本發(fā)明具體涉及一種新型強(qiáng)化混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法。

背景技術(shù)：

近年來，隨著信息安全的問題日益凸顯，混沌及其在信息安全中的應(yīng)用逐漸成為了研究熱點(diǎn)?；煦缦到y(tǒng)具有初值敏感性、類噪聲性和遍歷性等特點(diǎn)，使其在密碼學(xué)應(yīng)用中具有特有的優(yōu)勢。此外，混沌序列通過簡單迭代即可生成，能滿足信息的實(shí)時(shí)加密的要求。

低維離散混沌映射因其具有實(shí)現(xiàn)簡單，迭代開銷小等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛地應(yīng)用于密碼學(xué)。然而，隨著計(jì)算機(jī)和云計(jì)算的發(fā)展，許多低維混沌映射因其具有較少的系統(tǒng)參數(shù)和變量，且結(jié)構(gòu)簡單，在應(yīng)用于密碼學(xué)時(shí)，其加密的初始條件、參數(shù)和運(yùn)動(dòng)軌跡可能被混沌信號(hào)評(píng)估技術(shù)所預(yù)測，從而存在安全隱患。相比較而言，高維離散混沌映射(尤其是超混沌映射)具有較多的系統(tǒng)參數(shù)和變量，復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，所以其應(yīng)用系統(tǒng)具有更高的安全性。因此，高維混沌映射是密碼學(xué)應(yīng)用中的潛在理想模型。

為了提高低維混沌映射的性能，人們提出了許多構(gòu)造強(qiáng)化混沌系統(tǒng)的方法，如調(diào)制、耦合、級(jí)聯(lián)、維數(shù)拓展等，并已證明了其有效性。但是基于這些單一的方法，仍難以保障混沌應(yīng)用系統(tǒng)的安全性。如級(jí)聯(lián)混沌能增加系統(tǒng)的復(fù)雜性，但是無法克服密鑰空間較小的不足。同理，維數(shù)拓展能夠提高系統(tǒng)的密鑰空間，但不能保證生成混沌序列的復(fù)雜度高，即隨機(jī)性更好。如何設(shè)計(jì)一個(gè)能全面提高離散混沌系統(tǒng)性能的復(fù)合方法具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和研究價(jià)值。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的在于提供一種能夠提高系統(tǒng)的密鑰空間和系統(tǒng)的混沌性能的新型強(qiáng)化混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法。

本發(fā)明提供的這種新型強(qiáng)化混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法，包括如下步驟：

s1.任意選取兩個(gè)一維混沌映射f(·)和g(·)；

s2.利用混沌映射f(·)調(diào)制混沌系統(tǒng)g(·)的輸出值，并將調(diào)制結(jié)果建立閉環(huán)耦合模型，得到構(gòu)造的最終的高維離散混沌映射系統(tǒng)，即強(qiáng)化混沌系統(tǒng)。

步驟s2所述的利用混沌映射f(·)調(diào)制混沌系統(tǒng)g(·)的輸出值，并將調(diào)制結(jié)果建立閉環(huán)耦合模型，具體為采用如下公式進(jìn)行調(diào)制和建立閉環(huán)耦合模型：

式中x＝[x1,x2,...,xn]^t為混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a、b、c、d、e為耦合參數(shù)，用于調(diào)整系統(tǒng)工作于混沌態(tài)，a、b、c、d、e的取值規(guī)則為a、c、e∈(0,+∞)，且b、d∈(-∞,+∞)。

本發(fā)明提供的這種新型強(qiáng)化混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法，通過閉環(huán)調(diào)制耦合的方式將兩個(gè)一維混沌映射進(jìn)行調(diào)制，并引入多個(gè)系統(tǒng)參數(shù)，不僅拓展了維數(shù)，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)也增多，從而增大了系統(tǒng)的密鑰空間；而且通過動(dòng)力學(xué)特性分析表明，本發(fā)明方法可以提高系統(tǒng)的混沌性能，甚至可以由兩個(gè)普通混沌系統(tǒng)產(chǎn)生具有兩個(gè)正的lyapunov指數(shù)的超混沌系統(tǒng)；此外，復(fù)雜度分析表明，本發(fā)明方法能提高產(chǎn)生混沌序列的復(fù)雜度；最后，本發(fā)明方法適用性強(qiáng)，靈活性高。通過選用不同的一維混沌映射或者切換g(·)為反饋控制函數(shù)，可以構(gòu)造出許多不同的混沌映射系統(tǒng)，甚至是超混沌系統(tǒng)。此外，系統(tǒng)維數(shù)n可設(shè)置為任意大于1的整數(shù)，因此還可以得到任意維數(shù)的混沌系統(tǒng)，能滿足目前的各種實(shí)際應(yīng)用需求。

