一種基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)方法
【專利摘要】本發(fā)明公開(kāi)了一種基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)方法，為給定的正系統(tǒng)建立一個(gè)L1誘導(dǎo)性能指標(biāo)；在此基礎(chǔ)上根據(jù)L1誘導(dǎo)性能指標(biāo)確定所需設(shè)計(jì)的靜態(tài)輸出反饋控制器的存在條件；采用迭代算法求解靜態(tài)輸出反饋控制器的存在條件得到控制器增益矩陣，進(jìn)而得到輸出反饋控制器。本發(fā)明的輸出反饋控制器實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，應(yīng)用價(jià)值高。
【專利說(shuō)明】
-種基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器 設(shè)計(jì)方法
技術(shù)領(lǐng)域
[0001] 本發(fā)明設(shè)及一種時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)方法，屬于控制器設(shè)計(jì)技術(shù)領(lǐng) 域。
【背景技術(shù)】
[0002] 正系統(tǒng)是一類幾乎在所有領(lǐng)域中都能經(jīng)常見(jiàn)到的系統(tǒng)，比如經(jīng)濟(jì)學(xué)、生態(tài)科學(xué)、人 口模型、社會(huì)科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、傳播學(xué)W及生物醫(yī)學(xué)等，物理學(xué)中絕對(duì)溫度，相對(duì)溫度，物質(zhì)的 密度，電壓的大小，位移等，化學(xué)中各類物質(zhì)的量，生物學(xué)中蟲(chóng)口數(shù)量，人口模型中各個(gè)階段 的人口數(shù)量等等。運(yùn)類系統(tǒng)在空中交通流量控制，電力系統(tǒng)，系統(tǒng)生物學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)模型W及 化學(xué)工業(yè)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，因而近年來(lái)不斷受到到越來(lái)越多的來(lái)自不同學(xué)科研究學(xué) 者的關(guān)注。正系統(tǒng)一個(gè)顯著的公共特點(diǎn)就是在初始條件和有效輸入為非負(fù)量時(shí)，系統(tǒng)的狀 態(tài)量W及輸出也限制為非負(fù)值，其相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型可W采用正系統(tǒng)來(lái)描述。最近W 來(lái)，對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的科學(xué)一致性研究當(dāng)中也出現(xiàn)了大量的由正系統(tǒng)進(jìn)行描述的模型，運(yùn)些模 型都可W借助于正系統(tǒng)的相關(guān)理論進(jìn)行處理。然而，由于正系統(tǒng)是定義在錐上而不是在線 性空間上，因此具有和一般線性系統(tǒng)不同的性質(zhì)，比如，對(duì)于一般線性系統(tǒng)，如果系統(tǒng)是可 控的，那么系統(tǒng)的極點(diǎn)可W任意配置，但是對(duì)于正系統(tǒng)而言，運(yùn)樣的性質(zhì)便不再存在。由于 正系統(tǒng)的特殊性，許多適用于一般線性系統(tǒng)的方法并不能處理運(yùn)類系統(tǒng)，在其綜合問(wèn)題的 研究中存在很多挑戰(zhàn)性的難題。
[0003] 近些年來(lái)，正系統(tǒng)受到了很多研究控制方法的學(xué)者的親睞進(jìn)而取得了較大的進(jìn) 展。在研究?jī)?nèi)容上，大多集中在正系統(tǒng)的特征描述和行為分析上，比如正系統(tǒng)的穩(wěn)定性、正 實(shí)現(xiàn)問(wèn)題W及能控性等問(wèn)題，而對(duì)于正系統(tǒng)的控制綜合的問(wèn)題卻很少有人研究，運(yùn)主要是 因?yàn)檎到y(tǒng)是定義在錐體上而不是在線性空間上，因此正系統(tǒng)無(wú)法直接適用很多一般線性 系統(tǒng)中成熟的結(jié)論。目前，對(duì)于正系統(tǒng)的研究還處于起步階段，尚有大量理論和實(shí)際問(wèn)題亟 需，解決，因此，正系統(tǒng)的研巧前景是很廣闊的。
