本發(fā)明涉及分?jǐn)?shù)階控制技術(shù)領(lǐng)域，特別涉及一種分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實現(xiàn)方法。

背景技術(shù)：

近年來提出的分?jǐn)?shù)階控制器，具有適應(yīng)性強(qiáng)以及可調(diào)參數(shù)多等特點，因此具有很強(qiáng)的工程使用性，尤其是對非線性耦合系統(tǒng)。目前，分?jǐn)?shù)階控制器的研究與應(yīng)用已經(jīng)取得了一些成果。vahidbadri對分?jǐn)?shù)階pd^α控制器進(jìn)行了綜合與分析，koteswara等人基于能量流設(shè)計了分?jǐn)?shù)階pi^α控制器，并對控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，karimaamoura等人設(shè)計了一種微調(diào)分?jǐn)?shù)階pi^βd^α控制器，p.lanusse，d.valerio等人對分別對crone控制器進(jìn)行了研究，de-jinwang提出了分?jǐn)?shù)階lead/lag補(bǔ)償控制器的設(shè)計方法。在以上分?jǐn)?shù)階控制器的實現(xiàn)過程中，微積分算子數(shù)字化實現(xiàn)是重要的研究內(nèi)容。微分算子的數(shù)字化實現(xiàn)方法多采用oustaloup計算方法，由于oustaloup方法在實現(xiàn)過程中要求頻域內(nèi)逼近區(qū)間的邊界頻率指數(shù)嚴(yán)格對稱，同時oustaloup在逼近區(qū)間邊界處的逼近準(zhǔn)確性較差，導(dǎo)致實現(xiàn)方法不夠靈活，因此對于微積分算子的實現(xiàn)方法尚需改進(jìn)。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明旨在至少解決上述技術(shù)問題之一。

為此，本發(fā)明的目的在于提出一種分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實現(xiàn)方法，該方法能夠提高分?jǐn)?shù)階pid控制器的瞬態(tài)響應(yīng)及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，同時豐富和完善了分?jǐn)?shù)階控制理論，可有效地應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計、分析與實現(xiàn)中。

為了實現(xiàn)上述目的，本發(fā)明的實施例提出了一種分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實現(xiàn)方法，包括以下步驟：s1：根據(jù)最佳逼近原理得到最佳有理逼近實現(xiàn)準(zhǔn)則，并根據(jù)所述最佳有理逼近實現(xiàn)準(zhǔn)則建立最佳有理逼近函數(shù)；s2：建立分?jǐn)?shù)pid控制器中的分?jǐn)?shù)階積分項與分?jǐn)?shù)階微分項的最佳有理逼近函數(shù)，并代入分?jǐn)?shù)階pid控制器的傳遞函數(shù)，以進(jìn)行分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化設(shè)計。

另外，根據(jù)本發(fā)明上述實施例的分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實現(xiàn)方法還可以具有如下附加的技術(shù)特征：

在一些示例中，在所述s1中，所述最佳逼近原理包括：有理逼近、最佳逼近和存在性引理，其中，所述有理逼近為：在定義域[a,b]內(nèi)，存在互斥的兩個函數(shù)子集c[a,b]，r[a,b]，對于給定函數(shù)f∈c[a,b]，在范數(shù)||f||＝maxa≤x≤b|f(x)|條件下，利用子集r[a,b]中的有理函數(shù)r對指定函數(shù)f∈c[a,b]進(jìn)行逼近；所述最佳逼近為：給定函數(shù)f∈c[a,b]，對于函數(shù)f的最佳逼近度量為：其中為逼近偏差，并當(dāng)存在函數(shù)r^*(x)∈r[a,b]滿足條件e(r^*)＝δ(f；r)時，函數(shù)r^*(x)∈r[a,b]稱為f的最佳有理逼近函數(shù)；所述存在性引理為：在定義域[a,b]內(nèi)，對于任意函數(shù)f∈c[a,b]，r[a,b]中存在且不止一個函數(shù)r^*(x)∈r[a,b]，使函數(shù)方程e(r^*)＝δ(f；r)成立。

