基于Householder變換的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法
【專利摘要】本發(fā)明公開了基于Householder變換的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法，其包括：步驟1、構(gòu)建結(jié)構(gòu)的剛體位移模式矩陣X；步驟2、根據(jù)剛體位移模式矩陣X構(gòu)造6個相應(yīng)的n×n階Householder矩陣Pi；步驟3、利用步驟2中構(gòu)造的Householder矩陣Pi對結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣做正交相似變換，得到去除剛體模態(tài)后的結(jié)構(gòu)的剛度矩陣Kp；步驟4、采用修正共軛梯度法，求解用Householder矩陣去除結(jié)構(gòu)總體剛體位移模態(tài)后的剛度方程KPUP=FP。本發(fā)明通過去除結(jié)構(gòu)的剛體位移模態(tài)，并控制共軛梯度法的指定最小誤差閾值，精確求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)；計(jì)算實(shí)施步驟簡潔，不需要修改目前通用的有限元計(jì)算框架；采用修正共軛梯度法使得結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣的稀疏特性能夠得到很好的利用，分步求解使得整體求解過程占用空間少、計(jì)算效率高。
【專利說明】基于Householder變換的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001]本發(fā)明涉及有限元的結(jié)構(gòu)分析，具體涉及一種無約束狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)力學(xué)問題的有限元分析方法。
【背景技術(shù)】
[0002]通常做線性靜力分析需要保證結(jié)構(gòu)沒有剛體位移，否則求解器沒有辦法計(jì)算。但是在空間中很多問題沒有足夠的約束，如飛機(jī)在飛行時，輪船在航行時，或者貨品在起重機(jī)上吊裝時，要想計(jì)算結(jié)構(gòu)上的應(yīng)力分布，需要采用特殊的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法?，F(xiàn)有的分析方法有以下幾類。
[0003]I)慣性釋放法，其基本思路是用結(jié)構(gòu)的慣性(質(zhì)量)力來平衡外力。盡管結(jié)構(gòu)沒有約束，分析時仍假設(shè)其處于一種“靜態(tài)”的平衡狀態(tài)。采用慣性釋放功能進(jìn)行靜力分析時，需要對一個節(jié)點(diǎn)進(jìn)行6個自由度的約束(虛支座)。針對該支座，程序首先計(jì)算在外力作用下每個節(jié)點(diǎn)在每個方向上的加速度，然后將加速度轉(zhuǎn)化為慣性力反向施加到每個節(jié)點(diǎn)上，由此構(gòu)造一個平衡的力系(支座反力等于零)。求解得到的位移描述所有節(jié)點(diǎn)相對于該支座的相對運(yùn)動。
[0004]2)動力松弛法，動力松弛法是用顯式動力學(xué)原理將結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為動力學(xué)問題近似求解線性或非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的數(shù)值方法，在計(jì)算時添加虛擬的質(zhì)量和阻尼，構(gòu)成質(zhì)量-剛度-阻尼的平衡體系，添加的阻尼應(yīng)足夠大，以使得結(jié)構(gòu)的動能在動力松她分析完成后足夠小。
[0005]隨著有限元技術(shù)的推廣，各種各樣的無約束問題涌現(xiàn)出來，在用傳統(tǒng)有限元法對其進(jìn)行求解時，會遇到剛度陣奇異的問題。而現(xiàn)有的無約束問題求解法如慣性釋放法需要引入虛支座的概念，由于虛支座不是真實(shí)的位移約束，與真實(shí)情況相比會產(chǎn)生較大的誤差，且需要求解方程，效率有時偏低；動力松弛法由于采用顯式分析方法，因此效率高但精度低。
