用于計算結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)和近似結(jié)構(gòu)的重構(gòu)的方法和設(shè)備相關(guān)申請的交叉引用本申請要求2013年9月9日提交的美國臨時申請61/875,340的優(yōu)先權(quán)，并且該申請通過引用全部合并于此。技術(shù)領(lǐng)域本申請涉及結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)的計算。本發(fā)明可以例如在微觀結(jié)構(gòu)的量測中應(yīng)用，例如以評估光刻設(shè)備的臨界尺寸(CD)性能。

背景技術(shù)：
光刻設(shè)備是將期望的圖案施加到襯底上、通常是到襯底的目標(biāo)部分上的機器?？梢岳缭诩呻娐?IC)的制造中使用光刻設(shè)備。在這種情況下，備選地稱作掩?；蜓谀０娴膱D案形成裝置可以用于生成待形成在IC的單個層上的電路圖案。該圖案可以被轉(zhuǎn)移到襯底(例如，硅晶片)上的目標(biāo)部分(例如，包括裸片的一部分、一個或數(shù)個裸片)上。圖案的轉(zhuǎn)移典型地是憑借到設(shè)置于襯底上的一層輻射敏感材料(抗蝕劑)上的成像來進行。一般情況下，單個襯底將含有相繼地被圖案化的相鄰目標(biāo)部分的網(wǎng)絡(luò)。已知的光刻設(shè)備包括：所謂的步進器，其中通過使整個圖案一次曝光到目標(biāo)部分上來輻照各目標(biāo)部分；和所謂的掃描器，其中通過在給定方向(“掃描”方向)上憑借輻射束掃描圖案同時同步地平行于或反向平行于該方向掃描襯底來輻照各目標(biāo)部分。也可以通過將圖案壓印到襯底上而使圖案從圖案形成裝置轉(zhuǎn)移至襯底。為了監(jiān)測光刻工藝，有必要測量被圖案化的襯底的參數(shù)，例如形成在其中或其上的相繼的層之間的重疊誤差。存在有用于進行在光刻工藝中形成的微觀結(jié)構(gòu)的測量的各種技術(shù)，包括掃描電子顯微鏡和各種專用工具的使用。一種形式的專用檢查工具是其中輻射的光束被引導(dǎo)到襯底的表面上的目標(biāo)上并且測量散射的或反射的光束的性質(zhì)的散射儀。通過將光束的在由襯底反射或散射之前和之后的性質(zhì)進行比較，可以確定襯底的性質(zhì)。這可以例如通過將反射的光束與存儲在與已知襯底性質(zhì)相關(guān)聯(lián)的已知測量的庫中的數(shù)據(jù)進行比較來完成。兩種主要類型的散射儀是已知的。光譜散射儀將寬頻帶輻射束引導(dǎo)到襯底上并且測量被散射到特定的窄角度范圍內(nèi)的輻射的光譜(作為波長的函數(shù)的強度)。角分辨散射儀使用單色輻射束并測量作為角度的函數(shù)的散射的輻射的強度。更一般地，能夠?qū)⑸⑸涞妮椛渑c在數(shù)學(xué)上從結(jié)構(gòu)的模型預(yù)測的散射行為進行比較將是有用的，結(jié)構(gòu)的模型可以自由地設(shè)定和變化直到預(yù)測的行為與來自真實樣本的觀察到的散射匹配。不幸的是，雖然如何通過數(shù)值程序?qū)ι⑸浣Ｔ谠砩鲜且阎?，但已知技術(shù)的計算負擔(dān)致使這樣的技術(shù)不實用，特別是如果期望實時重構(gòu)的話，和/或當(dāng)牽涉到的結(jié)構(gòu)與在一維上周期性的簡單結(jié)構(gòu)相比更加復(fù)雜時。CD重構(gòu)屬于在逆散射的一般名稱下已知的一組問題，其中觀察到的數(shù)據(jù)和可能的物理狀況匹配。目的是找到引出盡可能密切地觀察到的數(shù)據(jù)的物理狀況。在散射測量的情況中，電磁理論(麥克斯韋方程)允許預(yù)測什么將是針對給定物理狀況的測量出的(散射的)數(shù)據(jù)。這被稱為前向散射問題(forwardscatteringproblem)。逆散射問題現(xiàn)在是找到對應(yīng)于實際測量出的數(shù)據(jù)的適當(dāng)物理狀況，這典型地是高度非線性問題。為求解該逆散射問題，使用了使用許多前向散射問題的解的非線性求解器。在用于重構(gòu)的已知手段中，非線性問題建立在三個要素上：·在測量出的數(shù)據(jù)與從估計的散射設(shè)定計算出的數(shù)據(jù)之間的差異的高斯-牛頓最小化；·在散射設(shè)定中的參數(shù)化形狀，例如接觸孔的半徑和高度；·每次參數(shù)更新時前向問題(例如，計算出的反射系數(shù))的解中的充分高的準(zhǔn)確度。對于1D-或2D-周期性結(jié)構(gòu)(例如光柵)的CD重構(gòu)，可以使用體積分法(VIM)以有效地計算出有關(guān)散射問題的解，如已在美國專利申請公開號US2011/0218789A1和美國專利申請公開號US2011/0098992A1中公開的，這些申請通過引用合并于此。對于在周期性的平面中的光譜展開的特定選擇造成在正交非周期性方向上的完全解耦模態(tài)的描述。采取各具有描述每個模式的波傳播的1D格林函數(shù)的一維積分方程的序列形式的該模態(tài)描述被離散或采樣以獲得數(shù)值方案。對于低階離散化方案，1D積分方程的結(jié)構(gòu)導(dǎo)致用于矩陣-矢量乘積的數(shù)值上穩(wěn)定且有效的O(N)算法，其中N是每個1D積分方程的樣本的數(shù)量。切比雪夫展開(Chebyshevexpansion)已知道了很長一段時間并且尤其是其與離散余弦變換(DCT)的關(guān)系已被采用以產(chǎn)生用于包括微分方程和1D積分方程、例如[2,4,5]的一系列數(shù)值方法的有效的數(shù)值方案。使1D積分方程離散的低階展開的明顯缺點在于數(shù)值離散化誤差收斂為O(h2)，其中h是網(wǎng)格尺寸。對于沿著非周期性方向關(guān)于波長高的結(jié)構(gòu)，許多樣本都需要達到可接受的準(zhǔn)確度水平，這進而導(dǎo)致長的計算時間和大的存儲器要求。用以增加收斂率的手段接著引入具有高階多項式的較高階展開，這引出了包括切比雪夫多項式展開和勒讓德多項式展開(Legendrepolynomialexpansion)的偽譜方法。偽譜方法因其指數(shù)收斂而聞名。然而，利用該手段存在有兩點警告：高階展開引出有效的矩陣-矢量乘積嗎？；和，所得數(shù)值方案穩(wěn)定嗎？切比雪夫展開由于離散余弦變換(DCT)的使用而產(chǎn)生O(NlogN)的有效的矩陣-矢量乘積。然而，穩(wěn)定性結(jié)果成了大問題、尤其是對于衰逝模式(evanescentmode)而言，例如[2]中呈現(xiàn)出的方案已發(fā)現(xiàn)對于上面提到的積分方程是高度不穩(wěn)定的，如在本文中的圖16中圖示出的。在沒有用于穩(wěn)定性的進一步措施的情況下，積分方程的所得線性系統(tǒng)具有非常高的條件數(shù)并因此不能被迭代地可靠求解。

技術(shù)實現(xiàn)要素：
在半導(dǎo)體工藝的領(lǐng)域期望的是迅速地執(zhí)行電磁散射性質(zhì)的準(zhǔn)確計算。根據(jù)本發(fā)明的第一方面，提供有一種計算結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)的方法，該結(jié)構(gòu)包括不同性質(zhì)的材料并且該結(jié)構(gòu)在至少一個橫向方向上是周期性的并在相對于至少一個橫向方向正交的方向上延伸，該方法包括：-通過針對在至少一個橫向方向上的多個模式中的每個相應(yīng)模式執(zhí)行在正交方向上的偽譜多項式展開乘以對于多個模式中的所有模式都使用在正交方向上的相同樣本點的1D格林函數(shù)的積分，針對多個模式在數(shù)值上求解用于電磁散射的體積分方程，其中積分通過求解方程的正則化線性系統(tǒng)來執(zhí)行；和-使用數(shù)值求解的結(jié)果來計算結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)。方法可以進一步包括如下步驟：-通過借助限定擴展的正則化展開系數(shù)矢量(γ1,γ2)修改線性系統(tǒng)以補償易于發(fā)生與條件調(diào)節(jié)相關(guān)的誤差的展開系數(shù)而將方程的線性系統(tǒng)正則化；-求解在第一離散變換步驟與第二離散變換步驟之間的方程的正則化線性系統(tǒng)以計算出正則化展開系數(shù)矢量(γ1,γ2)的值；-將第二離散變換步驟應(yīng)用于正則化展開系數(shù)矢量(γ1,γ2)的非擴展部分以計算出在正交方向上的樣本點處的正則化積分(H1(k)和H2(k))；和其中計算結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)的步驟使用計算出的正則化積分(H1(k)和H2(k))。使方程的線性系統(tǒng)正則化的步驟可以包括生成在正交方向上的樣本點處的函數(shù)(F(k))，函數(shù)包括易于產(chǎn)生與條件調(diào)節(jié)相關(guān)的誤差的展開系數(shù)，使得線性系統(tǒng)的修改補償函數(shù)(F(k))，并且方法可以進一步包括在離散轉(zhuǎn)換步驟之后的、將正則化積分(H1(k)和H2(k))與正則化展開系數(shù)矢量(γ1,γ2)的擴展部分(γ1M+1,γ2M+1)乘以函數(shù)(F(k))組合以計算出在正交方向上的樣本點處的進一步的積分(G1(k)和G2(k))的步驟，并且其中計算結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)的步驟可以使用計算出的進一步的積分(G1(k)和G2(k))。根據(jù)本發(fā)明的第二方面，提供有一種從由通過輻射照射對象而產(chǎn)生的檢測到的電磁散射性質(zhì)重構(gòu)對象的近似結(jié)構(gòu)的方法，方法包括如下步驟：-估計至少一個結(jié)構(gòu)參數(shù)；-從至少一個結(jié)構(gòu)參數(shù)確定至少一個模型電磁散射性質(zhì)；-將檢測到的電磁散射性質(zhì)與至少一個模型電磁散射性質(zhì)進行比較；和-基于比較的結(jié)果來確定近似對象結(jié)構(gòu)，其中模型電磁散射性質(zhì)使用根據(jù)任一前述權(quán)利要求的方法來確定。根據(jù)本發(fā)明的第三方面，提供有一種用于重構(gòu)對象的近似結(jié)構(gòu)的檢查設(shè)備，檢查設(shè)備包括：-照射系統(tǒng)，被配置成用輻射照射對象；-檢測系統(tǒng)，被配置成檢測由照射產(chǎn)生的電磁散射性質(zhì)；和-處理器，被配置成：-估計至少一個結(jié)構(gòu)參數(shù)；-從至少一個結(jié)構(gòu)參數(shù)確定至少一個模型電磁散射性質(zhì)；-將檢測到的電磁散射性質(zhì)與至少一個模型電磁散射性質(zhì)進行比較；和-從檢測到的電磁散射性質(zhì)與至少一個模型電磁散射性質(zhì)之間的差異來確定近似對象結(jié)構(gòu)，其中處理器被配置成使用根據(jù)第一方面的方法來確定模型電磁散射性質(zhì)。根據(jù)本發(fā)明的第四方面，提供有一種計算機程序產(chǎn)品，含有用于計算結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)的計算機可讀指令的一個或多個系列，指令適于引起一個或多個處理器執(zhí)行根據(jù)權(quán)利要求1至7中的任一個的方法。發(fā)明的進一步特征和優(yōu)點、以及發(fā)明的各種實施例的結(jié)構(gòu)和操作在下面參照附圖詳細地進行描述。需要注意的是發(fā)明不限于在這里所描述的特定實施例。一些實施例在這里被呈現(xiàn)僅用于圖示性目的。附加實施例對于相關(guān)領(lǐng)域(多個)技術(shù)人員而言基于在這里所含的教導(dǎo)是顯而易見的。附圖說明被包含在這里并形成說明書的一部分的附圖圖示出本發(fā)明并且與描述一起進一步用于說明發(fā)明的原理并使得(多個)相關(guān)領(lǐng)域技術(shù)人員能夠做出并使用發(fā)明。圖1描繪了光刻設(shè)備。圖2描描繪了光刻單元或簇。圖3描繪了第一散射儀。圖4描描繪了第二散射儀。圖5描繪了使用用于從散射儀測量進行的結(jié)構(gòu)的重構(gòu)的本發(fā)明的實施例的第一示例過程。圖6描繪了使用用于從散射儀測量進行的結(jié)構(gòu)的重構(gòu)的本發(fā)明的實施例的第二示例過程。圖7描繪了可以根據(jù)本發(fā)明的實施例被重構(gòu)的散射幾何結(jié)構(gòu)。圖8描繪了背景的結(jié)構(gòu)。圖9圖示出用以計算入射場與分層介質(zhì)的相互作用的格林函數(shù)的使用。圖10是針對對比電流密度、電場或由電場和電通量密度的線性組合構(gòu)成的矢量場求解對應(yīng)于VIM公式的線性系統(tǒng)的高級方法的流程圖。圖11是根據(jù)本發(fā)明的實施例的針對電場使用VIM公式的更新矢量的計算的流程圖。圖12描繪了使用連續(xù)的矢量場以在數(shù)值上求解VIM公式的本發(fā)明的實施例；圖13是根據(jù)本發(fā)明的實施例的更新矢量的計算的流程圖；圖14描繪了根據(jù)本發(fā)明的實施例的求解具有對比源反演的VIM公式的方法。圖15是根據(jù)本發(fā)明的實施例的使用了具有對比源反演的VIM公式的更新矢量的計算的流程圖。圖16圖示出在對數(shù)刻度上的對應(yīng)于針對一維電介質(zhì)平板的VIM公式的離散版本的線性系統(tǒng)的條件數(shù)相對于傳播系數(shù)的實部乘厚度以及相對于展開的多項式次數(shù)PD。圖17A和圖17B是根據(jù)本發(fā)明的實施例的方法的流程圖。圖18以示意性形式描繪了配置有程序和數(shù)據(jù)以便執(zhí)行根據(jù)本發(fā)明的方法的計算機系統(tǒng)。本發(fā)明的特征和優(yōu)點將從下面結(jié)合附圖時闡述的詳細描述中變得更加顯而易見，其中相似的參考字符始終標(biāo)識出相應(yīng)的元件。在附圖中，相似的參考數(shù)字一般指示出同樣的、功能上類似的和/或結(jié)構(gòu)上類似的元件。元件首次出現(xiàn)所在的附圖用相應(yīng)參考數(shù)字中的最左側(cè)位數(shù)指示出。具體實施方式該說明書公開了包含該發(fā)明的特征的一個或多個實施例。所公開的實施例(多個)僅舉例說明了本發(fā)明。本發(fā)明的范圍不限于所公開的實施例(多個)。本發(fā)明由所附的權(quán)利要求限定。所描述的實施例和說明書中對“一個實施例”、“實施例”、“示例實施例”等的引用指示出所描述的實施例(多個)可以包括特定的特征、結(jié)構(gòu)或特性，但是每個實施例可以并不一定包括特定的特征、結(jié)構(gòu)或特性。此外，這樣的短語并不一定是指相同實施例。