本發(fā)明涉及大口徑平面鏡面形評價技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及一種基于功率譜的大口徑平面鏡低階像差估計方法。

背景技術(shù)：

子孔徑拼接技術(shù)最早是由美國專家c.kim和j.wyant共同提出的，其基本原理是利用互相重疊的子區(qū)域，結(jié)合適合的拼接算法以獲得全口徑的面形數(shù)據(jù)。目前，國內(nèi)外利用子孔徑拼接技術(shù)檢測大口徑平面鏡都取得了一定的進(jìn)展。然而，隨著大口徑平面鏡口徑的增加，子孔徑的數(shù)量也會隨之增加，同時由于拼接算法的關(guān)系，將各個子孔徑拼接完成之后提取的低階像差(離焦、像散)測量敏感度也隨之降低。如果為了增加其估計精度而使用更大口徑的平面干涉儀，其成本也難以進(jìn)行控制。另一方面，進(jìn)行子孔徑拼接時，往往需要進(jìn)行多次測量，僅使用一次測量的數(shù)據(jù)對時間、人員成本也造成了極大的浪費(fèi)。因此，為了精確估計大口徑平面鏡低階像差，亟需對子孔徑拼接算法加以改進(jìn)。

隨著大口徑望遠(yuǎn)鏡的發(fā)展，僅依靠波前均方根是不能有效的表征其全頻域的特征。功率譜是功率譜密度函數(shù)的簡稱，定義為單位頻帶內(nèi)的信號功率，表示信號功率隨著頻率的變化情況，即信號功率在頻域的分布狀況。功率譜評價方法是上個世紀(jì)末nif所提出的，已經(jīng)有了較為成熟的標(biāo)準(zhǔn)(iso10110)。但是，功率譜評價方法只能評價某一方向的波前(波在介質(zhì)中傳播時，某時刻剛剛開始位移的質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的面，稱為波前，它代表某時刻波能量到達(dá)的空間位置，它是運(yùn)動著的)起伏，對于超光滑表面來說，可以取某個方向作為評價的標(biāo)準(zhǔn)。但是對于大口徑望遠(yuǎn)鏡來說，由于成本限制以及大氣的影響，其面形沒有必要達(dá)到亞納米級，在此尺度下，面形在較大尺度上的各項異性就變得十分明顯。之后對于功率譜的研究引入了二維功率譜，最后坍陷到一維來進(jìn)行面形評價。但是傅里葉變換必須是針對正交的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，而對于其它角度上的面形的統(tǒng)計學(xué)特征就無法評價。另一方面，在低頻的部分，功率譜評價方法由于缺乏平均來降低噪聲，故其評價的效果也會受影響。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

為了解決現(xiàn)有估計方法存在的計算量大、全面性低的問題，本發(fā)明提供一種基于功率譜的大口徑平面鏡低階像差估計方法。

本發(fā)明為解決技術(shù)問題所采用的技術(shù)方案如下：

本發(fā)明的基于功率譜的大口徑平面鏡低階像差估計方法，包括以下步驟：

步驟一、將zernike多項式在頻域上的表達(dá)代入不同子孔徑的不同階zernike多項式系數(shù)之間的互相關(guān)系數(shù)在頻域上的表達(dá)，得到式(5)：

式(5)中，為第一個子孔徑第i階zernike多項式系數(shù)的共軛，αj'為第二個子孔徑第j階zernike多項式系數(shù)，φsub為子孔徑面形數(shù)據(jù)，i為整數(shù)，j'為整數(shù)，m為第一個子孔徑周向?qū)ΨQ數(shù)，m′為第二個子孔周向?qū)ΨQ數(shù)，n為第一個子孔徑軸向?qū)ΨQ數(shù)，n′為第二個子孔徑軸向?qū)ΨQ數(shù)，r為大口徑平面鏡的全口徑半徑，為第一個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率矢量，為n+1階0型貝塞爾函數(shù)，為n′+1階0型貝塞爾函數(shù)；

步驟二、利用式(5)以及全口徑zernike多項式系數(shù)βj的定義進(jìn)行計算得到子孔徑zernike多項式系數(shù)αi與全口徑zernike多項式系數(shù)βj之間的關(guān)系，如式(9)所示：

