一種基于特征值分解的交互投影測量矩陣優(yōu)化方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明涉及一種壓縮感知測量矩陣優(yōu)化方法，屬于壓縮感知研究領(lǐng)域。
【背景技術(shù)】
[0002] 壓縮感知理論研究主要包含信號稀疏表示、測量矩陣構(gòu)造和重構(gòu)算法設(shè)計(jì)三個方 面。測量矩陣在壓縮感知中起著關(guān)鍵性的作用，其性能會影響原始信號的壓縮與重構(gòu)，在重 構(gòu)算法不變的情況下，測量矩陣的性能越好，重構(gòu)信號與原始信號的誤差值越小。測量矩陣 的性能主要體現(xiàn)在測量矩陣的自適應(yīng)和列相關(guān)性上。
[0003] 壓縮感知中測量矩陣構(gòu)造算法從構(gòu)造角度可分為四類：1、基于有限域的測量矩 陣：從特定有限域出發(fā)，尋找滿足RIP的測量矩陣；2、基于編碼的測量矩陣：針對特定的編 碼或結(jié)構(gòu)構(gòu)造可適用于壓縮感知的測量矩陣；3、基于訓(xùn)練的測量矩陣：輸入隨機(jī)矩陣，結(jié) 合基矩陣，訓(xùn)練出接近ETF (等角緊框架）的測量矩陣；4、最大Welch界等式測量矩陣：從 理論分析和數(shù)值搜索方向探索構(gòu)造最大Welch界等式測量矩陣用于壓縮感知。
[0004] 現(xiàn)階段對壓縮感知的研究中，主要采用隨機(jī)高斯矩陣作為測量矩陣。高斯隨機(jī)測 量矩陣的優(yōu)點(diǎn)在于它幾乎和任意稀疏矩陣不相關(guān)，同時它所需要的測量值數(shù)目比較少，對 于長度為Λ'稀疏度為[的原始數(shù)據(jù)，僅需要M 2 個測量值就可以高 概率地重構(gòu)原始數(shù)據(jù)。但高斯隨機(jī)測量矩陣只在統(tǒng)計(jì)意義下以很高的概率滿足rip和弱相 干性，即不能保證每個隨機(jī)產(chǎn)生的矩陣都滿足特定RIP或相干性條件，因而不能保證每次 都精確的恢復(fù)原始信號?；谏鲜鲭S機(jī)測量矩陣的缺點(diǎn)，對隨機(jī)測量矩陣的優(yōu)化尤其重要。 本發(fā)明算法基于上述第3種測量矩陣的構(gòu)造角度，通過AP算法與特征值分解處理的結(jié)合， 減少測量矩陣的列相關(guān)性，從而達(dá)到優(yōu)化測量矩陣的目的。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0005] 針對現(xiàn)階段探究的如何減少測量矩陣列相關(guān)性的問題，本發(fā)明公開了一種基于特 征值分解的交互投影測量矩陣優(yōu)化方法。本發(fā)明所述的方法：將隨機(jī)產(chǎn)生的測量矩陣與基 矩陣相乘得到Gram矩陣；并用同維理想矩陣￡與61^!11矩陣相互投影，應(yīng)用特征值分解減 少Gram矩陣的列相關(guān)性，將上述方法多次迭代后，將Gram方陣應(yīng)用奇異值分解，得到列相 關(guān)性更小的測量矩陣。本發(fā)明結(jié)合AP算法和特征值分解的方法，在不增加算法復(fù)雜度的同 時減少測量矩陣的列相關(guān)性。
