一種非線性對流擴散方程的粒計算加速求解方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明屬于粒計算與流體力學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，涉及一種非線性對流擴散方程的粒計算 加速求解方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 關(guān)于對流擴散問題，目前在工程應(yīng)用方面主要有3種解決方法：有限元法、有 限差分法、有限體積法。在對流占優(yōu)的情況下，convection-diffusionequation出現(xiàn) 雙曲型方程性質(zhì)，此時用有限元法、有限差分法解方程將出現(xiàn)數(shù)值振蕩及數(shù)值彌散問題， JimDouglas,Jr.andThomasF.Russell針對這一種情況最先提出了特征修正技術(shù)，結(jié)合有 限元法、有限差分法等一般方法，有了解決數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散問題的特征有限元法、特征 有限差分法、特征混合元法。然而，近年來，針對非線性對流擴散方程，眾學(xué)者在離散格式及 誤差分析等方面做了很多研究，取得了諸多成果，但解非線性對流擴散方程的效率問題一 直存在，計算復(fù)雜度高，求解效率低。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0003] 有鑒于此，本發(fā)明的目的是針對解非線性對流擴散方程存在的效率低的問題提出 非線性對流擴散方程的粒計算加速求解方法，通過粒度層次切換來快速重構(gòu)解，從而達(dá)到 降低計算復(fù)雜度，提高求解速度的目的。
[0004] 為達(dá)到上述目的，本發(fā)明提供如下技術(shù)方案：
[0005] -種非線性對流擴散方程的粒計算加速求解方法，包括以下步驟：
[0006] 步驟一：先在粗粒度的粒層上求解非線性對流擴散方程，得到粗粒度上的收斂 解；
[0007] 步驟二：再切換粒層，在細(xì)粒層上運用一階泰勒展式將方程組線性化，進一步降低 計算復(fù)雜度，再運用步驟一得到的解，通過跨粒層快速重構(gòu)解來求解方程組，得到目標(biāo)粒度 (細(xì)粒度）的解，使得方程在保持穩(wěn)定性及精確度的基礎(chǔ)上加快求解速度，提高效率。
[0008] 進一步，本方法的具體步驟如下：
[0009] 1)非線性對流擴散方程：
[0011] 上式中，擴散系數(shù)a= (Ci1,a2)T和流速分量b=Od1,b2)T是線性的，源項f(u) =f(u，x，t)是非線性函數(shù)，Q是以ill為邊界的有界域，T>0表示時間，u為物質(zhì)濃度，
[0012] 2)Wm'p(Q)是Q上的sobolev空間，其范數(shù)為：
以下條件，其中，C*，c%a*，a% C1, C2, (：3為正常數(shù)：
[0015] a)0 < c*< c < c *< +00，0<a a < a *<+〇〇，max I a I<max IbI< C "
[0016] b) WcH P ' ：?；：：%；：
[0018] d)u G L~ (0, T；Hr+1(Q))；
[0019] e) utGL 2 (0,T；Hr+2),r = I if s=I and r 2 if s =0；
[0021] 3)用特征有限元法對方程組（I)進行離散：
[0022]
湘伴的特征方向T=T(x，t)
[0023]方程組（1)的特征形式為：
[0025]Sobolev空間夢=，內(nèi)積=Jn 敘物F;并令 麵= 輕運用格林公式，⑵式可改寫為如下形式：
[0027]對時間區(qū)間（0,T]進行劃分：
tn=n?At，n= 1，2, ? ? ?，N;
[0028] 在特征修正技術(shù)中，t=。時，特征方向?qū)?shù)通過式（4)離散：
[0030]
代表第n時間層X處的特征線與第n-1時間層的交點；
[0031] 4)在細(xì)粒層上，對區(qū)間Q進行步長粒度為h的劃分，Vh表示有限元空間，VnWh
[0032]方程組⑴的特征有限元解如下：
[0033]對于n= 1,2,…N,尋找使得
[0037] 初始條件的近似值u|可以通過U。在Vh中的插值給出，方程組（5)得到唯一確定 解K];