[0004] 與一般系統(tǒng)相類似，正系統(tǒng)控制的目標(biāo)是通過(guò)確定控制輸入W使得正系統(tǒng)的輸出 始終在期望的水平。比如在化學(xué)過(guò)程中，我們會(huì)希望反應(yīng)堆容器的溫度和壓力維持在期望 水平。出于較低的成本，較高的可靠性和結(jié)構(gòu)靈活性的實(shí)際需要，輸出反饋控制在許多實(shí)際 應(yīng)用中是較好的控制方法。尤其是近年來(lái)，隨著大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)的出現(xiàn)，控制器的設(shè)計(jì)需要 滿足一定的結(jié)構(gòu)要求，輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)就顯得尤為重要。
[0005] 正系統(tǒng)的研究起步較晚，最早可W追溯到化iron和Frobenius對(duì)非負(fù)矩陣的研究， 即著名的化rron-Frobenius定理。1948年，俄國(guó)學(xué)者Krein和Rutman做出了關(guān)于正算子的奠 基性工作，從此W后，正系統(tǒng)的研巧引起了大量關(guān)注。不久，美國(guó)學(xué)者Liienberger又在其著 作問(wèn)中給出了正系統(tǒng)研究的統(tǒng)一方法，隨之研究逐漸展開(kāi)。后來(lái)有學(xué)者從非負(fù)矩陣?yán)碚摰?方面對(duì)正系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了討論，運(yùn)種思路對(duì)該領(lǐng)域的研究至今仍起著重要的影響。 正系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性與對(duì)角二次穩(wěn)定之間的等價(jià)關(guān)系的建立為后來(lái)學(xué)者進(jìn)行復(fù)雜的正系 統(tǒng)的分析與有關(guān)設(shè)計(jì)提供了重大啟示。2007年，Rami等研究者首先利用線性規(guī)劃的方法建 立了有關(guān)正系統(tǒng)穩(wěn)定性的相關(guān)準(zhǔn)則。2010年，Bougatef等人首次提出周期正系統(tǒng)的概念，并 展開(kāi)了初步研究，但由于對(duì)周期正系統(tǒng)的研究起步較晚，并且研究的難度很大，所W現(xiàn)在的 理論成果并不盡如人意，還有很多懸而未決的問(wèn)題有待研究。正系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件和必 要條件，W及凸分析的方法已經(jīng)被有些學(xué)者提出。正系統(tǒng)的可觀測(cè)性和可控性也已在一些 文獻(xiàn)中給出詳盡的證明。對(duì)于非負(fù)動(dòng)態(tài)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的研究也已經(jīng)在有些文獻(xiàn)中有 所表述。與此同時(shí)，我們可W發(fā)現(xiàn)，正系統(tǒng)領(lǐng)域?qū)ΧS正系統(tǒng)的研究也取得了一些階段性的 成果。
[0006] 目前現(xiàn)有的對(duì)正系統(tǒng)的研究結(jié)論大多是基于二次Lyapunov函數(shù)，運(yùn)算的結(jié)果大多 是在線性矩陣不等式的框架下完成的，運(yùn)種數(shù)值計(jì)算的方法是可靠、有效的。近年來(lái)，基于 線性Lyapunov函數(shù)的一些新成果出現(xiàn)文獻(xiàn)中。運(yùn)些結(jié)論的理論基礎(chǔ)是正系統(tǒng)的各狀態(tài)量是 非負(fù)的，運(yùn)些非負(fù)量可W作為線性LyapunoV函數(shù)的參數(shù)。與二次LyapunoV函數(shù)的結(jié)果相比， 運(yùn)種方法得出的新結(jié)果更適合于分析與計(jì)算。然而，現(xiàn)在大多數(shù)研究者關(guān)注的都是穩(wěn)定性 分析與線性Lyapunov函數(shù)，而很少有人一直致力于控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。此外，一些常用的方 法如范是基于L2信號(hào)空間的，運(yùn)些方法并不能很好的描述一些實(shí)際物理系統(tǒng)的特性。 相反，Li范數(shù)能更好的描述正系統(tǒng)，因?yàn)閎范數(shù)表示的是各部分分量值的總和，例如，各個(gè)值 代表的是材料或某種動(dòng)物的數(shù)量。
[0007] 在過(guò)去的幾十年中，與正系統(tǒng)相關(guān)的綜合分析得到了越來(lái)越多的關(guān)注，研究成果 也越來(lái)越豐富，但由于正系統(tǒng)的特殊性和復(fù)雜性，還有很多領(lǐng)域至今未取得突破性的進(jìn)展， 值得進(jìn)一步研究。當(dāng)前正系統(tǒng)的研究領(lǐng)域十分活躍，設(shè)及的內(nèi)容也非常廣泛，可W說(shuō)與我們 現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)的各個(gè)領(lǐng)域都能用到正系統(tǒng)及相關(guān)理論成果。相比其他系統(tǒng)，正系統(tǒng)更 加貼近現(xiàn)實(shí)條件，正系統(tǒng)能給我們帶來(lái)相當(dāng)大的便利，所W研究運(yùn)類系統(tǒng)不僅具有重要的 理論意義和工程價(jià)值，而且還頗具挑戰(zhàn)性，可W相信正系統(tǒng)有著廣闊的應(yīng)用前景。
