技術(shù)特征：

1.一種彈道規(guī)劃方法，其特征在于，包括以下步驟：

S1.建立助推滑翔導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型；

設(shè)地平面為一平面，導(dǎo)彈飛行側(cè)滑角為零，得到助推滑翔導(dǎo)彈三自由度動(dòng)力學(xué)計(jì)算方程：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=V\cos \mathrm{\γ}\·\cos \mathrm{\ψ}\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=V\cos \mathrm{\γ}\·\sin \mathrm{\ψ}\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=-V\·\sin \mathrm{\γ}\\ \stackrel{\·}{V}=g\left(n_x-\sin \mathrm{\γ}\right)\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}={\mathrm{gV}}^{-1}\left(n_y-\cos \mathrm{\γ}\right)\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}={\mathrm{gn}}_z{V}^{-1}\·{\cos }^{-1}\mathrm{\γ}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x₁、x₂、x₃分別表示助推滑翔導(dǎo)彈在北東地坐標(biāo)系下沿三個(gè)坐標(biāo)軸的位置，V為導(dǎo)彈飛行速度，γ為彈道傾角，ψ為彈道偏角，g為重力加速度；

n_x、n_y、n_z分別為彈道坐標(biāo)系下沿坐標(biāo)軸三個(gè)方向的過載：

$\left\{\begin{array}{c}{n}_x=\frac{Tcos\mathrm{\α}-D}{mg}\\ n_y=\frac{Tsin\mathrm{\α}+L}{mg}\\ n_z=\frac{Z}{mg}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，T為導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)推力，α為導(dǎo)彈飛行攻角，D為導(dǎo)彈飛行阻力，L為導(dǎo)彈飛行升力，Z為導(dǎo)彈飛行側(cè)向力，m為助推滑翔導(dǎo)彈的質(zhì)量；

T、α和m均為時(shí)間的函數(shù)，通過插值或擬合后的公式求得：

T＝T(t) (3)

α＝α(t) (4)

m＝m(t) (5)

速度系下導(dǎo)彈的阻力、升力、側(cè)向力為

$D=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρV}}^2{\mathrm{SC}}_D---\left(6\right)$

$L=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρV}}^2{\mathrm{SC}}_L---\left(7\right)$

$Z=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρV}}^2{\mathrm{SC}}_Z---\left(8\right)$

其中ρ為大氣密度，S為特征面積，C_D、C_L、C_Z分別為阻力系數(shù)、升力系數(shù)和側(cè)向力系數(shù)，通過插值或擬合后的公式得到：

C_D＝C_D(α,V,-x₃) (9)

C_L＝C_L(α,V,-x₃) (10)

C_Z＝C_Z(α,V,-x₃) (11)

S2.約束條件建模

(1)駐點(diǎn)熱流密度

駐點(diǎn)熱流密度q_ws采用Kemp-Riddell公式計(jì)算：

$q_{ws}=\frac{131884.2}{\sqrt{R_N}}{\left(\frac{{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{\∞}}}{{\mathrm{\ρ}}_o}\right)}^{1/2}{\left(\frac{{\mathrm{\ν}}_{\mathrm{\∞}}}{{\mathrm{\ν}}_c}\right)}^{3.25}(1-h_w/h_s)\≤q_{wsmax}---\left(12\right)$

式中

ρ_o＝1.225(kg/m³)；

v_c＝7900(m/s)；

R_N－駐點(diǎn)曲率半徑(m)；

q_ws－駐點(diǎn)熱流密度(kW/m²)；

h_w－壁面焓值(kJ/kg)；

h_s－駐點(diǎn)焓值(kJ/kg)；

q_wsmax－最大駐點(diǎn)熱流密度(kW/m²)；

ρ_∞－來流密度；

v_∞－來流速度；

(2)過載n

n_x≤n_xmax

n_y≤n_ymax (13)

n_z≤n_zmax

其中n_xmax、n_ymax、n_zmax為助推滑翔導(dǎo)彈在彈道坐標(biāo)系下三個(gè)方向可承受的最大過載；

(3)動(dòng)壓q

$q=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρV}}^2\≤q_{max}---\left(14\right)$

q_max為助推滑翔導(dǎo)彈可承受的最大動(dòng)壓；

(4)控制量

當(dāng)僅考慮助推滑翔導(dǎo)彈縱平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，取導(dǎo)彈飛行攻角α為控制量，需要對其幅值進(jìn)行約束，如下：