附圖說明

圖1為本發(fā)明方法的閉環(huán)調(diào)制耦合方法的原理框圖。

圖2為si-cmcm系統(tǒng)的吸引子相圖。

圖3為si-cmcm系統(tǒng)的lyapunov指數(shù)譜。

圖4為si-cmcm、sine映射和icmic映射的排列熵復(fù)雜度。

圖5為sc-cmcm系統(tǒng)的吸引子相圖。

圖6為sc-cmcm系統(tǒng)的lyapunov指數(shù)譜。

圖7為sc-cmcm和sine映射的排列熵復(fù)雜度。

具體實(shí)施方式

如圖1所示為本發(fā)明方法的閉環(huán)調(diào)制耦合方法的原理框圖。本發(fā)明提供的這種新型強(qiáng)化混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法，包括如下步驟：

s1.任意選取兩個(gè)一維混沌映射f(·)和g(·)；

s2.利用混沌映射f(·)調(diào)制混沌系統(tǒng)g(·)的輸出值，并將調(diào)制結(jié)果建立閉環(huán)耦合模型，得到構(gòu)造的最終的離散混沌映射系統(tǒng)；具體為采用如下公式進(jìn)行調(diào)制和建立閉環(huán)耦合模型：

式中x＝[x1,x2,...,xn]^t為混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a、b、c、d、e為耦合參數(shù)，用于調(diào)整系統(tǒng)工作于混沌態(tài)，a、b、c、d、e的取值規(guī)則為a、c、e∈(0,+∞)和b、d∈(-∞,+∞)；其中d為一個(gè)延時(shí)單元。

以下通過若干實(shí)例和對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行相應(yīng)的分析(包括吸引子相圖、lyapunov指數(shù)譜、分岔圖以及復(fù)雜度)，從而證明本發(fā)明方法的有效性。

圖2所示為si-cmcm系統(tǒng)的吸引子相圖：(a)(μ,λ,ω)＝(2,π,0.5)，(b)(μ,λ,ω)＝(2,π,1)，(c)(μ,λ,ω)＝(2,π,3)，(d)(μ,λ,ω)＝(2,π,5)，(e)(μ,λ,ω)＝(2.5,π,5)，(f)(μ,λ,ω)＝(3,π,5)。

圖3所示為si-cmcm系統(tǒng)在不同參數(shù)時(shí)的lyapunov指數(shù)譜：(a)(λ,ω)＝(π,5)，(b)(μ,ω)＝(1,5)，(c)(μ,λ)＝(1,π)，以及分岔圖：(d)(λ,ω)＝(π,5)，(e)(μ,ω)＝(1,5)，(f)(μ,λ)＝(1,π)。

圖4所示為si-cmcm、sine映射和icmic映射的排列熵復(fù)雜度。

圖5所示為sc-cmcm系統(tǒng)在不同參數(shù)時(shí)的吸引子相圖：(a)(μ,λ,k)＝(1,π,8)，(b)(μ,λ,k)＝(1,2π,8)，(c)(μ,λ,k)＝(0.5,2π,8)，(d)(μ,λ,k)＝(1,π,100)，(e)(μ,λ,k)＝(1,2π,100)，(f)(μ,λ,k)＝(0.5,2π,100)。

圖6所示為sc-cmcm系統(tǒng)取不同參數(shù)時(shí)的lyapunov指數(shù)譜：(a)(λ,k)＝(2π,100)，(b)(μ,k)＝(1,100)，(c)(μ,λ)＝(1,2π)，以及分岔圖：(d)(λ,k)＝(2π,100)，(e)(μ,k)＝(1,100)，(f)(μ,λ)＝(1,2π)。