[0006]對于有限元方程組的求解，通常結(jié)構(gòu)有限元分析中形成的總體剛度陣都具有稀疏質(zhì)，對于這類剛度陣對應(yīng)的線性方程組非常適合采用共軛梯度法進(jìn)行求解，共軛梯度法不僅是解決大型線性方程組最有用的方法之一，也是解大型非線性最優(yōu)化最有效的優(yōu)化方法之一。在各種優(yōu)化方法中，共軛梯度法是非常重要的一種。其優(yōu)點(diǎn)是所需存儲量小，具有有限步收斂性，穩(wěn)定性高，而且不需要任何外來參數(shù)。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0007]針對現(xiàn)有技術(shù)存在的問題，本發(fā)明的首要目的是提供一種基于Householder變換的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法，該方法以空間無約束模型為基礎(chǔ)，根據(jù)Householder變換理論，用結(jié)構(gòu)的6個的剛體位移模式構(gòu)造6個Householder矩陣,用此Householder矩陣去除結(jié)構(gòu)的剛體模態(tài)，并采用修正后的共軛梯度法求解去剛體模態(tài)后的剛度方程。
[0008]為實(shí)現(xiàn)以上目的，本發(fā)明采取了以下的技術(shù)方案:[0009]基于Householder變換的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法，其包括:
[0010]步驟1、構(gòu)建結(jié)構(gòu)的剛體位移模式矩陣H:
[0011]H=Lh1 h2 h3 h4 h5 h6] (I)
[0012]其中，hi~h3為結(jié)構(gòu)的平動剛體位移模式，h4~h6為結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動剛體位移模式，hi~h6均為η維列向量，η為結(jié)構(gòu)整體自由度；
[0013]步驟2、根據(jù)Ii1~h6構(gòu)造6個相應(yīng)的nXn階Householder矩陣Pi, 1=1,2......6 ；
設(shè)結(jié)構(gòu)離散化后計(jì)算得到的未指定位移邊界條件的有限元整體剛度陣為K，則此剛度陣K具有6重零特征值，且具有6個對應(yīng)于零特征值的正交特征向量，這6個特征向量張成的空間為剛度陣K的零空間，這個零空間與6個結(jié)構(gòu)剛體位移模式張成的空間一致，即滿足
[0014]K=Khi=O (2)
[0015]所述步驟2包括以下步驟:
[0016]步驟21、首先將平動剛體位移模式Ii1單位化，且與單位向量61 (ei為第一個元素為1，其它元素都為O的單位向量)一起用來構(gòu)造Householder矩陣P1,使得:
[0017]P1^h1=G1 (3)
[0018]所述Hou seholder矩陣P1為正交對稱矩陣；
[0019]使用Householder矩陣P1對剛度陣K進(jìn)行相似變換，將剛度陣K的第一行和第一列均化為0，即:
[0020]K1=P1^P1 (4)
[0021]其中，K1是剛度陣K的第一行和第一列均為O的相似剛度矩陣；
[0022]步驟22、構(gòu)造Householder矩陣P2,使用Householder矩陣P2對相似剛度矩陣K1進(jìn)行相似變換，可使相似剛度矩陣K1的前兩行和前兩列均為0，即:
[0023]K2=P2^K1=I=P2 (5)
[0024]其中，K2是相似剛度矩陣K1和剛度陣K的前兩行和前兩列均為O的相似剛度矩陣；
[0025]構(gòu)造Householder矩陣P2的方法是:
[0026]根據(jù)公式(2)以及正交對稱矩陣特性可知:
[0027]K=Khi=O (6)
[0028]PfP1=In (7)
[0029]其中，In SnXn階單位矩陣；
[0030]由公式(6)、(7)可得:
[0031]K^P1=Kh2=O (8)
[0032]令:
[0033]V =P1^h2 (9)
[0034]h2'為新構(gòu)造的平動剛體位移模式，由于相似剛度矩陣K1的第一列元素均為零，且根據(jù)特征向量兩兩相互正交的特點(diǎn)，將h2'的第一個元素賦值為零，即:
[0035](1)=0 (10)
[0036]將新構(gòu)造的平動剛體位移模式h2'單位化與單位向量e2—起構(gòu)造Householder矩陣P2:
[0037]P2^h2' =e2 (11)