[0038] 5)由于源項是非線性函數(shù)，方程組（5)的計算復(fù)雜度高，這里先在粗粒度H2 =h的粒層上求解非線性對流擴散方程，通過方程（7)得到收斂解嗓，
[0040] 6)切換粒層，通過粒層之間的解的快速重構(gòu)來求解，
[0041]
將方程巧妙線性化，直接由粗粒度H上的解,推出細(xì)粒度h上的解?^
[0043] 本發(fā)明的有益效果在于：本發(fā)明所述方法從實際需求出發(fā)，結(jié)合多粒度的優(yōu)勢，先 將復(fù)雜的非線性問題在粗粒度上求解，再通過粒層之間的解的快速重構(gòu)，切換粒層，由粗粒 層上的解推算出細(xì)粒層上的解，將非線性方程組巧妙線性化，有效降低了問題的復(fù)雜度，提 高了效率。
【附圖說明】
[0044] 為了使本發(fā)明的目的、技術(shù)方案和有益效果更加清楚，本發(fā)明提供如下附圖進行 說明：
[0045]圖1為本發(fā)明所述方法的流程示意圖；
[0046] 圖2為粒層之間解的快速重構(gòu)示意圖。
【具體實施方式】
[0047] 下面將結(jié)合附圖，對本發(fā)明的優(yōu)選實施例進行詳細(xì)的描述。
[0048] 圖1為本發(fā)明所述方法的流程示意圖，如圖所示，本方法包括以下步驟：步驟一： 先在粗粒度的粒層上求解非線性對流擴散方程，得到粗粒度上的收斂解；步驟二：再切換 粒層，在細(xì)粒層上運用一階泰勒展式將方程組線性化，進一步降低計算復(fù)雜度，再運用步驟 一得到的解，通過跨粒層快速重構(gòu)解來求解方程組，得到目標(biāo)粒度（細(xì)粒度）的解，使得方 程在保持穩(wěn)定性及精確度的基礎(chǔ)上加快求解速度，提高效率。圖2為粒層之間解的快速重 構(gòu)示意圖。
[0049] 具體包括：
[0050] 1)非線性對流擴散方程：
[0052] 上式中，擴散系數(shù)a= (Ci1,a2)T和流速分量b=Od1,b2)T是線性的，源項f(u) =f(u，x，t)是非線性函數(shù)，Q是以為邊界的有界域，T> 0表示時間，u為物質(zhì)濃度，
[0053] 2)Wm'p(Q)是Q上的sobolev空間，其范數(shù)為：
[0055] 記#從=丨M丨i領(lǐng)=_鳴 以下條件，其中，c*，c%a*，a%C1,C2, (：3為正常數(shù)：
[0056] 0 <c*<c<c*< + °°，0<aa<a*< + 〇〇，maxIaI<maxIbI<C丄；
[0057]
[0059] uGL~ (0,T；Hr+1(Q))；
[0060] utGL2 (0,T；Hr+2),r=Iifs=Iandr2ifs= 0 ；
[0062] 3)用特征有限元法對方程組（I)進行離散：
[0063]
相伴的特征方向T=T(x，t)
[0064] 方程組（1)的特征形式為：
[0066]Sobolev空間F=. 內(nèi)積 1?分=J4 夢.S.鏟；并令 Al錢痛4 .????運用格林公式，⑵式可改寫為如下形式：
[0068]對時間區(qū)間（0,T]進行劃分：
tn=n?At，n= 1，2, ? ??，N;
[0069] 在特征修正技術(shù)中，t=。時，特征方向?qū)?shù)通過式（4)離散：
[0071]
代表第n時間層X處的特征線與第n-1時間層的交點；
[0072] 4)在細(xì)粒層上，對區(qū)間Q進行步長粒度為h的劃分，Vh表示有限元空間，VnWh ~(Q);
[0073]方程組（1)的特征有限元解如下：
[0074]對于n=1，2,…N,尋找鍵1 €:%使得
[0078] 初始條件的近似值tt|可以通過U。在Vh中的插值給出，方程組（5)得到唯一確定 解倆I;:
[0079] 5)由于源項是非線性函數(shù)，方程組（5)的計算復(fù)雜度高，這里先在粗粒度H2 =h的粒層上求解非線性對流擴散方程，通過方程（7)得到收斂解B|:，
[0081] 6)切換粒層，通過粒層之間的解的快速重構(gòu)來求解，
[0082]運用函數(shù)= /(略）將方程巧妙線性化，直接由粗粒度H 上的解推出細(xì)粒度h上的解
[0083]
[0084] 復(fù)雜度分析：
[0085] M=Q/H，m=Q/h,n=T/At
[0086] 特征有限元法復(fù)雜度：
[0088] 粒計算加速求解法復(fù)雜度：
[0090] 因為H>h，H2=h，所以100*0(nXM) =O(nXm)，效率提高一個數(shù)量級。
[0091] 實施例：