此外，當(dāng)特定的特征、結(jié)構(gòu)或特性是與實施例有關(guān)地描述時，可以理解的是，與無論是否明確地描述的其他實施例有關(guān)地實現(xiàn)這樣的特征、結(jié)構(gòu)或特性是在本領(lǐng)域技術(shù)人員的知識內(nèi)的。本發(fā)明的實施例可以在硬件、固件、軟件或它們的任何組合中實施。本發(fā)明的實施例也可以被實施為可由一個或多個處理器讀取和執(zhí)行的存儲在機器可讀介質(zhì)上的指令。機器可讀介質(zhì)可以包括用于存儲或傳輸呈可由機器(例如，計算裝置)讀取的形式的信息的任何機構(gòu)。例如，機器可讀介質(zhì)可以包括只讀存儲器(ROM)；隨機存取存儲器(RAM)；磁盤存儲介質(zhì)；光存儲介質(zhì)；閃存裝置；電、光、聲或其他形式的傳播信號(例如，載波、紅外信號、數(shù)字信號等)，及其他。此外，固件、軟件、例行程序、指令可以在這里被描述為執(zhí)行某些動作。然而，應(yīng)該領(lǐng)會的是，這樣的描述僅為了方便并且這樣的動作事實上產(chǎn)生于執(zhí)行固件、軟件、例行程序、指令等的計算裝置、處理器、控制器或其他裝置。然而，在更詳細地描述這樣的實施例之前，呈現(xiàn)出可以實施本發(fā)明的實施例的示例環(huán)境是有指導(dǎo)性的。圖1示意性地描繪了光刻設(shè)備。設(shè)備包括：照射系統(tǒng)(照射器)IL，被配置成調(diào)節(jié)輻射束B(例如，UV輻射或DUV輻射)；支撐結(jié)構(gòu)(例如，掩模臺)MT，被構(gòu)造成支撐圖案形成裝置(例如，掩模)MA并被連接至配置成根據(jù)某些參數(shù)將圖案形成裝置準(zhǔn)確定位的第一定位器PM；襯底臺(例如，晶片臺)WT，被構(gòu)造成保持襯底(例如，涂有抗蝕劑的晶片)W并被連接至配置成根據(jù)某些參數(shù)將襯底準(zhǔn)確定位的第二定位器PW；和投影系統(tǒng)(例如，折射式投影透鏡系統(tǒng))PL，被配置成將通過圖案形成裝置MA賦予輻射束B的圖案投影到襯底W的目標(biāo)部分C(例如，包括一個或多個裸片)上。照射系統(tǒng)可以包括各種類型的光學(xué)部件，如折射型、反射型、磁性型、電磁型、靜電型或其他類型的光學(xué)部件，或者它們的任何組合，用于引導(dǎo)、成形或控制輻射。支撐結(jié)構(gòu)支撐著圖案形成裝置、即支承其重量。它以取決于圖案形成裝置的定向、光刻設(shè)備的設(shè)計和諸如例如圖案形成裝置是否被保持在真空環(huán)境中等的其他條件的方式來保持圖案形成裝置。支撐結(jié)構(gòu)可以使用機械的、真空的、靜電的或其他夾持技術(shù)來保持圖案形成裝置。支撐結(jié)構(gòu)可以是例如可根據(jù)需要固定或可動的框架或臺。支撐結(jié)構(gòu)可以確保圖案形成裝置例如相對于投影系統(tǒng)處于期望的位置。這里關(guān)于術(shù)語“掩模版”或“掩?！钡娜魏问褂枚伎梢砸暈榕c更上位的術(shù)語“圖案形成裝置”同義。這里使用的術(shù)語“圖案形成裝置”應(yīng)該廣義地解釋為是指可以用于在輻射束的截面中賦予輻射束以圖案以便在襯底的目標(biāo)部分中創(chuàng)建出圖案的任何裝置。應(yīng)該注意的是，賦予輻射束的圖案可以不是精確地對應(yīng)于襯底的目標(biāo)部分中的期望圖案，例如，如果圖案包括相移特征或所謂輔助特征的話。一般地，賦予輻射束的圖案將對應(yīng)于諸如集成電路等的正在目標(biāo)部分中創(chuàng)建的器件中的特定的功能層。圖案形成裝置可以是透射型的或反射型的。圖案形成裝置的示例包括掩模、可編程反射鏡陣列和可編程LCD面板。掩模是光刻中公知的，并且包括諸如二元、交替相移和衰減相移等的掩模類型，以及各種混合掩模類型。可編程反射鏡陣列的示例采用小反射鏡的矩陣布置，其中的每一個能夠單獨地傾斜以便沿不同方向反射進來的輻射束。傾斜的反射鏡在由反射鏡矩陣反射的在輻射束中賦予圖案。這里使用的術(shù)語“投射系統(tǒng)”應(yīng)該被廣義地解釋為涵蓋任何類型的投影系統(tǒng)，包括折射型、反射型、反射折射型、磁性型、電磁型和靜電型光學(xué)系統(tǒng)，或它們的任何組合，視正使用的曝光輻射或諸如浸沒液體的使用或真空的使用等的其他因素的情況而定。術(shù)語“投影透鏡”的任何使用在這里可以視作與更上位的術(shù)語“投影系統(tǒng)”同義。如這里所描繪的，設(shè)備是透射類型的(例如，采用透射式掩模)。備選地，設(shè)備可以是反射類型的(例如，采用如上面所提及的類型的可編程反射鏡陣列，或者采用反射式掩模)。光刻設(shè)備可以是具有兩個(雙級)或更多襯底臺(和/或兩個或更多的掩模臺)的類型的。在這樣的“多級”機器中，可以并行地使用附加的臺，或者可以在一個或多個臺上執(zhí)行預(yù)備步驟同時一個或多個其他臺被用于曝光。光刻設(shè)備也可以是如下類型的：其中，襯底的至少一部分可以由具有相對高的折射率的液體、例如水覆蓋，以便填充投影系統(tǒng)與襯底之間的空間。浸沒液體也可以施加至光刻設(shè)備中的其他空間，例如在掩模與投影系統(tǒng)之間。浸沒技術(shù)是現(xiàn)有技術(shù)中公知的，用于增加投影系統(tǒng)的數(shù)值孔徑。如這里使用的術(shù)語“浸沒”不意味著諸如襯底等的結(jié)構(gòu)必須被沉浸在液體中，反而僅意味著在曝光期間在投影系統(tǒng)與襯底之間設(shè)有液體。參見圖1，照射器IL從輻射源SO接收輻射束。源和光刻設(shè)備可以是單獨的實體，例如當(dāng)源是受激準(zhǔn)分子激光器時。在這樣的情況中，源不視為形成光刻設(shè)備的一部分，并且在包括了例如合適的引導(dǎo)反射鏡和/或擴束器的光束傳遞系統(tǒng)BD的幫助下使輻射束從源SO傳到照射器IL。在其他情況中，源可以是光刻設(shè)備的一體部分，例如當(dāng)源是汞燈時。源SO和照射器IL以及如果需要的話與光束傳遞系統(tǒng)BD一起可以稱作照射系統(tǒng)。照射器IL可以包括用于調(diào)整照射光束的角強度分布的調(diào)整器AD。一般地，可以調(diào)整照射器的光瞳面中的強度分布的至少外徑向范圍和/或內(nèi)徑向范圍(常分別稱作σ外和σ內(nèi))。另外，照射器IL可以包括諸如積分器IN和聚光器CO等的各種其他部件。照射器可以用于調(diào)節(jié)照射光束，以在其截面中具有期望的均勻性和強度分布。輻射束B入射在被保持在支撐結(jié)構(gòu)(例如，掩模臺MT)上的圖案形成裝置(例如，掩模)MA上，并且通過圖案形成裝置而被圖案化。在橫穿過掩模MA之后，輻射束B通過投影系統(tǒng)PL，該投影系統(tǒng)使光束聚焦到襯底W的目標(biāo)部分C上。在第二定位器PW和位置傳感器IF(例如，干涉儀裝置、線性編碼器、2-D編碼器或電容傳感器)的幫助下，可以使襯底臺WT準(zhǔn)確地移動，例如以便將不同的目標(biāo)部分C定位在輻射束B的路徑上。類似地，第一定位器PM和另一位置傳感器(圖1中未明確描繪)可以用于將掩模MA相對于輻射束B的路徑準(zhǔn)確地定位，例如在從掩模庫進行的機械檢索之后，或在掃描期間。一般情況下，掩模臺MT的移動可以在形成第一定位器PM的一部分的長行程模塊(粗略定位)和短行程模塊(精細定位)的幫助下實現(xiàn)。類似地，襯底臺WT的移動可以利用形成第二定位器PW的一部分的長行程模塊和短行程模塊來實現(xiàn)。在步進器(與掃描器相對)的情況中，掩模臺MT可以僅連接至短行程致動器，或者可以是固定的。掩模MA和襯底W可以利用掩模對準(zhǔn)標(biāo)記M1、M2和襯底對準(zhǔn)標(biāo)記P1、P2而對準(zhǔn)。雖然如圖示出的襯底對準(zhǔn)標(biāo)記占據(jù)了專用目標(biāo)部分，但它們可以位于目標(biāo)部分之間的空間中(這些被稱為劃線對準(zhǔn)標(biāo)記)。類似地，在超過一個的裸片設(shè)置于掩模MA上的情況下，掩模對準(zhǔn)標(biāo)記可以位于裸片之間。所描繪的設(shè)備可以以下面的模式中的至少一個使用：1.在步進模式中，使掩模臺MT和襯底臺WT保持基本靜止，而將賦予輻射束的整個圖案一次投影到目標(biāo)部分C上(即，單次靜態(tài)曝光)。接著使襯底臺WT在X和/或Y方向上移位使得不同的目標(biāo)部分C能夠被曝光。在步進模式中，曝光場的最大尺寸限制了在單次靜態(tài)曝光中成像的目標(biāo)部分C的尺寸。2.在掃描模式中，同步地掃描掩模臺MT和襯底臺WT而同時將賦予輻射束的圖案投影到目標(biāo)部分C上(即，單次動態(tài)曝光)。襯底臺WT相對于掩模臺MT的速度和方向可以由投影系統(tǒng)PL的(縮小)放大率和圖像反轉(zhuǎn)特性來確定。在掃描模式中，曝光場的最大尺寸限制了單次動態(tài)曝光中的目標(biāo)部分的寬度(在非掃描方向上的)，而掃描運動的長度確定了目標(biāo)部分的高度(在掃描方向上的)。3.在另一模式中，使掩模臺MT保持基本靜止地保持著可編程的圖案形成裝置，并且在將賦予輻射束的圖案投影到目標(biāo)部分C上的狀態(tài)下移動或掃描襯底臺WT。在該模式中，一般采用脈沖輻射源，并且在襯底臺WT的每次移動之后或在掃描期間的相繼的輻射脈沖之間根據(jù)需要更新可編程的圖案形成裝置。該操作模式可以容易地應(yīng)用于使用諸如上面所提及的類型的可編程反射鏡陣列等的可編程圖像形成裝置的無掩模光刻。也可以采用上面描述的使用模式的組合和/或變化或者完全不同的使用模式。如圖2所示，光刻裝置LA形成有時也稱作光刻單元或簇的光刻單元LC的一部分，該光刻單元LC還包括用以在襯底上執(zhí)行曝光前和后工藝的設(shè)備。傳統(tǒng)上，這些設(shè)備包括用以沉積抗蝕劑層的旋涂器SC、用以使已曝光的抗蝕劑顯影的顯影器DE、激冷板CH和烘烤板BK。襯底機械手或機器人RO從輸入/輸出端口I/O1、I/O2拾取襯底、使它們在不同工藝設(shè)備之間移動并接著傳遞至光刻設(shè)備的進料臺LB。經(jīng)?？偡Q為軌道的這些裝置在軌道控制單元TCU的控制之下，該軌道控制單元TCU自身由監(jiān)督控制系統(tǒng)SCS控制，該監(jiān)督控制系統(tǒng)SCS還憑借光刻控制單元LACU控制著光刻設(shè)備。因此，可以操作不同設(shè)備以使生產(chǎn)量和處理效率最大化。為了使通過光刻設(shè)備被曝光的襯底正確且一致地曝光，期望檢查已曝光的襯底以測量諸如隨后的層之間的重疊誤差、線厚度、臨界尺寸(CD)等的性質(zhì)。如果檢測到誤差，則可以對隨后的襯底的曝光度進行調(diào)整，尤其是如果檢查可以即刻且快速地完成足以使相同批次的其他襯底仍然待曝光的話。還有，已經(jīng)被曝光的襯底可以被剝離并重新加工—以提高產(chǎn)率—或丟棄，由此避免在已知會有缺陷的襯底上執(zhí)行曝光。在襯底的僅一些目標(biāo)部分有缺陷的情況中，可以僅在良好的那些目標(biāo)部分上執(zhí)行進一步的曝光。檢查設(shè)備用于確定襯底的性質(zhì)，并且特別是確定不同襯底或相同襯底的不同層的性質(zhì)從層到層是如何變化的。檢查設(shè)備可以一體化到光刻設(shè)備LA或光刻單元LC內(nèi)或者可以是獨立的裝置。為了使得能夠?qū)崿F(xiàn)最迅速的測量，期望的是檢查設(shè)備在曝光之后立即測量在已曝光的抗蝕劑層中的性質(zhì)。然而，抗蝕劑中的潛像具有非常低的對比度—在抗蝕劑的已曝光于輻射的部分與未曝光的那些部分之間在反射率上僅有非常小的差異—并且不是所有檢查設(shè)備都具有用以進行潛像的有用測量的充分的敏感度。因此可以在曝光后烘烤步驟(PEB)之后進行，該曝光后烘烤步驟習(xí)慣上是在已曝光的襯底上所進行的第一步驟并且增加抗蝕劑的已曝光和未曝光部分之間的對比度。在該階段，抗蝕劑中的圖像可以被稱作半潛。也可以進行已顯影的抗蝕劑圖像的測量—此時抗蝕劑的已曝光的或者未曝光的部分已被去除—或者在諸如蝕刻等的圖案轉(zhuǎn)移步驟之后進行。后一可能性限制了有缺陷襯底的重新加工的可能性但仍然可以提供有用信息。圖3描繪了可以在本發(fā)明的實施例中使用的散射儀。它包括將輻射投影到襯底W上的寬頻帶(白光)輻射投影器2。反射的輻射被傳至光譜儀檢測器4，其測量鏡面反射的輻射的光譜10(作為波長的函數(shù)的強度)。從該數(shù)據(jù)，可以通過處理單元PU、例如傳統(tǒng)上通過嚴(yán)格耦合波分析(RCWA)和非線性回歸或者如圖3的底部所示通過與模擬光譜的庫進行的比較來重構(gòu)引出檢測到的光譜的結(jié)構(gòu)或輪廓。一般情況下，對于重構(gòu)，結(jié)構(gòu)的一般形式是已知的并且從做出結(jié)構(gòu)所使用的工藝的知識假設(shè)一些參數(shù)，僅留下結(jié)構(gòu)的幾個參數(shù)待由散射測量數(shù)據(jù)確定。這樣的散射儀可以被配置為正入射散射儀或斜入射散射儀?？梢栽诒景l(fā)明的實施例中使用的另一散射儀被示出在圖4中。在該裝置中，由輻射源2發(fā)射出的輻射使用透鏡系統(tǒng)12被聚焦通過干涉濾波器13和偏振器17、由部分反射表面16反射并且憑借具有高數(shù)值孔徑(NA)、優(yōu)選至少0.9并且更優(yōu)選至少0.95的顯微鏡物鏡15被聚焦到襯底W上。浸沒式散射儀可以甚至具有有著超過1的數(shù)值孔徑的透鏡。反射的輻射接著透射通過部分反射表面16進入檢測器18內(nèi)以便使散射光譜被檢測。檢測器可以位于在透鏡系統(tǒng)15的焦距上的背投影光瞳平面11中，然而光瞳平面可以替代地利用輔助光學(xué)器件(未示出)被重新成像到檢測器上。光瞳平面是其中輻射的徑向位置限定入射的角度并且角位置限定輻射的方位角度的平面。檢測器優(yōu)選為二維檢測器，使得襯底目標(biāo)30的二維角散射光譜可以被測量。檢測器18可以例如是CCD或CMOS傳感器的陣列，并且可以使用例如每幀40毫秒的積分時間。參考光束經(jīng)常例如用于測量入射輻射的強度。要做到這一點，當(dāng)輻射束入射在分束器16上時，它的一部分透射通過分束器作為朝向參考反射鏡14的參考光束。參考光束接著被投影到相同檢測器18的不同部分上。一組干涉濾波器13是可用的以選出在比方說405nm至790nm或甚至更低、如200nm至300nm的范圍中的所感興趣的波長。干涉濾波器可以是可調(diào)諧的而不是包括一組不同的濾波器?？梢允褂霉鈻糯娓缮鏋V波器。檢測器18可以以單個波長(或窄波長范圍)測量散射光的強度、以多個波長單獨地測量強度或測量在波長范圍之上集成的強度。此外，檢測器可以單獨地測量橫向磁與橫向電偏振光的強度和/或橫向磁與橫向電偏振光之間的相位差。使用寬頻帶光源(即，具有寬范圍的光頻率或波長的光源—并因此是寬范圍的顏色)是可能的，其給出了大的集光率，從而允許了多個波長的混合。寬頻帶中的多個波長優(yōu)選地各具有Δλ的帶寬和至少2Δλ(即，帶寬的兩倍)的間距。