[000引總體來(lái)說(shuō)，與一般普通系統(tǒng)相比，正系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上復(fù)雜而富于新穎性，在研究上變 得困難而富有挑戰(zhàn)性，運(yùn)恰恰體現(xiàn)了正系統(tǒng)本身的研究?jī)r(jià)值。此外，時(shí)滯是現(xiàn)實(shí)世界及工程 實(shí)際中普遍存在的物理現(xiàn)象，在控制系統(tǒng)中，原器件老化、機(jī)械器件的磨損、物質(zhì)或信息的 傳遞和能量之間的轉(zhuǎn)換往往會(huì)導(dǎo)致時(shí)滯現(xiàn)象的產(chǎn)生。而時(shí)滯的存在使系統(tǒng)的分析和綜合變 得更加復(fù)雜，會(huì)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能產(chǎn)生比較大的影響，同時(shí)時(shí)滯往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定或 者衰減控制系統(tǒng)的性能，嚴(yán)重時(shí)可能導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰。本發(fā)明的主要研究?jī)?nèi)容為時(shí)滯正系統(tǒng) 的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)，設(shè)及正系統(tǒng)，時(shí)滯系統(tǒng)，輸出反饋控制，魯棒控制等研究方向，具有 很高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0009] 本發(fā)明針對(duì)上述問(wèn)題的不足，提出一種基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸 出反饋控制器設(shè)計(jì)方法，該方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，應(yīng)用價(jià)值高，。
[0010] 本發(fā)明為解決上述技術(shù)問(wèn)題提出的技術(shù)方案是：
[0011 ] -種基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)方法，為給定的 正系統(tǒng)建立一個(gè)^誘導(dǎo)性能指標(biāo)。在此基礎(chǔ)上根據(jù)^誘導(dǎo)性能指標(biāo)確定所需設(shè)計(jì)的靜態(tài)輸 出反饋控制器的存在條件。采用迭代算法求解靜態(tài)輸出反饋控制器的存在條件得到控制器 增益矩陣，進(jìn)而得到輸出反饋控制器。
[0012] 具體包括W下步驟：
[0013] 步驟1，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)、擾動(dòng)輸入、測(cè)量和控制輸出建立正系統(tǒng)，同時(shí)建立此正系統(tǒng) 的^誘導(dǎo)性能指標(biāo)：
[0014] 步驟2,對(duì)步驟1所建立的正系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)^誘導(dǎo)性能指標(biāo)下的靜態(tài)輸出反饋控制 器，所述正系統(tǒng)在此靜態(tài)輸出反饋控制器下得到一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，且所述閉環(huán)系統(tǒng)為正且漸 近穩(wěn)定的，并滿足^誘導(dǎo)性能指標(biāo)。
[0015] 步驟3,采用迭代算法求解閉環(huán)系統(tǒng)滿足的條件得到輸出反饋控制器的增益矩陣， 進(jìn)而得到所要設(shè)計(jì)的輸出反饋控制器。
[0016] 優(yōu)選的:所述步驟1建立的正系統(tǒng)為：
[0017]
[001引其中，x(t) GRD表示系統(tǒng)狀態(tài)，雌)表示X(t)的導(dǎo)數(shù)，t表示時(shí)間，T表示時(shí)滯，U(t) 表示控制輸入，W (t) GR?表示擾動(dòng)輸入，z(t) GR9表示控制輸出，y(t) GRT表示測(cè)量輸出， A, Ad, B, Bw, Cz, Dz, Dzw, C 表不系數(shù)矩陣。
[0019] 所述步驟2中得到的靜態(tài)輸出反饋控制器為u(t)=Ky(t)，其中，u(t)表示控制輸 入，K表示控制器增益矩陣，y(t)表示測(cè)量輸出。
[0020] 配擊噓9由值至Il的配曲訪完紐電.
