本發(fā)明針對核反應(yīng)堆堆芯中子學(xué)計算領(lǐng)域，提出了一種針對反應(yīng)堆中子擴散方程的非均勻幾何變分節(jié)塊方法。
背景技術(shù)：
核反應(yīng)堆中子學(xué)計算研究以核反應(yīng)堆堆芯為應(yīng)用對象，其堆芯由許多不同種類的組件構(gòu)成。根據(jù)堆型的不同，組件內(nèi)部的幾何結(jié)構(gòu)和材料布置復(fù)雜多變。因此，實際的反應(yīng)堆中子學(xué)問題是一個三維非均勻幾何的中子學(xué)問題。對核反應(yīng)堆進行快速、精確的中子學(xué)計算，是反應(yīng)堆設(shè)計和校核的基本保障。目前在堆芯物理設(shè)計過程中，主要采用均勻幾何的擴散方程求解方法。
變分節(jié)塊法最早由美國西北大學(xué)的e.e.lewis教授提出，是中子學(xué)計算方法的杰出代表，具備扎實的工程應(yīng)用背景。其主要應(yīng)用作有美國阿貢國家實驗室開發(fā)的variant程序和nodal程序，法國原子能委員會的eranos程序，以及美國愛達荷國家實驗室的instant程序等等。
變分節(jié)塊法以二階偶宇稱形式的中子擴散方程為出發(fā)點，方程呈現(xiàn)橢圓方程的形式，有利于garlerkin方法的應(yīng)用，且更適合有限元方法的空間離散。變分節(jié)塊法的計算思想是：首先通過變分方法在均勻幾何求解區(qū)域建立包含二階中子輸運方程和自然邊界條件的泛函；然后采用標(biāo)準(zhǔn)正交多項式進行ritz離散，同時利用球諧函數(shù)實現(xiàn)角度展開，并構(gòu)造響應(yīng)矩陣；最后分別在三維堆芯的各個節(jié)塊內(nèi)分別求解響應(yīng)矩陣方程；節(jié)塊之間以流和其高階矩耦合，最終得到問題區(qū)域的中子通量密度分布。變分節(jié)塊法消除了橫向積分，離散對象直接針對三維中子通量密度分布。因此，變分節(jié)塊法不需要精細(xì)功率重構(gòu)技術(shù)，只需將最終求得的中子通量密度矩代入展開式就可以得到中子通量密度分布。然而，傳統(tǒng)的變分節(jié)塊法程序僅具備均勻節(jié)塊的處理能力，不足以精細(xì)描述節(jié)塊內(nèi)部的非均勻幾何，無法避免節(jié)塊均勻化帶來的誤差。
隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計算機水平的提高，人們已經(jīng)越來越開始重視減少近似和假設(shè)，追求更高精度的中子學(xué)計算方法，消除均勻化過程是中子學(xué)發(fā)展的必然趨勢。因此，針對反應(yīng)堆中子擴散方程的非均勻幾何變分節(jié)塊方法對于中子學(xué)計算具有十分重要的意義。
技術(shù)實現(xiàn)要素：
為了克服上述現(xiàn)有技術(shù)存在的問題，本發(fā)明的目的是提出一種針對反應(yīng)堆中子擴散方程的非均勻幾何變分節(jié)塊方法，它能夠精細(xì)描述核反應(yīng)堆的非均勻柵元結(jié)構(gòu)；該方法將基于變分節(jié)塊法，采用等參有限元來處理節(jié)塊內(nèi)部的精細(xì)幾何結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)非均勻幾何的中子擴散方程求解。
為了實現(xiàn)上述目的，本發(fā)明采取了以下技術(shù)方案予以實施：
一種針對反應(yīng)堆中子擴散方程的非均勻幾何變分節(jié)塊方法，步驟如下：
