本發(fā)明屬于計(jì)算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域、三維重建、配準(zhǔn)，具體講，涉及基于稀疏表示的全局非剛性表面對(duì)齊與重建方法。

背景技術(shù)：

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域，動(dòng)態(tài)三維重建是一個(gè)熱點(diǎn)研究問(wèn)題，它旨在通過(guò)單個(gè)或多個(gè)相機(jī)恢復(fù)出相應(yīng)的動(dòng)態(tài)場(chǎng)景。隨著商用深度相機(jī)的出現(xiàn)，例如微軟的kinect，重建出一個(gè)場(chǎng)景的模型和紋理變的越來(lái)越方便，而且成本也越來(lái)越低。如今，它在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用，比如3d打印、游戲和電影。

為了實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)的三維重建，一些研究組設(shè)計(jì)了一些多相機(jī)系統(tǒng)。李坤等人(lik,daiq,xuw.markerlessshapeandmotioncapturefrommultiviewvideosequences.[j].ieeetransactionsoncircuits&systemsforvideotechnology,2011,21(3):320-334.)于清華大學(xué)用20個(gè)相機(jī)搭建了一個(gè)圓頂狀的多相機(jī)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)的原理是通過(guò)多視角立體方法和基于體素變形方法實(shí)現(xiàn)同步采集和恢復(fù)動(dòng)態(tài)場(chǎng)景里的任意目標(biāo)和其紋理。aguiar等人(deaguiare,stollc,theobaltc,etal.performancecapturefromsparsemulti-viewvideo[j].acmtransactionsongraphics,2008,27(3):15-19.)用8個(gè)相機(jī)構(gòu)建了一個(gè)稀疏采樣的系統(tǒng)，此系統(tǒng)是通過(guò)結(jié)合基于表面的變形技術(shù)和基于體素的變形技術(shù)實(shí)現(xiàn)了對(duì)三維目標(biāo)的形態(tài)和動(dòng)作的有效獲取和重建。然而，這種多相機(jī)系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)遇到很多的限制，比如，這種多相機(jī)系統(tǒng)成本很高，難以維護(hù)而且不易攜帶。因而，由于微軟公司kinect相機(jī)的低成本和其多傳感器，使它得到了很廣的應(yīng)用。tong等人(tongj,zhouj,liul,etal.scanning3dfullhumanbodiesusingkinects[j].ieeetransactionsonvisualization&computergraphics,2012,18(4):643-650.)用三個(gè)相機(jī)重建出一個(gè)完整的三維人體模型，但它要求人體目標(biāo)在采集過(guò)程中保持不動(dòng)。guo等人(guok,xuf,wangy,etal.robustnon-rigidmotiontrackingandsurfacereconstructionusingl0regularization[c]//ieeeinternationalconferenceoncomputervision.2015:3083-3091.)用三個(gè)手持的kinect相機(jī)實(shí)現(xiàn)了無(wú)標(biāo)記的交互的動(dòng)態(tài)重建。為了能更簡(jiǎn)單和便捷，li等人(lih,vougae,gudyma,etal.3dself-portraits[j].acmtransactionsongraphics,2013,32(6):2504-2507.)只用單個(gè)kinect重建出一個(gè)完整的三維模型，但它要求人在各個(gè)視角下的保持相同的姿勢(shì)。dou等人(doum,taylorj,fuchsh,etal.3dscanningdeformableobjectswithasinglergbdsensor[c]//computervisionandpatternrecognition.ieee,2015:493-501.)用單個(gè)kinect設(shè)計(jì)了一個(gè)允許目標(biāo)物體能有較大變形的系統(tǒng)，但這種系統(tǒng)要求相鄰視角的變形不能大，而且它有很高的復(fù)雜度和很大的計(jì)算量，因而用時(shí)也很長(zhǎng)。

基于以上的問(wèn)題，我們提出了一種新的基于單個(gè)kinect的可變形物體全局的非剛性配準(zhǔn)和重建方法，我們的方法允許目標(biāo)物體有較大的動(dòng)作變形，而且所用數(shù)據(jù)更少，用時(shí)更短。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