輻射的數(shù)個“源”可以是使用纖維束已分裂開的擴展輻射源的不同部分。以該方式，可以并行地以多個波長測量角分辨散射光譜。3-D光譜(波長和兩個不同的角度)可以被測量，其含有與2-D光譜相比更多的信息。這允許更多信息被測量，這增加了量測過程穩(wěn)健性(robustness)。這在EP1,628,164A中更詳細地進行了描述。襯底W上的目標(biāo)30可以是光柵，其被印刷成使得在顯影之后，條紋由實的抗蝕劑線形成。條紋可以備選地被蝕刻到襯底內(nèi)。該圖案對光刻投影設(shè)備、特別是投影系統(tǒng)PL中的色差敏感，并且照射對稱性和這樣的像差的存在將使它們自身顯現(xiàn)在被印刷的光柵上的變化中。于是，被印刷的光柵的散射測量數(shù)據(jù)被用于重構(gòu)光柵。光柵的諸如線寬和形狀等的參數(shù)可以從印刷步驟和/或其他散射測量過程的知識被輸入至由處理單元PU執(zhí)行的重構(gòu)過程。建模如上所述，目標(biāo)是在襯底的表面上。該目標(biāo)經(jīng)常采取在光柵中的一系列的線或者2-D陣列中的大致矩形結(jié)構(gòu)的形狀。量測中的嚴(yán)格光學(xué)衍射理論的目的是有效地計算從目標(biāo)反射的衍射光譜。換言之，針對CD(臨界尺寸)均勻性和重疊量測得到目標(biāo)形狀信息。重疊量測是其中兩個目標(biāo)的重疊被測量以便確定襯底上的兩個層是否對準(zhǔn)的測量系統(tǒng)。CD均勻性是簡單地光柵在光譜上的均勻性的測量以確定光刻設(shè)備的曝光系統(tǒng)是如何起作用的。具體地，CD或臨界尺寸是被“寫入”襯底上的對象的寬度并且是光刻設(shè)備在物理上能夠在襯底上寫入的限制。與諸如目標(biāo)30等的目標(biāo)結(jié)構(gòu)的建模及其衍射性質(zhì)結(jié)合地使用上面所描述的散射儀中的一個，可以以若干方式來執(zhí)行結(jié)構(gòu)的形狀和其他參數(shù)的測量。在由圖5表示的第一類型的過程中，計算出基于目標(biāo)形狀(第一候選結(jié)構(gòu))的第一估計的衍射圖案并且與觀察到的衍射圖案進行比較。接著使模型的參數(shù)系統(tǒng)地變化并且在一系列的迭代中重新計算出衍射，以生成新的候選結(jié)構(gòu)并因此獲得最佳擬合。在由圖6表示的第二類型的過程中，事先計算出針對許多不同候選結(jié)構(gòu)的衍射光譜，以創(chuàng)建衍射光譜的“庫”。接著將從測量目標(biāo)觀察到的衍射圖案與計算出的光譜的庫進行比較以找到最佳擬合。兩種方法可以一起使用：可以從庫得到粗略擬合，隨后通過迭代過程找到最佳擬合更詳細地參見圖5，將簡要描述執(zhí)行目標(biāo)形狀和/或材料性質(zhì)的測量的方式。目標(biāo)將對于該描述被假設(shè)為一維(1-D)結(jié)構(gòu)。在實踐中它可以是一維的，并且處理將相應(yīng)地進行調(diào)節(jié)。在步驟502中，使用諸如上面所描述的那些等的散射儀來測量襯底上的實際目標(biāo)的衍射圖案。該測量出的衍射圖案被轉(zhuǎn)發(fā)至諸如計算機等的計算系統(tǒng)。計算系統(tǒng)可以是上面提及的處理單元PU，或者它可以是單獨的設(shè)備。在步驟503中，建立在若干參數(shù)pi(p1、p2、p3等等)方面限定目標(biāo)結(jié)構(gòu)的參數(shù)化模型的“模型選配方案”。這些參數(shù)可以在1D周期性結(jié)構(gòu)中例如表示側(cè)壁的角度、特征的高度或深度、特征的寬度。目標(biāo)材料和底下的層的性質(zhì)也用諸如折射率(在散射測量輻射束中存在的特定的波長處)等的參數(shù)表示。下面將給出特定示例。重要的是，雖然目標(biāo)結(jié)構(gòu)可以由描述其形狀和材料性質(zhì)的幾十個參數(shù)限定，但模型選配方案會將這些參數(shù)中的許多限定為具有固定值，而其他的是可變或“浮動”參數(shù)，用于以下過程步驟的目的。此外下面我們描述做出固定和浮動參數(shù)之間的選擇所使用的過程。此外，我們將引入其中可以準(zhǔn)許參數(shù)變化而沒有完全獨立的浮動參數(shù)的方式。為了描述圖5的目的，僅可變參數(shù)被視作參數(shù)pi。在步驟504中：通過設(shè)定用于浮動參數(shù)的初始值pi(0)(即，p1(0)、p2(0)、p3(0)等等)估計模型目標(biāo)形狀。將在某些預(yù)定范圍內(nèi)生成各浮動參數(shù)，如選配方案中限定的。在步驟506中，例如使用諸如RCWA等的嚴(yán)格光學(xué)衍射方法或者麥克斯韋方程的其他任何求解器，將表示估計形狀的參數(shù)與模型的不同元件的光學(xué)性質(zhì)一起用于計算散射性質(zhì)。這給出了估計目標(biāo)形狀的估計或模型衍射圖案。在步驟508和510中，接著將測量出的衍射圖案與模型衍射圖案進行比較，并且它們的類似之處和差異用于計算出針對模型目標(biāo)形狀的“評價函數(shù)”。在步驟512中，假設(shè)評價函數(shù)指示出模型在它準(zhǔn)確地表示實際目標(biāo)形狀之前需要改進，估計新的參數(shù)p1(1)、p2(1)、p3(1)等并迭代反饋到步驟506中。重復(fù)步驟506至512。為了幫助搜索，步驟506中的計算可以進一步生成評價函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，指示出增加或減小參數(shù)將使評價函數(shù)在參數(shù)空間中的該特定的區(qū)域中增加或減小時所采用的靈敏度。評價函數(shù)的計算和導(dǎo)數(shù)的使用一般是本領(lǐng)域已知的，并且將不會在這里詳細描述。在步驟514中，當(dāng)評價函數(shù)指示出該迭代過程已收斂在具有期望準(zhǔn)確度的解上時，將當(dāng)前估計參數(shù)報告作為實際目標(biāo)結(jié)構(gòu)的測量。該迭代過程的計算時間很大程度上由所使用的前向衍射模型來確定，即利用嚴(yán)格光學(xué)衍射理論從估計目標(biāo)結(jié)構(gòu)進行的估計模型衍射圖案的計算。如果要求更多參數(shù)，那么有更多的自由度。計算時間在原理上以自由度的數(shù)量的冪增加。在506計算出的估計或模型衍射圖案可以以各種形式表達。如果以與步驟510中生成的測量出的圖案相同的形式表達計算出的圖案，則使比較簡化。例如，模型化光譜可以很容易與由圖3的設(shè)備測量出的光譜進行比較；模型化光瞳圖案可以很容易與由圖4的設(shè)備測量出的光瞳圖案進行比較。從圖5向前遍及該描述，將在使用圖4的散射儀的假設(shè)下使用術(shù)語“衍射圖案”。本領(lǐng)域技術(shù)人員將容易使教導(dǎo)適于不同類型的散射儀，或者甚至其他類型的測量儀器。圖6圖示出備選的示例過程，其中事先計算出針對不同估計目標(biāo)形狀(候選結(jié)構(gòu))的多個模型衍射圖案并且存儲在庫中用于與真實測量進行比較。下面的原理和術(shù)語與用于圖5的過程相同。圖6的過程的步驟是：在步驟602中，執(zhí)行生成庫的過程?？梢葬槍Ω黝愋偷哪繕?biāo)結(jié)構(gòu)生成單獨的庫。庫可以由測量設(shè)備的用戶根據(jù)需要生成，或者可以由設(shè)備的供應(yīng)商預(yù)先生成。在步驟603中，建立在若干參數(shù)pi(p1、p2、p3等等)方面限定目標(biāo)結(jié)構(gòu)的參數(shù)化模型的“模型選配方案”。迭代過程的考慮類似于步驟503中的那些。在步驟604中，例如通過生成所有參數(shù)的隨機值，來生成參數(shù)p1(0)、p2(0)、p3(0)的第一集合等，各參數(shù)都在其值的預(yù)期范圍內(nèi)。在步驟606中，計算出模型衍射圖案并存儲在庫中，表示從由參數(shù)表示的目標(biāo)形狀所預(yù)期的衍射圖案。在步驟608中，生成參數(shù)p1(1)、p2(1)、p3(1)等的新集合。步驟606、608重復(fù)數(shù)十、數(shù)百或甚至數(shù)千次，直到包括所有存儲的模型化衍射圖案的庫被判定充分完成。各存儲的圖案表示多維參數(shù)空間中的樣本點。庫中的樣本應(yīng)該以充分的密度填充樣本空間，使得任何真實衍射圖案都將被充分密切地被表示。在步驟610中，在生成庫之后(雖然可以在之前)，將真實目標(biāo)30放置在散射儀中并測量出其衍射圖案。在步驟612中，將測量出的圖案與存儲在庫中的模型化圖案進行比較以找到最佳匹配圖案?？梢耘c庫中的每一個樣本進行比較，或者可以采用更系統(tǒng)的搜索策略，以降低計算負擔(dān)。在步驟614中，如果找到匹配，那么用于生成匹配的庫圖案的估計目標(biāo)形狀可以被確定為近似對象結(jié)構(gòu)。對應(yīng)于匹配的樣本的形狀參數(shù)被輸出作為測量出的形狀參數(shù)。匹配過程可以直接在模型衍射信號上執(zhí)行，或者它可以在被優(yōu)化用于快速評估的替代模型上執(zhí)行。在步驟616中，可選地，使用最近的匹配樣本作為起始點，并且使用細化過程以得到用于報告的最終參數(shù)。該細化過程可以包括例如與圖5中示出的那個非常類似的迭代過程。是否需要細化步驟616對于實施者是個選擇的問題。如果庫被非常密集地采樣，那么迭代細化可以不需要，因為總會找到良好的匹配。另一方面，這樣的庫可能對于實際使用太大。實用的解決方案因此是使用庫搜索參數(shù)的粗略集合，隨后是使用評價函數(shù)以確定參數(shù)的更準(zhǔn)確集合的一次或多次迭代，以報告具有期望準(zhǔn)確度的目標(biāo)襯底的參數(shù)。當(dāng)執(zhí)行附加迭代時，將是添加計算出的衍射圖案及相關(guān)聯(lián)的經(jīng)過細化的參數(shù)集合作為庫中的新條目的選項。以該方式，可以初始使用庫，這基于相對小的計算工作量，但這構(gòu)建了使用細化步驟616的計算工作量的較大庫。無論使用哪種方案，所報告的可變參數(shù)中的一個或多個的值的進一步細化也可以基于多個候選結(jié)構(gòu)的匹配的優(yōu)度得到。例如，最終報告的參數(shù)值可以通過兩個或多個候選結(jié)構(gòu)的參數(shù)值之間的插值產(chǎn)生，假設(shè)這些候選結(jié)構(gòu)的兩者或所有都具有高的匹配分?jǐn)?shù)。該迭代過程的計算時間很大程度上由在步驟506和606的前向衍射模型來確定，即利用嚴(yán)格光學(xué)衍射理論從估計目標(biāo)形狀進行的估計模型衍射圖案的計算。對于2D周期性結(jié)構(gòu)的CD重構(gòu)，在前向衍射模型中常使用RCWA，而微分方法、體積分方法(VIM)、有限差分時域(FDTD)和有限元法(FEM)也已有報道。如例如用在RCWA和差分方法中的傅里葉級數(shù)展開也可以通過采用完美匹配層(PML)或者用以模仿朝向無限接近在其上使用傅里葉展開的單位單元的邊界的輻射的其他類型的吸收邊界條件而用于解析非周期性結(jié)構(gòu)。體積分方法RCWA的主要問題之一是它要求用于2D周期性結(jié)構(gòu)的大量的中央處理單元(CPU)時間和存儲器，因為一個序列的特征值/特征矢量問題需要求解和串接。對于FDTD和FEM，CPU時間典型地也是太高。已知的體積分方法(如美國專利號6,867,866B1和美國專利號7,038,850B2中所公開的)或者基于展現(xiàn)出相對于網(wǎng)格細化的緩慢收斂的全空間離散化方案，或者基于展現(xiàn)出相對于越來越多的諧波的差的收斂的光譜離散化方案。作為可替代方案，提出了包含啟發(fā)式方法以改善收斂的光譜離散化方案。對于VIM而言必須求解的線性系統(tǒng)與RCWA相比大得多，但是如果它以迭代方式求解，則與數(shù)個矢量的存儲一起僅需要矩陣-矢量乘積。因此，存儲器使用典型地比用于RCWA的低得多。潛在瓶頸是矩陣-矢量乘積自身的速度。如果在VIM中應(yīng)用Li規(guī)則、也稱作傅里葉因子分解規(guī)則，那么矩陣-矢量乘積將會歸因于數(shù)個逆子矩陣的存在而慢得多。備選地，Li規(guī)則可以忽略并且FFT可以被用于獲得快速矩陣-矢量乘積，但差的收斂的問題依然存在。圖7示意性地圖示出可以根據(jù)本發(fā)明的實施例被重構(gòu)的散射幾何結(jié)構(gòu)。襯底702是在z方向上分層的介質(zhì)的較低部分。示出了其他層704和706。在x和y上周期性的二維光柵708被示出在分層介質(zhì)的頂部。還示出了x、y和z軸710。入射場712與結(jié)構(gòu)702至708相互作用并被它們散射，從而造成反射場714。因此結(jié)構(gòu)在至少一個方向x、y上是周期性的并且包括不同性質(zhì)的材料，以便在包括了不同材料之間的材料邊界處的入射電磁場分量Einc和散射電磁場分量ES的總和的電磁場Etot上引起間斷。圖8示出背景的結(jié)構(gòu)并且圖9示意性地圖示出可以用于計算入射場與分層介質(zhì)的相互作用的格林函數(shù)。在圖8和圖9中，分層介質(zhì)702至706對應(yīng)于與圖7中相同的結(jié)構(gòu)。在圖8中，也連同入射場712示出了x、y和z軸710。還示出了直接反射場802。參照圖9，點源(x’，y’，z’)904表示格林函數(shù)與生成場906的背景的相互作用。在該情況中，因為點源904在頂部層706的上方，所以有來自706與周圍介質(zhì)的頂部接口的僅一個背景反射908。如果點源在分層介質(zhì)內(nèi)，那么將會有在上、下方向兩者上的背景反射(未示出)。待求解的VIM公式是Jc(x',y',z')＝χ(x',y',z')Etot(x',y',z')(0.2)在該方程中，入射場Einc是已知的入射的角度、偏振和幅值的函數(shù)，Etot是未知的并且計算解所針對的總電場，Jc是對比電流密度，是格林函數(shù)(3×3矩陣)，χ是由jω(ε(x,y,z,)-εb(z))給出的對比度函數(shù)，其中ε是結(jié)構(gòu)的介電常數(shù)并且εb是背景介質(zhì)的介電常數(shù)。χ在光柵外是零。格林函數(shù)是已知的并且針對包括702至706的分層介質(zhì)可計算。格林函數(shù)示出了在xy平面中的卷積和/或模態(tài)分解(m1,m2)并且在中沿著z軸的占優(yōu)勢的計算負擔(dān)是卷積。對于離散化，總電場在xy平面中以布洛赫/弗洛凱模式(Bloch/Floquetmode)展開。與χ的乘法變成：(a)在xy平面中的離散卷積(2DFFT)；和(b)在z上的乘積。在xy平面中的格林函數(shù)相互作用是每個模式的相互作用。對應(yīng)于均質(zhì)背景介質(zhì)的在z上的格林函數(shù)相互作用是可以利用具有復(fù)雜性O(shè)(NlogN)的一維(1D)FFT執(zhí)行的卷積。