專利名稱：用于表征電氣部件的線性特性的頻率相關(guān)性的迭代方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及一種用于表征電氣部件的線性特性的頻率相關(guān)性的方 法及包括用于執(zhí)行該方法的部件的裝置。
背景技術(shù)：
根據(jù)測量出的數(shù)據(jù)對線性電氣部件(諸如裝置和系統(tǒng)等)的寬帶才莫 擬對于電氣系統(tǒng)的設(shè)計和驗證具有日益增長的重要性。該模擬通常基于通過改變諸如頻域或時域中的導(dǎo)納(y)、阻抗(z)和散射(s)參數(shù)等 的表征模型行為的一組參數(shù)而對線性模型的"擬合"。該模型通?；?多項式[l]、 [2]或者正交多項式函數(shù)[3]的比。近來，^ l點重配向量擬合 技術(shù)[4]已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，并且已經(jīng)提出了多種改進(jìn)方式[5]、 [6]。當(dāng) 已經(jīng)找到以給定的準(zhǔn)確度等級描述制表數(shù)據(jù)的參數(shù)時完成該模擬。在文 獻(xiàn)中說明的擬合是基于對導(dǎo)納矩陣的各元素的擬合。這意味著如果所施 加的電壓是給定的，則由此得到的^t型非常適于計算電流。然而，不保 證模型在不同端子條件下都表現(xiàn)滿意。例如，對于給定電流并且必須確 定電壓的情況，擬合可能非常差。這種效果通常出現(xiàn)在導(dǎo)納矩陣包含大 特征值擴(kuò)展的情況中，這意味著最大的特征值和最小的特征值之間的比 很大。發(fā)明內(nèi)容本發(fā)明要解決的問題是提供一種具有增大的準(zhǔn)確度的頻域響應(yīng)的 近似的方法(尤其針對具有大特征值擴(kuò)展的情況)。 通過權(quán)利要求1所述的方法解決該問題。因此，通過重新用公式表示傳統(tǒng)的向量擬合技術(shù)(參見以下說明) 來擬合才莫態(tài)響應(yīng)而非擬合矩陣元素來解決該問題，并且選擇等于相應(yīng)的特征值幅值的倒數(shù)的權(quán)重，以便實現(xiàn)特征值擬合的相對準(zhǔn)確度標(biāo)準(zhǔn)。該 過程對于具有大特征值擴(kuò)展的情況給出了準(zhǔn)確度的改善。4通常會包括運行在計算機上的合適的軟件部件，但是該裝置還可以采用 專用專門硬件。
本發(fā)明的另外的實施例、優(yōu)點及應(yīng)用在從屬權(quán)利要求以及對于附圖 的下述說明中給出，在附圖中圖1是具有所應(yīng)用的外部裝置的電氣裝置(部件)的示例，圖2示出單個導(dǎo)體架空線路(overhead line ),圖3示出圖2的情況的Y的特征值，圖4示出圖2的情況的Y的元素，圖5示出圖2的情況的Z=Y"的元素的特征值，圖6示出連接到外部網(wǎng)絡(luò)的電氣部件(T型線路)，圖7示出圖6的情況的Y^v/ce的特征值，圖8示出圖6的情況的Y^v,.ce的元素，以及圖9示出圖6的情況的<formula>formula see original document page 5</formula>的元素的特征值。
具體實施方式
定義在本申請中，大寫黑體字母(諸如Y)表示矩陣，并且小寫黑體字 母(諸如v)表示向量。術(shù)語"電氣部件"應(yīng)被廣義理解，并且可以涉及諸如變壓器等的單 獨裝置，或者涉及諸如由電力線相互連接的變壓器、馬達(dá)等的系統(tǒng)等的 多個裝置的集合。然而，限于由它們的頻率相關(guān)導(dǎo)納矩陣完全描述的線 性電氣系統(tǒng)。介紹作為示例，我們考慮了具有n〉1個端口的電氣部件。通過該電氣部 件的導(dǎo)納矩陣Y來描述其線性電氣特性，由此定義了當(dāng)向所述端口施加 電壓v時通過這些端口的電流響應(yīng)i:<formula>formula see original document page 5</formula>其中，s表示電流和電壓的復(fù)角頻率ko。如果將電流源施加到多個端子，則任意頻率處的電壓響應(yīng)為<formula>formula see original document page 5</formula>其中，T或IY是(頻率相關(guān))變換矩陣，并且A或Ay是保持Y的特 征值的對角矩陣。