為克服現(xiàn)有技術(shù)的不足，本發(fā)明旨在實(shí)現(xiàn)處理三維目標(biāo)物體的大動(dòng)作的變形。本發(fā)明采用的技術(shù)方案是，可變形物體的全局非剛性配準(zhǔn)與重建方法，假定有n個(gè)視角的模型，記為u¹,u²,…,uⁿ。對(duì)于任意一個(gè)模型p，n是模型p的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；是點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，對(duì)于一對(duì)相鄰的模型u^p，u^p+1，對(duì)于最后一個(gè)模型uⁿ，與之相鄰的是u¹，采用人工或求對(duì)應(yīng)關(guān)系的算法找到它們之間的初始映射關(guān)系fp→p+1，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后求解它們之間的非剛性變換x^p，是一個(gè)3*4的變換矩陣。在算法中加入多分辨率的方法，即將任一個(gè)模型都進(jìn)行降采樣得到相應(yīng)的低分辨率模型，記為u^(p,s),u^(p,s-1),…,u^(p,1)，u^(p,s)代表最低分辨率的模型，u^(p,1)代表原始分辨率的模型，然后用高分辨率模型上的對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)建約束，求解低分辨率模型之間的變換，最后將變換映射回高分辨率模型上，記作為第s分辨率模型上的點(diǎn)，γi^(p,s+1)為以為中心r為半徑的球范圍內(nèi)的所有在第s+1分辨率模型上的點(diǎn)。

求解低分辨率模型之間的變換的過(guò)程如下：

其中權(quán)重aj定義如下：

r是有效半徑，將其定義為低分辨率模型上所以邊長(zhǎng)的加權(quán)平均的兩倍，代表和之間的歐式距離，且隨著距離的增加，權(quán)重不斷減??；

基于相鄰模型間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)建如下的能量函數(shù)方程：

edata(x)是數(shù)據(jù)項(xiàng)，表示數(shù)據(jù)項(xiàng)的目標(biāo)函數(shù)能量，用來(lái)保證經(jīng)旋轉(zhuǎn)平移變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離總和最小；esmooth(x)是平滑項(xiàng)，表示平滑項(xiàng)的目標(biāo)函數(shù)能量，保證臨近的點(diǎn)擁有盡量相似的變換；erig(x)是正交項(xiàng)，它約束局部變換要是剛性的；最后，earap是拉普拉斯約束項(xiàng)，它約束模型的邊的長(zhǎng)度在變換前后保持盡可能的不變，α,γ和β分別是衡量數(shù)據(jù)項(xiàng)、平滑項(xiàng)和拉普拉斯項(xiàng)的權(quán)重，這四項(xiàng)定義如下:

⑴數(shù)據(jù)項(xiàng)edata(x)：相鄰兩個(gè)視角模型u^p,u^p+1間的配準(zhǔn)和一般的配準(zhǔn)問(wèn)題一樣，先找模型間點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系fp，求解模型間的變換x^p，因?yàn)椴皇悄Ｐ蛈^p上的每個(gè)點(diǎn)的都有在其相鄰模型u^p+1上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的，因而為每個(gè)點(diǎn)設(shè)置一個(gè)權(quán)重如果這個(gè)點(diǎn)在其相鄰模型上有對(duì)應(yīng)點(diǎn)則設(shè)為1，沒(méi)有則設(shè)為0，將o(p)記作為u^p+1上與u^p對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合，得到數(shù)據(jù)項(xiàng)的定義如下：

上面的式子寫成：

diag表示輸入向量的對(duì)角化塊矩陣，記作得到如下形式：

其中h為

⑵平滑項(xiàng)esmooth(x)：對(duì)于模型u^p上的點(diǎn)記作為其相連接的點(diǎn)的集合，記作為與其連接點(diǎn)的邊，因此，得到邊的集合定義平滑項(xiàng)如下：