α_min≤α≤α_max (15)

α_min為最小攻角，α_max為最大攻角；

(5)起始條件和終端約束

助推滑翔導(dǎo)彈的初始位置

$x_1=x_{1_0},x_2=x_{2_0},x_3=x_{3_0}---\left(16\right)$

和為給定的發(fā)射點(diǎn)坐標(biāo)；

S3.虛擬域草圖快速生成方法；

S3.1助推滑翔導(dǎo)彈垂直上升段草圖生成方法

取發(fā)射點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，即O(0,0,0)，那么可通過控制點(diǎn)V₀(0,0,V_0z)來定義垂直上升段軌跡，其中V_0z為控制點(diǎn)V₀的z軸坐標(biāo)，O和V₀即為垂直上升段彈道的控制點(diǎn)；

不失一般性，設(shè)τ∈[a,a+1)，其中a＝0,1,2,…，τ為虛擬域的自變量即虛擬域時(shí)間，那么在北東地坐標(biāo)系Oxyz下，虛擬域軌跡為：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(\mathrm{\τ}\right)=0\\ y\left(\mathrm{\τ}\right)=0\\ z\left(\mathrm{\τ}\right)=V_{0z}{(\mathrm{\τ}-a)}^2\end{array}\right.---\left(17\right)$

其中x(τ)、y(τ)、z(τ)分別為北東地坐標(biāo)系Oxyz中x軸、y軸和z軸的坐標(biāo)；

然后得到x(τ)、y(τ)、z(τ)在虛擬域的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^{\′}\left(\mathrm{\τ}\right)=0\\ y^{\′}\left(\mathrm{\τ}\right)=0\\ z^{\′}\left(\mathrm{\τ}\right)=2V_{0z}\left(\mathrm{\τ}-a\right)\\ x^{\′\′}\left(\mathrm{\τ}\right)=0\\ y^{\′\′}\left(\mathrm{\τ}\right)=0\\ z^{\′\′}\left(\mathrm{\τ}\right)=2V_{0z}\end{array}\right.---\left(18\right)$

S3.2助推滑翔導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎及滑翔段草圖生成方法

助推滑翔導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎及滑翔段的草圖可通過C¹連續(xù)曲線、C²連續(xù)曲線或者C³連續(xù)曲線生成；

S4.草圖交互虛擬域動(dòng)態(tài)逆彈道參數(shù)求解方法；

通過S3獲得一條完整曲線后，可將曲線表示成為只含有一個(gè)自變量的函數(shù)r(τ)，以虛擬域時(shí)刻τ為自變量，τ的取值范圍是[0,n]，其中n為曲線段數(shù)；

假設(shè)有函數(shù)f(·)，τ和t分別為虛擬域時(shí)刻和時(shí)域時(shí)刻，τ和t有數(shù)學(xué)關(guān)系：

$\frac{df\left(\mathrm{\τ}\right)}{dt}=\frac{df\left(\mathrm{\τ}\right)}{d\mathrm{\τ}}\frac{d\mathrm{\τ}}{dt}---\left(34\right)$

在此定義

$\mathrm{\λ}\left(\mathrm{\τ}\right)=\frac{d\mathrm{\τ}}{dt}---\left(35\right)$

λ(τ)為虛擬速度，并約定表示f(·)在時(shí)域內(nèi)求導(dǎo)，即f′(·)表示f(·)在虛擬域求導(dǎo)，即

根據(jù)(34)、(35)兩式有：

$\stackrel{\·}{f}\left(\mathrm{\τ}\right)=f^{\′}\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{\λ}\left(\mathrm{\τ}\right)---\left(36\right)$

進(jìn)而有：

$\stackrel{\·\·}{f}\left(\mathrm{\τ}\right)=\frac{d\left(f^{\′}\right(\mathrm{\τ}\left)\mathrm{\λ}\right(\mathrm{\τ}\left)\right)}{d\mathrm{\τ}}\frac{d\mathrm{\τ}}{dt}=f^{\′\′}\left(\mathrm{\τ}\right){\mathrm{\λ}}^2\left(\mathrm{\τ}\right)+f^{\′}\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{\λ}\left(\mathrm{\τ}\right){\mathrm{\λ}}^{\′}\left(\mathrm{\τ}\right)---\left(37\right)$