備選地，但圖中未示出，在z上的格林函數(shù)可以通過采用具有復(fù)雜性O(shè)(N)的憑借在z上的向上和向下遞推關(guān)系的其半可分離(semi-separability)性質(zhì)來計算。通過將已經(jīng)計算出的結(jié)果的一部分重新使用作為用于均質(zhì)背景介質(zhì)的相互作用的一部分，可以添加來自在光柵上方和下方的分層介質(zhì)的反射的貢獻。xy中的模式的數(shù)量是M1M2，并且z中的樣本的數(shù)量是N。有效的矩陣-矢量乘積具有復(fù)雜性O(shè)(M1M2Nlog(M1M2N))并且存儲復(fù)雜性是O(M1M2N)。使用基于克雷洛夫子空間方法(Krylovsubspacemethod)、例如BiCGstab(l)(穩(wěn)定雙共軛梯度法)的迭代求解器來執(zhí)行對于Ax＝b的VIM解方法，BiCGstab(l)典型地具有步驟：將殘余誤差限定為rn＝b–Axn憑借殘余誤差計算出更新矢量(多個)vn更新解：xn+1＝xn+αnvn更新殘余誤差rn+1＝rn-αnAvn圖10是求解對應(yīng)于VIM公式的線性系統(tǒng)的高級方法的流程圖。這是通過在數(shù)值上求解體積分計算出結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)的方法。在最高級，第一步驟是預(yù)處理1002，包括讀取輸入并準(zhǔn)備FFT。下一步驟是計算出解1004。最后，執(zhí)行在其中計算出反射系數(shù)的后處理1006。步驟1004包括也示出在圖10的右手側(cè)的各種步驟。這些步驟是計算入射場1008、計算格林函數(shù)1010、計算更新矢量1012、更新解與殘余誤差(例如，使用BiCGstab)1014和測試看看是否達到收斂1016。如果未達到收斂，則控制環(huán)路返回至作為更新矢量的計算的步驟1012。圖11圖示出根據(jù)本發(fā)明的實施例的使用了體積分方法的在對應(yīng)于圖10的步驟1012的計算更新矢量中的步驟，該方法是通過在數(shù)值上求解針對電場E的體積分方程計算出結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)的方法。步驟1102是在四維(4D)陣列中重組矢量。在該陣列中第一維度具有三個元素Ex、Ey和Ez。第二維度具有針對m1的所有值的元素。第三維度具有針對m2的所有值的元素。第四維度具有針對z的所有值的元素。因此4D陣列存儲了總電場(Ex,Ey,Ez)(m2,m2,z)的光譜(在xy平面中)表示。在圖11中從步驟1102下降的三個并行的虛線箭頭對應(yīng)于通過針對各層z而執(zhí)行的步驟1104至1110進行的三個2D陣列的處理，每個陣列分別針對Ex、Ey和Ez。這些步驟執(zhí)行電場(Ex,Ey,Ez)(m2,m2,z)的光譜(在xy平面中)表示與材料性質(zhì)的卷積以計算出對應(yīng)于下面的方程(0.2)的對比電流密度(m1,m2,z)的光譜(在xy平面中)表示。詳細地，步驟1104牽涉到取出三個2D陣列(二維是針對m1和m2)。在步驟1106中，將2DFFT針對三個陣列中的每一個前向計算成空間域。在步驟1108中，將三個陣列中的每一個乘以通過傅里葉表示的截短被過濾的對比度函數(shù)χ(x,y,z)的空間表示。在步驟1110中完成卷積，其中2DFFT后向到產(chǎn)生光譜對比電流密度(m1,m2,z)的光譜(在xy平面中)域。在步驟1112中將計算出的光譜對比電流密度放回到4D陣列中。接著針對各模式(即，在相同時間針對z中的所有樣本點)，執(zhí)行步驟1114至1122。從步驟1116旁邊下降的三個虛線箭頭對應(yīng)于計算積分項，該積分項是背景與自身是由總電場的與結(jié)構(gòu)的相互作用而產(chǎn)生的對比電流密度的相互作用。這已知是使用光譜域(相對于z方向)中的乘法通過(m1,m2,z)與空間(相對于z方向)格林函數(shù)的卷積來執(zhí)行。然而，根據(jù)本發(fā)明的實施例，偽譜多項式展開乘以1D格林函數(shù)的積分通過求解方程的正則化的線性系統(tǒng)來執(zhí)行。可以求解兩個正則化的系統(tǒng)：一個用于向上積分并且一個用于向下積分。在兩倍大的一個矩陣方程下可以帶來兩個非耦合的系統(tǒng)。方程的線性系統(tǒng)可以通過借助限定擴展的正則化展開系數(shù)矢量修改線性系統(tǒng)以補償易于發(fā)生與條件調(diào)節(jié)相關(guān)的誤差的展開系數(shù)而被正則化。使方程的線性系統(tǒng)正則化可以包括生成在正交方向上的樣本點的函數(shù)F(k)，函數(shù)包括易于發(fā)生與條件調(diào)節(jié)相關(guān)的誤差的展開系數(shù)，使得線性系統(tǒng)的修改補償了函數(shù)F(k)。詳細地，在步驟1114中，取出光譜對比電流密度(m1,m2,z)作為針對x、y和z中的每一個的三個1D陣列。步驟1116至步驟1120牽涉到在第一和第二離散變換步驟1116與1120之間將方程的正則化線性系統(tǒng)求解1118成正則化展開系數(shù)矢量γ的值。包括步驟1116至1120的虛線方框1150對應(yīng)于參照提供了更詳細的描述的圖17A和圖17B所描述的步驟。在步驟1122中，添加相對于z在空間域中的背景反射(參見圖9中的908)。背景反射與格林函數(shù)的該分離是傳統(tǒng)技術(shù)并且步驟可以通過添加軼-1投影來執(zhí)行，如本領(lǐng)域技術(shù)人員應(yīng)該領(lǐng)會的。當(dāng)處理各模式時，接著在步驟1124中將如此計算出的針對總電場(Ex,Ey,Ez)(m2,m2,z)的更新矢量放回到4D陣列中。下一步驟是在矢量中重組4D陣列1126，該步驟與“在4D陣列中重組矢量”的步驟1102的不同之處在于它是反向運算：使各一維索引與四維索引唯一地相關(guān)。最后在步驟1128中，從輸入矢量中減去來自步驟1126的矢量輸出，對應(yīng)于方程(0.1)的右手側(cè)中的減法。輸入矢量是在圖11中的步驟1102中進入的并且含有(Ex,Ey,Ez)(m1,m2,z)的輸入矢量。利用圖11中所描述的方法的問題在于它導(dǎo)致差的收斂。該差的收斂由介電常數(shù)上的并行跳動和針對截短的傅里葉空間表示的對比電流密度引起。如上面所討論的，在VIM方法中Li逆規(guī)則不適于克服收斂問題，因為在VIM中逆規(guī)則的復(fù)雜性由于VIM數(shù)值求解中所需的非常大量的逆運算而導(dǎo)致非常大的計算負擔(dān)。通過引用合并于此的美國專利申請公開號US2011/0218789A1公開了一種克服了由并行跳動引起的收斂問題而不用訴諸如Li所描述的逆規(guī)則的使用的方式。通過避免逆規(guī)則，US2011/0218789A1的手段不用犧牲用于在VIM手段中以迭代方式求解線性系統(tǒng)所要求的矩陣-矢量乘積的效率。US2011/0218789A1公開了在計算結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)的體積分方法(VIM)中的改進的收斂通過在數(shù)值上求解針對矢量場F而不是電場E的體積分方程來獲得。矢量場F可以通過基的改變而與電場E相關(guān)，并且可以在電場E具有間斷的材料邊界處是連續(xù)的。矢量場F的卷積使用根據(jù)有限勞倫規(guī)則的卷積算子(根據(jù)有限離散卷積運算)來執(zhí)行，這允許了憑借1D和/或2DFFT(快速傅里葉變換)的有效矩陣-矢量乘積?？赡娴幕矸e與改變算子C被配置成通過執(zhí)行根據(jù)周期性結(jié)構(gòu)的材料和幾何性質(zhì)的基的改變將矢量場F變換成電場E。在求解了針對矢量場F的體積分之后，附加的后處理步驟可以用于從矢量場F得到電場E。矢量場F可以通過使用法向-矢量場n濾除連續(xù)分量而由電場E與電通量密度D的場分量的組合構(gòu)成。改進的體積分方法可以被包含到用于重構(gòu)對象的近似結(jié)構(gòu)的量測工具中的前向衍射模型內(nèi)、例如以評估光刻設(shè)備的臨界尺寸(CD)性能。圖12圖示出使用連續(xù)矢量場在數(shù)值上求解VIM公式的本發(fā)明的實施例。這牽涉到針對通過基的改變與電場E相關(guān)的矢量場F在數(shù)值上求解體積分方程，矢量場F在一個或多個材料邊界處是連續(xù)的，以便確定矢量場F的近似解。矢量場F通過相對于至少一個方向x，y的至少一個有限傅里葉級數(shù)來表示，并且在數(shù)值上求解體積分方程的步驟包括通過矢量場F與基卷積與改變算子C的卷積來確定電場E的分量，和通過矢量場F與卷積算子M的卷積來確定電流密度J?；矸e與改變算子C是可逆的并且包括在至少一個方向x、y上的結(jié)構(gòu)的材料和幾何性質(zhì)，并且被配置成通過執(zhí)行根據(jù)材料和幾何性質(zhì)的基的改變而將矢量場F變換成電場E。卷積算子M包括在至少一個方向x、y方向上的結(jié)構(gòu)的材料和幾何性質(zhì)。電流密度J可以是對比電流密度并且通過相對于至少一個方向x、y的至少一個有限傅里葉級數(shù)來表示。卷積使用諸如從包括第一傅里葉變換(FFT)和數(shù)論變換(NTT)的集合中選出的一個等的變換來執(zhí)行?；矸e與改變算子C和卷積算子M根據(jù)有限離散卷積運算，以便產(chǎn)生有限結(jié)果。圖12示出了針對中間矢量場F求解VIM系統(tǒng)的步驟1202，以及用以通過矢量場F的近似解與基卷積與改變算子C的卷積而得到總電場E的后處理步驟1204。卷積可以使用諸如從包括快速傅里葉變換(FFT)和數(shù)論變換(NTT)的集合中選出的一個等的變換來執(zhí)行。圖12還在右手側(cè)示出了執(zhí)行有效矩陣-矢量乘積1206至1216以迭代地求解VIM系統(tǒng)的示意性圖示。這起始于步驟1206中的中間矢量場F。第一次設(shè)定此F，它可以從零開始。在此初始步驟之后，通過迭代求解器和殘余引導(dǎo)F的估計。接下來，使用憑借針對z方向上的各樣本點的2DFFT的基卷積與改變算子C與中間矢量場F的卷積來計算出1208總電場E?；矸e與改變算子C被配置成將中間矢量場F的基變換成總電場E的基。還有，對比電流密度J是在步驟1210中使用材料卷積算子M與中間矢量場F的卷積而計算出。步驟1210是利用憑借2DFFT執(zhí)行的卷積而針對z中的各樣本點而執(zhí)行。在步驟1212中，計算出在格林函數(shù)G與對比電流密度J之間的相互作用和軼-1投影以產(chǎn)生散射電場Es。運算1214將兩個計算出的結(jié)果Es從E中減去以得到Einc的近似值1216。因為步驟1206至1216產(chǎn)生更新矢量，于是后處理步驟1204被用于產(chǎn)生總電場E的最終值。與單獨的后處理步驟1204不同，所有更新矢量的總和可以在步驟1208處被記錄以便計算出總電場E。然而，此手段增加了方法的存儲要求，而后處理步驟1204與迭代步驟1206至1216相比在存儲或處理時間上成本低。因此，在圖12的左手側(cè)上，指定出對應(yīng)于光譜VIM的線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)憑借迭代求解器和圖12的右手側(cè)上的流程圖中指定出的VIM的有效矩陣-矢量乘積來求解。本發(fā)明的實施例關(guān)系到矩陣-矢量乘積流程圖的右手側(cè)上的方塊1212“計算Es＝-G*J”。該方塊評估歸因于對比電流密度J的散射電場Es。根據(jù)本發(fā)明的實施例，在該方塊中，偽譜多項式展開乘以1D格林函數(shù)的積分通過求解方程的正則化線性系統(tǒng)來執(zhí)行。以與參照圖11所討論的方式相同的方式，可以求解兩種正則化系統(tǒng)：一個用于向上積分并且一個用于向下積分?？梢栽趦杀洞蟮囊粋€矩陣方程下帶來兩個未耦合的系統(tǒng)。方程的線性系統(tǒng)可以通過借助限定擴展的正則化展開系數(shù)矢量修改線性系統(tǒng)以補償易于發(fā)生與條件調(diào)節(jié)相關(guān)的誤差的展開系數(shù)而被正則化。使方程的線性系統(tǒng)正則化可以包括生成在正交方向上的樣本點的函數(shù)F(k)，函數(shù)包括易于發(fā)生與條件調(diào)節(jié)相關(guān)的誤差的展開系數(shù)，使得線性系統(tǒng)的修改補償了函數(shù)F(k)。矩陣-矢量乘積的該部分的計算是基于在(非均勻)切比雪夫柵格上采樣的針對量J的切比雪夫展開乘以用于1D亥姆霍茲方程(Helmholtzequation)的1D格林函數(shù)的閉合形式解析積分。憑借用于閉合切比雪夫規(guī)則的離散余弦變換(DCT)(即，I型DCT)，將J的采樣值變換成用于切比雪夫展開的系數(shù)。隨后，通過求解解析正則化線性系統(tǒng)將展開積分，其中在這里所描述的解析正則化是第一次用于計算傅里葉積分的應(yīng)用。后一步驟造成表示與格林函數(shù)積分之后的結(jié)果的用于新切比雪夫展開的系數(shù)的集合。作為最終步驟，在相同的非均勻切比雪夫柵格上評估展開。虛線方塊1250對應(yīng)于由參照圖13描述的虛線方框1350所圍成的步驟和參照圖17A和圖17B描述的步驟。與以前的手段的明顯差異在于這里所描述的實施例可以不只是解決單個1D積分方程，而且可以解決1D積分方程或單個積分的完整系統(tǒng)，對此耦合歸因于在縱向方向上在相同柵格上評估出的場-材料相互作用而發(fā)生?？v向方向是正交于結(jié)構(gòu)是周期性所在的橫向方向(例如x，y)的“非周期性”或“正交”方向。這里所描述的實施例在相同時間在用于所有模式的一個算法內(nèi)解決了效率和穩(wěn)定性兩者。圖13是基于US2011/0218789A1的公開的根據(jù)本發(fā)明的實施例的更新矢量的計算的流程圖。圖13的流程圖對應(yīng)于圖12的右手側(cè)(步驟1206至1216)。在步驟1302中，在4D陣列中重組矢量。接著針對z中的各樣本點執(zhí)行步驟1304至1318。在步驟1304中，從4D陣列中取出三個2D陣列。這三個2D陣列(Ft1,Ft2,Fn)(m1,m2,z)分別對應(yīng)于連續(xù)矢量場F的兩個切向分量Ft1、Ft2和法向分量Fn，各分量具有對應(yīng)于m1和m2的兩個維度。因此矢量場F通過使用法向-矢量場n濾除電磁場E的相切于至少一個材料邊界的連續(xù)分量并且還濾除電磁通量密度D的垂直于至少一個材料邊界的連續(xù)分量而由電磁場E與相應(yīng)電磁通量密度D的場分量的組合構(gòu)成。在步驟1306中，用(Ft1,Ft2,Fn)(m1,m2,z)表示的光譜連續(xù)矢量場的卷積起始于用(Ft1,Ft2,Fn)(x,y,z)表示的在步驟1306中的2DFFT前向的針對三個陣列中的每一個到空間域內(nèi)的計算。在步驟1308中，將從步驟1306得到的傅里葉變換(Ft1,Ft2,Fn)(x,y,z)在空間域中乘以空間乘法算子C(x,y,z)。