根據(jù)(2) ， Y的小特征值對應(yīng)于Z中的大特征值。如果Y包含大 特征值和小特征值這兩者，則Y的元素的擬合可能會導(dǎo)致小特征值的很 差的表示。因此，如果給定電壓則擬合Y的元素導(dǎo)致最適合再現(xiàn)端子電 流的模型。然而，模型并不很適于利用給定的電流再現(xiàn)電壓。類似地， 如果要擬合阻抗矩陣，則很適于針對給定的電流再現(xiàn)電壓，但是針對施 加電壓而要確定電流的情況，將產(chǎn)生差的結(jié)果。
對于擬合同樣很適于所有可能的施加的模型，必須確定以類似的準(zhǔn) 確度表示導(dǎo)納(或阻抗)矩陣的所有本征向量。
因此，期望以相對于特征值;i/的模型的誤差與特征值幅值相關(guān)的方 式來擬合模型，從而導(dǎo)致相對標(biāo)準(zhǔn)，
<formula>formula see original document page 6</formula> (3)
其中，上標(biāo)"model"是指(通過執(zhí)行對角化)從模型計算出的特征值， 而上標(biāo)"data"是指從矩陣Y直接獲得的特征值。
等式(3)的類型的相對標(biāo)準(zhǔn)的使用將"均衡"分別針對電壓施加 和電流施加以及相對于任意其它(混合)端子條件的^t型的準(zhǔn)確度，從 而使得相對模型誤差針對所有的施加會具有相同的幅值級。
本申請中所考慮的一般問題在于以通過標(biāo)準(zhǔn)(3)在相對意義上保 持Y的特征值的準(zhǔn)確度的方式根據(jù)D和E可能為0的下面的等式(4) 來識別極點留數(shù)模型?？梢詫O點留數(shù)模型表示為
<formula>formula see original document page 6</formula> (4)
其中m=l N的R^是與頻率無關(guān)的矩陣(其中N為被考慮進(jìn)去的極點 或共振數(shù))，D和E是與頻率無關(guān)的矩陣或O，并且m-l N的a附是極 點或共振的復(fù)角頻率。
本發(fā)明假定一組離散頻率s處的矩陣Y(X)的元素是已知的，例如根 據(jù)在這些頻率處針對給定電壓v的電流i的直接測量以及根據(jù)使用傳統(tǒng) 技術(shù)從等式(1 )獲得Y而知道。現(xiàn)在將通過改變a之前的未知參數(shù)R附、 "w以及(如果假定為非0的)D和E來將根據(jù)等式(4 )的近似值Yraf 擬合為YO)的已知值。向量擬合(現(xiàn)有技術(shù))
可以將等式(4)寫為針對其矩陣的所有矩陣元素i、 j的一組112個 等式，其中i=l nij=l n。這些等式與共極點組am相耦合。 下面，我們說明標(biāo)量頻率響應(yīng)y(s)的傳統(tǒng)有理擬合。 利用傳統(tǒng)向量擬和(VF ) [4]的頻率響應(yīng)y(s)的有理擬合是迭代過程。 這相當(dāng)于利用第一組極點頻率{"附}解出線性問題(5):
(Z~^~ +三+ ^ + m ( 5 )
加=1 s — d傷 m=i s —"加
其中^是與頻率無關(guān)的標(biāo)量，其中m=l~N, y是矩陣Y中的索引i, j 的任意元素，0^是矩陣R^中的相應(yīng)元素，d是矩陣D中的相應(yīng)元素， e是矩陣E中的相應(yīng)元素。
在解出(5)之后，將改善的第二組極點頻率計算為a(s)的零點，其 通過解出特征值問題(6)而被計算出