確定虛擬域曲線r(τ)后，在τ的取值范圍取N個(gè)節(jié)點(diǎn)將虛擬域曲線r(τ)離散；若τ的取值范圍為[0,τ_f]，則可通過如下方法獲得節(jié)點(diǎn)之間在虛擬域的時(shí)間間隔

$\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}=\frac{{\mathrm{\τ}}_f}{N-1}---\left(38\right)$

每一個(gè)節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的虛擬域時(shí)刻可表示為

τ_j＝τ_j-1+Δτ,j＝2,…,N (39)

其中N為偶數(shù)；

助推滑翔導(dǎo)彈采用固體發(fā)動(dòng)機(jī)作為動(dòng)力，時(shí)間-質(zhì)量關(guān)系m(t)、時(shí)間-推力關(guān)系T(t)視為已知；首先求出當(dāng)前節(jié)點(diǎn)處虛擬域基本狀態(tài)x_i、x′_i、x″_i(i＝1,2,3)，由r(τ)以及其一階、二階導(dǎo)數(shù)得到虛擬域基本狀態(tài)，整理后結(jié)果形式如下：

$\left[\begin{array}{ccc}{x}_{1,j-1}& x_{1,j-1}^{\′}& x_{1,j-1}^{\′\′}\\ x_{2,j-1}& x_{2,j-1}^{\′}& x_{2,j-1}^{\′\′}\\ x_{3,j-1}& x_{3,j-1}^{\′}& x_{3,j-1}^{\′\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}r\left({\mathrm{\τ}}_{j-1}\right)& r^{\′}\left({\mathrm{\τ}}_{j-1}\right)& r^{\′\′}\left({\mathrm{\τ}}_{j-1}\right)\end{array}\right]---\left(40\right)$

當(dāng)τ_j-1∈[0,1)時(shí)r(τ_j-1)＝r₁(τ_j-1)，當(dāng)τ_j-1∈[1,2]時(shí)r(τ_j-1)＝r₂(τ_j-1)，其中x_i,j-1表示虛擬域基本狀態(tài)x_i在節(jié)點(diǎn)(j-1)處的值，即x_i(τ_j-1)；同樣的x′_i,(j-1)表示虛擬域基本狀態(tài)x′_i在節(jié)點(diǎn)(j-1)處的值，x″_i,(j-1)表示虛擬域基本狀態(tài)x″_i在節(jié)點(diǎn)(j-1)處的值；其中各節(jié)點(diǎn)處的狀態(tài)量和控制量的計(jì)算方法如下：

(1)彈道傾角

${\mathrm{\γ}}_{j-1}=\arctan \frac{-x_{3,j-1}^{\′}}{\sqrt{x_{1,j-1}^{\′2}+x_{2,j-1}^{\′2}}}---\left(41\right)$

(2)彈道偏角

${\mathrm{\ψ}}_{j-1}=\arctan \frac{x_{2,j-1}^{\′}}{x_{1,j-1}^{\′}}---\left(42\right)$

(3)彈道傾角虛擬域?qū)?shù)γ′_j-1和彈道偏角虛擬域?qū)?shù)ψ′_j-1

${\mathrm{\γ}}_{j-1}^{\′}=\frac{x_{3,j-1}^{\′}(x_{1,j-1}^{\′}{x}_{1,j-1}^{\′\′}+x_{2,j-1}^{\′}{x}_{2,j-1}^{\′\′})-x_{3,j-1}^{\′\′}(x_{1,j-1}^{\′2}+x_{2,j-1}^{\′2})}{{(x_{1,j-1}^{\′2}+x_{2,j-1}^{\′2})}^{\frac{3}{2}}}{\cos }^2{\mathrm{\γ}}_{j-1}---\left(43\right)$

${\mathrm{\ψ}}_{j-1}^{\′}=\frac{x_{2,j-1}^{\′\′}{x}_{1,j-1}^{\′}-x_{2,j-1}^{\′}{x}_{1,j-1}^{\′\′}}{{x_{1,j-1}^{\′}}^2}{\cos }^2{\mathrm{\ψ}}_{j-1}---\left(44\right)$