[0021]
[0022] S康示閉環(huán)系統(tǒng)，X(t) G r表示系統(tǒng)狀態(tài)，帶)表示X(t)的導(dǎo)數(shù)，t表示時(shí)間，T表示 時(shí)滯，CO (t) E Rm表示擾動(dòng)輸入，Z (t) G Rq表示控制輸出，K表示增益矩陣，A，Ad，B，Bw，Cz，Dz， Dzw, C表示系數(shù)矩陣，其中，A表示系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣，Ad表示時(shí)間系數(shù)矩陣，B表示控制輸入 系數(shù)矩陣，B。表示擾動(dòng)輸入系數(shù)矩陣，Cz表示控制輸出中的系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣，Dz表示控制 輸出中的控制輸入系數(shù)矩陣，Dz。表示控制輸出中的擾動(dòng)輸入系數(shù)矩陣，C表示測(cè)量輸出中 的系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣。
[0023] 所述b誘導(dǎo)性能指標(biāo)為：當(dāng)(1) (0) =0時(shí)，IHI^ < 。其中，(1) (0)表示初始條件， HI&隸示Z (1：)的。范數(shù)，IHLi表示O (t)的。范數(shù)。
[0024] 當(dāng)(1) (O)=O時(shí)，114, <HMk的充分必要條件是存在增益矩陣K和一個(gè)向量 滿足如下不等式：
[0025] A+服 C是Metz Ier。
[0026] Cz+DzKC^^O,
[0027] 1T (Cz+DzKC) +pT (A+BKC+Ad)《《0，
[002引 pTBu+l^)z。- 丫 lT《《0，
[0029] 其中，Metzler表示非對(duì)角線元素全為正的矩陣，丫表示性能指標(biāo)。
[0030] 所述步驟3中采用迭代算法求解閉環(huán)系統(tǒng)滿足的條件得到輸出反饋控制器的增益 矩陣的方法：
[0031] 步驟31，設(shè)當(dāng)i = 1時(shí)，對(duì)于正系統(tǒng)，選擇一個(gè)輸出反饋控制器U(t) = Kiy (t)，使得 閉環(huán)系統(tǒng)為正且是漸進(jìn)穩(wěn)定的。
[00創(chuàng)步驟32,對(duì)于某一固定Ki,當(dāng)丫 1>0時(shí)，解決W下最優(yōu)化的問(wèn)題：
[0033] 在下列限制條件下減少丫 1的值：
[0034] 1T (Cz+DzKC) +pT (A+BKC+Ad)《《0，
[0035] pTBu+l^)z。- 丫 1了《《0，
[0036] pi>>〇。
[0037] 則r;，pi是上述最優(yōu)化問(wèn)題的解，如果I把-紀(jì))/n|<句當(dāng)Cl在限定的范圍內(nèi)，貝IJ Kopt 二 Ki ,p = pi,p = pi。
[003引步驟33,對(duì)于某一固定的Pi,解決W下最優(yōu)化問(wèn)題中的Ki的值：
[0039] 在下列限制條件下減少丫 1的值：
[0040] A+服 C是Metzler,
[0041 ] Cz+DzKC^^O,
[0042] 1T (Cz+DzKC) +pT (A+BKC+Ad)《《0，
[0043] pTR。+化。-丫 1了《《0，
[0044] 貝岐是上述最優(yōu)化問(wèn)題的解，如果I(r;-點(diǎn))/r;|<&當(dāng)。在限定的范圍內(nèi)時(shí)，貝IJ > Kopt 二Ki , P 二 Pi。
[0045] 步驟34,設(shè)定i = i+l W及Ki = Ki-I,然后繼續(xù)步驟32的操作。
[0046] 本發(fā)明的一種基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)方法， 相比現(xiàn)有技術(shù)，具有W下有益效果：
[0047] 本發(fā)明針對(duì)時(shí)滯正系統(tǒng)，為增益性能的分析、增益性能下的控制器設(shè)計(jì)等問(wèn)題提 出有效的分析與控制方法，建立一套較為完整的時(shí)滯正系統(tǒng)性能分析與控制器綜合的方 法。具體地，本發(fā)明為時(shí)滯正系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)提出新的刻畫(huà)?；谶\(yùn)些刻畫(huà)，給出 輸出反饋控制器設(shè)計(jì)結(jié)果并建立算法求解運(yùn)些條件。相較于一般系統(tǒng)，正系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上具 有特殊性，相應(yīng)的研究方法很新穎，因此解決時(shí)滯正系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題有望通過(guò)新的 解決思路，得到新穎，低保守性且更易于實(shí)現(xiàn)的結(jié)果。
【附圖說(shuō)明】
[004引圖1是迭代過(guò)程中^隨著變量i的變化圖。
[0049] 圖2是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Xi隨著時(shí)間的變化圖。
[0050] 圖3是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)X2隨著時(shí)間的變化圖。
[0051 ]圖4是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)X3隨著時(shí)間的變化圖。
[0052] 圖5是閉環(huán)系統(tǒng)Xi隨著時(shí)間的變化圖。
[0053] 圖6是閉環(huán)系統(tǒng)X2隨著時(shí)間的變化圖。
[0054] 圖7是閉環(huán)系統(tǒng)X3隨著時(shí)間的變化圖。
【具體實(shí)施方式】
[0055] 附圖非限制性地公開(kāi)了本發(fā)明一個(gè)優(yōu)選實(shí)施例的結(jié)構(gòu)示意圖，W下將結(jié)合附圖詳 細(xì)地說(shuō)明本發(fā)明的技術(shù)方案。
[0056] 實(shí)施例
