一種基于彌散黏滯性波動方程的吸收邊界反射方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明屬于地球物理勘探領(lǐng)域，涉及一種地震波數(shù)值模擬中的吸收邊界處理方 法，特別涉及一種基于彌散黏滯性波動方程的吸收邊界反射方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 地震波數(shù)值模擬技術(shù)在油氣勘探中有著重要的作用，它對于認識地下介質(zhì)中波的 傳播規(guī)律、驗證所研宄的各種方法技術(shù)起關(guān)鍵性的作用。由于實際的地下介質(zhì)是無限大 的，而數(shù)值模擬的計算區(qū)域是有限的，這樣會造成由于計算區(qū)域被截斷而產(chǎn)生人工邊界，當 地震波傳到該邊界時會產(chǎn)生人工邊界反射波。因此，需要在計算區(qū)域的邊界處使用合理的 吸收邊界條件進行處理，才能模擬實際地下介質(zhì)中波的傳播。關(guān)于人工邊界反射的問題， 學(xué)者們已經(jīng)發(fā)展了很多種方法，這些方法總體分為三類：第一類是預(yù)測法一利用波動方程 的不同形式如單程波方程、波場外推等近似計算邊界處的波場值；第二類是阻尼衰減法一 利用合適的衰減函數(shù)將臨近邊界處的波場值進行衰減，在非均勻介質(zhì)中由于波以不同的傳 播速度沿著各個方向傳播，因此，這類方法中衰減函數(shù)比較難確定；第三類是完全匹配層法 (PML一PerfectMatchedLayer)一計算區(qū)域的內(nèi)部利用波動方程計算，而在計算區(qū)域的外 部需要加入適當?shù)奈諏?，并利用相?yīng)的帶衰減函數(shù)的吸收邊界控制方程進行計算，只要 吸收層內(nèi)衰減函數(shù)選擇的合理，這種方法就能很好地吸收各種頻率來自各個方向的波。每 一種吸收邊界反射的方法都有各自的優(yōu)點和缺點，在第一類方法中，如Clayton-Engquist 方法和Higdon方法的優(yōu)點是需要相對較少的存儲量，但是這些方法只在有限的入射角范 圍能夠很好的吸收邊界反射波；Lindman方法在較大的角度范圍能達到很好的吸收效果， 但它只在邊界是均勻的介質(zhì)中有效；Liao方法能夠在較寬的角度范圍和非均勻介質(zhì)邊界 處有很好的效果，但它需要雙精度實現(xiàn)來保證其穩(wěn)定性，也需要更多的計算存儲。第二類方 法中，如Kosloff方法在法向入射時比較有效，但對于非法向入射會產(chǎn)生明顯的邊界反射， 同時它也需要更大的存儲空間。第三類PML方法是由Berenger在電磁波模擬中提出，它是 目前被認為效果最好的吸收邊界條件，它的實現(xiàn)比較簡單、穩(wěn)定，能夠適用于具有大范圍入 射角和寬頻帶的入射波，廣泛應(yīng)用于很多領(lǐng)域，如線性Euler方程、聲學(xué)介質(zhì)波場模擬、彈 性波的傳播、黏彈性介質(zhì)中波的傳播和孔隙彈性介質(zhì)中波的傳播等。
[0003] 彌散黏滯性波動方程是為了解釋實際和實驗中觀察到的依賴于頻率變化的反射 現(xiàn)象（如：低頻伴影）而提出的，這種波動方程還可用于研宄在含有流體介質(zhì)中地震波的衰 減和頻散問題。因而，彌散黏滯性波動方程的求解在地震勘探領(lǐng)域有著重要的意義。利用彌 散黏滯性波動方程模擬地震波在含有流體介質(zhì)中的傳播過程也會遇到人工邊界處理問題。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0004] 本發(fā)明的目的在于針對彌散黏滯性波動方程數(shù)值模擬中的人工邊界反射問題，提 出一種基于彌散黏滯性波動方程的吸收邊界反射方法，即在計算區(qū)域的外部加入適當?shù)奈?收層，并利用相應(yīng)的帶衰減函數(shù)的吸收邊界控制方程進行計算，計算區(qū)域的內(nèi)部利用波動 方程計算。由于聲波方程和Stokes方程是彌散黏滯性波動方程的特例，所以該方法也適用 于聲波方程和Stokes方程。
[0005] 為了實現(xiàn)上述目的，本發(fā)明所采用的技術(shù)方案包括以下步驟：
[0006] 1)根據(jù)求解一維彌散性黏滯性波動方程的吸收邊界控制方程，推廣確定二維彌散 性黏滯性波動方程的吸收邊界反射控制方程；其中，一維彌散性黏滯性波動方程為：
【主權(quán)項】
1. 一種基于彌散黏滯性波動方程的吸收邊界反射方法，其特征在于，包括以下步驟： 1) 根據(jù)求解一維彌散性黏滯性波動方程的吸收邊界控制方程，推廣確定二維彌散性黏 滯性波動方程的吸收邊界反射控制方程；其中，一維彌散性黏滯性波動方程為：
式中為波場函數(shù)；γ，Tl分別為彌散和黏滯性衰減系數(shù)，它們是巖石的孔隙度、滲透 率以及流體的密度、粘度等參數(shù)的函數(shù)；u為非頻散介質(zhì)中波的傳播速度；x，t分別為空間 和時間變量；式（1)和式（2)中左端第一項表示慣性項，第二項為彌散耗損力即擴散項，第 三項表示黏滯性阻尼，第四項為波動方程的彈性部分； 二維彌散性黏滯性波動方程的吸收邊界控制方程為：