平滑項(xiàng)寫成：

記作b＝diag(b¹,…,bⁿ)，得

⑶正交項(xiàng)erig(x)：從實(shí)際的目標(biāo)物體觀察得知，它們的物理形態(tài)是滿足局部剛性變換的，引入局部剛性約束項(xiàng)來(lái)減小變換的靈活性，特別地，假定一個(gè)變換是剛性的，它包含一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣和一個(gè)平移矩陣，于是，定義正交項(xiàng)如下：

di是一個(gè)3*4的常量矩陣，它用于提取的旋轉(zhuǎn)矩陣，此外，如果乘以-1使得的行列式為正；

⑷拉普拉斯項(xiàng)earap(x)：引入拉普拉斯保長(zhǎng)約束項(xiàng)，此約束的作用是使得模型的邊長(zhǎng)在變換前后盡可能的保持不變，分別記作為點(diǎn)i和j相連接的邊，也有相似的表示，因此，定義拉普拉斯項(xiàng)如下：

這里將設(shè)為常數(shù)1，是一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，它通過(guò)單極值分解得到，的定義如下：

通過(guò)單極值分解，得到求解如下：

權(quán)重由邊的正切角度定義：

αij和βij是邊(i,j)的相對(duì)角。然后關(guān)于最小化earap(x)，得：

因此，拉普拉斯項(xiàng)寫成

l^p代表上式左邊的線性組合，也叫離散的拉普拉斯-貝拉米特算子；b^p是一個(gè)n維向量，它的第i行代表上式右邊的表達(dá)式，并通過(guò)和交替迭代求解，記作l＝diag(l¹,…,lⁿ)，b＝[b¹,…bⁿ]^t，可以重寫拉普拉斯項(xiàng)如下：

邊界條件：為了使我們的優(yōu)化問(wèn)題有唯一解，將第一個(gè)視角模型設(shè)為參考視角，則第一個(gè)模型的變換x¹設(shè)為單位陣，結(jié)合以上四項(xiàng)，得到優(yōu)化問(wèn)題如下：

其中c和a是輔助變量。

對(duì)優(yōu)化問(wèn)題利用增廣拉格朗日方法進(jìn)行求解，具體步驟如下：

①輸入各個(gè)視角及其降采樣之后的模型u^p，u^p,s和相鄰模型間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

②如果x沒(méi)有收斂，重新找對(duì)應(yīng)關(guān)系f^p:u^p→u^p+1。否則轉(zhuǎn)到④；

③更新ti，用增廣拉格朗日方法求解x。否則轉(zhuǎn)到②；

④輸出x。

本發(fā)明的特點(diǎn)及有益效果是：

本發(fā)明針對(duì)具有大的動(dòng)作變形的目標(biāo)物體進(jìn)行全局非剛性的配準(zhǔn)與重建，具有以下特點(diǎn)：

①本算法提出全局配準(zhǔn)的框架，即相鄰兩個(gè)視角模型相互注冊(cè)，避免了傳統(tǒng)方法中的閉環(huán)檢測(cè)問(wèn)題。因而有效的緩解了配準(zhǔn)過(guò)程中的誤差積累問(wèn)題。

②本算法在較少的數(shù)據(jù)量(一般視角模型數(shù)量為15～30)的條件下能處理目標(biāo)物體的大動(dòng)作變形，且能重建出較好的完整模型。另外，本算法的計(jì)算復(fù)雜度要比傳統(tǒng)方法小很多。

③本算法運(yùn)用多分辨率的方法，這使得求解此優(yōu)化問(wèn)題可以得到唯一解，而避免了傳統(tǒng)方法易于陷入局部最小的問(wèn)題。此外，這也降低了處理大規(guī)模數(shù)據(jù)的難度，進(jìn)一步減小了計(jì)算復(fù)雜度。

④本算法加入了拉普拉斯保長(zhǎng)約束項(xiàng)，緩解了在配準(zhǔn)過(guò)程中不完整模型配準(zhǔn)后的收縮問(wèn)題，也為最后重建完整模型提供了保障。

附圖說(shuō)明：

本發(fā)明所述的一系列優(yōu)點(diǎn)從下面結(jié)合附圖對(duì)實(shí)例的描述中將變得明顯和容易理解:

圖1為利用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù)的數(shù)據(jù)(完整的三維模型)，(a)是所選的10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)完整模型，它們有大的動(dòng)作變形；(b)是方法1：”yangj,lik,lik,etal.sparsenon-rigidregistrationof3dshapes[c]//computergraphicsforum.2015:89-99.”的結(jié)果；(c)是方法2：”robustnon-rigidregistrationwithreweighteddualsparsities”的結(jié)果；(d)是本算法的結(jié)果。用顏色標(biāo)記的部分為誤差大小，誤差歸一化為0～1。

