一種實現(xiàn)gmres算法的方法和系統(tǒng)的制作方法
【技術領域】
[0001] 本發(fā)明涉及數(shù)據(jù)處理技術，尤指一種實現(xiàn)廣義極小殘量法（GMRES，Generalized Minimal Residual)算法的方法和系統(tǒng)。
【背景技術】
[0002] 眾所周知，數(shù)學物理模型的求解是眾多工程生產(chǎn)與科研領域必不可少的工作之 一。隨著計算機的發(fā)展，有限差分（FD，F(xiàn)inite Difference)、有限元方法（FEM，F(xiàn)inite Element Method)、邊界元法（BEM，Boundary Element Method)、無網(wǎng)格方法（MM，Meshless Method)等一系列的數(shù)值計算方法相繼誕生。特別是FEM，到目前為止理論體系已經(jīng)比較完 善，并已在機械制造、材料加工、科學研究等各個領域中廣泛應用，成為工程設計中的重要 工具。這些數(shù)值計算方法具有一個相同之處：將實際問題導出的數(shù)學物理模型通過特定的 方式離散成一個線性代數(shù)方程組。除此之外，結構分析、網(wǎng)絡分析、天地測量、數(shù)據(jù)及最優(yōu)化 問題等都常遇到線性方程組的求解問題。因此，可以毫不夸張的講大部分科學與工程問題 都要歸結為一個線性方程組的求解問題。然而，隨著問題規(guī)模的增大，線性方程組的求解成 為工程生產(chǎn)和科研中的一大瓶頸。對于大規(guī)模乃至超大規(guī)模的線性方程組，求解變得十分 困難。特別當稀疏矩陣非對稱且無特定結構時，求解幾乎不可能完成。
[0003] GMRES是求解非對稱的稀疏矩陣的常用方法，也是克雷洛夫（Krylov)子空間中 經(jīng)典算法之一，它是通過Krylov子空間矢量的最小殘量來迭代求解，收斂速度快，穩(wěn)定性 好的優(yōu)點。對線性方程組Ax = b ;其中，A為系數(shù)矩陣，b為右端向量，GMRES算法的m階 Krylov 子空間為 Km= span (r。，Ar。，…，Am 1A)，其中，r。= b-Ax Q，x。為 X 的初始向量，GMRES 通過求解使殘量Axm-b最小的矢量xme Km來逼近Ax = b的精確解。
[0004] 采用GMRES算法求解大規(guī)模線性方程組的基本過程大致包括：
[0005] 初始化向量X得到X。，設置誤差ε ;
[0006] 按照公式r。= b-Ax。計算r。，按照公式β = I IrtiI |2計算β ;其中，I I I I 2為2范 數(shù)。
[0007] 根據(jù)r。和A采用阿諾爾迪（Arnoldi)正交化過程計算標準正交基和上海森 伯格（Hessenberg)矩陣萬,,，
[0008] 求解yni使得
：達到最小；其中，e1= (1，0,…，0);
[0009] 按照公式Xm= X' 〇+Vmym計算xm;其中，X'。為上一次計算得到的Xm，第一次計算時取 X。，按照公式rm= b-Ax m計算r m，當I I rm I 12< ε時，xm即為Ax = b的解，當I I r m I 12彡ε 時，根據(jù)!^和A采用Arnoldi正交化過程得到新的標準正交基和新的上Hessenberg矩陣， 并繼續(xù)后續(xù)過程。
[0010] 現(xiàn)有的實現(xiàn)GMRES算法的方法大致包括：采用CPU來實現(xiàn)GMRES算法。
[0011] 現(xiàn)有的實現(xiàn)GMRES算法的方法中，由于GMRES算法的運算量比較大，而CPU運算能 力有限，因此，運算速度比較慢。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0012] 為了解決上述問題，本發(fā)明提出了一種實現(xiàn)GMRES算法的方法和系統(tǒng)，能夠提高 運算速度。
[0013] 為了達到上述目的，本發(fā)明提出了一種實現(xiàn)GMRES算法的方法，包括：
[0014] 主CPU控制主進程將線性方程組的系數(shù)矩陣和右端向量進行劃分得到系數(shù)矩陣 塊和右端向量塊；
[0015] 主CPU控制主進程將劃分得到的系數(shù)矩陣塊和右端向量塊分配給自身的各進程 和其他CPU的各進程；
[0016] 各CPU協(xié)同控制的各進程對應的眾核協(xié)處理器MIC根據(jù)分配的系數(shù)矩陣塊和右端 向量塊，采用GMRES算法進行求解獲得線性方程組的解。
[0017] 優(yōu)選地，所述主CPU控制主進程將線性方程組的系數(shù)矩陣和右端向量進行劃分得 到系數(shù)矩陣塊和右端向量塊包括：
[0018] 所述主CPU控制所述主進程將所述線性方程組的系數(shù)矩陣和所述右端向量進行 按行劃分得到所述系數(shù)矩陣塊和所述右端向量塊。
[0019] 優(yōu)選地，所述各CPU協(xié)同控制的各進程對應的MIC根據(jù)分配的系數(shù)矩陣塊和右端 向量塊，采用GMRES算法進行求解獲得線性方程組的解包括：