(4)y方向過載

$\begin{array}{c}{n}_{y,j-1}=V_{j-1}{g}^{-1}{\mathrm{\λ}}_{j-1}\frac{x_{3,j-1}^{\′}\left(x_{1,j-1}^{\′}{x}_{1,j-1}^{\′\′}+x_{2,j-1}^{\′}{x}_{2,j-1}^{\′\′}\right)-x_{3,j-1}^{\′\′}\left(x_{1,j-1}^{\′2}+x_{2,j-1}^{\′2}\right)}{{\left(x_{1,j-1}^{\′2}+x_{2,j-1}^{\′2}\right)}^{\frac{3}{2}}}\\ \·{\cos }^2{\mathrm{\γ}}_{j-1}+{\mathrm{cos\γ}}_{j-1}\end{array}---\left(45\right)$

(5)z方向過載

$n_{z,j-1}=V_{j-1}{g}^{-1}{\mathrm{\λ}}_{j-1}\frac{x_{2,j-1}^{\′\′}{x}_{1,j-1}^{\′}-x_{2,j-1}^{\′}{x}_{1,j-1}^{\′\′}}{{x_{1,j-1}^{\′}}^2}{\cos }^2{\mathrm{\ψ}}_{j-1}{\mathrm{cos\γ}}_{j-1}---\left(46\right)$

(6)大氣密度

h_j-1＝-x_3,j-1 (47)

ρ_j-1＝f_air(h_j-1) (48)

其中f_air(h_j-1)為大氣密度函數(shù)；

(7)升力

采用攻角的一次函數(shù)表示升力系數(shù)即：

C_L,j-1＝l₁α_j-1+l₂ (49)

那么升力

$L_{j-1}=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}_{j-1}{V}_{j-1}^{2}S(l_1{\mathrm{\α}}_{j-1}+l_2)---\left(50\right)$

其中S為導(dǎo)彈特征面積，假設(shè)這一數(shù)值在飛行過程中不變；其中l(wèi)₁和l₂為擬合系數(shù)；

(8)攻角

${\mathrm{\α}}_{j-1}=\frac{n_{y,j-1}{m}_{j-1}g-\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}_{j-1}{V}_{j-1}^2{\mathrm{Sl}}_2}{T_{j-1}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}_{j-1}{V}_{j-1}^2{\mathrm{Sl}}_1}---\left(51\right)$

(9)阻力

$n_{x,j-1}=\frac{T_{j-1}{\mathrm{cos\α}}_{j-1}-\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}_{j-1}{V}_{j-1}^{2}S\left(d_1{V}_{j-1}^2+d_2{V}_{j-1}+V_{j-1}\right)}{m_{j-1}g}---\left(52\right)$

其中

$C_{D,j-1}=d_1{V}_{j-1}^2+d_2{V}_{j-1}+V_{j-1}---\left(53\right)$

$D_{j-1}=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}_{j-1}{V}_{j-1}^{2}S(d_1{V}_{j-1}^2+d_2{V}_{j-1}+V_{j-1})---\left(54\right)$

d₁和d₂為擬合系數(shù)；

(8)速度的虛擬域?qū)?shù)

$V^{\′}\left(\mathrm{\τ}\right)=\stackrel{\·}{V}\left(\mathrm{\τ}\right)/\mathrm{\λ}\left(\mathrm{\τ}\right)---\left(55\right)$

(9)下一節(jié)點(diǎn)處速度

V_j＝V_j-1+g(n_x,j-1-sinγ_j-1)/λ_j-1Δτ (56)

(10)節(jié)點(diǎn)(j-1)到節(jié)點(diǎn)j的飛行時(shí)間

${\mathrm{\Δt}}_j=\frac{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}{(x_{i,j}-x_{i,j-1})}^2}}{(V_j+V_{j-1})/2}---\left(57\right)$

(11)下一節(jié)點(diǎn)時(shí)域時(shí)刻

t_j＝t_j-1+Δt_j (58)