式(9)中，為全口徑zernike多項式系數(shù)平方的期望；

步驟三、將式(9)進(jìn)行展開得到式(10)、式(11)和式(12)：

其中，為全孔徑第1階zernike系數(shù)平方的期望，為全孔徑第2階zernike系數(shù)平方的期望，為全孔徑第3階zernike系數(shù)平方的期望，β1為全孔徑第1階zernike系數(shù)，β2為全孔徑第2階zernike系數(shù)，β3為全孔徑第3階zernike系數(shù)，rsub為大口徑平面鏡的子孔徑半徑，rsub＝μr，即α1為子孔徑第1階zernike系數(shù)，α2為子孔徑第2階zernike系數(shù)，α3為子孔徑第3階zernike系數(shù)，α7為子孔徑第7階zernike系數(shù)，α8為子孔徑第8階zernike系數(shù)，ρo為子孔徑偏心距離；

當(dāng)階數(shù)i大于3時：

進(jìn)一步的，步驟一中，獲得不同子孔徑的不同階zernike多項式系數(shù)之間的互相關(guān)系數(shù)在頻域上的表達(dá)的具體過程如下：

①不同子孔徑的不同階zernike多項式系數(shù)之間的互相關(guān)系數(shù)的定義如式(1)所示：

式(1)中，為第一個子孔徑位置矢量，為第二個子孔徑位置矢量，為第一個子孔徑的共軛，為第二個子孔徑的波前，為第一個子孔徑對應(yīng)的i階zernike多項式，第二個子孔徑對應(yīng)的j'階zernike多項式；

②結(jié)合快速傅里葉變換以及功率譜對式(1)進(jìn)行計算得到式(2)：

式(2)中，psdsub(f/r，f′/r)為各個子孔徑平均所獲得的功率譜，f為第一個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率，f′為第二個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率；

③將式(2)帶入式(1)中，使式(1)在頻域上重新表達(dá)，獲得式(3)：

式(3)中，fsub為子孔徑的頻域數(shù)據(jù)，為第一個子孔徑的第i階zernike多項式的頻域數(shù)據(jù)，為第二個子孔徑的第j'階zernike多項式的頻域數(shù)據(jù)，為第一個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率矢量，為第二個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率矢量。

進(jìn)一步的，步驟一中，所述zernike多項式在頻域上的表達(dá)如式(4)所示：

式(4)中，為zernike多項式在頻域上的表達(dá)式，為n+1階0型貝塞爾函數(shù)，φ為波前整體的相位偏置。

進(jìn)一步的，步驟二的具體過程如下：

①子孔徑面形數(shù)據(jù)φsub與全口徑面形數(shù)據(jù)φfull在對應(yīng)位置的數(shù)據(jù)相同，如式(6)和式(7)所示：

其中，αi為子孔徑zernike多項式系數(shù)，βj為全口徑zernike多項式系數(shù)，i為整數(shù)，j'為整數(shù)，為子孔徑zernike多項式，為全口徑zernike多項式，o點(diǎn)為全口徑覆蓋區(qū)域的鏡面圓心，o′點(diǎn)為子孔徑覆蓋區(qū)域的鏡面圓心，a點(diǎn)為子孔徑覆蓋區(qū)域的鏡面圓周上的點(diǎn)，為o點(diǎn)到a點(diǎn)的位置矢量，為o′到a點(diǎn)的位置矢量，為o點(diǎn)到o′點(diǎn)的位置矢量，rsub為大口徑平面鏡的子孔徑半徑，rsub＝μr，即

②對式(5)、式(6)和式(7)進(jìn)行計算得到式(8)：

式(8)中，為全孔徑面形數(shù)，為第j階zernike多項式，為第i階zernike多項式；

③對式(8)進(jìn)行計算得到子孔徑zernike多項式系數(shù)αi與全口徑zernike多項式系數(shù)βj之間的關(guān)系，如式(9)所示。

本發(fā)明的有益效果是：本發(fā)明利用子孔徑鏡面功率譜的統(tǒng)計學(xué)特征，估計大口徑平面鏡的低階像差，計算量大幅度降低，檢測比較全面，不但節(jié)省了大口徑平面鏡拼接檢測成本，而且提高了低階像差的檢測精度。

