基于fft的深溝球軸承和角接觸球軸承彈性變形快速計(jì)算方法
【專利摘要】本發(fā)明涉及一種基于FFT的深溝球軸承和角接觸球軸承彈性變形快速計(jì)算方法，屬于滾動(dòng)軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)領(lǐng)域。該方法基于深溝球軸承和角接觸球軸承的點(diǎn)接觸應(yīng)力分布和影響系數(shù)矩陣，將離散循環(huán)卷積定理和FFT技術(shù)應(yīng)用于軸承彈性變形計(jì)算中，計(jì)算各滾動(dòng)體與內(nèi)圈或外圈之間的彈性變形量及各滾動(dòng)體與內(nèi)外圈總的彈性變形量。本發(fā)明提供的方法能夠有效解決傳統(tǒng)方法計(jì)算效率不高的問題，因?yàn)槭褂脗鹘y(tǒng)方法計(jì)算深溝球軸承和角接觸球軸承彈性變形時(shí)需要進(jìn)行復(fù)雜的四重循環(huán)計(jì)算，嚴(yán)重耗費(fèi)計(jì)算機(jī)內(nèi)存且計(jì)算量很大，而本方法只要正確運(yùn)用離散循環(huán)卷積定理和FFT技術(shù)，便能準(zhǔn)確、快速地獲得計(jì)算區(qū)域內(nèi)的軸承彈性變形。
【專利說明】
基于FFT的深溝球軸承和角接觸球軸承彈性變形快速計(jì)算 方法
技術(shù)領(lǐng)域
[0001]本發(fā)明屬于滾動(dòng)軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)領(lǐng)域，涉及一種基于FFT(Fast Fourier Transform:快速傅里葉變換)的深溝球軸承和角接觸球軸承彈性變形快速計(jì)算方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 作為重要的動(dòng)力傳遞部件，深溝球軸承和角接觸球軸承在工程機(jī)械、軌道交通、航 空航天及新能源等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。深溝球軸承和角接觸球軸承各滾動(dòng)體與內(nèi)圈或外 圈之間彈性變形的快速求解有助于軸承動(dòng)態(tài)特性（剛度、阻尼）分析和油膜厚度計(jì)算。在經(jīng) 典的軸承分析中普遍采用剛性套圈假設(shè)，即假定軸承套圈是不發(fā)生彈性變形的剛體，彈性 變形只發(fā)生在滾動(dòng)體上，滾動(dòng)體與套圈的接觸只會(huì)產(chǎn)生局部的接觸變形而不會(huì)改變套圈的 整體形狀和尺寸。這種處理方法雖然為套圈的位移和軸承彈性變形分析帶來了很大的方 便，但是它無法準(zhǔn)確反映出軸承內(nèi)外套圈的變形量，從而無法準(zhǔn)確預(yù)測軸承的油膜剛度、接 觸剛度和阻尼，也無法用于分析考慮軸承表面加工精度時(shí)的軸承彈性變形。此外，使用傳統(tǒng) 的Boussinesq方法計(jì)算深溝球軸承和角接觸球軸承彈性變形時(shí)需要進(jìn)行復(fù)雜的四重循環(huán) 運(yùn)算，嚴(yán)重耗費(fèi)計(jì)算機(jī)內(nèi)存且計(jì)算量很大，尤其是當(dāng)網(wǎng)格密度較大時(shí)，計(jì)算量將呈指數(shù)級增 長。
[0003] 所以，傳統(tǒng)的滾動(dòng)軸承彈性變形計(jì)算方法更多的是具有統(tǒng)計(jì)與經(jīng)驗(yàn)意義，其精度 上不夠準(zhǔn)確、效率上不夠高效。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0004] 有鑒于此，本發(fā)明的目的在于提供一種基于FFT的深溝球軸承和角接觸球軸承彈 性變形快速計(jì)算方法，該方法能夠解決傳統(tǒng)方法中存在的精度差、效率低的問題。
[0005] 為達(dá)到上述目的，本發(fā)明提供如下技術(shù)方案：