(12)Δt₂的估計(jì)值

$\mathrm{\Δ}{\tilde{t}}_2=\frac{T_{boost}}{N-1}---\left(59\right)$

(13)λ₁的估計(jì)值

${\widetilde{\mathrm{\λ}}}_1=\frac{\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{{\mathrm{\Δt}}_2}\≈\frac{\mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}}{\mathrm{\Δ}{\tilde{t}}_2}=\frac{{\mathrm{\τ}}_f}{(N-1)}\frac{(N-1)}{T_{boost}}=\frac{{\mathrm{\τ}}_f}{T_{boost}}.---\left(60\right)$

2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的彈道規(guī)劃方法，其特征在于，S3.2中助推滑翔導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎及滑翔段的草圖通過C¹連續(xù)曲線生成的方法如下：

首先定義下列3個(gè)關(guān)于t的多項(xiàng)式為帶形狀參數(shù)λ_b和μ_b的三次調(diào)配函數(shù)：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_0\left(t\right)=1-{\mathrm{\λ}}_{b}t+(2{\mathrm{\λ}}_b-3)t^2+(2-{\mathrm{\λ}}_b)t^3\\ X_1\left(t\right)={\mathrm{\λ}}_{b}t+({\mathrm{\μ}}_b-2{\mathrm{\λ}}_b)t^2+({\mathrm{\λ}}_b-{\mathrm{\μ}}_b)t^3\\ X_2\left(t\right)=(3-{\mathrm{\μ}}_b)t^2+({\mathrm{\μ}}_b-2)t^3\end{array}\right.,t\∈\[0,1\]---\left(19\right)$

其中0≤λ_b,μ_b≤3；

然后給定二維或三維空間中3個(gè)控制頂點(diǎn)V_i(i＝0,1,2)，稱曲線r(t)為可調(diào)控的三次參數(shù)曲線：

r(t)＝X₀(t)V₀+X₁(t)V₁+X₂(t)V₂,t∈[0,1] (20)

其中X_i(t)(i＝0,1,2)為按式(19)定義的調(diào)配函數(shù)；

或者，將上式(20)寫成矩陣形式為：

$r\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}1& t& t^2& t^3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -{\mathrm{\λ}}_b& {\mathrm{\λ}}_b& 0\\ 2{\mathrm{\λ}}_b-3& {\mathrm{\μ}}_b-2{\mathrm{\λ}}_b& 3-{\mathrm{\λ}}_b\\ 2-{\mathrm{\λ}}_b& {\mathrm{\λ}}_b-{\mathrm{\μ}}_b& {\mathrm{\μ}}_b-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V}_0\\ V_1\\ V_2\end{array}\right],t\∈\[0,1\].---\left(21\right)$

3.根據(jù)權(quán)利要求1所述的彈道規(guī)劃方法，其特征在于，S3.2中助推滑翔導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎及滑翔段的草圖通過C²連續(xù)曲線生成的方法如下：

給定一組控制點(diǎn)<V₀,V₁,…,V_n>，以其構(gòu)成控制切線多邊形，取重構(gòu)控制點(diǎn)：

$\left\{\begin{array}{c}{b}_{2i}=V_i\\ b_{2i+1}={\mathrm{\&lambda;}}_{ci}{V}_i+(1-{\mathrm{\&lambda;}}_{ci})V_{i+1}\end{array}\right.,i=0,1,...,n-1---\left(22\right)$

式(22)中λ_ci為切點(diǎn)控制參數(shù)，且0＜λ_ci＜1；

那么由重構(gòu)控制點(diǎn)b₀,b₁,…,b_2n構(gòu)成的曲線為：

$r_i\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{B}_j\left(t\right)b_{i+j},i=0,1,...,2n-2,0\&le;t\&le;{\mathrm{\&alpha;}}_c---\left(23\right)$

其中α_c為調(diào)節(jié)參數(shù)，且0≤α_c≤π；B₀(t),B₁(t),B₂(t),B₃(t)為C-B樣條基函數(shù)，分別定義如下：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_0\left(t\right)=\frac{\left({\mathrm{\&alpha;}}_c-t\right)-\sin \left({\mathrm{\&alpha;}}_c-t\right)}{2{\mathrm{\&alpha;}}_c\left(1-C\right)}\\ B_3\left(t\right)=\frac{t-\sin \left(t\right)}{2{\mathrm{\&alpha;}}_c\left(1-C\right)}\\ B_1\left(t\right)=B_3\left(t\right)-2B_0\left(t\right)+\frac{2\left({\mathrm{\&alpha;}}_c-t\right)\left(1-C\right)}{2{\mathrm{\&alpha;}}_c\left(1-C\right)}\\ B_2\left(t\right)=B_0\left(t\right)-2B_3\left(t\right)+\frac{2t\left(1-C\right)}{2{\mathrm{\&alpha;}}_c\left(1-C\right)}\end{array}\right.---\left(24\right)$