附圖說明

圖1為子孔徑參數(shù)示意圖。

圖2為利用功率譜估計大口徑平面鏡低階像差流程圖。

具體實(shí)施方式

以下結(jié)合附圖對本發(fā)明作進(jìn)一步詳細(xì)說明。

本發(fā)明的一種基于功率譜的大口徑平面鏡低階像差估計方法，可以在不獲得鏡面全面形的情況下，實(shí)現(xiàn)對大口徑平面鏡低階像差的估計。該方法如圖2所示，其實(shí)現(xiàn)的具體過程如下：

一、不同子孔徑的不同階zernike多項式系數(shù)之間的互相關(guān)系數(shù)的基本定義如式(1)所示：

式(1)中，為第一個子孔徑第i階zernike多項式系數(shù)的共軛，αj'為第二個子孔徑第j'階zernike多項式系數(shù)，φsub為子孔徑面形數(shù)據(jù)，為第一個子孔徑位置矢量，為第二個子孔徑位置矢量，i為整數(shù)，j'為整數(shù)，為第一個子孔徑的共軛，一般來說，第一個子孔徑的波前為純實(shí)數(shù)，在此為了和頻域計算相對應(yīng)，故取其共軛；為第二個子孔徑的波前，為第一個子孔徑對應(yīng)的i階zernike多項式，第二個子孔徑對應(yīng)的j'階zernike多項式。

二、通過觀察式(1)，結(jié)合快速傅里葉變換(fft)以及功率譜(psd)計算方法可得：

式(2)中，psdsub(f/r，f′/r)為各個子孔徑平均所獲得的功率譜，r為大口徑平面鏡的全口徑半徑，f為第一個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率，f′為第二個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率，為第一個子孔徑的共軛，為第二個子孔徑的波前。實(shí)際計算的時候，首先分別計算各個子孔徑的功率譜，之后進(jìn)行平均，要求子孔徑盡量覆蓋全口徑。

三、將式(2)帶入式(1)中，使式(1)在頻域上重新表達(dá)，獲得式(3)：

式(3)中，為第一個子孔徑第i階zernike多項式系數(shù)的共軛，αj'為第二個子孔徑第j階zernike多項式系數(shù)，φsub為子孔徑面形數(shù)據(jù)，i為整數(shù)，j'為整數(shù)，fsub為子孔徑的頻域數(shù)據(jù)，為第一個子孔徑的第i階zernike多項式的頻域數(shù)據(jù)，為第二個子孔徑的第j'階zernike多項式的頻域數(shù)據(jù)，f為第一個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率，為第一個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率矢量，f′為第二個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率，為第二個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率矢量，r為大口徑平面鏡的全口徑半徑，而其中的zernike多項式在頻域上的表達(dá)如式(4)所示：

式(4)中，為zernike多項式在頻域上的表達(dá)式，為n+1階0型貝塞爾函數(shù)，m為第一個子孔徑周向?qū)ΨQ數(shù)，n為第一個子孔徑軸向?qū)ΨQ數(shù)，為第一個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率矢量，φ為波前整體的相位偏置，i為整數(shù)，j'為整數(shù)。

四、將zernike多項式在頻域上的表達(dá)代入不同子孔徑的不同階zernike多項式系數(shù)之間的互相關(guān)系數(shù)在頻域上重新表達(dá)，即將式(4)代入式(3)可以得到基于功率譜(psd)的相關(guān)系數(shù)表達(dá)，如式(5)所示：

式(5)中，為第一個子孔徑第i階zernike多項式系數(shù)的共軛，αj'為第二個子孔徑第j階zernike多項式系數(shù)，φsub為子孔徑面形數(shù)據(jù)，i為整數(shù)，j'為整數(shù)，m為第一個子孔徑周向?qū)ΨQ數(shù)，m′為第二個子孔周向?qū)ΨQ數(shù)，n為第一個子孔徑軸向?qū)ΨQ數(shù)，n′為第二個子孔徑軸向?qū)ΨQ數(shù)，r為大口徑平面鏡的全口徑半徑，為第一個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率矢量，為n+1階0型貝塞爾函數(shù)，為n′+1階0型貝塞爾函數(shù)。