{"j = "g(A-b ) (6) 其中A是保持第一組極點fl附作為對角元素的對角矩陣，b是一個向量， c是保持通過在前面的步驟中擬合等式(5)而獲得的n^l N的^的向 量。eig是返回保持其矩陣值變元的特征值的向量的算子。
此時在迭代過程中，在(5)中重新使用通過(6)獲得的新的第二 組(重配)極點頻率。該極點重配過程通常在多次迭代中收斂。
當(dāng)將該過程應(yīng)用到具有多于一個元素的導(dǎo)納矩陣時，必須改變第二 步驟(極點重配)。這通過將Y的矩陣元素堆疊成單個向量來實現(xiàn)，這 意味著(5)中的y(s)變?yōu)榱邢蛄?。同樣?5)的右側(cè)也變?yōu)榱邢蛄俊?由于(5)中的(7(s)仍為標(biāo)量，因此向量y中的所有元素(并且從而Y的 元素)變得與共極點組相擬合。
繼續(xù)該迭代，直到滿足停止條件為止，例如直到第一和第二組極點 頻率相差小于給定量為止，或者直到對于給定極限f滿足等式(3)的條 件為止。利用原始VF,在預(yù)定次數(shù)的迭代之后，或者當(dāng)擬合誤差(例 如，均方根誤差)的范數(shù)在兩次迭代之間沒有改變太多時，通常終止迭 代?？梢允褂枚喾N可選標(biāo)準(zhǔn)，并且這明顯是取決于應(yīng)用的。
在最后的步驟中，通過以《"=1解出(5)來計算留數(shù)R附。
才莫態(tài)向量擬合
7可以通過(頻率相關(guān))變換矩陣T來對角化矩陣Y:
<formula>formula see original document page 8</formula>(7)
針對每一特征對(A^,t》給出利用T右乘等式(7):
(8)
通過利用特征值的幅值的倒數(shù)縮放等式，將特征值Xi的相對準(zhǔn)確度 保持在最小平方問題中，即
<formula>formula see original document page 8</formula>
值得注意的是該縮放比例是頻率相關(guān)的量。
結(jié)合(9)和VF得到我們隨后稱為模態(tài)向量擬合(MVF)的方法。 MVF基本上恰如傳統(tǒng)的VF處理那樣進(jìn)行，但是與傳統(tǒng)的VF處理
不同的是將等式(5)代替為
人
為所有的模式戶l.."建立等式(10),并且將等式(10)堆疊成通 用等式。如原始VF那樣，通過(6)從(10)中的(j(力獲得新的第二組 (重配)極點。最后，如傳統(tǒng)VF那樣，通過以crO)-l解出(10)來計 算留數(shù)。
利用外部電路特性
在一些情況下，參見圖1,要將所考慮的裝置連接到具有已知阻抗 特性的外部網(wǎng)絡(luò)。如果從裝置的端子看的導(dǎo)納是Yew,則總導(dǎo)納是
、/ _ Iffev/ce卞、W (11)
現(xiàn)在端子行為由Yf^主導(dǎo)而不是由Y&wce主導(dǎo)。這可以:故用在通
過從Ytof計算特征對的MVF擬合處理中。此時等式(10)變?yōu)?，)
— 人 —
I A I w=l & 一 am
1 d+l;^^+D+局.ti) (i2)
留數(shù)(具有已知極點)的最后計算利用(12)中的等于一的cj(s)來進(jìn)行。
8示例
作為示例，參見圖2，我們考慮在5km長的有損土地上的有損導(dǎo)體。 這給出一個2x2矩陣Y。
使用VF和MVF在1Hz-100kHz的頻率范圍內(nèi)計算Y的極點留數(shù) 模型。在兩種情況下，擬合處理使用具有14個極點和非零D的五次迭代。
圖3示出Y的特征值。觀察得到，當(dāng)特征值擴(kuò)展大(低頻)時，當(dāng) 通過VF擬合Y時小特征值變得不能準(zhǔn)確地被表示。利用MVF,由于相 對標(biāo)準(zhǔn)(3),因而所有的特征值在所有頻率處都被準(zhǔn)確地表示。
圖4 (實線軌跡)示出Y的元素。相同的繪圖示出有理才莫型和正確 解之間的偏差。觀察得到，在MVF的情況下，偏差曲線與元素幅值密 切相關(guān)，從而導(dǎo)致接近恒定的相對準(zhǔn)確度，而VF則顯示出很強的偏差。