在一些示例中，所述最佳有理逼近實現(xiàn)準(zhǔn)則包括：根據(jù)所述存在性引理，在s域中，存在最佳有理函數(shù)對分?jǐn)?shù)階微積分算子進(jìn)行逼近，所述最佳逼近提供了最佳有理逼近函數(shù)的建立方法；利用漸近線方法在幅頻特性的基礎(chǔ)上建立最佳有理逼近函數(shù)，同時保證相頻特性的一致性；在建立所述最佳有理逼近函數(shù)時，建立具有n個單負(fù)實極點及m個單負(fù)實零點逼近函數(shù)，并且滿足n-m∈{0,1}。

在一些示例中，在所述步驟s2中，所述分?jǐn)?shù)階pid控制器的傳遞函數(shù)gc(s)為：

其中，kp為比例系數(shù)，ki為積分系數(shù)，kd為微分系數(shù)，s^-α為分?jǐn)?shù)階積分算子，s^β為分?jǐn)?shù)階微分算子0<α<10<β<1。

在一些示例中，所述s2，進(jìn)一步包括：設(shè)分?jǐn)?shù)階pid控制器中的積分項傳遞函數(shù)為：

對公式(2)進(jìn)行有理化逼近時，首先需要確定逼近區(qū)間[ωl,ωh]，然后在逼近區(qū)間上繪制積分項對應(yīng)的伯德圖lreal，接著確定逼近函數(shù)所滿足的允許誤差ε(db)，根據(jù)允許誤差繪制與lreal具有相同斜率的兩條漸近線lup和ldwon，兩條漸近線的函數(shù)分別：

其中，公式(3)為漸近線lup的傳遞函數(shù)，公式(4)為漸近線ldown的傳遞函數(shù)；

通過對公式(2)至公式(4)進(jìn)行幅頻特性分析，得到三條曲線對應(yīng)的對數(shù)幅頻特性曲線，分別為：

lreal(ω)＝20lgkreal-20lgω^α(5)

lup(ω)＝20lgkup-20lgω^α(6)

ldown(ω)＝20lgkdown-20lgω^α(7)

根據(jù)公式(5)至公式(7)可以得到：

根據(jù)被逼近的函數(shù)幅頻特性曲線，首先確定第一個轉(zhuǎn)折頻率ω1，然后在兩條漸近線之間分別用斜率為-20db/dec和0db/dec組合的折線來逼近曲線lreal，同時確定后續(xù)的轉(zhuǎn)折頻率，觀察逼近過程，最后根據(jù)所求得的轉(zhuǎn)折頻率得到逼近函數(shù)，即為分?jǐn)?shù)階pid控制器的分?jǐn)?shù)階積分項的最佳有理逼近函數(shù)；

計算得到分?jǐn)?shù)階微分項kds^β的最佳有理逼近函數(shù)，將分?jǐn)?shù)階pid控制器中的分?jǐn)?shù)階積分項ki/s^α與分?jǐn)?shù)階微分項kds^β的最佳有理逼近函數(shù)代入公式(2)，以實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化設(shè)計。

在一些示例中，所述分?jǐn)?shù)階微分項kds^β與分?jǐn)?shù)階積分項ki/s^α的有理化原理相同。

根據(jù)本發(fā)明實施例的分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實現(xiàn)方法，大大提高了分?jǐn)?shù)階pid控制器的瞬態(tài)響應(yīng)及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，以及豐富和完善了分?jǐn)?shù)階控制理論，可有效地應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計、分析與實現(xiàn)中。

本發(fā)明的附加方面和優(yōu)點將在下面的描述中部分給出，部分將從下面的描述中變得明顯，或通過本發(fā)明的實踐了解到。

附圖說明

本發(fā)明的上述和/或附加的方面和優(yōu)點從結(jié)合下面附圖對實施例的描述中將變得明顯和容易理解，其中：

圖1是根據(jù)本發(fā)明實施例的分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實現(xiàn)方法的流程圖；

圖2是根據(jù)本發(fā)明一個實施例的分?jǐn)?shù)階積分項幅頻曲線及漸近線示意圖。

具體實施方式

下面詳細(xì)描述本發(fā)明的實施例，所述實施例的示例在附圖中示出，其中自始至終相同或類似的標(biāo)號表示相同或類似的元件或具有相同或類似功能的元件。下面通過參考附圖描述的實施例是示例性的，僅用于解釋本發(fā)明，而不能理解為對本發(fā)明的限制。