[0093]X= (xl，x2)，Q= [0, 1]X[0, 1]，b= (1，l)1，a= 〇? 〇〇1，At= 1. 25X10 4，
[0095] 下表給出t= 0. 125時不同方法得到的解的誤差及CPU時間，結(jié)果顯示解的精度 幾乎不變，速度提高。
[0096] 表1特征有限元法求解非線性對流擴散方程的誤差和CPU時間
[0098] 表2粒計算加速求解非線性對流擴散方程的誤差和CPU時間
[0099]
[0100] 最后說明的是，以上優(yōu)選實施例僅用以說明本發(fā)明的技術(shù)方案而非限制，盡管通 過上述優(yōu)選實施例已經(jīng)對本發(fā)明進行了詳細(xì)的描述，但本領(lǐng)域技術(shù)人員應(yīng)當(dāng)理解，可以在 形式上和細(xì)節(jié)上對其做出各種各樣的改變，而不偏離本發(fā)明權(quán)利要求書所限定的范圍。
【主權(quán)項】
1. 一種非線性對流擴散方程的粒計算加速求解方法，其特征在于：包括以下步驟： 步驟一：先在粗粒度的粒層上求解非線性對流擴散方程，得到粗粒度上的收斂解； 步驟二：再切換粒層，在細(xì)粒層上運用一階泰勒展式將方程組線性化，進一步降低計算 復(fù)雜度，再運用步驟一得到的解，通過跨粒層快速重構(gòu)解來求解方程組，得到目標(biāo)粒度（細(xì) 粒度）的解，使得方程在保持穩(wěn)定性及精確度的基礎(chǔ)上加快求解速度，提高效率。2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的非線性對流擴散方程的粒計算加速求解方法，其特征在于： 具體步驟如下： 1) 非線性對流擴散方程：上式中，擴散系數(shù)a= (a^a2)T和流速分量b=(bi，b2)T是線性的，源項f(U)=f(u，x，t)是非線性函數(shù)，Q是以為邊界的有界域，T>O表示時間，u為物質(zhì)濃度，2)Wm'p(Q)是Q上的sobolev空間，其范數(shù)為：記Wm'2(Q) =Hm(Q):方程組（1)滿足以下 條件，其中，c*，c%a*，a%C1,C2,C3為正常數(shù)： a) 0 <cc*< + 00,0 <aaa*< + 00,maxIaI<max|b| <C b) + 汊=: __U:.d)uGL~ (0,T；Hr+1(Q))； e)utGL2(0,T；Hr+s),r=Iifs=Iandr2ifs= 0 ；3) 用特征有限元法對方程組（I)進行離散：?的特征方向T=T(X，t)的方方程組（1)的特征形式為：:第n時間層x處的特征線與第n-1時間層的交點； 4) 在細(xì)粒層上，對區(qū)間Q進行步長粒度為h的劃分，Vh表示有限元空間，VnW1^ (Q); 方程組（1)的特征有限元解如下： 對于n= 1，2,…N，尋找SiH使得初始條件的近似值《1:可以通過u。在Vh中的插值給出，方程組（5)得到唯一確定解 5) 由于源項/_!〇是非線性函數(shù)，方程組（5)的計算復(fù)雜度高，這里先在粗粒度H2=h 的粒層上求解非線性對流擴散方程，通過方程（7)得到收斂解《1，6) 切換粒層，通過粒層之間的解的快速重構(gòu)來求解 運用函數(shù)將方程巧妙線性化，直接由粗粒度H上的 解推出細(xì)粒度h上的解
【專利摘要】本發(fā)明涉及一種非線性對流擴散方程的粒計算加速求解方法，屬于粒計算與流體力學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。該方法先在粗粒度的粒層上求解非線性對流擴散方程，得到收斂解；再切換粒層，在細(xì)粒層上運用一階泰勒展式將方程組線性化，進一步降低計算復(fù)雜度，使得方程在保持穩(wěn)定性及精確度的基礎(chǔ)上加快求解速度，提高效率。本方法從實際需求出發(fā)，結(jié)合多粒度的優(yōu)勢，先將復(fù)雜的非線性問題在粗粒度上求解，再通過粒層之間的解的快速重構(gòu)，切換粒層，由粗粒層上的解推算出細(xì)粒層上的解，將非線性方程組巧妙線性化，有效降低了問題的復(fù)雜度，提高了效率。
【IPC分類】G06F17/11
【公開號】CN105224504
【申請?zhí)枴緾N201510764639
【發(fā)明人】王國胤, 田亞蘭, 徐計, 尚明生, 張學(xué)睿
【申請人】中國科學(xué)院重慶綠色智能技術(shù)研究院
【公開日】2016年1月6日
【申請日】2015年11月10日