技術(shù)特征：

1.一種基于曲面族包絡(luò)(面)原理的高次曲面參數(shù)化建模方法，其特征在于：其高次曲面參數(shù)化建模方法的步驟是：

S1、分析簡單曲面及其數(shù)學(xué)表示方法

在空間直角坐標系中，對于給定的一張曲面∑，把∑看作是動點M按照一定的規(guī)律運動所形成的軌跡，用M點的坐標(x，y，z)所滿足的方程表示，其形式有：

I、參數(shù)式

$\mathrm{\Σ}:\left(\begin{array}{c}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}\right.,(u,v)\∈U---\left(1\right)$

式(1)為曲面∑的參數(shù)式，或參數(shù)表示，u與v稱為∑的參數(shù)，其向量方程為：

r＝r(u，v)＝{x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)} (2)

II、顯式

如果動點M的坐標(x，y，z)滿足方程：

z＝f(x，y)或z＝z(x，y) (3)

稱上式為曲面∑的顯式表示，只要坐標(x，y，z)滿足(3)，則M(x，y，z)點的集合就是曲面∑；

III、隱式

如果動點M(x，y，z)滿足方程：

F(x，y，z)＝0 (4)

且F_z(x，y，z)≠0，則稱上(4)式為曲面∑的隱式表示，∑是動點M的集合；

以上三種表達形式在一定條件下，具有等價性；如果曲面∑采用公式(1)的形式表示，且函數(shù)x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)對自變量u與v具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，同時矩陣：

$J=\left(\begin{array}{ccc}{x}_u& y_u& z_u\\ x_v& y_v& z_v\end{array}\right)$

的秩rank(J)＝2，則稱曲面∑為簡單曲面，∑上的點為正常點；或者說，由正常點組成的曲面稱為簡單曲面；簡單曲面上每一點的法向量為非零向量，即N＝r_u×r_v≠0，因此簡單曲面都可以用參數(shù)式、顯式或者隱式來表示；

S2.確定單參數(shù)運動狀態(tài)下單參數(shù)曲面族表示方法

空間曲面以參數(shù)a運動(或變化)，就會形成一族曲面，對應(yīng)某個a值，就會有確定的曲面與之對應(yīng)，則稱這族曲面為單參數(shù)曲面族；空間曲面族的表示法同樣也有三種：

I、曲面族的參數(shù)式和向量方程

曲面族的參數(shù)式：

$\left\{s_a\right\}:\left(\begin{array}{c}x=x(u,v,a)\\ y=y(u,v,a)\\ z=z(u,v,a)\end{array}\right.$

其中：(u，v)∈U，a∈D，U與D都是實數(shù)集合；

向量方程：

r＝r(u，v，a)＝{x(u，v，a)，y(u，v，a)，z(u，v，a)}

II、曲面族的顯式表示：

z＝f(x，y，a)或z＝z(x，y，a)

III、曲面族的隱式表示：

F(x，y，z，a)＝0

S3、分析單參數(shù)曲面族的包絡(luò)(面)存在的充要條件

對于給定的單參數(shù)曲面族{s_a}，如果空間存在一張曲面∑，對于任意的點p_a∈∑，有族中曲面在該點與∑相切；對于任意的α∈D，必有點p_a∈s_a，使得∑在該點與s_a相切；則稱∑是單參數(shù)曲面族{s_a}的包絡(luò)，p_a稱為切點；

因此可以簡單的表示為：

s_a與∑在點p_a相切；∑與s_a在點p_a相切，

則稱∑為單參數(shù)曲面族{s_a}的包絡(luò)；

I、單參數(shù)曲面族包絡(luò)存在的充分條件

單參數(shù)曲面族r＝r(u，v，a)的包絡(luò)存在的充分條件為：

Φ＝(r_u，r_v，r_a)＝0且Φ_a≠0

II、單參數(shù)曲面族包絡(luò)存在的必要條件

單參數(shù)曲面族r＝r(u，v，a)的包絡(luò)存在的必要條件為：

Φ(u，v，a)＝(r_u，r_v，r_a)＝0

III、單參數(shù)曲面族包絡(luò)的表達形式

包絡(luò)∑的參數(shù)方程：

$\mathrm{\Σ}:\left(\begin{array}{c}x=x(u,v,a)\\ y=y(u,v,a)\\ z=z(u,v,a)\\ \mathrm{\Φ}=\frac{\∂(x,y,z)}{\∂(u,v,a)}=0\end{array}\right.$

包絡(luò)∑的向量方程：

$\mathrm{\Σ}:\left(\begin{array}{c}r=r(u,v,a)\\ (r_u,r_v,r_a)=0\end{array}\right.$