[0006] -種基于FFT的深溝球軸承和角接觸球軸承彈性變形快速計(jì)算方法，其特征在于： 包括以下步驟：
[0007] S1:給定/修正軸承載荷分布范圍參數(shù)e ;
[0008] S2:查詢載荷分布積分表并通過線性插值得到載荷分布積分Jr( e);
[0009] S3:由式Sr = Pd/[2(l-2e)]計(jì)算得到內(nèi)、外圈在徑向載荷方向上的相對位移Sr，其 中Pd表示徑向游隙；
[0010] S4:由式?:。= 21(11(心-?(1/2)1勺:（￡)計(jì)算得到計(jì)算外載荷?:。，其中2表示滾動(dòng)體數(shù) 目，1表示滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈之間總的負(fù)荷-變形常數(shù)；
[0011] S5:判斷計(jì)算外載荷Fr。與給定的徑向載荷Fr之間的關(guān)系是否滿足收斂條件，若 (Frc_Fr)/Fr | > |，則按照式enew = eold(Frc/Fr) -e修正e并重復(fù)步驟S1 -步驟S4，其中，|一般取 0 ? 00 1，在0 ? 00 1與0 ? 0 1之間取任意值；若| (Frc-Fr ) / Fr |彡|，則依據(jù)式
計(jì)算各滾球的載荷分布么^…，々，其中七表示各滾動(dòng)體的方位 角，i = l，???，Z，執(zhí)行下一步；
[0012] S6:依據(jù)各滾球的載荷分布，運(yùn)用Hertz接觸理論，計(jì)算接觸橢圓長、短半軸長a、b;
[0013] S7:計(jì)算各滾球在內(nèi)、外圈接觸區(qū)上的接觸應(yīng)力分布p，將接觸應(yīng)力分布函數(shù)p(x, y)離散為(M+l) X (N+1)的矩陣p，然后補(bǔ)零使其成為2MX 2N的應(yīng)力矩陣p' ；
[0014] S8:以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，在4倍的計(jì)算區(qū)域內(nèi)求得影響系數(shù)矩陣C，維數(shù)為2MX2N;
[0015] S9:對矩陣p'和C分別進(jìn)行FFT變換，得到其FFT變換矩陣r和^
[0016] S10: F和e的對應(yīng)項(xiàng)相乘得到頻域內(nèi)的彈性變形矩陣6,對?作IFFT變換（Inverse Fast Fourier Transform:快速傅里葉逆變換)得到時(shí)域上的彈性變形矩陣D;
[0017] 311:令￥^ = 0[^,_(1=0，1，...凡」=0，1，...，?，獲得待求計(jì)算域內(nèi)的彈性變 形V^，分別在各滾球與內(nèi)、外圈接觸區(qū)上進(jìn)行步驟S6-步驟S11，得到各滾球與內(nèi)、外圈間的 彈性變形分布。
[0018]進(jìn)一步，在步驟S8中，影響系數(shù)矩陣C的求解采用Green函數(shù)法
[0019] 本發(fā)明的有益效果在于:本方法能用于同時(shí)計(jì)算滾動(dòng)體的彈性變形和內(nèi)、外圈的 彈性變形，也能用于考察滾動(dòng)體和內(nèi)、外滾道加工精度對軸承彈性變形的影響，能夠使計(jì)算 結(jié)果更加符合實(shí)際情況，也使得軸承剛度、阻尼和油膜厚度的計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確，避免了傳 統(tǒng)Boussinesq方法中四重循環(huán)的運(yùn)算，尤其是網(wǎng)格密度較大時(shí)，能極大程度地提高計(jì)算效 率，本發(fā)明提出的方法對軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)和軸承系統(tǒng)的受力分析是有益的。
【附圖說明】
[0020] 為了使本發(fā)明的目的、技術(shù)方案和有益效果更加清楚，本發(fā)明提供如下附圖進(jìn)行 說明：