步驟1：首先根據(jù)公式(1)中二階偶宇稱擴散方程建立包含公式(3)中子通量密度φ和中子流密度j的泛函，泛函中包含節(jié)塊內(nèi)部的中子守恒關(guān)系以及節(jié)塊表面的流連續(xù)性條件：
針對某一特定能群，在擴散近似下，二階偶宇稱擴散方程為：
式中：
φ—節(jié)塊內(nèi)部中子通量密度；
ω—方位角向量；
σt—中子宏觀總截面；
σa—中子宏觀吸收截面；
q—中子源項；
根據(jù)變分原理，在由若干節(jié)塊組成的整個非均勻求解區(qū)域上，對應(yīng)擴散方程的泛函寫作各個節(jié)塊內(nèi)部及其表面上泛函的疊加貢獻：
式中：
f[φ,j]—整個非均勻幾何求解區(qū)域內(nèi)的泛函；
fv[φ,j]—單個節(jié)塊內(nèi)部的泛函；
v—節(jié)塊的編號；
而擴散近似下的各節(jié)塊泛函
其中γ是外部邊界；
步驟2：有限元形狀函數(shù)g(x,y)能夠用來描述曲邊幾何結(jié)構(gòu)，因此利用x‐y方向的有限元形狀函數(shù)g(x,y)，分片常量多項式h(x,y)，z方向的正交多項式fz(z)和f′z(z)對節(jié)塊內(nèi)部中子通量密度φ、節(jié)塊表面中子流j分別展開，實現(xiàn)非均勻節(jié)塊的幾何和材料描述功能：
式中：
t—轉(zhuǎn)置符號；
fz(z)—節(jié)塊內(nèi)部軸向標(biāo)準(zhǔn)正交多項式向量；
g(x,y)—x‐y方向有限元形狀函數(shù)向量；
φ—節(jié)塊內(nèi)部中子通量密度的展開矩向量；
f′z(z)—節(jié)塊x‐y表面的軸向標(biāo)準(zhǔn)正交多項式向量；
fγ(γ′)—節(jié)塊x‐y表面的徑向標(biāo)準(zhǔn)正交多項式向量；
j±γ(γ′,z)—節(jié)塊x‐y表面中子流密度展開矩向量，其中展開矩代表了展開系數(shù)的值；j±γ(γ′,z)是關(guān)于徑向方向上的自變量γ′＝x,y和軸向方向的自變量z的函數(shù)：當(dāng)γ＝x時γ′＝y(tǒng)，j±x(y,z)代表節(jié)塊左側(cè)和右側(cè)的表面中子流密度展開矩向量；當(dāng)γ＝y(tǒng)時γ′＝x，j±y(x,z)代表節(jié)塊下側(cè)和上側(cè)的表面中子流密度展開矩向量；
j±z(x,y)—節(jié)塊z表面中子流密度展開矩向量，它是關(guān)于徑向方向上的自變量x,y的函數(shù)；
δz—節(jié)塊z方向上的高度；
h(x,y)—節(jié)塊z表面分片常量，對應(yīng)于節(jié)塊內(nèi)部第e個面積為ae的有限元網(wǎng)格，它滿足
步驟3：將公式(4)至公式(6)中的離散表達式代入各個節(jié)塊內(nèi)部的泛函公式(3)，得到表征中子通量密度展開系數(shù)φ和中子流密度展開系數(shù)j之間關(guān)系的響應(yīng)矩陣方程公式(8)、公式(10)：
將公式(4)至公式(6)代入公式(3)，得節(jié)塊內(nèi)部泛函的離散形式：
根據(jù)變分原理，對公式(7)取φ的一階變分為0，得擴散近似形式的矩陣方程：
其中：
其中：
-1—矩陣的求逆；
φ—節(jié)塊內(nèi)部中子通量密度展開矩向量；
j—節(jié)塊表面凈中子流密度展開矩向量；
q—中子源項展開矩向量；
對公式(7)取j的一階變分為0，得節(jié)塊表面偶宇稱中子通量密度展開矩
聯(lián)立公式(8)和公式(9)：
式中：
j—凈中子流密度展開矩向量；