圖5示出Z=Y-1的結(jié)果，該結(jié)果與在將電流施加到線路端時的電 壓響應(yīng)相對應(yīng)?？梢钥闯?，通過MVF得到的結(jié)果保持準(zhǔn)確而通過VF 得到的結(jié)果則很差。如圖3所示，后一結(jié)果是由于VF不能準(zhǔn)確地表示 小特征值而導(dǎo)致的。由于Y的小特征值變?yōu)閆的大特征值，因而發(fā)生了 突難性的誤差放大。利用MVF，保持了特征值的相對準(zhǔn)確度，并且因此 對于Z也保證了準(zhǔn)確的結(jié)果。
包括外部網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果
我們繼續(xù)同一示例，但是參見圖6，假定線路端接在具有1 kQ的電 阻的兩個末端處。此時使用等式(12)進(jìn)行利用MVF的Y^Wce的擬合。
Ydevice +Yext的特征值在圖7中示出。由于通過1 kQ電阻接地， 因而特征值擴(kuò)展比圖3中的特征值擴(kuò)展小得多。VF和MVF的使用看起 來像是給出了相似的結(jié)果。然而，參見圖8和9，偏差曲線的檢查示出 了通過MVF得到的結(jié)果對于小特征值更加準(zhǔn)確。
如前面的示例中那樣，VF和MVF方法兩者均為Y^wce的擬合后 的元素給出滿意的結(jié)果(圖8)。但是對于Z=(Y^wce+Ye^)-1的元素 (圖9),由于對小特征值的更好的表示，因而MVF給出了更準(zhǔn)確的結(jié)果。
討論
在一些情況下，例如當(dāng)Y是平衡矩陣(作為針對本說明書中的示例 的情況)時，可以假定恒定實變換矩陣IY。這允許對角化Y且直接擬 合特征值。然后，倒數(shù)幅值加權(quán)的使用給出類似于MVF的結(jié)果。然而，
9在許多情況下，沒有應(yīng)用恒定矩陣TY的假設(shè)，因此必須使用MVF。
在向矩陣元素直接應(yīng)用VF時，可以增大擬合級，同時監(jiān)視Ymodel 對比Ydeviee的特征值，以便實現(xiàn)如MVF的潛在等同的良好的結(jié)果(其 代價為更高的擬合級)，但是這種方法可能更易受噪聲的影響，可能產(chǎn) 生假象并使被動執(zhí)行復(fù)雜化。
當(dāng)根據(jù)噪聲測量進(jìn)行模擬時出現(xiàn)不同的情況。建議測量與系統(tǒng)特征 對相對應(yīng)的一組電壓/電流向量對。與有理擬合和#1動#丸行相結(jié)合，這導(dǎo) 致了 SoFT工具[7]的發(fā)展。由于對于與小特征值相對應(yīng)的特征對來說噪 聲水平通常低得多，因而此處MVF的使用是有好處的。向矩陣元素直 接應(yīng)用VF可以容易地導(dǎo)致最小特征值在噪聲中丟失。在實際應(yīng)用中， 測量的電氣元件可能具有大的特征值擴(kuò)展，而相鄰網(wǎng)絡(luò)和組合的對象的 特征值具有顯著較小的擴(kuò)展。如果沒有利用該知識，則將會不必要地限 制擬合。如上所示，可以通過在計算特征對時明確地將外部網(wǎng)絡(luò)考慮進(jìn) 去來容易地避免該問題。 結(jié)論
已經(jīng)開發(fā)了在任意端子條件下保證所獲得的模型的高準(zhǔn)確度的重 新用公式表示的向量擬合(MVF)過程。這通過將特征對明確地引入才莫 擬中來實現(xiàn)，從而使得能夠保證對所有特征值的高相對準(zhǔn)確度。向具有
更高的準(zhǔn)確度。MVF方法還允許將相鄰網(wǎng)絡(luò)的阻抗特性考慮進(jìn)去。
所述方法允許表征具有n〉1個端口的電氣部件的線性特性的頻率相 關(guān)性，其中，在將施加到端口的電壓與通過端口的電流相關(guān)的矩陣Y中 描述該線性特性。典型地，Y是導(dǎo)納矩陣，然而也可以使用諸如阻抗矩 陣的其它矩陣。通過等式(4)來近似Y的頻率相關(guān)性。 該方法包括以下步驟
