球體直觀圖及其北極點位置的構圖方法及使用的模板的制作方法
【技術領域】
[0001]本發(fā)明涉及一種球體直觀圖的畫法及其使用的模板,特別是公開一種球體直觀圖及其北極點位置的構圖方法及使用的模板,本發(fā)明的模板是學校文教用品,是一種用于繪制球體直觀圖的工具模板。
【背景技術】
[0002]在二維平面上,畫出的具有立體感的圖形,叫直觀圖。選擇一個適當?shù)男逼叫型队胺较?,可以得到斜二測直觀圖。因此,得到的斜二測直觀圖實際上是一個影子,斜二測直觀圖是不直觀的直觀圖。假定視線是平行的,并且視線的方向順著平行投影的方向,這時看到的投影實際上是幾何體在平行投影線法平面上的正投影。常見的正等測直觀圖就是這種正投影。這種直觀圖是直觀的直觀圖。但是,由于正等測直觀圖要求投影線與三個坐標平面都不平行,這種規(guī)定,約束了人們的想象力。
[0003]幾十年來,無法簡單有效地畫出球體直觀圖一直成為學界的心中之痛,歪歪扭扭的教科書球體插圖也成為數(shù)學的一種恥辱。造成出現(xiàn)這種附圖情況的原因是生搬硬套軸測圖,對球體直觀圖北極點和南極點的位置定位不正確,見附圖3,球體直觀圖上的北極點是隨著赤道橢圓離心率的變小而下移的。北極點定位不準確,南極點的位置也相應不正確,勢必畫出的球體直觀圖比例失真,不能獲得良好的直觀視覺效果,見附圖1和附圖2,類似的插圖在教科書中隨處可見。
[0004]由于代表國家最高水平的、經(jīng)嚴格審定的教科書出了如此問題,高考試題插圖中問題也屢見不鮮,教師論文插圖無奇不有也就不足為怪。為了千千萬萬下一代學生空間想象力的培養(yǎng),這種狀況應當?shù)酱藶橹埂?br>
【發(fā)明內(nèi)容】
[0005]本發(fā)明的目的是解決現(xiàn)有技術中繪制球體直觀圖時不能正確定位北極點、南極點的問題,公開一種球體直觀圖及其北極點位置的構圖方法及使用的模板,本發(fā)明設計的模板,兼容簡單多面體,還能繪制出真正的球體直觀圖,解決了目前國家標準教科書上尚未解決的難題。
[0006]本發(fā)明是這樣實現(xiàn)的:一種球體直觀圖及其北極點位置的構圖方法及使用的模板,其特征在于所述北極點位置的確定:在T平行投影方向下,以球心0為圓心、赤道橢圓的短半軸為半徑畫圓,交赤道橢圓長半軸于點A,連接點A和圓心0為線段A0,過圓心0向球體北極方向作線段A0的垂線,與球體的輪廓圓相交于點D,為線段D0,過點A向球體北極方向作線段A0的垂線,與球體的輪廓圓相交于點B,為線段AB,過點B作線段A0的平行線,得到與線段D0相交的交點C,所述的交點C為球體直觀圖北極點的位置;所述球體直觀圖的南極點位置的確定與北極點的位置的確定方法相同、方向相反;過所述的北極點和南極點作球體的經(jīng)線,完成球體直觀圖的繪制。
[0007]所述的模板分為經(jīng)線模板和瑋線模板,使用所述的模板確定球體直觀圖上北極點的位置,所述的經(jīng)線模板繪制球體直觀圖的赤道橢圓及球體直觀圖上經(jīng)線的大圓,所述的瑋線模板在利用經(jīng)線模板畫出瑋線定位大圓的基礎上繪制球體直觀圖的瑋線小圓,所述的經(jīng)線模板和瑋線模板均設有繪制垂線和平行線的直線部分;所述的經(jīng)線模板上排中設置了具有同樣長軸、不同短軸的經(jīng)線橢圓,供畫大圓使用,其中標記為8#、16#、24#的經(jīng)線橢圓為推薦使用的赤道橢圓;下排設有四個球體圓,其中右下角的球體圓為帶有用于繪制赤道橢圓基準的四等分標記的球體輪廓圓,左側三個橢圓分別為對應于三種推薦赤道橢圓的、帶有北極點和南極點的瑋線定位大圓,在畫瑋線定位大圓的同時也畫出了北極點和南極點,最后再根據(jù)需要使用瑋線模板畫出各種不同位置的瑋線小圓。