式中M1(X), d2 (Z)分別為沿X，z方向的衰減函數(shù)； 2) 建立介質(zhì)模型，在其周圍加入吸收邊界層，吸收邊界層的厚度取值至少為一個波 長； 3) 選擇吸收邊界中的吸收衰減函數(shù)，其中吸收衰減函數(shù)包括指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正/ 余弦函數(shù)或其中的一種或幾種的復(fù)合函數(shù)； 4) 對所計算的介質(zhì)模型進行網(wǎng)格離散； 5) 利用有限差分法對二維彌散黏滯性波動方程進行數(shù)值模擬，在計算區(qū)域內(nèi)部利用式 (4)彌散黏滯性波動方程的有限差分格式計算，在吸收邊界層內(nèi)利用式（3)計算，以消除人 工邊界反射波；其中，式（4)如下：
C表示第η時間步在網(wǎng)格點（Xj, zm)處的波場值；η為時 間采樣點，j為空間X方向的采樣點，m為空間ζ方向的采樣點； 震源函數(shù)采用爆炸源，在空間上采用高斯函數(shù)，時間上采用Ricker子波，震源函數(shù)的 形式為：
式中：&表示Ricker子波的中心頻率，模型計算中β為常數(shù)；(X(l，Ztl)表示震源的空間 位置。
2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于彌散黏滯性波動方程的吸收邊界反射方法，其特征在 于：所述步驟1)中，根據(jù)求解一維彌散性黏滯性波動方程的吸收邊界算法，推廣確定二維 彌散性黏滯性波動方程的吸收邊界反射控制方程的具體方法如下： 1-1) 一維彌散黏滯性波動方程的求解： 對式（1) 一維彌散黏滯性波動方程關(guān)于時間t做Fourier變換，整理后得到：
式中：是u(x, t)關(guān)于時間t的Fourier變換；ω為角頻率； 式（5)辦'/(Aj)關(guān)于X的常微分方程，其特征值λ為：
式中：
^為Xk的模；Θ為相位角，由arctan Θ = I/R確定；λ k的實部R和 虛部I分別為：
所以式⑴解的形式為：
式中C2為常數(shù)，由初始條件確定； 當衰減參數(shù)γ為零時，式（1)是即為Stokes方程，而這種情況下式（10)是即為Stokes 方程的解；當衰減參數(shù)γ，η均為零時，式（1〇)式即為一維聲波方程的解； 將式（1)寫成等價的偏微分方程組，然后構(gòu)造與其相應(yīng)的輔助方程組并引入坐標變 換，得到在新坐標系下的方程組，進而得到式（1)的解是指數(shù)衰減的，從而利用構(gòu)建帶衰減 函數(shù)的方程組用于吸收人工邊界反射波； 與式（1)等價的一階偏微分方程組為：
構(gòu)建與式（1)和式（11)相對應(yīng)的含有衰減函數(shù)的吸收邊界控制方程組為：
氺 式中 ^為中間變量；sgn(t)為符號函數(shù)；表示時間域卷 積； 關(guān)于空間變量X引入坐標變換
將式（13)代入式（12)，再關(guān)于t做Fourier變換，得到：
式（15)和式（11)的形式完全相同，不同在于空間坐標JE與X，前者為復(fù)數(shù)，后者為實 數(shù)；由式⑴的解可知，式（15)的解為：
式中：c3, C4為常數(shù)，它們由初始條件確定； 從式（16)可以明顯看出，方程組（15)的解沿X方向指數(shù)衰減，衰減形態(tài)和衰減大小由 d(x)決定；因此，只要恰當?shù)倪x擇該函數(shù)使得式（13)在計算區(qū)域內(nèi)部為式（1)式的解，而 在邊界處波函數(shù)呈現(xiàn)快速衰減，從而達到吸收邊界反射波的目的； 1-2)二維彌散黏滯性波動方程吸收邊界算法原理 與一維情況相同，引入中間變量Sx，Sz，Tx，Tz，R x，Rz，ux，Uz，并令
，則與式⑵二維彌散黏 滯性波動方程等價的偏微分方程組的形式為：
3.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于彌散黏滯性波動方程的吸收邊界反射方法，其特征在 于：所述步驟3)中，吸收衰減函數(shù)采用正余弦函數(shù)，其形式為： Ci1(X) =M[1_cos(2jix/1)] d2(z) = M[l-cos (2 π z/1)] 式中：M為幅值常量，I為吸收邊界層的厚度。
【專利摘要】本發(fā)明公開了一種基于彌散黏滯性波動方程的吸收邊界反射的方法，為利用該方程進行復(fù)雜介質(zhì)中地震波數(shù)值模擬提供了一種處理人工邊界反射波的有效途徑。首先從理論上闡述了一維和二維情況下該方法用于處理人工邊界反射的原理；其次，在均勻介質(zhì)和復(fù)雜儲層介質(zhì)模型中利用有限差分法對彌散黏滯性波動方程進行數(shù)值模擬，并采用所提的吸收邊界反射方法進行處理，數(shù)值模擬結(jié)果驗證了該方法的有效性。該方法也適用于聲波方程和Stokes方程。此外，該技術(shù)方案易于實現(xiàn)，可操作性強。
【IPC分類】G01V1-28
【公開號】CN104749628
【申請?zhí)枴緾N201510145189
【發(fā)明人】高靜懷, 趙海霞
【申請人】西安交通大學(xué)
【公開日】2015年7月1日
【申請日】2015年3月30日