圖7為sc-cmcm和sine映射的排列熵復(fù)雜度。

實(shí)例一，si-cmcm混沌映射：

步驟1：選取f(·)為sine映射，g(·)為無限折疊迭代混沌映射(iterativechaoticmapwithinfinitecollapse,icmic)，它們的系統(tǒng)方程分別為

x(n+1)＝μ1sin(λx(n+1))，

x(n+1)＝μ2sin(ω/x(n))，

其中μ1、μ2、λ、ω為系統(tǒng)參數(shù)，且μ1、μ2、λ、ω∈(0,+∞)。

步驟2：取耦合參數(shù)(a,b,c,d,e)＝(1,0,1,0,1)，并將兩個(gè)混沌映射相調(diào)制，得到sineicmic調(diào)制映射(sineicmicmodulationmap，simm)的系統(tǒng)方程為

x(n+1)＝μsin(λx(n))sin(ω/x(n))。

注意，耦合參數(shù)的選取需根據(jù)這兩個(gè)一維混沌映射的狀態(tài)變量，以及部分系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍來初步確定，并在仿真實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行調(diào)整，使系統(tǒng)工作于混沌態(tài)。

步驟3：取系統(tǒng)維數(shù)n＝2，并將simm系統(tǒng)的維數(shù)拓展到二維，且形成閉環(huán)耦合，得到sineicmic閉環(huán)調(diào)制耦合映射(sineicmicclose-loopmodulationcouplingmap,si-cmcm)的系統(tǒng)方程為

其中x(n)、y(n)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，μ、λ、ω為系統(tǒng)參數(shù)，且μ、λ、ω∈(0,+∞)。當(dāng)取參數(shù)(μ,λ,ω)＝(1,π,5)時(shí)，si-cmcm混沌系統(tǒng)有兩個(gè)正的lyapunov指數(shù)(4.1708,2.9349)。顯然，系統(tǒng)處于超混沌態(tài)，具有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

步驟4：進(jìn)一步分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，包括吸引子相圖、lyapunov指數(shù)譜、分岔圖以及復(fù)雜度。

si-cmcm系統(tǒng)的吸引子相圖如圖2所示。由圖2(a)-(d)可知，當(dāng)取參數(shù)(μ,λ)＝(2,π)時(shí)，隨參數(shù)ω的增大，吸引子分布的區(qū)域也增大，且分布更加均勻。因此，隨著參數(shù)ω的增大，混沌性能得到提升。由圖2(d)-(f)可知，系統(tǒng)狀態(tài)變量x(n)、y(n)∈[-μ,μ]，且以兩條相差t/2相位的正弦曲線構(gòu)成邊界線。因此，吸引子的運(yùn)動(dòng)區(qū)域?yàn)?/p>

混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為常用lyapunov指數(shù)譜和分岔圖來評(píng)估。當(dāng)取參數(shù)(λ,ω)＝(π,5)時(shí)，si-cmcm系統(tǒng)隨參數(shù)μ變化的lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖3(a)、(d)所示?？梢?，當(dāng)μ∈[0.68,5]時(shí)，系統(tǒng)在μ∈[0.705,0.725]∪[2.765,2.802]∪[3.515,3.635]處存在三個(gè)窄的周期窗口，其他區(qū)域則處于混沌態(tài)或者超混沌態(tài)(μ∈[0.735,2.76])。當(dāng)取參數(shù)(μ,ω)＝(1,5)時(shí)，si-cmcm系統(tǒng)隨參數(shù)λ變化的lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖3(b)、(e)所示?？梢?，當(dāng)λ∈[2,10]時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)正的lyapunov指數(shù)，說明系統(tǒng)處于超混沌態(tài)。當(dāng)取參數(shù)(μ,λ)＝(1,π)時(shí)，si-cmcm系統(tǒng)隨參數(shù)ω變化的lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖3(c)、(f)所示。可見，當(dāng)ω∈[1.165,15]時(shí)，除在ω∈[3.175,3.25]處存在一個(gè)窄周期窗口外，其它區(qū)域呈超混沌態(tài)。此外，隨著參數(shù)ω的增大，系統(tǒng)的lyapunov指數(shù)總體呈增大的趨勢，系統(tǒng)混沌性能不斷提高，這與之前的分析一致。

