvr。

(1)下管柵源電壓下降時(shí)間tgs可以通過如圖3所示等效電路計(jì)算獲得。

(2)下管溝道電流下降時(shí)間tcf通過事先離線測(cè)量負(fù)載最大,結(jié)溫最高工作條件下的溝道電流下降時(shí)間。

(3)下管漏源電壓上升時(shí)間tvr需要實(shí)時(shí)測(cè)量。根據(jù)圖7給出的死區(qū)時(shí)間優(yōu)化控制電路原理圖,GVTD為下管柵源電壓變化檢測(cè)電路,DVFD為上管漏源電壓檢測(cè)電路(上管漏源電壓下降為零時(shí),下管漏源電壓即上升為電源電壓)。邊沿檢測(cè)器L通過GVTD以一定頻率檢測(cè)下管柵源電壓,當(dāng)下管柵源電壓下降時(shí),邊沿檢測(cè)器L輸出sL1,經(jīng)信號(hào)隔離電路送入微控制器,微控制器中下管輔助調(diào)節(jié)電路輸出反饋信號(hào)sL(aux),經(jīng)下管信號(hào)隔離電路反饋到邊沿檢測(cè)器,提高檢測(cè)頻率,防止誤檢測(cè)。此時(shí),下管輔助調(diào)節(jié)電路輸出tL(aux)。相似的,上管輔助調(diào)節(jié)電路通過DVFD檢測(cè)上管漏源電壓下降沿,輸出tH(aux)。tL(aux)和tH(aux)之差即為tvr。

(4)預(yù)設(shè)最大死區(qū)時(shí)間tdt(max),防止負(fù)載過小時(shí),死區(qū)時(shí)間過長(zhǎng),影響變換器輸出電壓質(zhì)量和整機(jī)效率。

(5)微控制器采集到上述時(shí)間之后,根據(jù)公式(1)選擇最優(yōu)死區(qū)時(shí)間輸出tdt(opt)。下管關(guān)斷信號(hào)sL與最優(yōu)死區(qū)時(shí)間tdt(opt)相加則為上管開通信號(hào)SH。

如圖3所示為柵極驅(qū)動(dòng)等效電路,其中:udr為驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào);RG為柵極驅(qū)動(dòng)電路等效電阻,為柵極驅(qū)動(dòng)電阻和開關(guān)管柵極內(nèi)部寄生電阻之和;LG為柵極電路等效電感,Lcm為源極共模電感,LG+Lcm在計(jì)算過程中記為L(zhǎng);Ciss為開關(guān)管輸入電容;uGS為柵極電壓。tgs具體計(jì)算過程如下:

圖3對(duì)應(yīng)的二階電路方程為:

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其特征方程為(特征方程是二階微分方程求解的一種中間形態(tài)):

LCissp2+RGCissp+1=0

其根為p1、p2

<mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>G</mi> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>G</mi> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>LC</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </msqrt> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>G</mi> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>G</mi> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>LC</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </msqrt> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> </mrow>

其中,

則,uGS解的形式為:

<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根據(jù)不同的情況,p1、p2的形式不同:

(1)當(dāng)時(shí):

p1和p2為不等的負(fù)實(shí)根,則

<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>

(2)當(dāng)時(shí):

p1和p2為一對(duì)共軛負(fù)根,j為虛數(shù)單位,則

<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <mi>&omega;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>t</mi> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </msup> <mo>;</mo> </mrow>

(3)當(dāng)時(shí):

p1和p2為重根,則

uGS=udre-δt(1+δ·t)。

以上實(shí)施例僅為說明本發(fā)明的技術(shù)思想,不能以此限定本發(fā)明的保護(hù)范圍,凡是按照本發(fā)明提出的技術(shù)思想,在技術(shù)方案基礎(chǔ)上所做的任何改動(dòng),均落入本發(fā)明保護(hù)范圍之內(nèi)。

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