用計算機程序驗證數(shù)學證明合法性的方法
【技術領域】
[0001 ]本發(fā)明涉及計算機語言，數(shù)學證明，使用計算機程序?qū)?shù)學證明合法性的驗證。
【背景技術】
[0002]目前，數(shù)學證明日益復雜，導致要嚴格的對一個數(shù)學證明的合法性進行驗證非常困難，一些數(shù)學證明的驗證需要多個數(shù)學家用長達數(shù)月的時間進行驗證，才能驗證證明的正確性;數(shù)學公式采用圖形化的方式描述，使得數(shù)學證明的驗證非常困難，數(shù)學證明的表達也不嚴格;數(shù)學沒有一個完全形式化的，表達能力足夠的，對數(shù)學家足夠直觀的，能使用計算機進行分析的計算機化的數(shù)學語言。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0003]本發(fā)明的目的是解決當前數(shù)學證明的不完全嚴格性，不利于使用計算機進行分析的弊端;本發(fā)明提出一種包含一階邏輯的計算機化的語言，使得數(shù)學證明能用這種語言表達，用計算機迅速的判斷出證明的合法性。
[0004]本發(fā)明的目是這樣實現(xiàn)的:先按照一階邏輯的形式化定義，用上下文無關語法明確定義構建常量、變量，聲明函詞、聲明謂詞、定義函詞、定義謂詞，構成合式公式、推理的語法、引入公理的語法;然后定義了什么是合法的證明，然后通過編譯器來檢驗證明是否合法。
[0005]依據(jù)以上語法，定義一個包含一階邏輯的計算機語言，把這個語言稱為a語言，a語言的語法定義如下。
[0006]a語言使用Unicode字符集，包含目前常用的數(shù)學符號，也包含目前世界上大多數(shù)國家的語言。
[0007]a語言使用“const regex;”來聲明常量，regex是一個正則表達式，regex中不能包含分號，表不與regex匹配的字符串都是常量。
[0008]a語言中的變量用命名字符串來表示，變量一般不用事先聲明，常量和已經(jīng)是其他類型的名稱的字符串不是變量名，命名字符串不能以數(shù)字開頭，命名字符串是不包含小括號、空格、分號、逗號等特殊字符的字符串。
[0009]a語言使用“op digit, string;”來聲明左綴函詞，digit是一個數(shù)字，string是一個命名字符串。
[0010]a語言使用“mid string;”來聲明中綴函詞，string是一個命名字符串，表示要聲明的函詞的元數(shù)；中綴函詞都是二元的，中綴函詞都是左結合的；如“mid +;”聲明加法函
Τ.κ| ο
[0011]a語言使用“pair digit, stringl, stringl來聲明配對函詞，digit是一個數(shù)字，表示要聲明的函詞的元數(shù)；stringl和string2是一個命名字符串；如我們可以使用“pair 2，〈，>;”來聲明集合論中常用的有序?qū)Α碭，y>函詞。
[0012I a語言使用“pred digit, string;”來聲明左綴謂詞，digit是一個數(shù)字，表示要聲明的謂詞的元數(shù);S tr i ng是一個命名字符串。
[0013]a語言使用“relat1n string;”來聲明中綴謂詞，string是一個命名字符串；中綴謂詞都是二元的，中綴謂詞都是左結合的。
[0014]聲明的函詞都是函詞，且只有聲明過的函詞才是函詞；聲明的謂詞都是謂詞，且只有聲明過的謂詞才是謂詞。
[0015]按下面方法遞歸構成項:如果χ1、χ2、...χη，是項，fn是η元左綴函詞，則fn(xl, x2,???xn)是項，xl，x2是項，op是中綴函詞，貝Ij xl op x2是項，如果left ,right是η元配對函詞，則left xl, χ2,…xn right是項，如果χ是項，則(χ)是項，常量和變量是項。