a) 在離散頻率s處獲得Y的一組值Y(力，并且對于每個值Y(力， 獲得特征值、 和本征向量"，其中i=l n。典型地，YO)的值可以通過 在期望的頻率處對電氣部件的測量結(jié)果來獲得。
b) 通過使用第一組極點頻率"w并且通過改變以下值R附以 及D和E (如果不為零的話)，來擬合等式(10 )的一組n個向量等式。
c) 從等式(6)計算第二組極點頻率。
d) 通過使用在步驟c)中獲得的第二組極點頻率fl附作為后面的步驟b)中的第一組極點頻率來重復(fù)步驟b)和C),直到滿足適當(dāng)?shù)耐Ｖ?條件為止。
在大多數(shù)情況下，期望知道R柳以及可選的D和E。可以通過在等 式(lO)中設(shè)置oO)- 1并解出該等式而在下一個步驟c)中求出這些值。
當(dāng)將電氣部件連接到外部裝置時，可以用等式(12)代替步驟b) 中的等式(10)。
必須注意的是，可以用線性地依賴于一組(未知的但是與頻率無關(guān) 的)參數(shù){~}的任意頻率相關(guān)矩陣值函數(shù)？({~},力來代替等式(4)、 ( 10) 和(12)中的項D + sE。如果充足數(shù)量的Y的測量值是可用的，則可以 在MVF過程的最后的步驟d)中確定參數(shù)。
參考文獻(xiàn) E.C. Levy, "Complex curve fitting", /朋7ra肌jwto應(yīng)"c Co欣o/, vol. 4,
pp. 37-44， May 1959. [2] C.K. Sanathanan and J. Koemer, "Transfer function synthesis as a ratio of
two complex polynomials",正EE Trans. Automatic Control, vol. 8, pp.
56-58， 1963. C.P. Coelho, J.R. Phillips, and L.M Silveira, "Generating high-accuracy simulation models using problem-tailored orthogonal polynomials basis", IEEE Trans. Circuits and Systems — I, vol. 53, no, 12, pp. 2705-2714, Dec. 2006. B. Gustavsen, and A. Semlyen, "Rational approximation of frequency
domain responses by vector fitting",正EE Trans. Power Delivery, vol. 14,
no. 3, pp. 1052-1061, July 1999. [5] S. Grivet-Talocia, "Package macromodeling via timedomain vector fitting",
IEEE Microwave and Wireless Components Letters, vol. 13, no. 11, pp.
472-474, Nov, 2003. [6] B. Gustavsen, "Improving the pole relocating properties of vector fitting",
IEEE Trans. Power Delivery, vol, 21, no. 3, pp. 1587-1592, July 2006. M. Tiberg, O. Hoenecke, C. Heitz, and B. Gustavsen, "New simulation methodology for power systems — assumption free analysis entirely based on measurement", EMTP-RV Newsletter, vol. 1， no 3, Dec. 2006, pp. 20-26.