由圖1可知，方法1最差，有很大的擬合誤差；而方法2的擬合總誤差為9.738，我們的方法總誤差為3.0604。因此，我們的方法有更好的結(jié)果。

圖2為從標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù)的數(shù)據(jù)通過(guò)提取各個(gè)視角的可見(jiàn)部分得到的數(shù)據(jù)集(共35個(gè)視角模型)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖。圖中第一行為方法1的結(jié)果，第二行為方法2的結(jié)果，第三行為本算法結(jié)果。第一列為模型1-2的配準(zhǔn)結(jié)果，第二列為模型1-20的配準(zhǔn)結(jié)果，第三列為所有模型的結(jié)果，第四列為泊松重建的結(jié)果?？梢悦黠@看出本算法得到了更好的配準(zhǔn)結(jié)果和重建結(jié)果。

圖3和圖4是用kinectv2采集的真實(shí)數(shù)據(jù)的結(jié)果(分別有30個(gè)和15個(gè)視角模型)。同樣，本算法說(shuō)明了更好的配準(zhǔn)和重建結(jié)果。

圖5為本發(fā)明流程圖。

具體實(shí)施方式

為解決現(xiàn)有方法的問(wèn)題，能處理三維目標(biāo)物體的大動(dòng)作的變形。為此，本發(fā)明采取的方案是，基于稀疏表示的全局非剛性配準(zhǔn)方法。假定有n個(gè)視角的模型，記為u¹,u²,…,uⁿ。對(duì)于任意一個(gè)模型p，n是模型p的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；是點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。對(duì)于一對(duì)相鄰的模型u^p，u^p+1(對(duì)于最后一個(gè)模型uⁿ，與之相鄰的是u¹)，采用人工或求對(duì)應(yīng)關(guān)系的算法(如”tamgkl,martinrr,rosinpl,etal.diffusionpruningforrapidlyandrobustlyselectingglobalcorrespondencesusinglocalisometry[j].acmtransactionsongraphics,2014,33(1):57-76.”)找到它們之間的初始映射關(guān)系fp→p+1，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后求解它們之間的非剛性變換x^p，是一個(gè)3*4的變換矩陣?？紤]到每個(gè)點(diǎn)的變換有12個(gè)自由度，那么對(duì)于一個(gè)模型有m個(gè)點(diǎn)就有12m個(gè)自由度，這對(duì)于只有m個(gè)約束的條件是不足以求解出唯一解的。因而，本發(fā)明在算法中加入了多分辨率的方法，即將任一個(gè)模型都進(jìn)行降采樣得到相應(yīng)的低分辨率模型，記為u^(p,s),u^(p,s-1),…,u^(p,1)，u^(p,s)代表最低分辨率的模型，u^(p,1)代表原始分辨率的模型。然后用高分辨率模型上的對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)建約束，求解低分辨率模型之間的變換，最后將變換映射回高分辨率模型上(用高分辨率模型上的點(diǎn)找其在低分辨率模型上一圈鄰域的點(diǎn)的變換的加權(quán)平均作為其變換)。記作為第s分辨率模型上的點(diǎn)，γi^(p,s+1)為以為中心r為半徑的球范圍內(nèi)的所有在第s+1分辨率模型上的點(diǎn)。具體的求解過(guò)程如下：

其中權(quán)重aj定義如下：

r是有效半徑，將其定義為低分辨率模型上所以邊長(zhǎng)的加權(quán)平均的兩倍。代表和之間的歐式距離，且隨著距離的增加，權(quán)重不斷減小。

基于相鄰模型間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以構(gòu)建如下的能量函數(shù)方程：

edata(x)是數(shù)據(jù)項(xiàng)，表示數(shù)據(jù)項(xiàng)的目標(biāo)函數(shù)能量，用來(lái)保證經(jīng)旋轉(zhuǎn)平移變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離總和最小；esmooth(x)是平滑項(xiàng)，表示平滑項(xiàng)的目標(biāo)函數(shù)能量，保證臨近的點(diǎn)擁有盡量相似的變換；erig(x)是正交項(xiàng)，它約束局部變換要是剛性的；最后，earap是拉普拉斯約束項(xiàng)，它約束模型的邊的長(zhǎng)度在變換前后保持盡可能的不變。α,γ和β分別是衡量數(shù)據(jù)項(xiàng)、平滑項(xiàng)和拉普拉斯項(xiàng)的權(quán)重。這四項(xiàng)定義如下:

⑴數(shù)據(jù)項(xiàng)edata(x)：相鄰兩個(gè)視角模型u^p,u^p+1間的配準(zhǔn)和一般的配準(zhǔn)問(wèn)題一樣，先找模型間點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系fp，求解模型間的變換x^p。因?yàn)椴皇悄Ｐ蛈^p上的每個(gè)點(diǎn)的都有在其相鄰模型u^p+1上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的，因而為每個(gè)點(diǎn)設(shè)置一個(gè)權(quán)重如果這個(gè)點(diǎn)在其相鄰模型上有對(duì)應(yīng)點(diǎn)則設(shè)為1，沒(méi)有則設(shè)為0，將o(p)記作為u^p+1上與u^p對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合。可以得到數(shù)據(jù)項(xiàng)的定義如下：

上面的式子可以寫成：

diag表示輸入向量的對(duì)角化塊矩陣。記作可以得到如下形式：

其中h為

⑵平滑項(xiàng)esmooth(x)：對(duì)于模型u^p上的點(diǎn)記作為其相連接的點(diǎn)的集合，記作為與其連接點(diǎn)的邊。因此，可以得到邊的集合定義平滑項(xiàng)如下：

平滑項(xiàng)可以寫成：

記作b＝diag(b¹,…,bⁿ)，可得

⑶正交項(xiàng)erig(x)：從實(shí)際的目標(biāo)物體(人體或動(dòng)物)觀察可以得知，它們的物理形態(tài)是滿足局部剛性變換的。例如，人的腿通常是剛體運(yùn)動(dòng)的。因此，本算法引入局部剛性約束項(xiàng)來(lái)減小變換的靈活性。特別地，假定一個(gè)變換是剛性的，它包含一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣(也叫正交矩陣)和一個(gè)平移矩陣。于是，定義正交項(xiàng)如下：

di是一個(gè)3*4的常量矩陣，它用于提取的旋轉(zhuǎn)矩陣。此外，如果我們乘以-1使得的行列式為正。

⑷拉普拉斯項(xiàng)earap(x)：在初期的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)模型的邊有向里收縮的傾向，為了緩解這種失真問(wèn)題，本算法引入拉普拉斯保長(zhǎng)約束項(xiàng)。此約束的作用是使得模型的邊長(zhǎng)在變換前后盡可能的保持不變。我們分別記作為點(diǎn)i和j相連接的邊，也有相似的表示。因此，可以定義拉普拉斯項(xiàng)如下：

這里將設(shè)為常數(shù)1。是一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，它通過(guò)單極值分解得到，的定義如下

通過(guò)單極值分解，可以得到求解如下：

權(quán)重由邊的正切角度定義：

αij和βij是邊(i,j)的相對(duì)角。然后關(guān)于最小化earap(x)，可得：

因此，拉普拉斯項(xiàng)可以寫成

l^p代表上式左邊的線性組合，也叫離散的拉普拉斯-貝拉米特算子；b^p是一個(gè)n維向量，它的第i行代表上式右邊的表達(dá)式，并通過(guò)和交替迭代求解。記作l＝diag(l¹,…,lⁿ)，b＝[b¹,…bⁿ]^t，可以重寫拉普拉斯項(xiàng)如下：

邊界條件：為了使我們的優(yōu)化問(wèn)題有唯一解，本算法將第一個(gè)視角模型設(shè)為參考視角，則第一個(gè)模型的變換x¹設(shè)為單位陣。結(jié)合以上四項(xiàng)，可得到本算法的優(yōu)化問(wèn)題如下：

其中c和a是輔助變量。

對(duì)以上的優(yōu)化問(wèn)題可以利用增廣拉格朗日方法進(jìn)行求解，具體步驟如下：

①輸入各個(gè)視角及其降采樣之后的模型u^p，u^p,s和相鄰模型間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