[0021 ]圖1為本發(fā)明的迭代計(jì)算方法流程圖；
[0022] 圖2為深溝球軸承和角接觸球軸承的滾球與內(nèi)圈接觸橢圓示意圖；
[0023] 圖3為影響系數(shù)矩陣求解說明示意圖；
[0024] 圖4為影響系數(shù)矩陣的計(jì)算區(qū)域示意圖。
【具體實(shí)施方式】
[0025]下面將結(jié)合附圖，對本發(fā)明的優(yōu)選實(shí)施例進(jìn)行詳細(xì)的描述。
[0026] 圖1為本發(fā)明的迭代計(jì)算方法流程圖，對于給定了徑向游隙Pd和徑向載荷Fr的深溝 球軸承和角接觸球軸承，能夠用圖1流程圖右半部分所示的控制誤差的試解法求解各滾球 的載荷分布：
[0027] 首先假定軸承載荷分布范圍參數(shù)e的值，查詢載荷分布積分表并通過線性插值得 到載荷分布積分Jr(e)。然后由式S r = Pd/[2(l_2e)]計(jì)算得到內(nèi)、外圈在徑向載荷方向上的 相對位移Sr，由式F rc = ZKn( Sr-Pd/2)h5Jr(e )計(jì)算得到計(jì)算外載荷Frc，其中Z表示滾動(dòng)體數(shù) 目，1表示滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈之間總的負(fù)荷-變形常數(shù)。最后，判斷計(jì)算外載荷Fr。是否滿足 (F rc-Fr)/Fr|彡若不滿足，則按照式enew=ecild(F rc/Fr)-e修正e并重復(fù)上述過程，其中彳一 般取0 . 0 0 1，0在0 . 0 0 1與0 . 0 1之間取任意值；若滿足收斂條件，則依據(jù)式
計(jì)算各滾球的載荷分布^^其中，也i表示各滾動(dòng)體的方位角（i = 1，…，Z) 〇
[0028]由于考慮的是中低速軸承，故沒有考慮離心力和陀螺力矩的影響，各滾球與內(nèi)、外 圈的接觸角相同，以上計(jì)算出來的滾球載荷既表示滾球與內(nèi)圈間的接觸載荷也表示滾球與 外圈間的接觸載荷。此載荷為接觸點(diǎn)上的單值，后續(xù)接觸應(yīng)力分布P的計(jì)算需用到此值。 [00 29]根據(jù)Hertz接觸理論，接觸應(yīng)力在接觸區(qū)內(nèi)按橢球體規(guī)律分布。當(dāng)接觸橢圓的長軸 方向與x軸相重合時(shí)，接觸應(yīng)力分布p為：
⑴
[0031]圖2為深溝球軸承和角接觸球軸承的滾球與內(nèi)圈接觸橢圓示意圖，其中，如圖2，a、 b分別表示接觸橢圓的長、短半軸長，采用下列公式能夠確定：
(2)
[0034]其中，ka、kb為接觸橢圓尺寸系數(shù)，E'表示兩接觸體的綜合彈性模量，常數(shù)A、B與兩 接觸體的幾何形狀有關(guān)，其值由下列兩方程確定：
[0037]如圖2，以滾球和內(nèi)滾道接觸為例，上兩方程中的變量Rlx、Rly、R2x、R 2y下標(biāo)中的第1 個(gè)數(shù)字1和2分別表示滾球和內(nèi)滾道，下標(biāo)中的第2個(gè)字母x和y分別表示軸向和周向，也即： Rlx表示滾球的軸向曲率半徑，Rly表示滾球的周向曲率半徑，R2x表示內(nèi)滾道的軸向曲率半 徑，R 2y表示內(nèi)滾道的周向曲率半徑。
[0038] 求出常數(shù)A、B之后，根據(jù)式C〇S0 = (B-A)/(A+B)計(jì)算0值，然后根據(jù)0值查詢"接觸橢 圓尺寸系數(shù)表"能得到接觸橢圓尺寸系數(shù)ka、k b的值，對于表中未列的0值，插值可得到。
[0039] 至此，每個(gè)滾球與內(nèi)、外圈間的接觸應(yīng)力分布p均能依據(jù)上述方法得到。
[0040] 深溝球軸承和角接觸球軸承的彈性變形求解問題可等價(jià)為求解半無限體表面在 上述求出的接觸應(yīng)力分布P下的彈性變形求解問題。其彈性變形方程可表達(dá)為：
(6)