[0057] 本實(shí)施例的一種基于線性Ly apuno V方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)方 法，為給定的正系統(tǒng)建立一個(gè)b誘導(dǎo)性能指標(biāo)。在此基礎(chǔ)上根據(jù)b誘導(dǎo)性能指標(biāo)確定所需設(shè) 計(jì)的靜態(tài)輸出反饋控制器的存在條件。采用迭代算法求解靜態(tài)輸出反饋控制器的存在條件 得到控制器增益矩陣，進(jìn)而得到輸出反饋控制器。
[005引本發(fā)明總體目標(biāo)是基于線性Lyapunov方法，為時(shí)滯正系統(tǒng)設(shè)計(jì)^誘導(dǎo)性能指標(biāo)下 的輸出反饋控制器，也就是說(shuō)對(duì)于一個(gè)給定的正系統(tǒng)，本發(fā)明的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)輸出反饋 控制器，使得給定的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的且滿足規(guī)定的^誘導(dǎo)性能。首先，本發(fā)明為給定的時(shí) 滯正系統(tǒng)建立一個(gè)^誘導(dǎo)性能指標(biāo)。在此基礎(chǔ)上根據(jù)要求的性能指標(biāo)，提出所需設(shè)計(jì)的靜 態(tài)輸出反饋控制器的存在條件。之后進(jìn)一步給出求解控制器增益矩陣的具體算法。最后，W 一個(gè)有具體數(shù)值的實(shí)際例子為例，用本發(fā)明中給出的迭代算法進(jìn)行求解，設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制 器，驗(yàn)證本發(fā)明中提出的控制器設(shè)計(jì)方法和求解算法的有效性和可行性，實(shí)現(xiàn)本發(fā)明的總 體發(fā)明目標(biāo)。
[0059] 具體包括W下步驟。
[0060] 步驟1性能指標(biāo)的建立與控制問(wèn)題描述
[0061] 在本發(fā)明中，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)、擾動(dòng)輸入、測(cè)量和控制輸出給定W下系統(tǒng)：
[0062] 姑
[0063] 其中，義(〇￡滬，《(〇￡滬，7(〇￡護(hù)和2(〇￡1?9分別是系統(tǒng)的狀態(tài)，擾動(dòng)輸入，測(cè) 量和控制輸出。(6(9)的初始條件是[-T，0]，T>〇;.命)表示x(t)的導(dǎo)數(shù)，x(t)er表示系統(tǒng) 狀態(tài)，W (t) GR?表示擾動(dòng)輸入，z(t) GR9表示控制輸出，y(t) ￡護(hù)表示測(cè)量輸出，1:表示時(shí) 間，T表示時(shí)滯，A，Ad，Bw，Cz，Dzw，Cx表示系數(shù)矩陣，其中，A表示系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣，Ad表示時(shí) 間系數(shù)矩陣，B表示控制輸入系數(shù)矩陣，B。表示擾動(dòng)輸入系數(shù)矩陣，Cz表示控制輸出中的系 統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣，Dz表示控制輸出中的控制輸入系數(shù)矩陣，Dz。表示控制輸出中的擾動(dòng)輸入 系數(shù)矩陣，C表示測(cè)量輸出中的系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣。
[0064] 接下來(lái)給出W下定義，運(yùn)些定義同樣適用于本發(fā)明。
[0065] 定義1設(shè)定S是一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性正系統(tǒng)，則如果任何初始條件(1)(0)>〇，0￡[- T，0]，W及《(t)>>0，我們都有，當(dāng)t>0時(shí)，x(t)>>0，z(t)>>0和y(t)>>0。
[0066] 接下來(lái)介紹將在本發(fā)明中用到的一些結(jié)論。
[0067] 引理1 S是一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性正系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：
[006引 A is Metzler，Ad>>0，Bu>>0，Cz>>0，Dzu>>0，C>>0。
[0069] 引理2,設(shè)S是正系統(tǒng)。S是穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)向量P>>0(或者p>>0)滿 足：
[0070] pT(A+Ad)《0， (2)
[0071] 最后，我們給出^誘導(dǎo)范數(shù)的定義。對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的正系統(tǒng)S，(6(0) = 0,0^ [-T， 0]，它的^誘導(dǎo)范數(shù)可W定父為：
[0072] 巧）
[0073] 3:1^1^^表示卷積運(yùn)算符，也就有了
。我們就說(shuō)正系統(tǒng)S在丫水
^了 I"；赤馬M:臺(tái)接屯-
[0074] (4)
[0075] 其中丫 >0是已經(jīng)給定的值。
[0076] 接下來(lái)，本發(fā)明中要解決的b誘導(dǎo)性能的靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題可W被 描述如下。
[0077] 給吿W下TF累統(tǒng)，
[007引 ， (：5)
[0079] 其中，X(t) G r表示系統(tǒng)狀態(tài)，雌)表示X(t)的導(dǎo)數(shù)，t表示時(shí)間，T表示時(shí)滯，U(t) 表示控制輸入，《 (t) G Rm表示擾動(dòng)輸入，Z (t) G R9表示控制輸出，y (t) G r表示測(cè)量輸出， A，Ad，B，Bw，Cz，Dz，Dzw，C表示系數(shù)矩陣。
[0080] 設(shè)計(jì)一個(gè)靜態(tài)輸出反饋控制器u(t)=Ky(t)，u(t)表示控制輸入，K表示控制器增 益矩陣，y(t)表示測(cè)量輸出，并使得W下閉環(huán)系統(tǒng)：
[0081] ，: (4-?