②如果x沒(méi)有收斂，重新找對(duì)應(yīng)關(guān)系f^p:u^p→u^p+1。否則轉(zhuǎn)到④。

③更新ti，用增廣拉格朗日方法求解x。否則轉(zhuǎn)到②。

④輸出x。

本發(fā)明所述的一系列優(yōu)點(diǎn)從下面結(jié)合附圖對(duì)實(shí)例的描述中將變得明顯和容易理解:

圖2為從標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù)的數(shù)據(jù)通過(guò)提取各個(gè)視角的可見(jiàn)部分得到的數(shù)據(jù)集(共35個(gè)視角模型)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖。圖中第一行為方法1的結(jié)果，第二行為方法2的結(jié)果，第三行為本算法結(jié)果。第一列為模型1-2的配準(zhǔn)結(jié)果，第二列為模型1-20的配準(zhǔn)結(jié)果，第三列為所有模型的結(jié)果，第四列為泊松重建的結(jié)果?？梢悦黠@看出本算法得到了更好的配準(zhǔn)結(jié)果和重建結(jié)果。

圖3和圖4是用kinectv2采集的真實(shí)數(shù)據(jù)的結(jié)果(分別有30個(gè)和15個(gè)視角模型)。同樣，本算法說(shuō)明了更好的配準(zhǔn)和重建結(jié)果。

本發(fā)明首先采用求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的算法(如”tamgkl,martinrr,rosinpl,etal.diffusionpruningforrapidlyandrobustlyselectingglobalcorrespondencesusinglocalisometry[j].acmtransactionsongraphics,2014,33(1):57-76.”)找出相鄰模型間的初始對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后由對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)建數(shù)據(jù)項(xiàng)約束，再由其他先驗(yàn)可以構(gòu)建平滑項(xiàng)、正交項(xiàng)約束，為了緩解對(duì)于不完整模型變形產(chǎn)生的收縮問(wèn)題，引入拉普拉斯項(xiàng)約束，以上四項(xiàng)共同組成我們的優(yōu)化函數(shù)方程。最后，利用增廣拉格朗日法和方向選擇法對(duì)優(yōu)化函數(shù)方程進(jìn)行求解。具體方法包括如下步驟：

1)對(duì)每一個(gè)初始模型u^p進(jìn)行降采樣得到相應(yīng)的低分辨率的模型u^(p,s),u^(p,s-1),…,u^(p,1)，并為每一對(duì)相鄰模型找出初始的對(duì)應(yīng)關(guān)系fp。

2)由以上原始模型上的對(duì)應(yīng)關(guān)系為約束，加上模型的先驗(yàn)特征，可以構(gòu)建優(yōu)化函數(shù)方程如下：

edata(x)是數(shù)據(jù)項(xiàng)，表示數(shù)據(jù)項(xiàng)的目標(biāo)函數(shù)能量，用來(lái)保證經(jīng)旋轉(zhuǎn)平移變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離總和最?。籩smooth(x)是平滑項(xiàng)，表示平滑項(xiàng)的目標(biāo)函數(shù)能量，保證臨近的點(diǎn)擁有盡量相似的變換；erig(x)是正交項(xiàng)，它約束局部變換要是剛性的；最后，earap是拉普拉斯約束項(xiàng)，它約束模型的邊的長(zhǎng)度在變換前后保持盡可能的不變。α,γ和β分別是衡量數(shù)據(jù)項(xiàng)、平滑項(xiàng)和拉普拉斯項(xiàng)的權(quán)重。

3)定義稀疏矩陣h,b,l

構(gòu)建數(shù)據(jù)項(xiàng)：其中

平滑項(xiàng)：esmooth(x)＝∑p‖bx‖1，其中b＝diag(b¹,…,bⁿ)；

正交項(xiàng)：

拉普拉斯項(xiàng)：其中l(wèi)＝diag(l¹,…,lⁿ)，b＝[b¹,…bⁿ]^t。

4)利用增廣拉格朗日方法和方向選擇法對(duì)以下優(yōu)化函數(shù)方程進(jìn)行求解。

s.tc＝hx

a＝bx