[0042]使用傳統(tǒng)的Boussinesq方法求解上述彈性變形方程時(shí)，需要將式(6)離散化，這種 計(jì)算存在兩個(gè)困難:首先，式(6)右端是奇異積分，奇點(diǎn)為(x，y) = U，n);其次，為求某一點(diǎn) 的彈性變形，就需要對整個(gè)求解域計(jì)算積分(需兩重循環(huán)），而為了求解整個(gè)計(jì)算域的彈性 變形，又需用兩重循環(huán)，故每一次彈性變形計(jì)算都需要進(jìn)行四重循環(huán)運(yùn)算。這嚴(yán)重耗費(fèi)計(jì)算 機(jī)內(nèi)存且計(jì)算量很大，尤其是當(dāng)網(wǎng)格密度較大時(shí)，計(jì)算量將呈指數(shù)級增長。例如，當(dāng)網(wǎng)格密 度M X N為32 X 32時(shí)，循環(huán)需進(jìn)行1048576次，當(dāng)網(wǎng)格密度M X N僅增大1倍為64 X 64時(shí)，循環(huán)次 數(shù)便迅速增加到16777216次。可見，使用一般的數(shù)值積分方法，計(jì)算工作量太大，而且誤差 的頻繁累積導(dǎo)致難以達(dá)到要求的精度。
[0043]在本發(fā)明方法中，基于線彈性疊加原理，為方便采用數(shù)值方法求解，式(6)可離散 為：
(7)
[0045] 其中，C(xi-xk，yj-yi)為影響系數(shù)，簡記為CJj，定義為在節(jié)點(diǎn)(k，1)上作用的單位力 在節(jié)點(diǎn)（i，j)上產(chǎn)生的彈性變形，如圖3所示。從式(7)能發(fā)現(xiàn)彈性變形的計(jì)算分為兩步:影 響系數(shù)的計(jì)算和卷積和的計(jì)算：
[0046] 第一步:彈性變形影響系數(shù)的計(jì)算
[0047] 根據(jù)定義，點(diǎn)接觸彈性變形影響系數(shù)可按下式計(jì)算：
[0048] C；j -<5, v,(8)
[0049] 其中，A Q為(Xk，yi)點(diǎn)處的單元網(wǎng)格，如圖3所示陰影部分。wU，n)為插值函數(shù)，用 來近似單元網(wǎng)格上的接觸應(yīng)力分布，g ( x，y )稱為響應(yīng)函數(shù)（亦稱G r e e n函數(shù)）， 當(dāng)采用等間距網(wǎng)格時(shí)，頌只和兩點(diǎn)之間的距離有關(guān)且存在對稱性，因此影 響系數(shù)的計(jì)算可只針對坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行，可進(jìn)一步簡記為Qu，故式(8)可簡化為：
[0050] Ck, = J5；lt(9)
[0051] 這里XhhS力作用點(diǎn)和待求變形點(diǎn)間距離的坐標(biāo)分量，如圖3所示。
[0052] 對于式(9)，可用Green函數(shù)法求解：
[0053]插值函數(shù)w(|，n)在單元網(wǎng)格內(nèi)取1，同時(shí)假設(shè)Green函數(shù)在單元格內(nèi)不變化，取節(jié) 點(diǎn)值h (xi，y j)作為其近似值，則影響系數(shù)可簡寫為：
[0054] Ci, j = gi, j ? A x A y (10)
[0055] Green函數(shù)在原點(diǎn)存在一個(gè)奇異點(diǎn)，可通過以原點(diǎn)為中心的單元網(wǎng)格上的計(jì)算均 值來代替原點(diǎn)處的離散值，即當(dāng)I Xi |彡2 A x且|yj |彡2 A y時(shí)，以式（11)計(jì)算值來代替點(diǎn)(xi, yj)處的離散值：
{〇)