五、利用式(5)可以建立起功率譜和zernike多項式。利用子孔徑數(shù)據(jù)對大口徑平面鏡鏡面面形估計的核心思想在于子孔徑面形數(shù)據(jù)φsub與全口徑面形數(shù)據(jù)φfull在對應(yīng)位置的數(shù)據(jù)相同，如式(6)和式(7)所示：

即：

式(6)和式(7)中，αi為子孔徑zernike多項式系數(shù)，βj為全口徑zernike多項式系數(shù)，i為整數(shù)，j'為整數(shù)，為子孔徑zernike多項式，為全口徑zernike多項式。

如圖1所示：o點(diǎn)為全口徑覆蓋區(qū)域的鏡面圓心，o′點(diǎn)為子孔徑覆蓋區(qū)域的鏡面圓心，a點(diǎn)為子孔徑覆蓋區(qū)域的鏡面圓周上的點(diǎn)，為o點(diǎn)到a點(diǎn)的位置矢量，為o′到a點(diǎn)的位置矢量，為o點(diǎn)到o′點(diǎn)的位置矢量，r為大口徑平面鏡的全口徑半徑，rsub為大口徑平面鏡的子孔徑半徑，rsub＝μr，即

六、利用式(5)以及全口徑zernike多項式系數(shù)βj的最基本定義式(6)和式(7)可得：

式(8)中，為全孔徑面形數(shù)，為第j階zernike多項式，為第i階zernike多項式，φsub為子孔徑面形數(shù)據(jù)，αi為子孔徑zernike多項式系數(shù)，i為整數(shù)，j'為整數(shù)。

七、對式(8)進(jìn)行計算可得子孔徑zernike多項式系數(shù)αi與全口徑zernike多項式系數(shù)βj之間的關(guān)系，如式(9)所示：

式(9)中，為全口徑zernike多項式系數(shù)平方的期望，βj為全口徑zernike多項式系數(shù)，αi為子孔徑zernike多項式系數(shù)，φsub為子孔徑面形數(shù)據(jù)。

八、將式(9)展開并進(jìn)行分情況討論可得：

式(10)、式(11)和式(12)中，為全孔徑第1階zernike系數(shù)平方的期望，為全孔徑第2階zernike系數(shù)平方的期望，為全孔徑第3階zernike系數(shù)平方的期望，β1為全孔徑第1階zernike系數(shù)，β2為全孔徑第2階zernike系數(shù)，β3為全孔徑第3階zernike系數(shù)，r為大口徑平面鏡的全口徑半徑，rsub為大口徑平面鏡的子孔徑半徑，rsub＝μr，即α1為子孔徑第1階zernike系數(shù)，α2為子孔徑第2階zernike系數(shù)，α3為子孔徑第3階zernike系數(shù)，α7為子孔徑第7階zernike系數(shù)，α8為子孔徑第8階zernike系數(shù)，ρo為子孔徑偏心距離。

當(dāng)階數(shù)i大于3時：

式(13)中，αi為子孔徑zernike多項式系數(shù)，i為整數(shù)，r為大口徑平面鏡的全口徑半徑，rsub為大口徑平面鏡的子孔徑半徑，rsub＝μr，即

以低階像差中的離焦為例，對于離焦n＝2，m＝0，結(jié)合式(5)與式(10)、式(11)、式(12)可得離焦的表達(dá)式如(14)所示：

式(14)中，β4為全孔徑第4階zernike系數(shù)，為第一個子孔徑所對應(yīng)的空間頻率矢量，為3階0型貝塞爾函數(shù)，r為大口徑平面鏡的全口徑半徑，rsub為大口徑平面鏡的子孔徑半徑，rsub＝μr，即

需要說明的是：上述基于功率譜的大口徑平面鏡低階像差估計方法中，涉及所有公式中的同一字母表示的含義是相同的。

以上所述僅是本發(fā)明的優(yōu)選實(shí)施方式，應(yīng)當(dāng)指出，對于本技術(shù)領(lǐng)域的普通技術(shù)人員來說，在不脫離本發(fā)明原理的前提下，還可以做出若干改進(jìn)和潤飾，這些改進(jìn)和潤飾也應(yīng)視為本發(fā)明的保護(hù)范圍。