[0038]步驟23、根據(jù)步驟22中構(gòu)造Householder矩陣P2的方法逐個對平動剛體位移模式匕以及轉(zhuǎn)動剛體位移模Sh4~h6進(jìn)行操作，構(gòu)造新的平動剛體位移模式h3'以及新的轉(zhuǎn)動剛體位移模式h4/~V ,進(jìn)一步構(gòu)造Householder矩陣P3~P6 ;
[0039]步驟3、利用步驟2中構(gòu)造的Householder矩陣Pi對結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣做正交相似變換，得到去除剛體模態(tài)后的結(jié)構(gòu)的剛度矩陣Kp:
[0040]Kp=P6P5P4P3P2P1KP1P2P3P4P5P6 (12)
[0041]簡化得:
[0042]Kp=PtKP (13)
[0043]其中，P=P1P2P3P4P5P6;
[0044]步驟4、根據(jù)通過有限元離散并用常規(guī)方法得到結(jié)構(gòu)靜力問題分析的線性方程:
[0045]KU=F (14)
[0046]其中K為剛度陣，U為待求解的位移向量，F(xiàn)為外載右端項(xiàng)；
[0047]通過Householder矩陣的正交相似變換去除結(jié)構(gòu)總體剛體位移模態(tài)后上述方程
(14)為:
[0048]KpUp=Fp (15)
[0049]其中，Kp=PtKP，Up=PtU，F(xiàn)p=PtF，P=P1P2P3P4P5P6。
[0050]步驟I包括:假設(shè)將結(jié)構(gòu)整體沿X方向平移一個單位位移，則在物體內(nèi)不會產(chǎn)生任何應(yīng)變，而此時結(jié)構(gòu)的剛體位移模式為只在第6j+l個自由度上有位移值
【權(quán)利要求】
1.基于Householder變換的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法,其特征在于,其包括: 步驟1、構(gòu)建結(jié)構(gòu)的剛體位移模式矩陣H: H=Lh1 h2 h3 h4 h5 h6] (I)其中，Ii1~h3為結(jié)構(gòu)的平動剛體位移模式,h4~h6為結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動剛體位移模式，hi~h6均為η維列向量，η為結(jié)構(gòu)整體自由度； 步驟2、根據(jù)Ii1~h6構(gòu)造6個相應(yīng)的nXn階Householder矩陣Pi, 1=1,2......6 ;設(shè)結(jié)構(gòu)離散化后計(jì)算得到的未指定位移邊界條件的有限元整體剛度陣為K，則此剛度陣K具有6重零特征值，且具有6個對應(yīng)于零特征值的正交特征向量，這6個特征向量張成的空間為剛度陣K的零空間，這個零空間與6個結(jié)構(gòu)剛體位移模式張成的空間一致，即滿足K^hi=O (2) 所述步驟2包括以下步驟: 步驟21、首先將平動剛體位移模式Ill單位化，且與單位向量ei—起用來構(gòu)造Householder 矩陣 P1,使得: P1^h1=G1 (3) 所述Householder矩陣P1為對稱正交矩陣； 使用Householder矩陣P1對剛度陣K進(jìn)行相似變換，將剛度陣K的第一行和第一列均化為O,即: K1=P1^P1 (4)其中，K1是剛度陣K的第一行和第一列均為O的相似剛度矩陣；步驟22、構(gòu)造Householder矩陣P2,使用Householder矩陣P2對相似剛度矩陣K1進(jìn)行相似變換，可使相似剛度矩陣K1的前兩行和前兩列均為0，即: K2=P2*Ki*P2 (5)其中，K2是相似剛度矩陣K1和剛度陣K的前兩行和前兩列均為O的相似剛度矩陣； 構(gòu)造Householder矩陣P2的方法是: 根據(jù)公式(2)以及正交對稱矩陣特性可知: IWii=O (6) PfP1=In (7) 其中，In SnXn階單位矩陣； 由公式(6)、(7)可得: KfP1^i2=O (8) 令: h2' =P1^h2 (9) h2'為新構(gòu)造的平動剛體位移模式，由于相似剛度矩陣K1的第一列元素均為零，且根據(jù)特征向量兩兩相互正交的特點(diǎn)，將h2'的第一個元素賦值為零，即: V (I)=O (?ο) 將新構(gòu)造的平動剛體位移模式h2'單位化與單位向量e2 —起構(gòu)造Householder矩陣P2 = P2*h2' =e2 (11) 步驟23、根據(jù)步驟22中構(gòu)造Householder矩陣P2的方法逐個對平動剛體位移模式h3以及轉(zhuǎn)動剛體位移模式h4~h6進(jìn)行操作，構(gòu)造新的平動剛體位移模式h3'以及新的轉(zhuǎn)動剛體位移模式h/~h6',進(jìn)一步構(gòu)造Householder矩陣P3~P6 ;步驟3、利用步驟2中構(gòu)造的Householder矩陣Pi對結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣做正交相似變換，得到去除剛體模態(tài)后的結(jié)構(gòu)的剛度矩陣Kp:
Kp=P6P5P4P3P2P1KP1P2P3P4P5P6 (12) 簡化得: Kp=PtKP (13)
其中，P=P1P2P3P4P5P6; 步驟4、通過有限元離散并用常規(guī)方法得到結(jié)構(gòu)靜力問題分析的線性方程: KU=F (14) 其中K為剛度陣，U為待求解的位移向量，F(xiàn)為外載右端項(xiàng)； 通過Householder矩陣的正交相似變換去除結(jié)構(gòu)總體剛體位移模態(tài)后上述方程(14)為:
KpUp=Fp (15 )其中，Kp=PtKP，Up=PtU，F(xiàn)p=PtF，P=P1P2P3P4P5P6。
2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于Householder變換的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法，其特征在于，所述步驟I包括: 步驟11、假設(shè)將結(jié)構(gòu)整體沿X方向平移一個單位位移，則在物體內(nèi)不會產(chǎn)生任何應(yīng)變，而此時結(jié)構(gòu)的剛體位移模式為只在第6j+l個自由度上有位移值1
3.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于Householder變換的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法，其特征在于，步驟3中，去除剛體模態(tài)后的結(jié)構(gòu)的剛度矩陣Kp中前六行的元素均為零，因此相應(yīng)的要把變換后的外載右端項(xiàng)的前六個元素設(shè)置為零，即:
Fp (I) =Fp(2)=...=Fp (6) =0 (19)。
4.根據(jù)權(quán)利要求3所述的基于Householder變換的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法，其特征在于，對方程(15)求解的方法為修正的共軛梯度法。
5.根據(jù)權(quán)利要求4所述的基于Householder變換的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法,其特征在于，已知Householder變換的性質(zhì)為: Pi=2viviT-1n (20)其中，Vi 為歸一化后的 η 維 Householder 向量， 對方程(15)求解前，根據(jù)公式(12)和公式(20)，僅需存儲具有稀疏特性的剛度陣K和Householder變換矩陣Pi對應(yīng)的向量Vi以替代去除剛體模態(tài)后的結(jié)構(gòu)的剛度矩陣Kp。
6.根據(jù)權(quán)利要求4所述的基于Householder變換的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法，其特征在于，采用修正的共軛梯度法求解方程(15)的方法為分步乘積的方式: Kp*pk=PT*K*P*pk (21) 其中，Pk為共軛梯度法中的修正方向； 公式(21)分解為三步進(jìn)行: sk=P*pk (22) sk=K*sk (23) sk=Kp*pk=PT*sk (24)。
7.根據(jù)權(quán)利要求6所述的基于Householder變換的無約束結(jié)構(gòu)靜力分析方法,其特征在于，計(jì)算公式(24)中PT*sk分解成6次乘法進(jìn)行,每一次均將Pt轉(zhuǎn)換為Householder變換矩陣Pi對應(yīng)的向量Vi進(jìn)行。
【文檔編號】G06F17/50GK103902764SQ201410091321
【公開日】2014年7月2日 申請日期:2014年3月12日 優(yōu)先權(quán)日:2014年3月12日
【發(fā)明者】丁樺, 張俊波, 李庭婷, 蔡智華, 夏昌奇 申請人:廣州中國科學(xué)院工業(yè)技術(shù)研究院