[0008]根據(jù)附圖4,有一種正投影方向雖然不滿足正投影的要求,卻是最原始的直觀方向,稱為T平行投影方向。設平行投影線與4由、4由、4由的夾角依次為α,90°,90° -α
(α為銳角),則稱這種投影方向為Τ平行投影方向。
[0009]軸測軸的單位長度與相應直角坐標軸的單位長度的比值,叫做軸向伸縮系數(shù)。根據(jù)附圖5?附圖8,軸向伸縮系數(shù)結論一:直觀圖上軸測軸方向的線段長度(作直觀圖時量取的長度)與實際長度的比值叫做軸向伸縮系數(shù);
軸向伸縮系數(shù)結論二:在正投影時,直觀圖上軸測軸方向的線段長度也就是直接看到的、投影線法平面上的線段長度(如附圖4中的線段AC)。所以,附圖4中X軸的軸向伸縮系數(shù)=AC/AB=sin α。(線段AC就是線段AB在平行投影線法平面上的射影,而AB正是在相應直角坐標系中占有的計算長度);
軸向伸縮系數(shù)結論三:在T平行投影方向下,這三個座標軸的伸縮比例依次為sina、sin90°、sin (90° -α),即 sina, 1,cos a。
[0010]從軸向伸縮系數(shù)的定義及其容易驗證的結論可以看出,由軸向伸縮系數(shù)確定畫直觀圖時軸向的線段長度。在正投影時,這個長度既是畫圖的線段長度,也是眼睛看到的(假設視線與平行投影方向一致)、因而也是直觀的、在平行投影線法平面上的那一部分影像。因此,幾何體在視線法平面上的射影就是幾何體的直觀圖。
[0011]對本發(fā)明確定的北極點位置和南極點位置的證明如下。
[0012]根據(jù)附圖4,圖中的橢圓在平面中是一個圓。所以在二維平面上畫球的直觀圖時,赤道橢圓的短、長軸之比,就是的軸向伸縮系數(shù),見附圖10。
[0013]根據(jù)附圖11,設球半徑為1,平行投影線與的夾角依次為a,90°,90° -a ( α為銳角)。以物圓心,β?為半徑畫圓交例于點為,過點為作咖勺垂線交球輪廓大圓于點忍,過點忍作的平行線交4由于點
[0014]由軸向伸縮系數(shù)結論二,4由的軸向伸縮比例=ΑΒ:ΜΝ=0Α !: OB^ cos β ;
又4由的軸向伸縮系數(shù)=sin a ,
所以 cos β = sin acos2 β = sin2 a1-cos2 β =1- sin2 asin2 β = cos2 a,
因為a,β都是銳角,所以sinP=cosa sinP=A1B1= 0C 所以 0C=cos a o
[0015]由軸向伸縮系數(shù)結論三,cos α就是ζ軸的軸向伸縮比例,因此,點C就是北極點。
[0016]在確定了球體的北極點和南極點后,繪制球體直觀圖從理論上已成為可能。但現(xiàn)有技術繪制過程中過多的輔助線不僅將主要線條嚴重遮擋,而且過程極其繁瑣。雖然本發(fā)明北極點位置的確定方法糾正了現(xiàn)有技術中確定的北極點位置的歷史性錯誤,但目前尚無一種有效的工具來簡易地完成球體直觀圖的繪制,目前普遍使用的機械制圖用的正等測模板是無法完成這種繪制的。所以在確定了球體直觀圖上北極點位置、南極點位置的基礎上,本發(fā)明設計了新穎、易用繪制球體直觀圖的模板,本發(fā)明設計的球體直觀圖模板分為兩塊:一塊專門用來畫球體直觀圖上的經(jīng)線大圓和一般位置大圓的經(jīng)線模板和另一塊專門用來畫球體直觀圖上的瑋線小圓的瑋線模板。
[0017]本發(fā)明的有益效果是:糾正了現(xiàn)有技術中北極點位置確定的錯誤,并設計了一種由“理論上北極點位置的確定”引伸出的能確定北極點位置及南極點位置的模板,并提供了三種經(jīng)常使用的北極點