[0020] 各所述CPU控制各所述進程初始化所述線性方程的解，并設置誤差；
[0021] 各所述CPU控制各所述進程對應的MIC按照公式P。= b' -A' X。計算^ 。;其 中，b'為所述分配的右端向量塊，A'為所述分配的系數(shù)矩陣塊，X。為所述初始化的線性方 程組的解；
[0022] 各所述CPU協(xié)同控制的各所述進程對應的MIC根據(jù)所述分配的系數(shù)矩陣塊和 r'。，采用阿諾爾迪Arnoldi正交化過程計算標準正交基塊和上海森伯格Hessenberg矩陣 塊；
[0023] 各所述CPU控制各所述進程對應的MIC按照公式β '= I Ir'。| |2計算β '，并 將計算得到的β '發(fā)送給所述主CPU進行整合得到β ;
[0024] 各所述CPU根據(jù)所述標準正交基塊和所述上Hessenberg矩陣塊求解ym使得 I決1 -達到最??；其中，.馬為所述上Hessenberg矩陣塊；
[0025] 各所述CPU控制各所述進程對應的MIC按照公式X' m= X "mym計算X' m，將 計算得到的x'm發(fā)送給所述主CPU進行整合得到Xni;其中，x"。為上一次計算得到的x' "， t "為所述標準正交基塊；
[0026] 所述主CPU將所述Xni發(fā)送給自身的其他進程和其他CPU的各進程；
[0027] 各所述CPU控制各進程按照公式r' m= b' -A' X m計算P m，并計算I I r'm | 12，將計 算得到的I Ir'」I2發(fā)送給所述主(PU進行整合計算得到I IrnJ |2;
[0028] 所述主CPU判斷出I IrnJ |2< ε，確定Xni為所述線性方程組的解；其中，ε為設置 的誤差。
[0029] 優(yōu)選地，當所述主CPU判斷出I IrlJ |2彡ε時，所述各CPU協(xié)同控制的各進程對應 的MIC根據(jù)分配的系數(shù)矩陣塊和右端向量塊，采用GMRES算法進行求解獲得線性方程組的 解還包括：
[0030] 各所述CPU協(xié)同控制的各所述進程對應的MIC根據(jù)所述分配的系數(shù)矩陣塊和 r' m，繼續(xù)執(zhí)行采用Arnoldi正交化過程計算標準正交基和上海森伯格Hessenberg矩陣的 步驟。
[0031 ] 優(yōu)選地，所述各CPU協(xié)同控制的各進程對應的MIC根據(jù)分配的系數(shù)矩陣塊和r'。， 采用Arnoldi正交化過程計算標準正交基塊和上Hessenberg矩陣塊包括：
[0032] 各所述CPU控制各進程對應的MIC計算所述Arnoldi正交化過程中的高階矩陣向 量相乘、高階向量相減、高階向量內(nèi)積和高階向量乘積，并將計算結果返回給所述主CPU進 行整合，或進行低階矩陣向量相乘、低階向量相減、低階向量內(nèi)積和低階向量乘積、或其他 低階運算。
[0033] 本發(fā)明還提出了一種實現(xiàn)GMRES算法的系統(tǒng)，至少包括：
[0034] 一個主CPU和一個或一個以上其他CPU，一個或一個以上眾核協(xié)處理器MIC ;
[0035] 其中，主CPU用于：
[0036] 控制主進程將線性方程組的系數(shù)矩陣和右端向量進行劃分得到系數(shù)矩陣塊和右 端向量塊；控制主進程將劃分得到的系數(shù)矩陣塊和右端向量塊分配給自身的各進程和其他 CHJ的各進程；
[0037] 主CPU和其他CPU用于：
[0038] 協(xié)同控制的各進程對應的眾核協(xié)處理器MIC根據(jù)分配的系數(shù)矩陣塊和右端向量 塊，采用GMRES算法進行求解獲得線性方程組的解。
[0039] 優(yōu)選地，所述主CPU和其他CPU具體用于：
[0040] 控制各所述進程初始化所述線性方程的解，并設置誤差；
[0041] 控制各所述進程對應的MIC按照公式r'。= b'-A'x。計算r'。;其中，b'為所述 分配的右端向量塊，A'為所述分配的系數(shù)矩陣塊，X。為所述初始化的線性方程的解；
[0042] 協(xié)同控制的各所述進程對應的MIC根據(jù)所述分配的系數(shù)矩陣塊和r'。，采用阿諾 爾迪Arnoldi正交化過程計算標準正交基塊和上海森伯格Hessenberg矩陣塊；
[0043] 控制各所述進程對應的MIC按照公式β ' = I |r'。| |2計算β '，并將計算得到的 β '發(fā)送給所述主CPU進行整合得到β ;
[0044] 根據(jù)所述標準正交基塊和所述上Hessenberg矩陣塊求解ym使得|私-見,兄" ^達 到最小；其中，?為所述上Hessenberg矩陣塊；
[0045] 控制各所述進程對應的MIC按照公式X'm= X" c+V' mym計算X' m，將計算得到的 X'm發(fā)送給所述主CPU進行整合得到Xni;其中，X"。為上一次計算得到的X' "，V' "為所述 標準正交基塊；
[0046] 控制各進程按照公式r'm= b'-A'X m計算^ m，并計算I I r'm | 12，將計算得到的 Ir'm| |2發(fā)送給所述主CPU進行整合計算得到I |rm| 12;
[0047] 所述主CPU還用于：
[0048] 將所述送給自身