ii
權(quán)利要求
1.一種用于表征具有n＞1個端口的電氣部件的線性特性的方法，其中在將施加到所述端口的電壓與通過所述端口的電流相關(guān)的矩陣Y中描述所述線性特性，通過下式來近似Y的頻率相關(guān)性<maths id="math0001" num="0001" ><math><![CDATA[ <mi>Y</mi> <mrow><mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo></mrow><mo>≅</mo><msub> <mi>Y</mi> <mi>rat</mi></msub><mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><munder> <mi>Σ</mi> <mi>m</mi></munder><mfrac> <msub><mi>R</mi><mi>m</mi> </msub> <mrow><mi>s</mi><mo>-</mo><msub> <mi>a</mi> <mi>m</mi></msub> </mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>D</mi><mo>+</mo><mi>sE</mi> </mrow>]]></math></maths>其中，m貫穿1至N個極點，Rm是與頻率無關(guān)的矩陣，其中m＝1～N，D和E是與頻率無關(guān)的矩陣或零，s表示復(fù)角頻率iω，并且am是極點的復(fù)角頻率，其中m＝1～N，所述方法包括步驟a)獲得離散頻率s處的Y的一組值Y(s)，并且對于每個值Y(s)，獲得特征值λi和本征向量ti，其中i＝1～n，b)通過使用第一組極點頻率am并且通過改變 id="icf0002" file="A2007800524820002C2.tif" wi="6" he="4" top= "113" left = "138" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>Rm以及假設(shè)非零的D和E，將以下的一組n個向量等式擬合為所獲得的特征值λi和本征向量ti其中， id="icf0004" file="A2007800524820002C4.tif" wi="4" he="4" top= "161" left = "36" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>是m＝1～N的與頻率無關(guān)的標(biāo)量，c)從下式計算第二組極點頻率{am}＝eig(A-b·cT)，其中，A是保持所述第一組極點頻率am作為對角元素的對角矩陣，b是一個向量，c是保持通過在步驟b)獲得的m＝1～N的 id="icf0005" file="A2007800524820002C5.tif" wi="4" he="4" top= "193" left = "146" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>的向量，并且eig是返回保持矩陣的特征值的向量的算子，d)通過使用步驟c)的所述第二組極點頻率am作為后面的步驟b)中的所述第一組極點頻率來重復(fù)步驟b)和c)，直到滿足停止條件為止。
2. 根據(jù)權(quán)利要求1所迷的方法，還包括步驟e) 在步驟b)的等式中設(shè)置a(力-l,并計算R附。
3. 根據(jù)前述權(quán)利要求中的任一項所述的方法，其中所述電氣部件連 接至外部裝置，并且其中通過矩陣YejCf來描述所述外部裝置的線性特性，其中用下式來代替步驟b)中的等式，^-A->^I 乂J m=i s - am
4. 根據(jù)前述權(quán)利要求中的任一項所述的方法，其中矩陣Y通過下 式描述施加到所述電氣部件的所述端口的電壓v和通過所述電氣部件的 電流i之間的關(guān)系i=Yv。
5 根據(jù)前述權(quán)利要求中的任一項所述的方法，其中用線性依賴于一 組參數(shù){~}的矩陣值函數(shù)F({~}，力來代替D+sE。
6. —種包括用于執(zhí)行前述權(quán)利要求中的任一項的步驟的部件的裝置。
全文摘要
本申請引入一種在任意端子條件下保證高準(zhǔn)確度的多端口裝置的有理宏模擬的新方法。通過以下來實現(xiàn)該方法重新用公式表示向量擬合技術(shù)以擬合特征對而非擬合矩陣元素，并且選擇等于特征值幅值的倒數(shù)的權(quán)重，以便實現(xiàn)對于特征值擬合的相對準(zhǔn)確度標(biāo)準(zhǔn)。該過程對于具有大特征值擴(kuò)展的情況給出了準(zhǔn)確度上的大改善。還示出了如何利用相鄰網(wǎng)絡(luò)的阻抗特性來降低擬合的復(fù)雜性并進(jìn)一步改善其準(zhǔn)確度。
文檔編號G01R27/00GK101663587SQ200780052482
公開日2010年3月3日 申請日期2007年4月2日 優(yōu)先權(quán)日2007年4月2日
發(fā)明者B·古斯塔夫森, C·海茨, M·蒂伯格 申請人:Abb技術(shù)有限公司