[0082]為正系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定，并滿足^誘導(dǎo)性能指標(biāo)。
[008；3] 其中，Sc表示閉環(huán)系統(tǒng)，x(t) Er表示系統(tǒng)狀態(tài)，雄)表示x(t)的導(dǎo)數(shù)，t表示時(shí)間， T表示時(shí)滯，《 (t) G r表示擾動(dòng)輸入，Z (t) G R9表示控制輸出，K表示增益矩陣，A，Ad，B，Bw， Cz，Dz，Dzw，C表示系數(shù)矩陣。
[0084] 步驟2系統(tǒng)的性能分析
[0085] 下面提出W下定理，此定理表征了正系統(tǒng)（1)穩(wěn)定且滿足性能指標(biāo)(4)的基本條件 和特征。
[0086] 定理1假設(shè)強(qiáng)一個(gè)正系統(tǒng)。正系統(tǒng)S穩(wěn)定并滿足當(dāng)(6(目）=0時(shí)Hl^ <fHk，當(dāng)且 僅當(dāng)存在一個(gè)向量P 滿足：
[0087] lTCz+pT(A+Ad)《《0， (3-1)
[008引 pTRu+l^z。-丫 1了《《0。 （3-2)
[0089] 下面給出定理1的證明：
[0090] (充分性)在下面的證明中，我們分別考慮兩種情況:x(t)s〇W及存在一個(gè)t，使得 x(t)聲0。
[00川首先，對(duì)于x(t) ，從公式(3-1)中，系統(tǒng)（1)的漸近穩(wěn)定件前,旦至I肺日日很容易 看到，如果x(t)=0,就有z(t)=Dzu? (T)，從公式(3-2)中可W得出
[0092] 接下來(lái)，我們假設(shè)存在一個(gè)t，使得x(t)聲0。通過(guò)驗(yàn)證公式(3-1)，我們可W得到公 式(3-2)是成立的，因此系統(tǒng)（1)的漸近穩(wěn)定性得到了證明。
[0093] 對(duì)于線性Lyapunov方程
，
[0094] 可W得到：
[009引 當(dāng)e>0無(wú)窮小時(shí)；[0099] lTCz+pT(A+Ad)+elT《《〇成立。[0100] 從公式(3-1)和公式(3-2)中可W得出：
[0095]
[0096]
[0097]
[0101]
[0102] 等同于：
[0103]
[0104]
[0105] (3-3)
[0106]
[0107]
[0108] 綜上，定理的充分性得到了證明。
[0109] (必要性)假設(shè)系統(tǒng)（2.1)是穩(wěn)定的，并滿足當(dāng)X(O) = O日 根據(jù)定理， O W下不等式成立：
WW 巧一巧
[0111]
[0112]
[0113] ，
[0114] 晰，我們就有：
[0115] 巧-巧
[0116] 另一方面，我們有：
[0117] 1化,。+口了8。-丫1了=1化,。-1記(4+4<1)-18。+巧了8。-丫1了。 （3-8)
[0118] 從公式(3-6似及e>〇是無(wú)窮小的量，我們可W得出公式(3-2)是成立的。到此，我 們就完成了定理的整個(gè)充分性和必要性的證明。
[0119] 步驟3,控制器的設(shè)計(jì)及具體算法
[0120] 下面的定理給出輸出反饋控制器存在的判別條件。
[0121] 定理2給定一個(gè)正系統(tǒng)Sd,閉環(huán)系統(tǒng)Sc也是正系統(tǒng)，并滿足當(dāng)& (O)=O時(shí) < HHL的充分必要條件是存在一個(gè)矩陣K和一個(gè)向量>0滿足如下不等式：
[0122] A+服C是Metzler, (4-3)
[0123] Cz+DzKC^^O, (4-4)
[0124] lT(Cz+DzKC)+pT(A+BKC+Ad)《《0， (4-5)
[0125] pTRu+l^z。-丫 1了《《0， (4-6)
[01%]其中，Metzler表示非對(duì)角線元素全為正的矩陣，丫表示性能指標(biāo)。
[0127]我們注意到李雅普諾夫矢量P與公式(4-5)中控制器矩陣K是禪合的，運(yùn)是不容易 著手解決的。然而，當(dāng)矩陣K是固定的時(shí)候，公式(4-5)相對(duì)于其余變量是線性的。因此，W下 迭代算法可W用來(lái)求解定理2,得到所要設(shè)計(jì)的控制器。
[012引迭代算法大體內(nèi)容如下：
[0129] 第一步設(shè)當(dāng)i = l時(shí)，對(duì)于如下正系統(tǒng)：
[0130]
[0131] 選擇一個(gè)u(t)=Kiy(t)，使得閉環(huán)系統(tǒng)為正且是漸進(jìn)穩(wěn)定的。
[Om] 第二步對(duì)于某一固定Ki，當(dāng)pi>>0，W及丫 i>0時(shí)，解決W下最優(yōu)化的問(wèn)題。
[0133] 在下列限制條件下減少丫 1的值。
[0134] 1T (Cz+DzKC) +pT (A+BKC+Ad)《《0，
[0135] pTR。+化。-丫 1了《《0，
[0136] 口冷>〇。
[0137] 貝是上述最優(yōu)化問(wèn)題的解。如果I;批-記)成|<巧，當(dāng)Ei在限定的范圍內(nèi)，貝IJ Kopt 二Ki , P 二 pi，P 二 pi O
[0138] 第S步對(duì)于某一固定的pi，解決W下最優(yōu)化問(wèn)題中的Ki的值。
