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基于模型參考自適應(yīng)控制的艦載無人機(jī)自動著艦控制裝置的制作方法

文檔序號:12360779閱讀:來源:國知局

技術(shù)特征:

1.一種基于模型參考自適應(yīng)控制的艦載無人機(jī)自動著艦控制裝置,其特征在于,該裝置包括:著艦指令與下滑基準(zhǔn)軌跡生成模塊,用于根據(jù)艦船與艦載無人機(jī)的相對位置和絕對位置信息,生成三維下滑基準(zhǔn)軌跡信號和速度指令信號;

模型參考自適應(yīng)飛行控制模塊,利用模型參考自適應(yīng)控制算法生成艦載無人機(jī)的飛行控制信號,使得艦載無人機(jī)的實際飛行軌跡和速度跟蹤著艦指令與下滑基準(zhǔn)軌跡生成模塊所生成的三維下滑基準(zhǔn)軌跡信號和速度指令。

2.如權(quán)利要求1所述艦載無人機(jī)自動著艦控制裝置,其特征在于,模型參考自適應(yīng)飛行控制模塊中,用于對參考模型的名義控制矩陣估計值K2(t)進(jìn)行在線更新的自適應(yīng)更新律按照以下方法設(shè)計得到:

ω(t)=[ΔxT(t),ΔrT(t)]T,Δr為參考輸入信號,Δx為狀態(tài)向量,則輸出跟蹤誤差

e(t)=Δy(t)-Δym(t),

式中,Δy、Δym分別為系統(tǒng)輸出、參考模型輸出;

定義新的誤差信號為

ε(t)=ξm(s)h(s)[e](t)+Ψ(t)ξ(t),

式中,h(s)=1/f(s),f(s)為穩(wěn)定多項式,Ψ(t)為Ψ*=Kp的估計值,Kp為高頻增益矩陣,ξm(s)為參考模型的交互矩陣,ξ(t)=ΘT(t)ζ(t)-h(s)[Δu](t);

ζ(t)=h(s)[ω](t),

則新的誤差信號轉(zhuǎn)化為

<mrow> <mi>&epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>&Psi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <msup> <mover> <mi>&Theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>&zeta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mover> <mi>&Psi;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中,

于是,控制矩陣參數(shù)的自適應(yīng)更新律設(shè)計為:

<mrow> <msup> <mover> <mi>&Theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>&epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>&zeta;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow>

<mrow> <mover> <mi>&Psi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&Gamma;&epsiv;&xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow>

式中,Γ=ΓT>0,Sp為可逆定常矩陣。

3.如權(quán)利要求1所述艦載無人機(jī)自動著艦控制裝置,其特征在于,模型參考自適應(yīng)飛行控制模塊的輸入信號包括:艦載無人機(jī)的四個縱向狀態(tài)量——飛行速度V、迎角α、俯仰角速率q、俯仰角θ;五個橫側(cè)向狀態(tài)量——側(cè)滑角β、滾轉(zhuǎn)角速率p、偏航角速率r、滾轉(zhuǎn)角φ、偏航角ψ;著艦指令與下滑基準(zhǔn)軌跡生成模塊輸出的速度指令Vc及下滑基準(zhǔn)軌跡信號XEATDc(t),YEATDc(t),ZEATDc(t);

模型參考自適應(yīng)飛行控制模塊的輸出信號包括:油門開度ΔδT、升降舵偏角Δδe、副翼偏角δa、方向舵偏角δr;

模型參考自適應(yīng)飛行控制模塊中的飛行控制律包括縱向和橫側(cè)向飛行控制律,通過以下方法設(shè)計得到:

第一步,基于如下縱向線性模型

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mover> <mi>H</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>H</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&Delta;&delta;</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&Delta;&delta;</mi> <mi>T</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>&Delta;y</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>V</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>&alpha;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>q</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>H</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

判斷傳遞函數(shù)矩陣的相對階次li,i=1,2,計算高頻增益矩陣

<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

保證為非奇異;式中,Alon、Blon、Clon為變量符號描述的縱向線性系統(tǒng)矩陣,c1,lon、c2,lon分別為Clon的第1行和第2行;

第二步,根據(jù)傳遞函數(shù)矩陣的相對階次li,i=1,2,選取交互矩陣其中p1i,p2i為縱向系統(tǒng)期望極點,從而設(shè)計如下參考模型

Δym,lon(t)=Wm,lon(s)[Δrlon](t)

式中,Δrlon(t)=[0,ΔHEATDc]T,

第三步,計算縱向飛行控制律

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>T</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>V</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>&alpha;</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> <mi>D</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

其中,K2,lon(t)為在線更新的控制矩陣;

第四步,基于如下橫側(cè)向線性模型

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&beta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>p</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>r</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&phi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&psi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&beta;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>p</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>r</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&phi;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&psi;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>a</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&beta;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>p</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>r</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&phi;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&psi;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

判斷傳遞函數(shù)矩陣的相對階次li,i=1,2,計算高頻增益矩陣

<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

保證為非奇異;式中,Alat、Blat、Clat為橫側(cè)向線性系統(tǒng)矩陣,c1,lat、c2,lat分別為Clat的第1行和第2行;

第五步,根據(jù)傳遞函數(shù)矩陣的相對階次li,i=1,2,選取交互矩陣其中p1i,p2i為橫側(cè)向系統(tǒng)期望極點,從而設(shè)計如下參考模型

ym,lat(t)=Wm,lat(s)[rlat](t)

式中,rlat(t)=[0,YEATDc]T,

第六步,計算橫側(cè)向飛行控制律

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&beta;</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>r</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&phi;</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&psi;</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> <mi>D</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

其中,K2,lat(t)為在線更新的控制矩陣。

4.如權(quán)利要求1所述艦載無人機(jī)自動著艦控制裝置,其特征在于,著艦指令與下滑基準(zhǔn)軌跡生成模塊的輸入信號包括:艦船跑道或下滑道的方位角(ψSac),其中ψS為艦船方位角,λac為斜角甲板夾角;著艦指令與下滑基準(zhǔn)軌跡生成模塊的輸出信號包括:速度指令Vc及下滑基準(zhǔn)軌跡信號XEATDc(t),YEATDc(t),ZEATDc(t)。

5.如權(quán)利要求4所述艦載無人機(jī)自動著艦控制裝置,其特征在于,著艦指令與下滑基準(zhǔn)軌跡生成模塊使用以下方法生成速度指令Vc及下滑基準(zhǔn)軌跡信號XEATDc(t)、YEATDc(t)、ZEATDc(t):

捕獲下滑道后,根據(jù)已知的初始下滑高度-ZEA0、下滑角γc、下滑速度Vc,計算著艦時間

<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mi>c</mi> </msub> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow>

和下滑道長度

<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>A</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>c</mi> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow>

然后計算以理想著艦點為原點的地面坐標(biāo)系下的三維下滑基準(zhǔn)軌跡:

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> <mi>D</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&psi;</mi> <mi>S</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> <mi>D</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&psi;</mi> <mi>S</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> <mi>D</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> <mi>D</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>.</mo> </mrow>

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