在本發(fā)明的描述中，需要理解的是，術(shù)語“中心”、“縱向”、“橫向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“豎直”、“水平”、“頂”、“底”、“內(nèi)”、“外”等指示的方位或位置關(guān)系為基于附圖所示的方位或位置關(guān)系，僅是為了便于描述本發(fā)明和簡化描述，而不是指示或暗示所指的裝置或元件必須具有特定的方位、以特定的方位構(gòu)造和操作，因此不能理解為對本發(fā)明的限制。此外，術(shù)語“第一”、“第二”僅用于描述目的，而不能理解為指示或暗示相對重要性。

在本發(fā)明的描述中，需要說明的是，除非另有明確的規(guī)定和限定，術(shù)語“安裝”、“相連”、“連接”應(yīng)做廣義理解，例如，可以是固定連接，也可以是可拆卸連接，或一體地連接；可以是機(jī)械連接，也可以是電連接；可以是直接相連，也可以通過中間媒介間接相連，可以是兩個元件內(nèi)部的連通。對于本領(lǐng)域的普通技術(shù)人員而言，可以具體情況理解上述術(shù)語在本發(fā)明中的具體含義。

以下結(jié)合附圖描述根據(jù)本發(fā)明實施例的分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實現(xiàn)方法。

圖1是根據(jù)本發(fā)明一個實施例的分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實現(xiàn)方法的流程圖。如圖1所示，該方法包括以下步驟：

步驟s1：根據(jù)最佳逼近原理得到最佳有理逼近實現(xiàn)準(zhǔn)則，并根據(jù)最佳有理逼近實現(xiàn)準(zhǔn)則建立最佳有理逼近函數(shù)。

步驟s2：建立分?jǐn)?shù)pid控制器中的分?jǐn)?shù)階積分項與分?jǐn)?shù)階微分項的最佳有理逼近函數(shù)，并代入分?jǐn)?shù)階pid控制器的傳遞函數(shù)，以進(jìn)行分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化設(shè)計。

其中，在本發(fā)明的一個實施例中，在步驟s1中，最佳逼近原理包括：有理逼近、最佳逼近和存在性引理，其中，

有理逼近為：在定義域[a,b]內(nèi)，存在互斥的兩個函數(shù)子集c[a,b]，r[a,b]，對于給定函數(shù)f∈c[a,b]，在范數(shù)||f||＝maxa≤x≤b|f(x)|條件下，利用子集r[a,b]中的有理函數(shù)r對指定函數(shù)f∈c[a,b]進(jìn)行逼近。

最佳逼近為：給定函數(shù)f∈c[a,b]，對于函數(shù)f的最佳逼近度量為：其中為逼近偏差，并當(dāng)存在函數(shù)r^*(x)∈r[a,b]滿足條件e(r^*)＝δ(f；r)時，函數(shù)r^*(x)∈r[a,b]稱為f的最佳有理逼近函數(shù)。

存在性引理為：在定義域[a,b]內(nèi)，對于任意函數(shù)f∈c[a,b]，r[a,b]中存在且不止一個函數(shù)r^*(x)∈r[a,b]，使函數(shù)方程e(r^*)＝δ(f；r)成立。

通過以上描述的最佳逼近定義及存在性引理表明，分?jǐn)?shù)階微積分f＝s^±α存在最佳有理逼近函數(shù)。

進(jìn)一步地，在本發(fā)明的一個實施例中，最佳有理逼近實現(xiàn)準(zhǔn)則包括以下三點內(nèi)容：

(1)存在性引理表明，在s域中，存在最佳有理函數(shù)對分?jǐn)?shù)階微積分算子進(jìn)行逼近，最佳逼近提供了最佳有理逼近函數(shù)的建立方法；

(2)根據(jù)最佳有理逼近函數(shù)的定義可知，最佳有理逼近函數(shù)即為傳遞函數(shù)。因此，利用漸近線方法在幅頻特性的基礎(chǔ)上建立最佳有理逼近函數(shù)，同時保證相頻特性的一致性；

(3)在建立最佳有理逼近函數(shù)時，建立具有n個單負(fù)實極點及m個單負(fù)實零點逼近函數(shù)，并且滿足n-m∈{0,1}，從而使逼近結(jié)果更加準(zhǔn)確。