[0016]按下面方法遞歸構成原子公式:如果χ?，χ2...χη，是項，ρη是η元左綴謂詞，op是中綴謂詞，則pn(xl, x2, "in)是原子公式，xl op x2是原子公式，xl = x2是原子公式。
[0017]按下面方法遞歸構成公式:原子公式是公式，如果f是公式，χ是變量，則(f)、xf、xf、xf、π f是公式，是全稱量詞，是存在量詞，是存在唯一量詞；如f I和f 2是公式，則flf2、flA f2、flV f2、fl ^ f2是公式。
[0018]按下面方法構成公式序列:fl、f2、…fn是公式，n>=0，則“fl，f2,…色”是公式序列。
[0019]按下面構成推導:S1、S2是公式序列，則SIhS2是推導，SI # S2是推導；SI卜S2是表示SI中的公式都成立，則可以推導出S2中最少有一個成立;SI # S2表示SI # S2和S2 # S3同時成立;如果T是推導，N是命名字符串，則N’ T是推導，這里的N稱為推導的標號，例如:“rl’ χ nx^d h ny^d; ”是推導，rl’的作用是給T 一個臨時標號;如果T是推導，NI，Ν2...Νη是標號，或者推導名，或者推導，或者形如NUMBER’，其中NUMBER是正整數(shù)，則“...Ν1，Ν2...Νη: Τ”是推導，這里NI，Ν2...Νη的作用是一個提示，表示是從NI，Ν2...Νη得到的Τ，形如的服]|^1?’字符串，如1’表示上一個推導，2’表示上上個推導，“:附』2"_他:”稱為推導的說明，推導去掉標號和說明后的剩余部分叫做有效部分;推導的說明部分給閱讀證明的人和檢查證明的計算機提示，本推導是怎么推理來的，能使計算機更快的檢查證明是否合法，也能避免計算機程序找不到當前推導的前提的情況出現(xiàn)。。
[0020]按下面方法給推導命名:S是推導，“name sname: S;”給推導命名，sname是一個命名字符串，是推導的名稱，名稱后必須跟冒號。
[0021 ] 按下面方法構成導入公理:SI推導或推導名，則“ax1m SI;”是公理導入規(guī)則，公理導入規(guī)則“import SI;”表示推導SI成為了公理，SI不能包含自由變量。
[0022]可以按下面方法對左綴函詞定義:如果11^2-^，111+1是變量，5是公式序列，？是公式，3的所有公式的自由變量包含在11，12"111，111+1中，S[~xlx2xn xn+1 F已證，貝Ijdefine funct1n(xl，χ2...χη) S 卜 xn+1 F定義了函詞funct1n，funct1n 是一個聲明過的η元左綴函詞。
[0023]可以按下面方法對配對函詞定義:如果11^2-^，111+1是變量，5是公式序列，？是公式，S的所有公式的自由變量包含在χ?，χ2...χη，xn+1中，S[~xlx2xn xn+1 F已證，貝Ijdefine R xl，x2…xn L S |- xn+1 F定義了配對函詞R和L，R和L是聲明過的配對η元函
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[0024]可以按下面方法對中綴函詞定義:如果xl，χ2，χ3是變量，S是公式序列，F(xiàn)是公式，S的所有公式的自由變量包含在xl，χ2，χ3中，Shxlx2 x3 F已證，則define xl M x2 Sh x3 F定義了函詞M，M是聲明過的中綴函詞。
[0025]可以按下面方法對左綴函詞定義:如果χ?，χ2...χη是變量，f I是項，f I中的變量包含在 xl，χ2...χη 中，則 define funct1n(xl，χ2...χη) fl 定義了函詞 funct1n，funct1n 是一個聲明過的η元左綴函詞。
[0026]可以按下面方法對配對函詞定義:如果χ I，χ2是變量，fl是項，fl中的變量包含在xl，x2…xn中，貝Ijdefine R xl，x2…xn L fl定義了配對函詞R和L，R和L是聲明過的配對η元函詞。
[0027]可以按下面方法對中綴函詞定義:如果xl，χ2是變量，fl是項，fl的變量包含在xl，x2中，貝Ij define xl M x2 fl定義了函詞M，M是聲明過的中綴函詞。