其中C＝cosα_c，S＝sinα_c；

或者，將C²連續(xù)的C-B樣條曲線寫成矩陣形式為：

$\begin{array}{c}{r}_i\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{B}_j\left(t\right)b_{i+j}=\frac{1}{2{\mathrm{\&alpha;}}_c\left(1-C\right)}\left[\begin{array}{cccc}\sin t& \cos t& t& 1\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cccc}C& -\left(1+2C\right)& 2+C& -1\\ -S& 2S& -S& 0\\ -1& 1+2C& -\left(1+2C\right)& 1\\ {\mathrm{\&alpha;}}_c& -2{\mathrm{\&alpha;}}_{c}C& {\mathrm{\&alpha;}}_c& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_i\\ b_{i+1}\\ b_{i+2}\\ b_{i+3}\end{array}\right]\end{array}---\left(25\right)$

其中i＝0,1,…,2n。

4.根據(jù)權(quán)利要求1所述的彈道規(guī)劃方法，其特征在于，S3.2中助推滑翔導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎及滑翔段的草圖通過C³連續(xù)曲線生成的方法如下：

給定一組控制點(diǎn)<V₀,V₁,…,V_n>，以其構(gòu)成控制多邊形，構(gòu)造邊矢量：

a_i＝V_i-V_i-1,i＝1,2,…,n (27)

則可計(jì)算控制多邊形每個(gè)頂點(diǎn)處的切矢量

$\left\{\begin{array}{c}{T}_0=t_0\left(-a_2\right)+\left(1-t_0\right)a_1\\ T_i=t_i{a}_i+\left(1-t_i\right)a_{i+1}\\ T_n=t_n{a}_n+\left(1-t_n\right)\left(-a_{n-1}\right)\end{array}\right.,i=1,2,...,n-1---\left(28\right)$

令

$V_i^{*}=V_i+\frac{|a_{i+1}\&times;T_{i+1}|}{|T_i\&times;T_{i+1}|}{T}_i,i=1,2,...,n-1---\left(29\right)$

及

$\left\{\begin{array}{c}{l}_0=|V_0^{*}-V_0|\\ l_i=\min \left\{\right|V_i^{*}-V_i|,|V_i-V_{i-1}^{*}\left|\right\}\\ l_n=|V_n-V_{n-1}^{*}|\end{array}\right.,i=1,2,...,n-1---\left(30\right)$

取重構(gòu)控制點(diǎn)

$\left\{\begin{array}{c}{d}_{4i}=V_i-{\mathrm{\&lambda;}}_i{l}_i\frac{T_i}{\left|T_i\right|}\\ d_{4i+1}=V_i-\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_i{l}_i\frac{T_i}{\left|T_i\right|}\\ d_{4i+2}=V_i+\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_i{l}_i\frac{T_i}{\left|T_i\right|}\\ d_{4i+3}=V_i+{\mathrm{\&lambda;}}_i{l}_i\frac{T_i}{\left|T_i\right|}\end{array}\right.,i=0,1,...,n-1---\left(31\right)$

其中λ_i為控制調(diào)節(jié)參數(shù)，且0＜λ_i＜1；

那么由重構(gòu)控制點(diǎn)可構(gòu)成四次B樣條曲線

$r_i\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{4}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_j\left(t\right)d_{i+j},i=0,1,...,4n-1,0\&le;t\&le;1---\left(32\right)$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{E}_0\left(t\right)=\left(t^4-4t^3+6t^2-4t+1\right)/24\\ E_1\left(t\right)=\left(-4t^4+12t^3-6t^2-12t+11\right)/24\\ E_2\left(t\right)=\left(6t^4-12t^3-6t^2+12t+11\right)/24\\ E_3\left(t\right)=\left(-4t^4+4t^3+6t^2+4t+1\right)/24\\ E_4\left(t\right)=t^4/24\end{array}\right..---\left(33\right)$