u—中子流源項展開矩向量；
其中：
為了將響應(yīng)矩陣表達成通用形式，利用變量替換關(guān)系式
將公式(10)寫為響應(yīng)矩陣形式：
式中：
j+—出射中子流展開矩向量；
j-—入射中子流展開矩向量；
式中：
步驟4：對公式(14)、公式(8)所代表的響應(yīng)矩陣方程，利用紅-黑迭代的方法進行迭代求解，最終得到整個非均勻幾何求解區(qū)域的中子通量密度分布φ(r)和中子流密度分布j±γ(γ′,z)、j±z(x,y)，從而完成針對反應(yīng)堆中子擴散方程的非均勻幾何變分節(jié)塊方法。
與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明具有如下突出優(yōu)點：
1.傳統(tǒng)的節(jié)塊方法絕大多數(shù)僅具備均勻節(jié)塊的描述能力，本發(fā)明通過采用等參有限元對各節(jié)塊內(nèi)部的中子通量密度分布進行空間離散，可以有效地描述各個節(jié)塊的內(nèi)部的非均勻曲邊幾何結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)非均勻擴散計算的能力。
2.本發(fā)明通過在節(jié)塊的軸向表面采用分片常量進行空間離散，能夠?qū)嶋H描述非均勻節(jié)塊表面的軸向泄漏分布，消除傳統(tǒng)節(jié)塊方法中軸向表面的均勻化過程，更加切合物理實際，同時提高計算精度。
附圖說明
圖1為等參有限元描述下的壓水堆柵元非均勻幾何。
具體實施方式
下面結(jié)合具體實施方式對本發(fā)明作進一步詳細(xì)說明。該方法采用標(biāo)準(zhǔn)的源迭代的方法進行外迭代。針對群內(nèi)迭代，具體計算流程包括以下幾步：
步驟1：首先根據(jù)公式(1)中二階偶宇稱擴散方程建立包含公式(3)中子通量密度φ和中子流密度j的泛函，泛函中包含節(jié)塊內(nèi)部的中子守恒關(guān)系以及節(jié)塊表面的流連續(xù)性條件：
針對某一特定能群，在擴散近似下，二階偶宇稱擴散方程為：
式中：
φ—節(jié)塊內(nèi)部中子通量密度；
ω—方位角向量；
σt—中子宏觀總截面；
σa—中子宏觀吸收截面；
q—中子源項；
根據(jù)變分原理，在由若干節(jié)塊組成的整個非均勻求解區(qū)域上，對應(yīng)擴散方程的泛函可以寫作各個節(jié)塊內(nèi)部及其表面上泛函的疊加貢獻：
式中：
f[φ,j]—整個非均勻幾何求解區(qū)域內(nèi)的泛函，其中φ代表非均勻幾何求解區(qū)域的中子角通量密度，j代表非均勻幾何求解區(qū)域的表面中子流密度；
fv[φ,j]—單個節(jié)塊內(nèi)部的泛函，其中φ代表節(jié)塊內(nèi)部的中子角通量密度，j代表節(jié)塊表面的中子流密度；
v—節(jié)塊的編號；
而擴散近似下的各節(jié)塊泛函
其中γ是外部邊界；
步驟2：有限元形狀函數(shù)g(x,y)能夠用來描述如圖1所示的曲邊幾何結(jié)構(gòu)，因此利用x‐y方向的有限元形狀函數(shù)g(x,y)，分片常量多項式h(x,y)，z方向的正交多項式fz(z)和f′z(z)對節(jié)塊內(nèi)部中子通量密度φ、節(jié)塊表面中子流j分別展開，實現(xiàn)非均勻節(jié)塊的幾何和材料描述功能：
式中：
t—轉(zhuǎn)置符號；
fz(z)—節(jié)塊內(nèi)部軸向標(biāo)準(zhǔn)正交多項式向量；
g(x,y)—x‐y方向有限元形狀函數(shù)向量；