[0028]可以按下面方法對左綴謂詞定義:如果χ1、χ2、...、χη是變量，fl是公式，fl中的自由變量包含在 xl，x2，…，xn 中，則 define predicate (xl，x2，…，xn) f l(xl，x2，…，xn)定義了謂詞predicate ,predicate是一個聲明過的n元左綴謂詞。
[0029]可以按下面方法對中綴謂詞定義:如果xl、x2是變量，fl是公式，fl中的變量包含在xl，x2中，貝Ijdefine xl R x2 fl(xl，x2)定義了謂詞R，R是聲明過的中綴謂詞。
[0030]a語言的一串推導Τ1、Τ2、...Τη，如果在Tn后添加字符“”，則構成一個證明，Tn成為被證明的推導。
[0031]上面是a語言的語法定義，下面說明什么證明是合法的，由一串推導Τ1、Τ2、…Tn構成的證明，如果符合以下規(guī)則，則證明是合法的。
[0032]關于自由變量和可代入的說明:公式為tA、tA或者tA，稱A為變量t的轄域;t在公式B中的出現(xiàn)，如果是在t的轄域中，則稱為約束出現(xiàn)，否則稱為自由出現(xiàn);如果一個變量t在B中的所有出現(xiàn)都是自由出現(xiàn)，則稱t在B中自由；如果一個變量s的所有出現(xiàn)都不是在t的轄域里，則稱s在B中可替換t。
[0033]在下面關于合法證明規(guī)則的說明中，A、B、C、D指示公式，Γ、Δ、Π、Σ指示公式序列，也叫做上下文;x、y、s、t指示變量;m，n指示項;A[t]指示一個公式A，在其中變量t在公式A中自由;A[s/t]指示在A中s可代入t，并且把在A[t]中的t的所有出現(xiàn)代換為s的公式。
[0034]對一個證明是否合法，采用下面方法判斷。
[0035]a語言的一串推導Τ1、Τ2、...Τη;如果對任意的Tz ζ<=η,Τζ滿足如下的條件:
Tz的有效部分是公理；
或Tz的有效部分是以下等值邏輯公理:
1:Α 樸 Α，
2:Α 卄 π -\Α,
3:A^B 卄 nAVB，
4: π (AVB)卄 ~|ΑΛπΒ，
5: (A^B) Λ (B^A)樸 Α?Β，
6:Α-Β 樸(ΠΑ) - (ΠΒ),
7:Α?Β 卄 Β?Α，
8:AVB 卄 BVA，
9:(AVB)VC 樸 AV(BVC),
10:ΑΛΒ 樸 ΒΛΑ， Il-(AAB)AC 樸 ΑΛ(ΒΛ。)，
12:χΑ 卄 ~ιχπΑ，
13:CA (AVB)=(CAA) V (CAB)，
14:CV (AAB) = (CVA)A(CVB)；
或Tz的有效部分是以下蘊含公理:
1:A h A，
2: |- ~|AVA，
3: xA 卜 xA，
4:xA 卜 A[e/x]，
5:A[x] |- eA[e/x]；
或?qū)z存在Ty; y<z滿足下面條件之一:
l:Ty的有效部分是A # B;Tz的有效部分是C # D，其中D是把C中的A替換為B得到的，并且A # B是邏輯等值公理，
2: Ty的有效部分是Γ Δ ;Tz的有效部分是Γ h A，
3: Ty的有效部分是Γ|~ xA;Tz的有效部分是Γ，A[t/x] AA[y/x]卜t = y，
4: Ty的有效部分是Γ h B;Tz的有效部分是Γ h A—B，
5:Ty的有效部分是Γ，Ah B;Tz的有效部分是Γ，ΠΑ，
6:Ty的有效部分是Γ ,A h Δ ;Tz的有效部分是Γ ,ΑΛΒ卜Δ，
7: Ty的有效部分是Γ ,BhA ;Tz的有效部分是Γ ,ΑΛΒ卜Δ，
8: Ty的有效部分是Γ hA，Δ ;Τζ的有效部分是Γ hAVB，Δ，
9: Ty的有效部分是Γ hB，Δ ;Tz的有效部分是Γ hAVB，Δ，
10:Ty的有效部分是r hA，Δ ;Tz的有效部分是Γ，nAh A ,
11: Ty的有效部分是Γ , Ah A ;Tz的有效部分是Γ卜ΠΑ, Δ ,
12: Ty的有效部分是Γ，A[t] h A ;Tz的有效部分是Γ，xA[x/t