在步驟1310中，將在步驟1308中得到的乘積通過2DFFT后向變換成光譜域。接著在步驟1312處將光譜總電場(Ex,Ey,Ez)放回4D陣列中。此外，將副本反饋前向至下面討論的減法運算1322。在步驟1314中，將從步驟1306得到的傅里葉變換(Ft1,Ft2,Fn)(x,y,z)在空間域中乘以乘法算子M。在步驟1316中通過2DFFT后向?qū)⒃诓襟E1314中的計算的乘積變換成光譜域以產(chǎn)生用(m1,m2,z)表示的光譜對比電流密度。在步驟1318中將光譜對比電流密度放回4D陣列中。為了完成已知入射電場Einc的近似值的計算，以與參照圖11中的相應(yīng)識別編號的步驟所描述的方式相同的方式、通過步驟1114至1122針對各模式m1、m2計算出格林函數(shù)與背景的相互作用。如參照圖11所描述的，步驟1116至1120牽涉到在第一與第二離散變換步驟1116與1120之間求解1118方程的正則化線性系統(tǒng)以計算出正則化展開系數(shù)矢量γ的值。因此包括步驟1116至1120的虛線方框1350對應(yīng)于參照提供了更詳細描述的圖17A和圖17B描述的步驟。在步驟1320中，將背景與光譜對比電流密度J的光譜格林函數(shù)的相互作用的結(jié)果放回4D陣列中。最后，在步驟1322中，利用從由步驟1312前向反饋的總電場中減去步驟1320的結(jié)果的減法來完成已知入射電場Einc的近似值的計算，并且最終步驟1314在矢量中重組4D陣列。這意味著4D陣列的每一個四維索引與矢量的一維索引唯一地相關(guān)。通過引用合并于此的美國專利US2013/0066597A1公開了一種適于在量測應(yīng)用中重構(gòu)光柵輪廓的對比-源反演(CSI)算法。實施例牽涉到在數(shù)值上求解針對電流密度J的體積分方程。它通過E與J的線性組合的連續(xù)分量的選擇而采用與電場ES相關(guān)的矢量場FS和電流密度J的隱式構(gòu)造，矢量場F在一個或多個材料邊界處連續(xù)，以便確定電流密度J的近似解。矢量場F用相對于至少一個方向x、y的至少一個有限傅里葉級數(shù)來表示，并且數(shù)值上求解體積分方程的步驟包括通過矢量場F與卷積算子M的卷積來確定電流密度J的分量。卷積算子M包括在x、y方向上的結(jié)構(gòu)的材料和幾何性質(zhì)。電流密度J可以用相對于x、y方向的至少一個有限傅里葉級數(shù)來表示。此外，連續(xù)分量可以使用作用于電場E和電流密度J的卷積算子PT和Pn來提取。圖14圖示出基于US2013/0066597A1的公開的本發(fā)明的另一實施例。圖14示出通過采用使用連續(xù)分量提取算子形成的中間矢量場F來求解針對電流密度J的VIM系統(tǒng)的步驟1402，以及用以通過使格林函數(shù)算子作用于電流密度J得到總電場E的后處理步驟1404。圖14還在右手側(cè)示出了執(zhí)行有效矩陣-矢量乘積1406至1420以迭代地求解VIM系統(tǒng)的示意性圖示。這起始于步驟1406中的電流密度J。第一次設(shè)定此J，它可以從零開始。在此初始步驟之后，通過迭代求解器和殘余引導(dǎo)J的估計。在步驟1408中，計算出在格林函數(shù)G與對比電流密度J之間的相互作用和軼-1投影以產(chǎn)生散射電場Es。根據(jù)本發(fā)明的實施例，通過求解方程的正則化線性系統(tǒng)來執(zhí)行偽譜多項式展開的積分。以與參照圖11和圖12所討論的方式相同的方式，可以求解兩個正則化系統(tǒng)：一個用于向上積分并且一個用于向下積分?？梢栽趦杀洞蟮囊粋€矩陣方程下帶來兩個非耦合的系統(tǒng)。方程的線性系統(tǒng)可以通過借助限定擴展的正則化展開系數(shù)矢量修改線性系統(tǒng)以補償易于發(fā)生與條件調(diào)節(jié)相關(guān)的誤差的展開系數(shù)而被正則化。使方程的線性系統(tǒng)正則化可以包括生成在正交方向上的樣本點的函數(shù)F(k)，函數(shù)包括易于發(fā)生與條件調(diào)節(jié)相關(guān)的誤差的展開系數(shù)，使得線性系統(tǒng)的修改補償了函數(shù)F(k)。虛線方框1450對應(yīng)于由參照圖15描述的虛線方框1550所圍住的步驟和參照圖17A和圖17B所描述的步驟。還有，在步驟1414中使用與作用于散射電場Es和電流密度J的兩個連續(xù)分量提取算子PT和Pn的卷積來計算出中間矢量場F。因此第一連續(xù)分量提取算子PT在步驟1410中被用于提取電磁場Es的連續(xù)分量，并且第二連續(xù)分量提取算子Pn在步驟1412中被用于提取按比例縮放的電磁通量密度Ds的連續(xù)分量。在步驟1416中，場-材料相互作用算子(M)在提取出的連續(xù)分量上運算。步驟1414表示從在步驟1410中得到的電磁場的連續(xù)分量與在步驟1412中得到的按比例縮放的電磁通量密度的連續(xù)分量形成在材料邊界連續(xù)的上矢量場Fs。確定對比電流密度的分量的步驟1416通過使用場-材料相互作用算子M在矢量場Fs上運算來執(zhí)行。步驟1410至1416是利用憑借FFT執(zhí)行的卷積針對z中的各樣本點而執(zhí)行。卷積可以使用諸如從包括快速傅里葉變換(FFT)和數(shù)論變換(NTT)的集合中選出的一個等的變換來執(zhí)行。運算1418將兩個計算出的結(jié)果Js從J中減去以得到1420中的與入射電場Einc相關(guān)的Jinc的近似值。因為步驟1406至1420產(chǎn)生更新矢量，于是后處理步驟1404被用于產(chǎn)生總電場E的最終值。與單獨的后處理步驟1404不同，所有更新矢量的總和可以在步驟1408處被記錄以便計算出散射電場Es并且后處理步驟變成僅僅將入射電場Einc添加至散射電場。然而，此手段增加了方法的存儲要求，而后處理步驟1404與迭代步驟1406至1420相比在存儲或處理時間上成本低。圖15是基于US2013/0066597A1的根據(jù)本發(fā)明的實施例的更新矢量的計算的流程圖。圖15的流程圖對應(yīng)于圖14的右手側(cè)(步驟1406至1420)。在步驟1502中在4D陣列中重組矢量。隨后，以與參照圖11中編號1114至1124和圖13中編號1114至1320的相應(yīng)步驟所描述的方式相同的方式通過步驟1504至1514針對各模式m1、m2計算出格林函數(shù)與背景的相互作用。如參照圖11和圖13所描述的，步驟1116至1120牽涉到在第一與第二離散變換步驟1116與1120之間求解1118方程的正則化線性系統(tǒng)以計算出正則化展開系數(shù)矢量γ的值。因此包括步驟1116至1120的虛線方框1150對應(yīng)于參照提供了更詳細描述的圖17A至圖17B描述的步驟。接著針對z中的各樣本點(也就是，針對各層)，執(zhí)行步驟1516至1530。在步驟1516中，從4D陣列中取出三個2D陣列。這三個2D陣列(Ex,Ey,Ez)(m1,m2,z)對應(yīng)于散射電場E的笛卡爾分量，各分量具有對應(yīng)于m1和m2的兩個維度。用(Fx,Fy,Fz)(m1,m2,z)表示的連續(xù)矢量場的卷積起始于用(Ex,Ey,Ez)(m1,m2,z)表示的在步驟1518中的2DFFT前向的針對三個陣列中的每一個到空間域內(nèi)的計算。在步驟1520中，將從步驟1518得到的傅里葉變換(Ex,Ey,Ez)(x,y,z)在空間域中乘以空間乘法算子MPT(x,y,z)，這具有兩個功能：首先通過應(yīng)用切向投影算子PT濾除散射電場的連續(xù)分量，由此產(chǎn)生了連續(xù)矢量場F的切向分量，并且其次通過將連續(xù)矢量場F與僅關(guān)于散射場的對比電流密度J聯(lián)系起來的對比度函數(shù)M執(zhí)行乘法。在步驟1514處將放回4D陣列中的散射場(Ex,Ey,Ez)(m2,m2,z)反饋到如上面所討論的步驟1516和如下面所討論的步驟1522兩者內(nèi)。在步驟1522中，針對z中的各樣本點(也就是，針對各層)，將散射電通量密度D的按比例縮放的版本形成為從步驟1514得到的散射電場與從取出三個2D陣列之前的步驟1502前向反饋到的對比電流密度的按比例縮放的總和，對應(yīng)于在光譜域中的D的笛卡爾分量。在步驟1524中，執(zhí)行這些陣列的2DFFT，產(chǎn)生了在空間域中的笛卡爾分量(Dx,Dy,Dz)(x,y,z)。在步驟1526中，將這些陣列在空間域中乘以乘法算子MPn，這具有兩個功能：首先按比例縮放的通量密度的連續(xù)的法向矢量被濾除并且產(chǎn)生連續(xù)矢量場F的法向分量，并且其次通過將連續(xù)矢量場F與僅關(guān)于散射場的對比電流密度J聯(lián)系起來的對比度函數(shù)M執(zhí)行乘法。接著在步驟1528中，將步驟1520與1526的結(jié)果組合以產(chǎn)生針對連續(xù)矢量場F的所有分量、即切向和法向分量的運算MF的近似值。接著在步驟1530中通過2DFFT后向?qū)F變換成光譜域以產(chǎn)生用MF(m1,m2,z)表示的光譜對比電流密度的近似值。在步驟1532中，將與散射場相關(guān)的所得的光譜對比電流密度返回4D陣列中，并且隨后在步驟1534中轉(zhuǎn)換回矢量。這意味著使4D陣列的每一個四維索引與矢量的一維索引唯一地相關(guān)。最后在步驟1530中，利用從由步驟1502的輸入前向反饋到的總對比電流密度中減去步驟1534的結(jié)果的減法來完成與入射電場Jinc相關(guān)的已知對比電流密度的近似值的計算。切比雪夫插值算法在實施例中，解決了在計算電磁散射性質(zhì)的體積分方法中的一維積分方程的序列的沿著縱向非周期性(z)方向上的離散。最初，已利用用于展開對比-電流密度的局部分段線性基函數(shù)和用于測試而匹配的點將這些積分方程離散。該手段的優(yōu)點在于，當(dāng)采用1D格林函數(shù)的半可分離性時導(dǎo)致O(N)的簡單且低復(fù)雜性的算法，或者當(dāng)采用卷積性質(zhì)時導(dǎo)致O(NlogN)的簡單且低復(fù)雜性的算法，其中N是基函數(shù)和樣本點的數(shù)量。此外，在z方向上的光柵的幾何結(jié)構(gòu)可以由切片建立并且可以對每個切片處理離散。然而，缺點在于，沿著z方向的插值誤差的收斂歸因于分段線性展開函數(shù)而限于第二階。這是與其中針對各模式的行為在具有從特征值分解得出的傳播系數(shù)的指數(shù)函數(shù)方面在解析上是已知的RCWA相比。由于我們不想在體積分方法中引入昂貴的特征值計算，所以我們在尋找一種在維持用于一維積分方程的序列的低復(fù)雜性矩陣-矢量乘積的狀態(tài)下導(dǎo)致插值誤差的快速收斂的可替代方案。得到對于插值的較高階收斂的自然方式是使用較高階的多項式基。然而在沿著這些線推理時應(yīng)該牢記兩個方面。首先，為了得到較高階收斂，待插值的函數(shù)應(yīng)該充分地正則以允許高階插值，即，函數(shù)應(yīng)該可連續(xù)微分至在插值的整個區(qū)間上充分高的次數(shù)。在體積分方法中，這意味著高階插值僅在每個切片被應(yīng)用，因為對比電流密度的作為在積分方程中的插值函數(shù)的光譜分量可以橫跨切片邊界展現(xiàn)出數(shù)種間斷。第二方面在于，插值和與插值核、即光譜格林函數(shù)的積分應(yīng)該產(chǎn)生針對相應(yīng)矩陣-矢量乘積的低復(fù)雜性算法。對于低階分段線性展開，這是簡單的，因為各基函數(shù)的受限的支持產(chǎn)生低階遞推關(guān)系，即，可以憑借幾個乘法和已經(jīng)計算出的函數(shù)值及積分函數(shù)值的添加從一個樣本點積分至下一個。對于較高階多項式，這典型地不是這樣的情況，因為插值點沿著整個插值區(qū)間擴散。因此，需要另一機制產(chǎn)生低復(fù)雜性矩陣-矢量乘積。這里所使用的機制在于，可以在與一維格林函數(shù)核積分之前和之后的正交多項式的展開系數(shù)之間導(dǎo)出僅牽涉到幾個(和固定數(shù)量的)以前計算出的系數(shù)和權(quán)重的短遞推關(guān)系，并且多項式的加權(quán)和可以憑借低復(fù)雜性算法在恰當(dāng)選出的特定點處進行評估。特別地，我們選擇可以通過與快速傅里葉變換(FFT)直接相關(guān)的離散余弦變換(DCT)在所謂的切比雪夫節(jié)點處被評估的第一種切比雪夫多項式的基。格林函數(shù)與積分方程在體積分方法中，要求將表示為jm(z)的對比電流密度的光譜分量與一維格林函數(shù)核以及其相對于z的第一和第二導(dǎo)數(shù)積分，即，其中i∈{x,y,z}表示對比電流密度的笛卡爾分量，n∈{0,1,2}表示相對于z的微分的階數(shù)，并且(微分之后)z呈現(xiàn)獨立于m的預(yù)定離散值。這些積分可以被改寫為積分的線性組合其中z∈[a,b]。這些積分方程核所屬的核的類是所謂的半可分離核。這些積分也承擔(dān)對沃特拉(Volterra)積分方程的強相似性。由于在向上和向下積分上的積分的分裂，指數(shù)函數(shù)上的絕對值可以被去除，這產(chǎn)生了表達式雖然現(xiàn)在可以將exp(±γmz)帶到積分外，但在數(shù)值意義上實施這一步時需要小心，因為γm可能很大并且是正的而z呈現(xiàn)[a,b]中的值，這可能會造成用于指數(shù)的非常大或非常小的數(shù)量。第一種切比雪夫多項式上的準(zhǔn)備工作為了函數(shù)的插值已相當(dāng)多地使用了第一種切比雪夫多項式，由此形成了所謂的偽譜方法的子類。偽譜方法對于在非常平滑的函數(shù)上的相對于插值誤差的其高階收斂是已知的。此外，切比雪夫多項式形成了具有使得它們展現(xiàn)出呈連續(xù)函數(shù)形式和呈離散(采樣的)函數(shù)形式兩者的正交性的特殊性質(zhì)的正交多項式的集合。它們把這些性質(zhì)歸功于在以連續(xù)和離散傅里葉變換采用時它們與傅里葉展開的親密關(guān)系，對于該傅里葉展開連續(xù)和離散的正交關(guān)系也成立。階數(shù)n＝0,1,2,.的第一種切比雪夫多項式Tn(x)在區(qū)間x∈[-1,1]上限定為Tn(x)＝cos(narccos(x)).(6)雖然該限定可以擴展超過區(qū)間[-1,1]，但我們不需要擴展的限定。對于相對于x的導(dǎo)數(shù)，我們?nèi)菀讓?dǎo)出以下關(guān)系第一種切比雪夫多項式的限定還允許通過x＝cos(t)的代換在連續(xù)情況中的正交關(guān)系的直接導(dǎo)出，即利用該正交關(guān)系，可以在區(qū)間x∈[-1,1]上建立在第一種切比雪夫多項式方面的函數(shù)的展開，即其中展開系數(shù)得到為其中已假設(shè)積分和求和的順序例如因為均勻的收斂而可以互換并且其中是諾依曼符號(Neumannsymbol)。諾依曼符號的存在激發(fā)了幾位作者引入Σ'記法，即為了以后方便，將在區(qū)間[-1,1]上的在第一種切比雪夫多項式方面的指數(shù)函數(shù)的展開給出為其中In(q)是階數(shù)n且自變數(shù)q的第一種修正貝塞爾函數(shù)。