[0006] 本發(fā)明提出的一種基于特征值分解的交互投影測量矩陣優(yōu)化方法，包括以下步 驟： 步驟一、設(shè)置參數(shù)：迭代總次數(shù)迭代次數(shù)?,其初始值為1，列相關(guān)性參數(shù)只；測 量矩陣的行列數(shù)分別設(shè)置為：W、K ,基矩陣的行、列數(shù)分別設(shè)置為：、/ ; 步驟二、選取理想矩陣￡,生成隨機(jī)高斯測量矩陣P和基矩陣￡),列標(biāo)準(zhǔn)化高斯隨機(jī) 矩陣 P，其中 ￡ e P e !m，U e ，w? < r:，1?、?ι 和 I 為自然數(shù)； 步驟三、計(jì)算Gram矩陣G ,即C? = ￡)'氣P#P #￡) ( #表示矩陣相乘)，列標(biāo)準(zhǔn)化Gram 矩陣； 步驟四、將Gram矩陣與理想矩陣￡交互投影； 步驟五、將G矩陣特征值分解，分解成矩陣β和F ,其中F矩陣中對角線元素為G 矩陣的特征值，ρ矩陣的每一列為F矩陣對應(yīng)列中特征值的特征值向量，β、Γ S I'+" ，將得到的特征值矩陣對角線元素改為理想矩陣的特征值，并進(jìn)行相應(yīng)的降維處理得到 Π ,通過尸更新測量矩陣P ,從而更新Gram矩陣； 步驟六、檢測迭代次數(shù)f是否大于,是，則執(zhí)行步驟七，否則將迭代次數(shù)加1并返 回步驟三； 步驟七、用奇異值分解對矩陣6進(jìn)行降維處理，由尸l = min ||S -尸*￡)||^計(jì)算并 輸出優(yōu)化的測量矩陣Fl，其中..S為G的平方根。
[0007] 本發(fā)明優(yōu)點(diǎn)： 本發(fā)明針對壓縮感知測量矩陣優(yōu)化問題，通過結(jié)合不同的測量矩陣優(yōu)化算法，將AP算 法與特征值分解相結(jié)合，不增加算法復(fù)雜度的同時，減少測量矩陣的列相關(guān)性。
【附圖說明】
[0008] 圖1是本發(fā)明的流程示意圖； 圖2是本發(fā)明得出測量矩陣列相關(guān)性曲線實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖； 圖3是本發(fā)明得出測量矩陣列相關(guān)性條形實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖。
【具體實(shí)施方式】
[0009] 本發(fā)明提出的一種基于特征值分解的交互投影測量矩陣優(yōu)化方法，本發(fā)明實(shí)驗(yàn)是 在，MATLAB平臺實(shí)現(xiàn)，結(jié)合圖1，具體操作包括以下步驟： 步驟一、設(shè)置參數(shù)：迭代總次數(shù)Irer =100 ,迭代次數(shù)?,其初始值為1，列相關(guān)性參數(shù) /i = Ca ;測量矩陣的行列數(shù)分別設(shè)置為：w = 100、" =. 200，基矩陣的行、列數(shù)分別設(shè) 置為：K = 200、/= 400。
[0010]步驟二、選取理想矩陣￡ ,生成100x200維隨機(jī)高斯測量矩陣和基矩陣 200x400維高斯矩陣D,列標(biāo)準(zhǔn)化高斯隨機(jī)矩陣P,其中￡e 1·χ·, Pe , ￡) e ，w < ?，w、κ和/為自然數(shù)；選取理想矩陣￡的過程： 1)定義矩陣列相干性下確界為：
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 一種基于特征值分解的交互投影測量矩陣優(yōu)化方法，包括以下步驟： 步驟一、設(shè)置參數(shù)：迭代總次數(shù)Ifer ,迭代次數(shù)?,其初始值為1，列相關(guān)性參數(shù)只；測 量矩陣的行列數(shù)分別設(shè)置為：w、,基矩陣的行、列數(shù)分別設(shè)置為：?