[0139] 在下列限制條件下減少丫 1的值。
[0140] A+服 C是Metzler,
[0141] Cz+DzKC^^O,
[0142] 1T (Cz+DzKC) +pT (A+BKC+Ad)《《0，
[0143] pTBu+l^)z。-丫 lT《《0
[0144] 貝IJ片是上述最優(yōu)化問(wèn)題的解。如果I批-記)從|<馬當(dāng)。在限定的范圍內(nèi)時(shí)，貝IJ Kopt 二Ki , P 二 pi O
[0145] 第四步先設(shè)定i = i+m及Ki = Ki-I,然后繼續(xù)步驟2的操作。
[0146] 步驟4,通過(guò)仿真算例驗(yàn)證方法的有效性
[0147] 假巧有Pi下市系統(tǒng)：
[014 引
[0149]
[0150]
[0151]
[0152]
[0153] 通過(guò)利用算法求解定理2的條件，經(jīng)過(guò)10次迭代后，我們得到丫^上限為0.1218的 結(jié)果，證明運(yùn)是一個(gè)可行的解決方案，于是得到：
[0154] p = [0.2061 0.1880 0.9324]
[01W]從而進(jìn)一步得靜態(tài)輸出反饋控制器矩陣：
[0156] Kopt = [-7.9999 -2.4000]
[0157] 圖1顯示了隨著變量i的迭代r；'的變化情況。從圖1中可W清楚地看到，隨著于i迭 代次數(shù)的增加，^的值是單調(diào)遞減的。
[0158] 為了說(shuō)明干擾抑制性能，外部擾動(dòng)CO (t)為：
[0159]
[0160] 模擬的初始條件為：
[0161] x(0) = [500 200 300]t。
[0162] 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)如圖2-7所示。其中，圖2-4是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)變量隨著時(shí)間 的變化，圖5-7是閉環(huán)系統(tǒng)變量隨著時(shí)間的變化，從中我們可W看到該系統(tǒng)可W通過(guò)控制器 穩(wěn)定。
[0163] 上面結(jié)合附圖所描述的本發(fā)明優(yōu)選具體實(shí)施例僅用于說(shuō)明本發(fā)明的實(shí)施方式，而 不是作為對(duì)前述發(fā)明目的和所附權(quán)利要求內(nèi)容和范圍的限制，凡是依據(jù)本發(fā)明的技術(shù)實(shí)質(zhì) 對(duì)W上實(shí)施例所做的任何簡(jiǎn)單修改、等同變化與修飾，均仍屬本發(fā)明技術(shù)和權(quán)利保護(hù)范疇。
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 一種基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)方法，其特征在 于:為給定的正系統(tǒng)建立一個(gè)1^誘導(dǎo)性能指標(biāo);在此基礎(chǔ)上根據(jù)1^誘導(dǎo)性能指標(biāo)確定所需設(shè) 計(jì)的靜態(tài)輸出反饋控制器的存在條件;采用迭代算法求解靜態(tài)輸出反饋控制器的存在條件 得到控制器增益矩陣，進(jìn)而得到輸出反饋控制器。2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì) 方法，其特征在于，包括以下步驟： 步驟1，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)、擾動(dòng)輸入、測(cè)量和控制輸出建立正系統(tǒng)，同時(shí)建立此正系統(tǒng)的1^ 誘導(dǎo)性能指標(biāo)： 步驟2,對(duì)步驟1所建立的正系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)U誘導(dǎo)性能指標(biāo)下的靜態(tài)輸出反饋控制器，所 述正系統(tǒng)在此靜態(tài)輸出反饋控制器下得到一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，且所述閉環(huán)系統(tǒng)為正且漸近穩(wěn)定 的，并滿足1^誘導(dǎo)性能指標(biāo)； 步驟3,采用迭代算法求解閉環(huán)系統(tǒng)滿足的條件得到輸出反饋控制器的增益矩陣，進(jìn)而 得到所要設(shè)計(jì)的輸出反饋控制器。3. 根據(jù)權(quán)利要求2所述的基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì) 方法，其特征在于:所述步驟1建立的正系統(tǒng)為：其中，x(t) eRn表示系統(tǒng)狀態(tài)，表示x(t)的導(dǎo)數(shù)，t表示時(shí)間，τ表示時(shí)滯，u(t)表示 控制輸入，ω (t) eRm表示擾動(dòng)輸入，z(t) eRq表示控制輸出，y(t) e礦表示測(cè)量輸出，A表示 系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣，Ad表示時(shí)間系數(shù)矩陣，B表示控制輸入系數(shù)矩陣，Βω表示擾動(dòng)輸入系數(shù) 矩陣，(^表不控制輸出中的系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣，0 2表不控制輸出中的控制輸入系數(shù)矩陣，DZCJ 表不控制輸出中的擾動(dòng)輸入系數(shù)矩陣，C表不測(cè)量輸出中的系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣。4. 根據(jù)權(quán)利要求2所述的基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì) 方法，其特征在于:所述步驟2中得到的靜態(tài)輸出反饋控制器為u (t)=Ky(t)，其中，u(t)表 示控制輸入，K表示控制器增益矩陣，y(t)表示測(cè)量輸出。5. 根據(jù)權(quán)利要求2所述的基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì) 方法，其特征在于:所述步驟2中得到的所述閉環(huán)系統(tǒng)為：Sc表示閉環(huán)系統(tǒng)，x(t) e Rn表示系統(tǒng)狀態(tài)，.i(i)表示x(t)的導(dǎo)數(shù)，t表示時(shí)間，τ表示時(shí)滯， ω (t) e Rm表示擾動(dòng)輸入，z (t) e r表示控制輸出，Κ表示增益矩陣，Α表示系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩 陣，Ad表示時(shí)間系數(shù)矩陣，B表示控制輸入系數(shù)矩陣，Βω表示擾動(dòng)輸入系數(shù)矩陣，C z表示控制 輸出中的系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣，〇2表不控制輸出中的控制輸入系數(shù)矩陣，DZCJ表不控制輸出中 的擾動(dòng)輸入系數(shù)矩陣，C表不測(cè)量輸出中的系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣。6. 根據(jù)權(quán)利要求2所述的基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì) 方法，其特征在于:所述U誘導(dǎo)性能指標(biāo)為：當(dāng)Φ (0) =0時(shí)，Ha < rlHz,..其中，Φ (0)表示初 '4 始條件，Κ表示z (t)的Li范數(shù)，表示ω (t)的Li范數(shù)。7. 根據(jù)權(quán)利要求6所述的基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì) 方法，其特征在于：當(dāng)Φ (0) =0時(shí)，的充分必要條件是存在增益矩陣K和一個(gè)向 量滿足如下不等式： A+BKC是Metzler; Cz+DzKC^^O, 1T (Cz+DzKC) +ρτ (A+BKC+Ad ρτΒω+1τ?ζω-γ 1T^^0； 其中，Metzler表示非對(duì)角線元素全為正的矩陣，γ表示性能指標(biāo)。8. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于線性Lyapunov方法的時(shí)滯正系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì) 方法，其特征在于:所述步驟3中采用迭代算法求解閉環(huán)系統(tǒng)滿足的條件得到輸出反饋控制 器的增益矩陣的方法： 步驟31，設(shè)當(dāng)i = 1時(shí)，對(duì)于正系統(tǒng)，選擇一個(gè)輸出反饋控制器u(t) = Kiy (t)，使得閉環(huán)系 統(tǒng)為正且是漸進(jìn)穩(wěn)定的； 步驟32,對(duì)于某一固定Ki，當(dāng)pi彡彡0, γ i>0時(shí)，解決以下最優(yōu)化的問(wèn)題： 在下列限制條件下減少γ :的值： 1T (Cz+DzKC) +pT (A+BKC+Ad ρτΒω+1τ?ζω-γ 1Τ^^0, Pi多多0; 則< ?1是上述最優(yōu)化問(wèn)題的解，如果一 當(dāng)￡1在限定的范圍內(nèi)，則KQpt = ' > Ki,p = pi,p = pi； 步驟33,對(duì)于某一固定的?1，解決以下最優(yōu)化問(wèn)題中的L的值： 在下列限制條件下減少γ i的值： A+BKC是Metzler， Cz+DzKC^ 1T (Cz+DzKC) +ρτ (A+BKC+Ad ρτΒω+1τ?ζω-γ 1Τ^^0, 則 < 是上述最優(yōu)化問(wèn)題的解，如果當(dāng)。在限定的范圍內(nèi)時(shí)，則K〇pt = Ki,p = pi； 步驟34，設(shè)定i = i+1以及KiiKi-i，然后繼續(xù)步驟32的操作。
【文檔編號(hào)】G06F17/50GK105956339SQ201610432088
【公開(kāi)日】2016年9月21日
【申請(qǐng)日】2016年6月16日
【發(fā)明人】陳曉明, 陳謀
【申請(qǐng)人】南京航空航天大學(xué)