S4、高次曲面數(shù)學(xué)建模

S41.坐標系建立

高次曲面數(shù)學(xué)模型建立過程中坐標系建立如下：直角坐標系o₁-x₁y₁z₁與o-xyz分別固聯(lián)在砂輪和推力軸承上，其中砂輪軸與y₁軸重合，y₁與z之間的距離為W(砂輪相對軸承回轉(zhuǎn)中心偏移量)，推力軸承軸線與z軸重合，推力軸承平面部分位于o-xy平面內(nèi)，y軸位于推力軸承高次曲面與平面交線位置，位于y₁＝μ+δ平面內(nèi)的砂輪截面圓曲線，P點是t時刻砂輪截面圓曲線與高次曲面的接觸點(特征點)，初始時刻x₁軸位于xoz坐標面內(nèi)，x₁與x軸間距離為s(φ)(砂輪相對于推力軸承的位移函數(shù))，z軸和z₁軸之間夾角為β(機床結(jié)構(gòu)保證)；動坐標系o₁-x₁y₁z₁(砂輪)繞z軸(軸承軸線)逆時針旋轉(zhuǎn)的同時，且沿平行于z軸方向作往復(fù)直線運動(即砂輪繞推力軸承軸線逆時針旋轉(zhuǎn)的同時且沿平行于推力軸承軸線方向往復(fù)直線運動)，t時刻x₁軸相對初始位置轉(zhuǎn)角為φ(t時刻砂輪轉(zhuǎn)角)；推力軸承高次瓦面的曲面法向量與z軸正向夾角為銳角(即瓦面向上)，回轉(zhuǎn)體砂輪母線為非直母線；

砂輪位移函數(shù)表達式：

s(φ)＝s(ωt)

φ＝ωt

其中：ω-砂輪相對于推力軸承的旋轉(zhuǎn)角速度(rad/s)；

z₀-高次面數(shù)；

β-z軸和z₁軸之間夾角，砂輪軸線與推力軸承軸線之間的夾角為90°-β；

φ-t時刻砂輪軸線相對于推力軸承的轉(zhuǎn)角；

r(δ)-砂輪母線方程；

S42.砂輪廓形方程

向量形式：

r₁＝r₁(δ，θ)＝i[(r+δtanα)cosθ]+j(u+δ)+k[(r+δtanα)sinθ] (1)

參數(shù)形式：

$\left(\begin{array}{c}{x}_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})=(r+\mathrm{\δ}tan\mathrm{\α})cos\mathrm{\θ}\\ y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})=u+\mathrm{\δ}\\ z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})=(r+\mathrm{\δ}tan\mathrm{\α})sin\mathrm{\θ}\end{array}\right.---\left(2\right)$

S43.砂輪相對于推力軸承逆時針旋轉(zhuǎn)形成的曲面族方程：

r＝r₀+A_z(φ)A_x(β)(r_x+r₁)

$\left[\begin{array}{c}x(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\\ y(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\\ z(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ s\left(\mathrm{\φ}\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\φ}& -\sin \mathrm{\φ}& 0\\ \sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\φ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\β}\\ 0& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})+w\\ y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})\\ z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}x(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\\ y(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\\ z(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})cos\mathrm{\φ}+wcos\mathrm{\φ}-y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})cos\mathrm{\β}sin\mathrm{\φ}+z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})sin\mathrm{\β}sin\mathrm{\φ}\\ x_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})sin\mathrm{\φ}+w\sin \mathrm{\φ}+y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})cos\mathrm{\β}\cos \mathrm{\φ}-z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})\sin \mathrm{\β}cos\mathrm{\φ}\\ y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})sin\mathrm{\β}+z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})cos\mathrm{\β}+s\left(\mathrm{\φ}\right)\end{array}\right]---\left(3\right)$

將公式(2)代入公式(3)得：

向量形式：

參數(shù)形式：

當砂輪采用直母線砂輪磨削時，高次曲面數(shù)學(xué)模型：

向量形式：

其中：

$\mathrm{\θ}=2atan\left(\frac{-H+\sqrt{H^2+I^2-J^2}}{J-I}\right)$

I＝(r+δtanα)tanαcosβ+(u+δ)cosβ

H＝wsinβ-s′(φ)cosβ

J＝wtanαcosβ+s′(φ)tanαsinβ

參數(shù)形式：

x(δ，θ，φ)＝(r+δtanα)(cosθcosφ+sinθsinβsinφ)-(u+δ)sinφcosβ+w cosφ

y(δ，θ，φ)＝(r+δtanα)(sinφcosθ-sinθsinβcosφ)+(u+δ)cosβcosφ+w sinφ

z(δ，θ，φ)＝(r+δtanα)sinθcosβ+(u+δ)sinβ+s(φ)

其中：

$\mathrm{\θ}=2atan\left(\frac{-H+\sqrt{H^2+I^2-J^2}}{J-I}\right)$

I＝(r+δtanα)tanαcosβ+(u+δ)cosβ

H＝w sinβ-s′(φ)cosβ

J＝w tanαcosβ+s′(φ)tanαsinβ。