該展開從用于第一種貝塞爾函數(shù)和切比雪夫多項式與余弦之間的關(guān)系的生成函數(shù)得出[5]。除了多項式之間的上面的連續(xù)正交性質(zhì)，在多項式之間還有離散正交性質(zhì)。接著在所謂切比雪夫節(jié)點處對切比雪夫多項式進行采樣，該所謂切比雪夫節(jié)點可以以兩種不同方式來限定：閉合規(guī)則和開放規(guī)則。閉合的切比雪夫節(jié)點被限定為多項式(1-x2)T′N(x)的N+1個零，其中單引號指示出相對于x的導(dǎo)數(shù)，即在該情況中，切比雪夫節(jié)點包括限定的域的邊界，即±1。這些切比雪夫節(jié)點可以被采用作為在切比雪夫高斯-羅巴托求積規(guī)則(ChebyshevGauss-Lobattoquadraturerules)中的橫坐標(biāo)或樣本點。鑒于包含域的端點，這些規(guī)則被稱為“閉合求積規(guī)則”，參見[1]和[4，第106至112頁]。這些節(jié)點引出了離散正交關(guān)系針對m,n≤N，其中由于我們將對每個切片應(yīng)用切比雪夫展開并且由于我們已經(jīng)具有一種憑借在各切片的頂部和底部采樣的場值使來自各個切片的響應(yīng)耦合的機制，所以我們的關(guān)注點在于閉合規(guī)則、即包括區(qū)間[-1,1]的端點的切比雪夫節(jié)點的應(yīng)用，并且我們將假設(shè)使用對應(yīng)于閉合規(guī)則的節(jié)點。在該部分的末尾，針對所謂“開放規(guī)則”的情況給出了簡要概述。離散正交關(guān)系可以用于基于在切比雪夫節(jié)點的樣本f(xk)來構(gòu)造f(x)的N階函數(shù)插值，即其中由于在切比雪夫節(jié)點的插值性質(zhì)。針對上面的閉合規(guī)則的正交關(guān)系的展開產(chǎn)生因此展開系數(shù)可以被確定為后一公式可以解釋為I型離散余弦變換(DCT-I)。該解釋非常重要，因為DCT在作用于含有針對k＝0,...,N的采樣的函數(shù)值f(xk)的長度N+1的數(shù)量上的DCT的一個應(yīng)用上都產(chǎn)生針對n＝0,...,N的展開系數(shù)此外，DCT由于其與快速傅里葉變換(FFT)的關(guān)系因此是針對恰當(dāng)選出的N的值的O(NlogN)的低復(fù)雜性算法。事實上，長度N+1的DCT-I精確地等效于(高達2的整體比例因子)具有偶對稱的2N個實數(shù)的FFT。結(jié)果，2N必須具有在小的素數(shù)上的因子分解以便產(chǎn)生有效算法。DCT-I例如已在軟件包FFTW中被實施。值得一提的是，I型DCT是其自己的逆向的按比例縮放的版本。這意味著樣本點值f(xk)可以憑借DCT-I從展開系數(shù)再生。在利用切比雪夫多項式求和中的乘法因子1/dn的存在在一些文獻中用雙引號表示，即在下面相對于開放切比雪夫節(jié)點給出一些評論?？梢詫㈤_放切比雪夫節(jié)點限定為TN+1的N+1個零，其不包括域的端點，如其引出了正交關(guān)系針對m,n<N。這些切比雪夫節(jié)點也可以被采用作為切比雪夫高斯-羅巴托求積規(guī)則中的橫坐標(biāo)。鑒于排除域的端點，這些規(guī)則被稱作“開放規(guī)則”，參見[1]。這些求積規(guī)則通過將在第一種切比雪夫多項式方面表達出的整體插值多項式積分得到，并且接著可以通過開放節(jié)點給出橫坐標(biāo)。憑借DCT再次得到針對切比雪夫多項式的相應(yīng)的乘法因子，但現(xiàn)在II型(DCT-II)的和DCT-II的逆運算是III型的DCT(DCT-III)。DCT-II和DCT-III兩者也已在FFTW中實施并且具有O(NlogN)的計算復(fù)雜性。對于用具有平行或垂直偏振的斜入射平面波來照射均質(zhì)平板的情況，兩個公知的1D問題，我們可以遵循由Kang,Koltracht和Rawitscher發(fā)表的文章[2]。作者利用了針對包括呈以下形式的核k(z,z′)的所謂半可分核的1D核的類的切比雪夫展開，限定在區(qū)間[a,b]上。在本質(zhì)上，遵循作者的手段是將核k1至k4的域以平滑方式擴展至整個區(qū)間[a,b]，并且隨后采用針對這些核的切比雪夫展開。由于核的半可分離性導(dǎo)致在離散情況中的顯著計算優(yōu)點，所以似乎在展開核的情況下最佳地維持半可分離性。對于與exp(-γ|z-z′|)成正比的1D平板的格林函數(shù)的情況，核k1(z)至k4(z)變成在區(qū)間[0,d]、即平板的位置上的函數(shù)exp(±γz)。顯然，當(dāng)γ具有實部時，這些核中的兩個表明指數(shù)生長并且其他兩個表明指數(shù)衰變，這可能對整體算法的數(shù)值穩(wěn)定性和準(zhǔn)確度有害。遵循[2]中提出的算法的實施的初始測試表明，在γ是純粹虛數(shù)的傳播波的情況中，與精確解相比，對于平板可以得到高準(zhǔn)確度的答案。測試顯示出相對于切比雪夫展開的階數(shù)的指數(shù)收斂。例如，對于具有波長的一半厚度的平板，僅需要17個切比雪夫多項式以得到高達機器精度的答案。這必須與在使用了體積分方法的已知系統(tǒng)中的分段線性展開的O(N-2)收斂率相比。圖16圖示出針對[2]中提出的手段的在對數(shù)刻度上的條件數(shù)相對于傳播系數(shù)γ的實部乘厚度以及相對于展開的多項式次數(shù)PD。平板的厚度是d＝0.5λ并且γ是純粹實的。多項式次數(shù)指示出考慮到的切比雪夫多項式的數(shù)量。做出了調(diào)查以看看當(dāng)考慮衰逝波時、即當(dāng)Re{γ}>0時算法的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定性會發(fā)生什么。據(jù)觀察，當(dāng)γ的實部增加時或者當(dāng)γ具有非零實部并且平板的厚度增加時，收斂率依然是指數(shù)的但相關(guān)聯(lián)的線性系統(tǒng)的條件數(shù)迅速地增加，如圖16所示。當(dāng)在模擬中使用體積分方法考慮到的衰逝模式的數(shù)量增加時，迭代求解器需要許多迭代來收斂，即使針對相對低的對比。當(dāng)模式的數(shù)量更進一步增加時，迭代求解器不能收斂。這些成果清楚地指示出歸因于所提出的算法的病態(tài)性(ill-conditioning)，因為之前對于使用分段線性展開時的同樣的低對比情況從來沒有發(fā)生過這樣的迭代收斂問題。此外，存在著如下理論結(jié)果：其表明包括分段線性展開和由切比雪夫多項式進行的展開在內(nèi)的一般插值方法產(chǎn)生了具有接近連續(xù)公式化的條件調(diào)節(jié)的條件調(diào)節(jié)的積分方程，該連續(xù)公式化典型地被恰當(dāng)?shù)貤l件調(diào)節(jié)用于這里所討論的種類的積分方程。因此插值自身不會引起病態(tài)性。結(jié)果，核的展開必須以某種方式負責(zé)，這與使核指數(shù)形式地迅速增加和衰變的擔(dān)憂相一致。解析積分算法在[2]中所提出的手段的最吸引人的性質(zhì)在于，相對于格林函數(shù)的矩陣-矢量乘積由于DCT的應(yīng)用和呈所謂左和右光譜積分矩陣[2]形式的隨后矩陣-矢量運算的稀疏性而具有低的計算成本。乍一看，不清楚這樣的性質(zhì)是否可以通過訴諸將切比雪夫多項式和格林函數(shù)的乘積積分的另一手段來保持，因為矩陣-矢量乘積的結(jié)構(gòu)取決于[2]中所提出的核展開。然而，為了洞察到在前述部分中指出的不穩(wěn)定性的根源，我們將通過導(dǎo)出精確積分過程來繼續(xù)并且同時我們將表明所得的算法仍然是低復(fù)雜性的。類比于方程(1)，我們將未知的電流密度在次數(shù)M的一般多項式PM(z)方面展開并且考慮不定積分∫PM(z)exp(γz)dz＝QM(z)exp(γz),(28)其中Qm(z)再次是次數(shù)m的多項式。公式通過重復(fù)的部分積分得到。從計算點的角度看，關(guān)鍵點是使Qm(z)的系數(shù)與Pm(z)的系數(shù)相關(guān)，并且具有在z的值的范圍上的多項式Pm(z)和Qm(z)的迅速評估。多項式Pm和Qm的迅速評估可以通過將多項式寫入作為切比雪夫多項式的總和并且同時將z的值限制為如與在上面關(guān)于切比雪夫多項式的初步討論所指示出的呈DCT形式的下面的求積規(guī)則的橫坐標(biāo)中的那些而得到。為了能夠應(yīng)用切比雪夫多項式的性質(zhì)，重點是首先通過引入下面的縮放比例將所感興趣的區(qū)間、即z∈[a,b]按比例縮放至t∈[-1,1]我們通過將按比例縮放的多項式Pm和Qm在切比雪夫多項式方面展開并且我們將方程(28)重寫為其中我們想要找到作為q和αn、n∈{0,...,M}的函數(shù)的所有βm。所需求的關(guān)系可以通過將上面的方程相對于t進行微分來找到，即因此我們具有多項式方程通過應(yīng)用關(guān)系(2)并且隨后相對于t進行積分，我們獲得了其中C表示歸因于不定積分的積分常數(shù)。注意，用于T0(t)的系數(shù)歸于積分常數(shù)C而不能確定并且因此T0(t)已從上面的方程中去除。通過將系數(shù)與相等的切比雪夫多項式組成組，我們獲得了線性方程的集合這些線性關(guān)系可以在矩陣方程方面被總結(jié)為其中和上面的矩陣方程產(chǎn)生了在矩陣UM和DM兩者都高度稀疏并因此求解線性方程的集合的相關(guān)復(fù)雜性至少在原理上會是低復(fù)雜性、即O(N)的意義上的在矢量αM與βM的系數(shù)之間的適當(dāng)?shù)年P(guān)系。乍一看，求解線性系統(tǒng)由于UM是上三角形矩陣而通過執(zhí)行往回代換非常簡單地完成。不幸的是，矩陣是UM極端病態(tài)的并且結(jié)果在矢量βM中的所得系數(shù)歸因于四舍五入而極端不可靠。進一步的調(diào)查顯示，UM的病態(tài)性是歸因于可以變得任意小的單個奇異值。病態(tài)性也許用簡單的解析示例更好地來說明：該示例清楚地表明了用于使多項式階數(shù)減小的系數(shù)的幅值的極端增加。因此如果解析結(jié)果表明該類型的爆發(fā)(blow-up)，則矩陣UM必須是固有病態(tài)的，因為系數(shù)的生長由UM的逆向的范數(shù)界定。另一方面，如果如在數(shù)個數(shù)值測試中所觀察到的，病態(tài)性僅與單個奇異矢量相關(guān)，那么應(yīng)該可以將線性系統(tǒng)(40)分裂成恰當(dāng)條件調(diào)節(jié)的系統(tǒng)和少量病態(tài)性的系統(tǒng)。就本身而言，系統(tǒng)的病態(tài)性部分仍然可以引出數(shù)值不穩(wěn)定性，但如果能夠顯示總解的該分量并不顯著地為針對整體積分方程的最終解做出貢獻，那么仍然存在有用于積分方程的穩(wěn)定、恰當(dāng)條件調(diào)節(jié)并且有效的數(shù)值算法的希望。為了表明病態(tài)性的根源，我們將方程(40)中的系統(tǒng)的第一列和最后一行分開并且我們將系統(tǒng)重寫為其中BR是由UM通過去除第一列和最后一行而得到，DR是由DM通過去除最后一行而得到，并且βR是由βM通過去除第一行、即取出β0而得到。數(shù)值測試顯示BR是恰當(dāng)條件調(diào)節(jié)的矩陣并因此我們可以假設(shè)可以以穩(wěn)定的方式計算出。注意，BR是三對角矩陣并因此計算BR的LU分解是O(N)運算并且在LU矩陣上的隨后的前向和后向代換由于這些矩陣是雙對角的事實也是O(N)的。因此計算對于形式BRx＝y(tǒng)的方程的解在復(fù)雜性上是O(N)的。上面的系統(tǒng)在逆向方面的解通過如下方程給出其中ek是第k個單位矢量、即除了在第k個條目以外到處都具有零的矢量?，F(xiàn)在通過使用范數(shù)估計和與DR是具有小范數(shù)的線性算子的觀察可以容易地看出，上面的幅值β0必須對數(shù)值計算中的不穩(wěn)定性負責(zé)。事實上，內(nèi)積在M>>1時變得極小。與β0的大幅值對應(yīng)的矢量是并且矢量自身由于BR的條件調(diào)節(jié)而可以被可靠地計算出。讓我們現(xiàn)在在區(qū)間[-1,t]上以及-1<t<1的考慮下考慮用于積分的整體表達的解的結(jié)構(gòu)，即通過將矢量β寫為正則化部分βR和具有由β0控制的幅值的矢量vR的總和，如方程(4)中，我們得到了其中我們從1而不是0開始給βR的元素計數(shù)，并且其中vR由以下方程給出因此，針對用于上面的積分的在數(shù)值上穩(wěn)定的表達，乘以β0的因子F(t)必須變得非常小以補償作為M的函數(shù)的在β0上的生長。憑借數(shù)值手段維持該因子F(t)的準(zhǔn)確度是復(fù)雜的任務(wù)，因為預(yù)料可能在一起形成該因子的兩個項之間苛刻的消去。作為極端手段，可以通過將其設(shè)為零而完全忽略F(t)項。雖然在用于均質(zhì)平板配置的測試時當(dāng)忽略F(t)時數(shù)值測試僅顯示出小的沖擊，但是這在像3D光譜體積分方程一樣的更復(fù)雜設(shè)定中的解的整體質(zhì)量上的影響依然不清楚。因此，我們現(xiàn)在將通過應(yīng)用文獻中提出的正則化技術(shù)來繼續(xù)。用于解析積分的穩(wěn)健的算法在文獻中已憑借解析正則化提出了從方程(40)的線性系統(tǒng)得到數(shù)值上穩(wěn)定的解[2]。下面我們遵循他們的論述中的關(guān)鍵步驟。代替如方程(49)中那樣在數(shù)值上構(gòu)造函數(shù)F(t)，解析手段通過以下認識來遵循：具有零右手側(cè)(或者具有αm＝0的在方程(4)中的相應(yīng)遞推關(guān)系)的在方程(40)中的UM的第一個M-1行通過第一種修正貝塞爾函數(shù)來滿足，即其中Im(-q)是階數(shù)m和變數(shù)-q的第一種修正貝塞爾函數(shù)。矢量IM現(xiàn)在被形成為結(jié)果，如果矢量βM是方程(40)的解，那么βM+λIM滿足相同線性系統(tǒng)的第一個M-1方程，即僅最后兩個方程不滿足。關(guān)鍵的觀察現(xiàn)在是方程(40)中的方程的系統(tǒng)可以通過將一個或多個行和列添加至UM和DM使得這些于是變成遵循方程(42)中的這些矩陣的限定的UM+1和DM+1并且通過使具有在含有零的端部處的一個行的矢量αM和βM擴展來擴展。擴展的矢量被表示為αM+1和βM+1。因此我們具有和隨后，我們將矢量γM+1限定為βM+1＝γM+1+λIM+1,(55)其中由于βM+1的最后條目是零的事實，我們現(xiàn)在可以固定確定λ，即我們注意到，M>q的時修正貝塞爾函數(shù)的指數(shù)衰變顯示λ可以變得相當(dāng)大，所以需要小心地進行數(shù)值實施。