在本發(fā)明的一個實施例中，在步驟s2中，進(jìn)行分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化設(shè)計過程，具體包括：

分?jǐn)?shù)階pid控制器的傳遞函數(shù)gc(s)為：

其中，kp為比例系數(shù)，ki為積分系數(shù)，kd為微分系數(shù)，s^-α為分?jǐn)?shù)階積分算子，s^β為分?jǐn)?shù)階微分算子0<α<10<β<1。

進(jìn)一步地，分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實現(xiàn)本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階微積分項的有理化函數(shù)逼近過程。分?jǐn)?shù)階積分項ki/s^α與分?jǐn)?shù)階微分項kds^β的有理化原理相同，因此以分?jǐn)?shù)階積分項ki/s^α為例介紹有理化實現(xiàn)的具體過程。具體包括

設(shè)分?jǐn)?shù)階pid控制器中的積分項傳遞函數(shù)為：

對公式(2)進(jìn)行有理化逼近時，首先需要確定逼近區(qū)間[ωl,ωh]，然后在逼近區(qū)間上繪制積分項對應(yīng)的伯德圖，如圖2中的lreal，接著確定逼近函數(shù)所滿足的允許誤差ε(db)，根據(jù)允許誤差繪制與lreal具有相同斜率的兩條漸近線lup和ldwon，兩條漸近線的函數(shù)分別：

其中，公式(3)為漸近線lup的傳遞函數(shù)，公式(4)為漸近線ldown的傳遞函數(shù)。

通過對公式(2)至公式(4)進(jìn)行幅頻特性分析，可以得到三條曲線對應(yīng)的對數(shù)幅頻特性曲線，分別為：

lreal(ω)＝20lgkreal-20lgω^α(5)

lup(ω)＝20lgkup-20lgω^α(6)

ldown(ω)＝20lgkdown-20lgω^α(7)

根據(jù)公式(5)至公式(7)可以得到：

根據(jù)被逼近的函數(shù)幅頻特性曲線，首先確定第一個轉(zhuǎn)折頻率ω1，例如圖2所示；然后在兩條漸近線之間分別用斜率為-20db/dec和0db/dec組合的折線來逼近曲線lreal，同時確定后續(xù)的轉(zhuǎn)折頻率，觀察逼近過程，例如圖2所示；最后根據(jù)所求得的轉(zhuǎn)折頻率得到逼近函數(shù)，即為分?jǐn)?shù)階pid控制器的分?jǐn)?shù)階積分項的最佳有理逼近函數(shù)。

由于分?jǐn)?shù)階微分項kds^β與分?jǐn)?shù)階積分項ki/s^α的有理化原理相同，因此，采用相同的計算原理可以計算得到分?jǐn)?shù)階微分項kds^β的最佳有理逼近函數(shù)，將分?jǐn)?shù)階pid控制器中的分?jǐn)?shù)階積分項ki/s^α與分?jǐn)?shù)階微分項kds^β的最佳有理逼近函數(shù)代入公式(2)，以實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化設(shè)計。

綜上，本發(fā)明實施例的分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實現(xiàn)方法，基于最佳逼近原理，提出最佳有理函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分算子的逼近方法，在此基礎(chǔ)上完成對分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化設(shè)計，從而大大提高了分?jǐn)?shù)階pid控制器的瞬態(tài)響應(yīng)及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，以及豐富和完善了分?jǐn)?shù)階控制理論，可有效地應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計、分析與實現(xiàn)中。

在本說明書的描述中，參考術(shù)語“一個實施例”、“一些實施例”、“示例”、“具體示例”、或“一些示例”等的描述意指結(jié)合該實施例或示例描述的具體特征、結(jié)構(gòu)、材料或者特點包含于本發(fā)明的至少一個實施例或示例中。在本說明書中，對上述術(shù)語的示意性表述不一定指的是相同的實施例或示例。而且，描述的具體特征、結(jié)構(gòu)、材料或者特點可以在任何的一個或多個實施例或示例中以合適的方式結(jié)合。

盡管已經(jīng)示出和描述了本發(fā)明的實施例，本領(lǐng)域的普通技術(shù)人員可以理解：在不脫離本發(fā)明的原理和宗旨的情況下可以對這些實施例進(jìn)行多種變化、修改、替換和變型，本發(fā)明的范圍由權(quán)利要求及其等同限定。