[0057]當(dāng)給定目標(biāo)區(qū)域(計(jì)算區(qū)域)后，影響系數(shù)應(yīng)在4倍的目標(biāo)區(qū)域內(nèi)計(jì)算，即在如圖4 所示的擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)計(jì)算。當(dāng)采用等間距網(wǎng)格時(shí)，只需計(jì)算出擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)相對于坐標(biāo) 原點(diǎn)的影響系數(shù)。根據(jù)對稱性，只需計(jì)算一個(gè)象限內(nèi)的影響系數(shù)便能確定其他象限內(nèi)的影 響系數(shù)。
[0058]第二步:彈性變形卷積和的計(jì)算
[0059]直接計(jì)算卷積和存在大量的重復(fù)運(yùn)算，而運(yùn)用離散循環(huán)卷積定理和FFT是一種高 效的較為理想的計(jì)算方法。在計(jì)算出各滾球在內(nèi)、外圈接觸區(qū)上的接觸應(yīng)力分布P和影響系 數(shù)矩陣C之后，基于離散循環(huán)卷積定理和FFT技術(shù)的深溝球軸承和角接觸球軸承彈性變形計(jì) 算如下：
[0060] (1)將接觸應(yīng)力分布函數(shù)p(x，y)離散為(M+1)X(N+1)的矩陣P，然后補(bǔ)零使其成為 2MX2N的應(yīng)力矩陣p' ；
[0061] (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，在4倍的計(jì)算區(qū)域內(nèi)求得影響系數(shù)矩陣C，維數(shù)為2MX2N;
[0062] (3)對矩陣p'和C分別進(jìn)行FFT變換，得到其FFT變換矩陣F和亡；
[0063] (4)#和的對應(yīng)項(xiàng)相乘得到頻域內(nèi)的變形矩陣D，對i作IFFT變換得到時(shí)域上的 變形矩陣D;
[0064] (5)令￥1,」=〇[^,_(1 = 0，1，...，」=0，1，...，《，獲得待求計(jì)算域內(nèi)的彈性變 形Vi, j 0
[0065]綜上，如圖1所示，本發(fā)明基于FFT的深溝球軸承和角接觸球軸承彈性變形快速計(jì) 算方法的具體計(jì)算過程為：
[0066] (1)給定/修正軸承載荷分布范圍參數(shù)e ;
[0067] (2)通過線性插值得到載荷分布積分Jr(e);
[0068] (3)由式Sr = Pd/[2(l-2e)]計(jì)算得到內(nèi)、外圈在徑向載荷方向上的相對位移Sr;
[0069] (4)由式Frc = ZKn( Sr-Pd/2)1.5 Jr (e)計(jì)算得到計(jì)算外載荷Frc;
[0070] (5)判斷計(jì)算外載荷Fr。是否收斂，若I (Frc-Fr)/Fr| >|，則按照 Frre修正e并重復(fù)步驟（1 )_步驟（4);若I (Fn-Fr )/Fr I彡|，則依據(jù)式
計(jì)算各滾球的載荷分布仏，執(zhí)行下一步；
[0071] (6)依據(jù)各滾球的載荷分布，運(yùn)用Hertz接觸理論，計(jì)算接觸橢圓長、短半軸長a、b;
[0072] (7)計(jì)算各滾球在內(nèi)、外圈接觸區(qū)上的接觸應(yīng)力分布p，將接觸應(yīng)力分布函數(shù)p(x, y)離散為(M+l) X (N+1)的矩陣p，然后補(bǔ)零使其成為2MX 2N的應(yīng)力矩陣p' ；
[0073] (8)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，在4倍的計(jì)算區(qū)域內(nèi)求得影響系數(shù)矩陣C，維數(shù)為2MX2N;
[0074] (9)對矩陣p'和C分別進(jìn)行FFT變換，得到其FFT變換矩陣，和幻
[0075] (10)F和6的對應(yīng)項(xiàng)相乘得到頻域內(nèi)的彈性變形矩陣i，對iH乍IFFT變換得到時(shí)域 上的彈性變形矩陣D;