γM+1的限定在方程的集合中引入了一個額外的自由度、即γM+1，因為方程(56)中的λ與γM+1之間的連接事實上是系統(tǒng)方程(53)的最后一個方程。通過在方程(53)中替代關(guān)系(55)和(56)，我們獲得了對于γM+1成立的線性系統(tǒng)其中原始系統(tǒng)的最后一個方程由于方程(56)已被去除，并且該方程由針對方程(51)中的貝塞爾函數(shù)的遞推關(guān)系得出。線性系統(tǒng)(57)是針對M+2未知數(shù)的M+1方程的集合、即γ0,...,γM+1。結(jié)果，存在有固定確定未知數(shù)中的一個的自由。雖然在[5]中給出了對此的建議，其中較小矩陣需要以更復(fù)雜的簿記(bookkeeping)為代價被LU因子分解，但通過前述部分激發(fā)了我們的選擇并且我們將設(shè)定γ0＝0,(59)這實質(zhì)上將右手側(cè)上的矩陣的第一列去除。針對γM+1的所得系統(tǒng)于是是這密切地類似于前述部分中的正則化系統(tǒng)。如此得到的矩陣方程已發(fā)現(xiàn)對于q的大范圍的真實和復(fù)雜值被恰當(dāng)?shù)貤l件調(diào)節(jié)，除了q非常接近零之外。后一情況可以通過將方程的整個集合乘以q來處理。此外，方程(60)中的線性系統(tǒng)的解由于矩陣A(-q)的三對角本質(zhì)而有效地得到，該矩陣A(-q)利用有效前向和后向代換算法產(chǎn)生了雙對角LU因子，如例如LAPACK(線性代數(shù)包)中實施的。避免減去求和中的消去我們現(xiàn)在回到在區(qū)間[-1,t]上的原始積分并且在γM+1方面具有-1<t<1的考慮下考慮用于積分的整體表達的解的結(jié)構(gòu)，即注意，在上面的公式中的前兩個求和由于γ0＝0的選擇而起始于m＝1，如之前說明的。這些方程密切地類似于方程(49)，但現(xiàn)在數(shù)值上計算出的矢量vR已用矢量IM替換，該矢量IM具有可以用于克服在因子FA(-q,t)中預(yù)料到的消去的更熟知的解析性質(zhì)。在該因子中的有效數(shù)字的損失將歸因于因子1/IM+1(-q)而在數(shù)值不穩(wěn)定性上迅速地轉(zhuǎn)化，該因子1/IM+1(-q)一旦M>|q|就展現(xiàn)出作為M的函數(shù)的指數(shù)生長。為了進一步調(diào)查因子FA(-q,t)，我們回到方程(16)。針對在切比雪夫多項式方面的指數(shù)函數(shù)的該表示可以用于導(dǎo)出針對FA(t)的可替表示達，還參見[5]，對于FA(-q,t)的后一表示，我們現(xiàn)在包括1/IM+1(-q)，即由于序列Im(q)典型地是指數(shù)衰變序列，所以我們可以預(yù)料級數(shù)收斂非?？觳⑶椅覀冏⒁獾叫蛄械牡谝豁椀姆涤梢唤缍?。結(jié)果，作為M的函數(shù)的1/IM+1(-q)的指數(shù)增加憑借該表示被成功地抑制。與[5]相對，我們對于FA(-q,t)總是使用后一表示，因為我們已得出經(jīng)驗它總是穩(wěn)定的。缺點是該貢獻必須被預(yù)先計算出而前一表示容易被包括在其他求和中。剩下的任務(wù)現(xiàn)在是對于t的給定值實際地計算出上面的表示(63)的級數(shù)，即做到這一點的有效方式是采用Clenshaw遞推公式[3，第172至177頁]。雖然貝塞爾函數(shù)和切比雪夫多項式兩者可以被選擇為用于遞推的基，但我們采用了在Clenshaw算法中的用于切比雪夫多項式的遞推，而貝塞爾函數(shù)的比率已在早期步驟中基于方程式(51)的后向遞推關(guān)系、即米勒算法被生成為其中針對N的RN(z)＝0的起始值比在求和中考慮到的修正貝塞爾函數(shù)的最大階數(shù)大至少20倍。為了獲得求和所需的比率，即對于m≥M+1的Im(-q)/IM+1(-q)，我們注意到這些比率可以通過使比率Rm(z)以遞歸的方式相乘而得到，即積分的采樣在整個過程中的最終步驟是將來自電流密度的展開系數(shù)的映射引入離散變量的新集合。這是能夠構(gòu)造有限線性系統(tǒng)、即在(1)中的考慮下的用于積分的矩陣-矢量乘積所需要的?；旧?，有可以遵循的兩個手段。第一個是將整個積分近似為僅切比雪夫多項式的總和，這意味著(61)中的三項中的兩個需要在切比雪夫多項式方面進行近似，即本質(zhì)上是exp[-q(1+t)]和FA(-q,t)。第二手段是在規(guī)定點tk對積分采樣，使得可以獲得切比雪夫多項式的總和的有效計算。由于我們不妨將切比雪夫展開與已經(jīng)在體積分方法中起作用的空間采樣手段合并，所以可以方便地選擇第二手段、即對積分采樣。針對采樣點tk的選擇應(yīng)該由離散余下變換的應(yīng)用得到，因為這是用以同時評估在樣本范圍上的切比雪夫多項式的加權(quán)和的最有效的方式。這留下兩個可能性：開放原則或閉合原則，如第2部分中說明的。從前述討論可以容易地看出，端點t＝±1也存在于求和中，這意味著閉合規(guī)則是最方便的選擇。閉合原則與DCT-I一致，如方程(23)中，并且樣本點通過方程(17)給出，即FFTW中的DCT-I的精確限定和實施由如下方程給出其中DCTI[f(tk)](m)是f(tk)的DCT-I的第m個元素，并且dk已在方程(19)中被限定為在整體算法中，現(xiàn)在有要求DCT-I的兩個步驟。第一個是當(dāng)方程(31)中的展開系數(shù)αm必須由對比電流密度ji(z)的在切比雪夫節(jié)點處的采樣值確定時。通過限定，我們假設(shè)我們具有展開其中和從方程(22)中的關(guān)系我們具有并因此這意味著系數(shù)DCTI[j(zk)](M)必須乘以1/2。要求DCT-I的第二步驟是當(dāng)方程(1)中的積分G1(z)和G2(z)的切比雪夫展開的系數(shù)gm已計算出并且展開需要在切比雪夫節(jié)點zk處被評估時，即其中全矩陣-矢量乘積現(xiàn)在讓我們回到在(1)中限定的原始積分G1(z)和G2(z)并且總結(jié)至此所采取的步驟。計算由需要執(zhí)行一次的準(zhǔn)備階段和可能作為矩陣-矢量乘積執(zhí)行許多次的執(zhí)行階段組成。準(zhǔn)備階段由下面的步驟組成:1.將區(qū)間[a,b]按比例縮放至[-1,1]并且將γm按比例縮放至q，如在方程(4)中。2.選擇切比雪夫展開的最大階數(shù)：M。3.將長度M+1的DCT-I初始化。4.如方程(17)中計算針對閉合原則的切比雪夫節(jié)點：tk。5.在方程(60)中計算三對角矩陣A(-q)的元素。6.使用LAPACK計算A(-q)的LU因子分解。7.如5.1部分中說明的使用Clenshaw算法在方程(63)中計算函數(shù)F(k)＝FA(-q,tk)/IM+1(-q)。8.計算函數(shù)v1(k)＝exp[-q(1+tk)]和v2(k)＝exp[-q(1-tk)]這里需要注意的是，對于積分G2，需要矩陣A(q)，但是我們可以為此利用A(-q)的LU分解，因為A(q)＝-A(-q)T。類似地，對于G2我們需要A(q,tk)/IM+1(q)＝FA(-q,-tk)/IM+1(-q)＝F(M-k)并且v1(k)和v2(k)的角色互換，因為在節(jié)點處的反對稱性tk＝-tM-k。執(zhí)行階段由下面的步驟組成：1.憑借DCT-I如方程(76)中計算電流密度的展開系數(shù)αm。2.利用方程(42)中限定的DM計算DMαM。3.使用A(-q)的預(yù)先計算的LU因子，計算矢量和的系數(shù)作為方程(60)的解，即A(-q)γ1＝DMαM,(79)A(q)γ2＝DMαM,(80)4.限定和5.計算和6.計算7.計算由在矢量j中組織的電流密度的樣本生成G1(k)和G2(k)的兩個矩陣-矢量乘積可以被緊湊地寫作線性運算的序列。為了使記法容易，引入四個附加線性算子，例如對于任意矢量p＝(p0,...,pM)T我們限定CMp＝DCTI[pm],(81)SMp＝(0,p0,...,pM-2,2pM-1)T,(83)PMp＝pM,(84)P0p＝p0,(85)即，CM現(xiàn)在表示I型DCT，NM是對角歸一化矩陣，SM是與乘法組合的移位矩陣，并且PM是篩出矢量的最后條目的投影算子。SM的矩陣表示通過式(86)給出和P0與PM的矩陣是P0＝(1,0,…,0)PM＝(0,…,0,1)(87)利用這些限定，我們可以將針對G1＝(G1(0),...,G1(M))T和G2＝(G2(0),...,G2(M))T的矩陣-矢量乘積表達為其中我們已引入了識別算子IM和矢量F1＝(F(0),...,F(M))T與F2＝(F(M),...,F(0))T。伴隨矩陣-矢量乘積在前述部分中所引入的線性算子的幫助下，可以容易地構(gòu)造出兩個矩陣-矢量乘積的伴隨。在正式意義上，線性運算的順序需要逆向并且各算子必須用其伴隨替換。起始于方程(88)中的用于G1的表示并且用上標(biāo)H表示伴隨，我們獲得了其中后一等式是IM和NM的自伴隨和矩陣CM、DM、SM、P0、PM是實值并因此它們的伴隨等于它們的移項的觀察的結(jié)果。各個矩陣的伴隨或移項中的所有都容易建立和編程。唯一更多牽涉到的伴隨是A-H(-q)的，但是這可以憑借采用A(-q)的LU因子分解(憑借zgttrf得到)的LAPACK例程zgttrs來執(zhí)行，并因此相應(yīng)的矩陣-矢量乘積可憑借該例程是得到。最后，方程(89)中用于G2的表示的伴隨產(chǎn)生注意，矩陣A-H(q)＝-A-H(-q)并因此與LAPACK例程zgttrs組合的A(-q)的LU分解可以被用于執(zhí)行伴隨矩陣-矢量乘積的該部分。連接多個切片切比雪夫展開最好在方程(1)中的對比電流密度jm(z)的所有分量都可連續(xù)地微分至非常高的階數(shù)時工作。在這種情況下，插值估計顯示出切比雪夫展開的近似上的誤差隨著多項式的線性增加的階數(shù)而成指數(shù)減小。然而，對比電流密度的可微性取決于光柵的幾何結(jié)構(gòu)及其材料成分。當(dāng)材料成分在縱向、非周期性坐標(biāo)z的某值處急劇改變時或者當(dāng)光柵的幾何結(jié)構(gòu)展現(xiàn)出扭結(jié)或間斷時，對比電流密度潛在地不連續(xù)或者具有不連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。在間斷或不連續(xù)導(dǎo)數(shù)的情況中的切比雪夫展開的差的收斂可以通過使用于對比-電流密度的展開的區(qū)間分裂成較小子區(qū)間或者切片來減輕，使得對比-電流密度在各切片的內(nèi)部上可連續(xù)地微分至高階。假如我們預(yù)料到在z＝a1處的間斷，那么將區(qū)間[a,b]分區(qū)成切片[a,a1]和[a1,b]。于是在各切片上限定了用于對比-電流密度的單獨的切比雪夫展開，并且如方程(1)中給出的將對比-電流密度與格林函數(shù)一起積分的以前描述的方法可以在每個切片上執(zhí)行。備選地，可以選擇在一個子區(qū)間上采用切比雪夫展開并且在另一子區(qū)間上采用另一類型的展開、例如分段展開。還有，在這樣的情況中，可以在每個切片上采用已經(jīng)文檔記錄的積分方法并且有待回答的唯一問題是如何將貢獻從一個切片耦合至另一個。為了回答該問題，我們將注意力集中在方程(1)中的積分G1(z)上，因為手段對于G2(z)類似。對于兩個切片、即區(qū)間[a,a1]和[a1,b]的情況，我們有以下兩種情況要考慮：觀察坐標(biāo)z處于區(qū)間[a,a1]中或區(qū)間(a1,b]中。前一情況在兩個切片之間不產(chǎn)生耦合，因為積分的區(qū)間起始于z＝a并因此該情況可以通過用于一個切片的積分的原始方法來處理。對于情況z∈(a1,b]，我們將積分G1(z)重寫為上面的最終表達顯示兩個切片之間的耦合采取指數(shù)函數(shù)乘已經(jīng)從跨越切片[a,a1]的積分得到的已經(jīng)計算出的常數(shù)G1(a1)的形式。第二積分是跨越單個切片的標(biāo)準(zhǔn)積分，這在以前已經(jīng)進行了討論。因此兩個或多個切片之間的耦合是簡單地添加演變作為觀察點z乘從以前的切片的端點已經(jīng)計算出的貢獻的指數(shù)函數(shù)的額外項。當(dāng)在切片[a1,b]上使用切比雪夫展開時，那么已經(jīng)在以第7部分中限定的矢量v1(k)的形式計算出的上面的結(jié)果中的所要求的指數(shù)函數(shù)和來自切片[a,a1]的附加貢獻可以容易地與全矩陣-矢量乘積的執(zhí)行階段的在步驟6中的常數(shù)H1(0)合并，以達到在浮動點運算的數(shù)量上的最大效率。在上面描述的實施例中，切比雪夫展開已被用作用于在計算電磁散射性質(zhì)的體積分方法中所使用的對比電流密度的展開的沿著縱向非周期性(z)方向的分段線性展開的可替代方案。對于數(shù)值穩(wěn)定性，正則化步驟可以用于計算格林函數(shù)與對比電流密度的切比雪夫展開的相互作用。所得的算法在數(shù)值上穩(wěn)定并且有效、即O(NlogN)，其中N是沿著z的樣本點的數(shù)量。數(shù)值測試顯示，在體積分方法中的切比雪夫展開展現(xiàn)出反射系數(shù)的指數(shù)收斂。作為結(jié)果，當(dāng)與體積分方法中的分段線性展開相比時，尤其是當(dāng)在分段線性展開的情況中每個切片的樣本的數(shù)量大時，切比雪夫展開是有競爭力的并且經(jīng)常在計算時間方面更快。這是當(dāng)切片相對于(局部)波長厚時發(fā)生。需要許多分段線性樣本的另一情況是當(dāng)橫向方向上的傅里葉模式的數(shù)量高時。第二個效果在于，當(dāng)需要較少樣本時體積分方法的存儲器要求將會降低。也可以與現(xiàn)有的分段線性展開并排地、和/或與具有不同系數(shù)的切比雪夫展開并排地、和/或與勒讓德展開并排地實施切比雪夫展開，以這樣的方式使得可以對各切片單獨地進行針對特定的展開的選擇。這允許了使用不同的展開。例如，分段線性展開對于具有非常少的樣本的薄切片最適宜，而切比雪夫展開在切片厚時最有效。在切比雪夫展開的情況中的針對每個切片的樣本數(shù)量的選擇應(yīng)該反映出DCT在其相應(yīng)的FFT的長度可因子分解成小素數(shù)、即典型地2、3和5時最有效。圖17A和圖17B是根據(jù)本發(fā)明的實施例的方法的流程圖。圖17A和圖17B的步驟可以用如分別在圖11、圖13和圖15中的1150(步驟1116至1120)、1350(步驟1116至1120)和1550(步驟1506至1510)那樣用虛線方框識別出的步驟取代。這些步驟在更一般情況下如分別在圖12和圖14中的1250和1450那樣用虛線方框識別出。實施例是計算結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)的方法，結(jié)構(gòu)包括不同性質(zhì)的材料并且結(jié)構(gòu)在至少一個橫向方向上是周期性的并且在相對于至少一個橫向方向正交的方向、在該示例中是z方向上延伸。