φ—節(jié)塊內(nèi)部中子通量密度的展開矩向量；
f′z(z)—節(jié)塊x‐y表面的軸向標(biāo)準(zhǔn)正交多項式向量；
fγ(γ′)—節(jié)塊x‐y表面的徑向標(biāo)準(zhǔn)正交多項式向量；
j±γ(γ′,z)—節(jié)塊x‐y表面的中子流密度展開矩向量，其中展開矩代表了展開系數(shù)的值；它是關(guān)于徑向方向上的自變量γ′＝x,y和軸向方向的自變量z的函數(shù)：當(dāng)γ＝x時γ′＝y(tǒng)，j±x(y,z)代表節(jié)塊左側(cè)和右側(cè)的表面中子流密度展開矩向量；當(dāng)γ＝y(tǒng)時γ′＝x，j±y(x,z)代表節(jié)塊下側(cè)和上側(cè)的表面中子流密度展開矩向量；
j±z(x,y)—節(jié)塊z表面的中子流密度展開矩向量，它是關(guān)于徑向方向上的自變量x,y的函數(shù)，腳標(biāo)±z分別對應(yīng)了節(jié)塊的頂側(cè)和低側(cè)表面；
δz—節(jié)塊z方向上的高度；
h(x,y)—節(jié)塊z表面分片常量，對應(yīng)于節(jié)塊內(nèi)部第e個面積為ae的有限元網(wǎng)格，它滿足
步驟3：將公式(4)至公式(6)中的離散表達式代入各個節(jié)塊內(nèi)部的泛函公式(3)，得到表征中子通量密度展開系數(shù)φ和中子流密度展開系數(shù)j之間關(guān)系的響應(yīng)矩陣方程公式(8)、公式(10)：
將公式(4)至公式(6)代入公式(3)，得節(jié)塊內(nèi)部泛函的離散形式：
根據(jù)變分原理，對公式(7)取φ的一階變分為0，得擴散近似形式的矩陣方程：
其中：
其中：
-1—矩陣的求逆；
φ—節(jié)塊內(nèi)部中子通量密度展開矩向量；
j—節(jié)塊表面凈中子流密度展開矩向量；
q—中子源項展開矩向量；
對公式(7)取j的一階變分為0，得節(jié)塊表面偶宇稱中子通量密度展開矩
聯(lián)立公式(8)和公式(9)：
式中：
j—凈中子流密度展開矩向量；
u—中子流源項展開矩向量；
其中：
為了將響應(yīng)矩陣表達成通用形式，利用變量替換關(guān)系式
將公式(10)寫為響應(yīng)矩陣形式：
式中：
j+—出射中子流展開矩向量；
j-—入射中子流展開矩向量；
式中：
為使表達簡便，省略展開基函數(shù)中的x,y,z自變量，公式(8)至公式(16)中的各系數(shù)矩陣可寫作：
其中：
g|±x—g(x,y)函數(shù)在節(jié)塊+x,-x表面上的取值；
g|±y—g(x,y)函數(shù)在節(jié)塊+y,-y表面上的取值；
fz|±z—fz(z)函數(shù)在節(jié)塊+z,-z表面上的取值；
其他符號的代表意義與前文相同。
步驟4：對于求解區(qū)域內(nèi)各不同種類的節(jié)塊，根據(jù)公式(11)，公式(15)至公式(28)分別計算各節(jié)塊的響應(yīng)矩陣；
步驟5：針對特定能群，利用紅‐黑掃描的方式對響應(yīng)矩陣方程公式(14)進行迭代求解，得到出、入射偏中子流密度矩j+、j-；在求得出、入射偏中子流密度矩j+、j-后，代入公式(8)，即可解得節(jié)塊內(nèi)部中子通量密度矩φ，從而可由公式(4)得知節(jié)塊內(nèi)部的中子通量密度分布φ(r)；
步驟7：進行下一能群的計算，能夠求解整個非均勻求解區(qū)域內(nèi)各群的中子通量密度分布和有效增值因子，完成針對反應(yīng)堆中子擴散方程的非均勻幾何變分節(jié)塊方法。