[0076] (11)令Vi,j = DM+i,N+j(i=0,1，. . .，M, j = 0,1，. . .，N)，獲得待求計(jì)算域內(nèi)的彈性變 形V^，分別在各滾球與內(nèi)、外圈接觸區(qū)上進(jìn)行步驟(6)_步驟(11)，得到各滾球與內(nèi)、外圈間 的彈性變形分布。
[0077]最后說明的是，以上優(yōu)選實(shí)施例僅用以說明本發(fā)明的技術(shù)方案而非限制，盡管通 過上述優(yōu)選實(shí)施例已經(jīng)對本發(fā)明進(jìn)行了詳細(xì)的描述，但本領(lǐng)域技術(shù)人員應(yīng)當(dāng)理解，可以在 形式上和細(xì)節(jié)上對其作出各種各樣的改變，而不偏離本發(fā)明權(quán)利要求書所限定的范圍。
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 一種基于FFT的深溝球軸承和角接觸球軸承彈性變形快速計(jì)算方法，其特征在于:包 括以下步驟： Sl:給定/修正軸承載荷分布范圍參數(shù)ε ; S2:查詢載荷分布積分表并通過線性插值得到載荷分布積分Jr (ε); S3:由式Sr = Pd/ [ 2 (1 -2 ε)]計(jì)算得到內(nèi)、外圈在徑向載荷方向上的相對位移Sr，其中Pd表 示徑向游隙； S4:由式Fr。= ZKn(Sr-Pd/2)15Jr(ε)計(jì)算得到計(jì)算外載荷F r。，其中Z表示滾動(dòng)體數(shù)目，Kn 表示滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈之間總的負(fù)荷-變形常數(shù)； S5:判斷計(jì)算外載荷Frc與給定的徑向載荷Fr之間的關(guān)系是否滿足收斂條件，若I (Frc-Fr)/Fr| >ξ，則按照式8_=￡。1(1^。/^)_{!修正6并重復(fù)步驟31-步驟34，其中，|一般取 O · OO 1，β在O · OO 1與O · O 1之間取任意值；若I (Frc-Fr ) / Fr I彡ξ，則依據(jù)式 私C0Sft)r計(jì)胃求白勺^荷分#仏，=1，…⑷，隊(duì)表示云加本白勺方{立 角，i = l，···，Ζ，執(zhí)行下一步； S6:依據(jù)各滾球的載荷分布，運(yùn)用Hertz接觸理論，計(jì)算接觸橢圓長、短半軸長a、b; S7 :計(jì)算各滾球在內(nèi)、外圈接觸區(qū)上的接觸應(yīng)力分布p，將接觸應(yīng)力分布函數(shù)p(X，y)離 散為(M+l) X (N+1)的矩陣p，然后補(bǔ)零使其成為2MX 2N的應(yīng)力矩陣p' ； S8:以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，在4倍的計(jì)算區(qū)域內(nèi)求得影響系數(shù)矩陣C，維數(shù)為2MX2N; S9:對矩陣p '和C分別進(jìn)行FFT變換，得到其FFT變換矩陣少和6 ; SlO: 和6的對應(yīng)項(xiàng)相乘得到頻域內(nèi)的彈性變形矩陣對A作IFFT變換得到時(shí)域上的 彈性變形矩陣D; S11:令Vi,j = DM+i,N+j(i = 0，l，. . .，M, j = 0,l, . . . ,N)，獲得待求計(jì)算域內(nèi)的彈性變形 V1,J，分別在各滾球與內(nèi)、外圈接觸區(qū)上進(jìn)行步驟S6-步驟S11，得到各滾球與內(nèi)、外圈間的彈 性變形分布。2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于FFT的深溝球軸承和角接觸球軸承彈性變形快速計(jì)算方 法，其特征在于:在步驟S8中，影響系數(shù)矩陣C的求解采用Green函數(shù)法。
【文檔編號】G06F17/14GK105893327SQ201610203061
【公開日】2016年8月24日
【申請日】2016年3月31日
【發(fā)明人】孟凡明, 劉越, 程志濤, 浦超
【申請人】重慶大學(xué), 中國北方車輛研究所