方法牽涉到：通過針對在至少一個橫向方向上的多個模式中的每個相應(yīng)模式執(zhí)行在正交方向上的偽譜(在該示例中是切比雪夫)多項式展開乘以對于多個模式所有模式都使用正交方向上的相同樣本點的1D格林函數(shù)的積分，針對多個模式在數(shù)值上求解用于電磁散射的體積分方程，其中積分通過求解方程的正則化線性系統(tǒng)來執(zhí)行。圖17A和圖17B中的步驟是：在步驟1702中，設(shè)定特定用于各模式的展開。在步驟1704中，通過如下方法正則化：生成包括易于發(fā)生與條件調(diào)節(jié)相關(guān)的誤差的系數(shù)的在z上的樣本點(切比雪夫降低)處的函數(shù)F(k)，并且通過限定正則化的向上/向下展開系數(shù)矢量γ1＝(γ11..γ1M,γ1M+1)和γ2＝(γ21..γ2M,γ2M+1)修改線性系統(tǒng)以補償F(k)。因此方程的線性系統(tǒng)通過借助限定擴展的正則化展開系數(shù)矢量(γ1,γ2)修改線性系統(tǒng)以補償易于發(fā)生與條件調(diào)節(jié)相關(guān)的誤差的展開系數(shù)而被正則化。在該示例中的術(shù)語“擴展的”包括添加行至矢量并去除矢量的第一條目。本領(lǐng)域技術(shù)人員將領(lǐng)會的是擴展是在正則化方案的情況下完成，并且它是意味著通過擴展進行的信息的引入或在解中保持信息的能力。可選地，將方程的線性系統(tǒng)正則化的步驟可以包括生成在正交方向上的樣本點處的函數(shù)(F(k))，函數(shù)包括易于發(fā)生與條件調(diào)節(jié)相關(guān)的誤差的展開系數(shù)，使得線性系統(tǒng)的修改補償函數(shù)(F(k))?？蛇x地，在正交方向上的樣本點處的函數(shù)(F(k))的生成使用遞推公式。在步驟1706中，使用在z上的樣本點(切比雪夫節(jié)點)處的電流密度(m1,m2,z)的采樣值的離散變換(當(dāng)使用切比雪夫展開時是DCT)來計算(切比雪夫)展開系數(shù)矢量αM。在步驟1708中，使用(切比雪夫)展開系數(shù)矢量來αM計算光譜差異化的對比電流密度矢量DMαM。在步驟1710中，通過向上/向下求解橫跨z域的方程的正則化線性系統(tǒng)以計算出正則化展開系數(shù)矢量γ1和γ2來執(zhí)行針對對比電流密度乘1D格林函數(shù)的向上/向下組分(對應(yīng)于A(-q)和A(q))的(切比雪夫)展開的積分。因此方程的正則化線性系統(tǒng)在第一與第二離散變換步驟之間求解以計算出正則化展開系數(shù)矢量(γ1,γ2)的值。在步驟1712中，從計算出的正則化展開系數(shù)矢量γ1和γ2中分離出不同部分。1714和1716示出不同部分。在1714中，示出了非擴展的向上和向下部分和在實踐中，這些部分的分離可以通過復(fù)制儲存了矢量γ1和γ2的陣列并修改陣列來完成。在該示例中，各陣列的最后條目被去除并且被復(fù)制到用于步驟1716的存儲中并且第一條目被設(shè)為零。雖然這里選擇了零，但可以使用其他值?？梢圆迦腩~外的條目以便使矢量具有用于矩陣乘法的正確長度。在1716中，示出了向上和向下計算出的條目γ1M+1和γ2M+1。在未使用F(k)的實施例中，這些條目可以被丟棄(并且甚至不分離出)。在步驟1718中，使用正則化展開系數(shù)矢量γ1和γ2的非擴展向上和向下部分和的第二離散變換(當(dāng)使用切比雪夫展開時是DCT)來計算在z上的樣本點處的正則化積分H1(k)和H2(k)。因此第二離散變換步驟被應(yīng)用于正則化展開系數(shù)矢量(γ1,γ2)的非擴展部分以計算出在正交方向上的樣本點處的正則化積分(H1(k)、H2(k))。在未使用F(k)并且條目γ1M+1和γ2M+1被丟棄的實施例中，在該階段可以執(zhí)行正則化積分H1(k)和H2(k)的線性組合以計算出在沒有反射時的在z域中的散射電磁場該結(jié)果等效于如分別在圖11、圖13和圖15中的1150、1350和1550所識別出的步驟的結(jié)果。因此通過將圖17A和圖17B的以上步驟插入如參照圖11至圖15所描述的體積分方法內(nèi)，可以使用數(shù)值求解的結(jié)果、在該示例中使用計算出的正則化積分(H1(k)和H2(k))來計算出結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)。在使用F(k)并且條目γ1M+1和γ2M+1未丟棄的實施例中，代替正則化積分H1(k)和H2(k)的線性組合，步驟1720和1722可以被用于進一步改進性能。在步驟1720中，將正則化積分H1(k)和H2(k)與條目γ1M+1和γ2M+1乘以包括易于發(fā)生與條件調(diào)節(jié)相關(guān)的誤差的系數(shù)的函數(shù)F(k)組合以計算出在z上的樣本點處的最終積分G1(k)和G2(k)。因此方法可以在離散變換步驟之后進一步包括將正則化積分(H1(k)和H2(k))與正則化展開系數(shù)矢量(γ1,γ2)的擴展部分(γ1M+1,γ2M+1)乘以函數(shù)(F(k))組合以計算出在正交方向上的樣本點處的進一步的積分(G1(k)和G2(k))的步驟。在步驟1722中，執(zhí)行最終積分G1(k)和G2(k)的線性組合以計算出在沒有反射時的在z域中的散射電磁場該結(jié)果等效于如分別在圖11、13和15中的1150、1350和1550所識別出的步驟的結(jié)果。通過將包括步驟1720和1722的圖17A和圖17B的以上步驟插入如參照圖11至圖15所描述的體積分方法內(nèi)，可以使用計算出的進一步的積分來計算出結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)。在參照圖17A和圖17B所描述的實施例中，偽譜多項式展開是切比雪夫展開、離散變換是離散余弦變換并且在正交方向上的樣本點是切比雪夫節(jié)點。此外，切比雪夫節(jié)點包括積分被執(zhí)行所跨越的在正交方向上的域的端點。切比雪夫展開具有在特定柵格上的樣本與DCT之間的關(guān)系，因此可以使用FFT有效地實施。在另一實施例中，偽譜多項式展開是勒讓德展開并且離散變換是離散勒讓德變換。具有正則化的所提出的偽譜多項式展開產(chǎn)生較短的計算時間并且要求用于在波長方面高的光柵的較少存儲器。對于高達大約0.2波長高的光柵，計算時間上的增益相對低，即2的因子，但是對于具有數(shù)個波長的高度的光柵、例如在用于極紫外(EUV)光刻的量測中所使用的光柵來說，可以獲得在計算時間上的15至20的因子的改進。關(guān)于存儲器，增益直接與所要求的樣本的數(shù)量成正比，即已觀察到從8的因子到超過20的因子的內(nèi)側(cè)節(jié)省。此外，這里所描述的實施例在光柵的特定的部分(例如薄層)可以用低階展開被展開并且在波長方面長的其他部分以偽譜多項式展開被展開的意義上可以與已經(jīng)現(xiàn)有的低階展開(例如分段線性)組合。這產(chǎn)生了利用各展開的強項的整體算法。圖18以示意性形式示出配置有為了執(zhí)行根據(jù)本發(fā)明的實施例的方法的程序和數(shù)據(jù)的計算機系統(tǒng)。計算機系統(tǒng)包括中央處理單元(CPU)1802和用于存儲在程序執(zhí)行期間的程序指令1806和數(shù)據(jù)1808的隨機存取存儲器(RAM)1804。計算機系統(tǒng)還包括用于存儲在程序執(zhí)行之前和之后的程序指令和數(shù)據(jù)的盤存儲1810。程序指令1806包括離散余弦變換(DCT)例程1812、矩陣乘法函數(shù)1814、諸如加法和減法1816和陣列組織函數(shù)1818等的其他算數(shù)函數(shù)。數(shù)據(jù)1808包括在VIM系統(tǒng)的解的計算期間使用的4D陣列1820和2D陣列1822。用于輸入和輸出的其他傳統(tǒng)計算機部件未示出。在本發(fā)明的實施例中，傅里葉級數(shù)展開可以通過采用完美匹配層(PML)或者用以模仿朝向無限接近在其上使用傅里葉展開的單位單元的邊界的輻射的其他類型的吸收邊界條件而用于解析非周期性結(jié)構(gòu)。本發(fā)明的實施例可以根據(jù)參照圖5和圖6所描述的重構(gòu)方法來實施以提供從由通過輻射照射對象而產(chǎn)生的檢測到的電磁散射性質(zhì)重構(gòu)對象的近似結(jié)構(gòu)的方法。本發(fā)明的實施例可以通過在參照圖3和圖4所描述的處理單元PU上實施這里所描述的方法以提供用于重構(gòu)對象的近似結(jié)構(gòu)的檢查設(shè)備來實施。參照圖3、圖4和圖18所描述的處理器可以在含有用于計算結(jié)構(gòu)的電磁散射性質(zhì)的計算機可讀指令的一個或多個序列的計算機程序的控制下操作，指令適于引起一個或多個處理器執(zhí)行這里所描述的方法。雖然可能在該正文中對IC的制造中的檢查設(shè)備的使用進行了特定參考，但應(yīng)該理解的是，這里所描述的檢查設(shè)備可以具有其他應(yīng)用，如集成光學(xué)系統(tǒng)的制造、用于磁疇存儲器、平板顯示器、液晶顯示器(LCD)、薄膜磁頭等的引導(dǎo)和檢測圖案。本領(lǐng)域技術(shù)人員將領(lǐng)會的是，在這樣的可替代應(yīng)用的情況下，本文中的術(shù)語“晶片”或“裸片”的任何使用可以被視作分別與更上位的術(shù)語“襯底”或“目標(biāo)部分”同義。這里提到的襯底可以在曝光之前或之后在例如軌道(典型地將一層抗蝕劑施加至襯底并使經(jīng)過曝光的抗蝕劑顯影的工具)、量測工具和/或檢查工具中進行處理。在適用時，本文中的公開可以應(yīng)用于這樣的和其他襯底處理工具。此外，襯底可以被處理超過一次，例如以便創(chuàng)建多層IC，使得這里所使用的術(shù)語襯底也可以是指已經(jīng)含有多個經(jīng)過處理的層的襯底。上面描述的根據(jù)本發(fā)明的實施例的方法可以被包含到前向衍射模型內(nèi)，用于從由通過輻射照射對象而產(chǎn)生的諸如衍射圖案等的檢測到的電磁散射性質(zhì)來重構(gòu)對象(不限于1D周期性的)的近似結(jié)構(gòu)，如上面參照圖5和圖6所描述的。上面參照圖3和圖4所描述的處理單元PU可以被配置成使用該方法來重構(gòu)對象的近似結(jié)構(gòu)。雖然可能已在上面對在光學(xué)光刻的情況下的發(fā)明的實施例的使用進行了特定參考，但應(yīng)該領(lǐng)會的是，發(fā)明可以在任何應(yīng)用、例如壓印光刻中使用，并且只要情況允許并不限于光學(xué)光刻。在壓印光刻中，圖案形成裝置中的拓撲限定了創(chuàng)建在襯底上的圖案?？梢詫D案形成裝置的拓撲按壓到供給至襯底的一層抗蝕劑內(nèi)，隨之通過施加電磁輻射、熱、壓力或其組合使抗蝕劑固化。在抗蝕劑固化之后，將圖案形成裝置從抗蝕劑上移走，在其中留下圖案。這里所使用的術(shù)語“輻射”和“光束”涵蓋所有類型的電磁輻射，包括紫外(UV)輻射(例如，具有或大約365nm、355nm、248nm、193nm、157nm或126nm的波長)和極紫外(EUV)輻射(例如，具有在5nm至20nm的范圍內(nèi)的波長)，以及諸如粒子束或電子束等的粒子束。術(shù)語“透鏡”只要情況允許可以是指包括折射型、反射型、磁性型、電磁型和靜電型光學(xué)部件在內(nèi)的各種類型的光學(xué)部件中的任一個或組合。術(shù)語“電磁”涵蓋電的和磁的。術(shù)語“電磁散射性質(zhì)”涵蓋反射和透射系數(shù)及散射測量參數(shù)，包括光譜(如作為波長的函數(shù)的強度)、衍射圖案(作為位置/角度的函數(shù)的強度)和橫向磁的與橫向電的偏振光的相對強度和/或在橫向磁的與橫向電的偏振光之間的相位差。衍射圖案自身可以例如使用反射系數(shù)進行計算。因此，雖然關(guān)于反射散射描述了本發(fā)明的實施例，但發(fā)明也適用于透射散射。術(shù)語“正則化”是指引入附加信息以便解決不適定問題(ill-posedproblem)或防止過度擬合的過程。雖然已在上面描述的發(fā)明的特定實施例，但應(yīng)該領(lǐng)會的是，發(fā)明可以以除了所描述的以外的方式實踐。例如，發(fā)明可以采取含有描述了如上面所公開的方法的計算機可讀指令的一個或多個序列的計算機程序或者其中存儲有這樣的計算機程序的數(shù)據(jù)存儲介質(zhì)(例如，半導(dǎo)體存儲器、磁或光盤)的形式。需要領(lǐng)會的是，詳細描述部分并且不是發(fā)明內(nèi)容和摘要部分意在用于解釋權(quán)利要求。發(fā)明內(nèi)容和摘要部分可以陳述如發(fā)明人所設(shè)想出來的本發(fā)明的一個或多個但不是所有示例性實施例，并因此不意在以任何方式限制本發(fā)明和隨附權(quán)利要求。上面已在圖示出指定功能及其關(guān)系的實施的功能構(gòu)造塊的幫助下描述了本發(fā)明。這些功能構(gòu)造塊的界限為了描述方便在這里被任意進行了限定?？梢韵薅商娲慕缦蓿灰付üδ芗捌潢P(guān)系被適當(dāng)?shù)貓?zhí)行。特定實施例的上述描述如此充分地揭示了發(fā)明的一般性質(zhì)以至于其他人可以通過應(yīng)用本領(lǐng)域技術(shù)內(nèi)的知識容易地在無需過度實驗的情況下為各種應(yīng)用修改和/或改寫這樣的特定實施例，而不會脫離本發(fā)明的一般概念。因此，這樣的改寫或修改意在落入基于這里所呈現(xiàn)出的教導(dǎo)和指導(dǎo)的所公開的實施例的等效方式的含義和范圍內(nèi)。需要理解的是，本文中的措辭或術(shù)語是為了描述的目的并且不是限制性的，使得本說明書的術(shù)語或措辭應(yīng)當(dāng)由技術(shù)人員根據(jù)教導(dǎo)和指導(dǎo)來解釋。本發(fā)明的寬度和范圍不應(yīng)該受上面描述的示例性實施例中的任一個限制，而是應(yīng)該根據(jù)下面的權(quán)利要求及其等效方式來限定。參考文獻[1]L.M.Delves和J.L.Mohamed，積分方程的計算方法，劍橋大學(xué)出版社，1985年。[2]S.-Y.Kang、I.Koltracht和G.Rawitscher，具有間斷核的積分方程的-Clenshaw-Curtis求積法，計算數(shù)學(xué)，72:729–756，2002年3月。[3]W.H.Press、S.A.Teukolsky、W.T.Vetterling和B.P.Flannery，F(xiàn)ortran77中的數(shù)值選配方案：科學(xué)計算領(lǐng)域，劍橋大學(xué)出版社，第二版，1992年。[4]A.Quarteroni和A.Valli，偏微分方程的數(shù)值近似，斯普林格計算數(shù)學(xué)系列，斯普林格，1994年。[5]T.Hasegawa和T.Torii，通過切比雪夫級數(shù)展開的振蕩函數(shù)的不定積分，計算與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，17:21–29，1987年。