ι、/ ; 步驟二、選取理想矩陣￡,生成隨機(jī)高斯測量矩陣P和基矩陣D+,列標(biāo)準(zhǔn)化高斯隨機(jī) 矩陣 P，其中 e 貧-P e Λ w-，e ，w < ，w、《 和 I 為自然數(shù)； 步驟三、計(jì)算Gram矩陣G，即G1 = ￡)_氣P氣P *￡) ( #表示矩陣相乘)，列標(biāo)準(zhǔn)化Gram 矩陣； 步驟四、將Gram矩陣與理想矩陣￡交互投影； 步驟五、將G矩陣特征值分解，分解成矩陣β和F ,其中F矩陣中對角線元素為G 矩陣的特征值，O矩陣的每一列為廠矩陣對應(yīng)列中特征值的特征值向量，0、Γ+ e ，將得到的特征值矩陣對角線元素改為理想矩陣的特征值，并進(jìn)行相應(yīng)的降維處理得到 Π ,通過P = Fl 更新測量矩陣p ,從而更新Gram矩陣； 步驟六、檢測迭代次數(shù)?是否大于,是，則執(zhí)行步驟七，否則將迭代次數(shù)加1并返 回步驟三； 步驟七、用奇異值分解對矩陣^進(jìn)行降維處理，由Pl = min |s - P*+計(jì)算并 輸出優(yōu)化的測量矩陣Fl，其中S為G的平方根。
2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種基于特征值分解的交互投影測量矩陣優(yōu)化方法，其特征 在于步驟二所述的選取理想矩陣￡的過程： I n ~ m 1) 定義矩陣列相干性下確界為：/i =-； ψ.η~?)ηι 2) 生成理想矩陣f需滿足的條件為： a. 對角線上的元素為1 ; b. 除對角線元素外，其余元素都應(yīng)滿足公式其中; c. 理想矩陣為對稱矩陣，即滿足￡ +=￡_。
3. 根據(jù)權(quán)利要求書1所述的一種基于特征值分解的交互投影測量矩陣優(yōu)化方法，其 特征在于步驟四所述將Gram矩陣與理想矩陣￡交互投影的過程： 1) 將理想矩陣￡減去列標(biāo)準(zhǔn)化的Gram矩陣G后重新賦值給￡ ,即￡ = ￡ 一 G ; 2) 再將Gram矩陣G減去￡ ,并將結(jié)果賦值給Gram矩陣G ,即G = G-￡。
4. 根據(jù)權(quán)利要求書1所述的一種基于特征值分解的交互投影測量矩陣優(yōu)化方法，其特 征在于步驟五中更新Gram矩陣G的過程： 1) 將Gram矩陣G進(jìn)行特征值分解，分解成特征值向量矩陣G和特征值矩陣F，并獲 取特征值矩陣F的行列數(shù)值； 2) 將特征值矩陣的對角線元素修改為理想矩陣的特征值得到矩陣Fl ,通過更改矩陣 G的特征值使得Gram矩陣更加逼近理想矩陣； 3) 將特征值矩陣?+1降到w維，使得降維后的特征值矩陣Fl乘以特征向量矩陣 勺維數(shù)與測量矩陣P和基矩陣￡)相乘的維數(shù)一致，即通過公式 J3 = Π 更新測量矩陣P，其中D-1為基矩陣￡)的偽逆； 4) 最后通過公式G = ￡)_氣Ρ?：>^·Ρ *Ζ)更新Gram矩陣。
【專利摘要】本發(fā)明涉及一種基于特征值分解的交互投影測量矩陣優(yōu)化方法，屬于壓縮感知測量矩陣優(yōu)化領(lǐng)域。本發(fā)明的主要過程是：首先，隨機(jī)產(chǎn)生測量矩陣 ，利用測量矩陣與基矩陣得到Gram矩陣；然后，將理想矩陣與Gram矩陣交互投影，再應(yīng)用特征值分解進(jìn)一步減少Gram矩陣的列相關(guān)性；經(jīng)過多次迭代后得到優(yōu)化的Gram矩陣；最后，通過奇異值分解獲得列相關(guān)性更小的測量矩陣。
【IPC分類】G06F17-16
【公開號】CN104636317
【申請?zhí)枴緾N201510101772
【發(fā)明人】李婷煜, 羅光明, 李哲濤, 關(guān)屋大雄, 崔榮埈, 朱更明
【申請人】湘潭大學(xué)
【公開日】2015年5月20日
【申請日】2015年3月9日