在密碼學(xué)應(yīng)用中，混沌系統(tǒng)生成時(shí)間序列的隨機(jī)性越好，密碼系統(tǒng)的安全性也就越高。而序列的隨機(jī)性可以通過復(fù)雜度算法來衡量，其中排列熵(permutationentropy,pe)算法因?qū)崿F(xiàn)簡單而被廣泛地使用。在本實(shí)驗(yàn)中，選用排列熵算法來計(jì)算si-cmcm(λ＝π,ω＝5)、sine映射(λ＝π)和icmic映射(ω＝π)的復(fù)雜度，并設(shè)定嵌入維數(shù)p＝5，時(shí)間延遲τ＝1。計(jì)算結(jié)果如圖4所示?？梢?，si-cmcm系統(tǒng)的排列熵復(fù)雜度接近于理想值1，且遠(yuǎn)高于它的兩個(gè)原始系統(tǒng)，這進(jìn)一步說明了該構(gòu)造方法能夠提高混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度。

實(shí)例二，sc-cmcm混沌映射：

chebyshev映射的系統(tǒng)方程為

x(n+1)＝cos(kcos^-1(x(n)))，

其中x(n)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，k為系統(tǒng)參數(shù)，且k∈(0,+∞)。

當(dāng)選取f(·)為sine映射，g(·)為chebyshev映射，耦合參數(shù)(a,b,c,d,e)＝(1,0,1,0,1)，以及維數(shù)n＝2時(shí)，用類似的方法，可以得到sinechebyshev閉環(huán)調(diào)制耦合映射(sinechebyshevclose-loopmodulationcouplingmap,sc-cmcm)的系統(tǒng)方程為

其中x(n)、y(n)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，μ、λ、k為系統(tǒng)參數(shù)。當(dāng)取參數(shù)(μ,λ,k)＝(1,2π,100)時(shí)，2d-scmm系統(tǒng)的lyapunov指數(shù)為(3.8315,2.9098)，呈超混沌態(tài)。

sc-cmcm系統(tǒng)的吸引子相圖如圖5所示?？梢?，其吸引子由一些類正弦腔構(gòu)成。如圖5(a)、(b)所示，當(dāng)參數(shù)μ、k固定時(shí)，參數(shù)λ每增大一倍，腔體個(gè)數(shù)也增多一倍。如圖5(b)、(c)所示，當(dāng)參數(shù)λ、k固定時(shí)，參數(shù)μ1每增大一倍，腔體個(gè)數(shù)也增多一倍。可得到這些類正弦的邊界曲線的周期t＝2π/λ，系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(n)、y(n)∈[-μ,μ]，從而腔體的個(gè)數(shù)n＝2μ/(t/2)＝2μλ/π。此外，比較圖5(a)-(c)與(d)-(f)可知，當(dāng)參數(shù)μ,λ固定時(shí)，隨著參數(shù)k的增大，吸引子的密度線減少，分布更加均勻，且吸引子相圖由中心對(duì)稱趨于軸對(duì)稱，邊界曲線也更趨近于正弦曲線。

當(dāng)取參數(shù)(λ,k)＝(2π,100)時(shí)，sc-cmcm系統(tǒng)隨參數(shù)μ變化的lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖6(a)、(d)所示?？梢姡?dāng)μ>0.288時(shí)，系統(tǒng)只有一個(gè)正的lyapunov指數(shù)，呈混沌態(tài)；當(dāng)μ>0.356時(shí)，系統(tǒng)具有兩個(gè)正的lyapunov指數(shù)，呈超混沌態(tài)。當(dāng)取參數(shù)(μ,k)＝(1,100)時(shí)，sc-cmcm系統(tǒng)隨參數(shù)λ變化的lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖6(b)、(e)所示?？梢?，當(dāng)λ>1.76時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，且當(dāng)λ>2.28時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入超混沌態(tài)。當(dāng)取參數(shù)(μ,λ)＝(1,2π)時(shí)，sc-cmcm系統(tǒng)隨參數(shù)k變化的lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖6(c)、(f)所示?？梢姡趉等于奇數(shù)的某個(gè)較小的鄰域內(nèi)，將出現(xiàn)周期窗口，而其他區(qū)域則呈超混沌態(tài)。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)該取k值為偶數(shù)，以保證系統(tǒng)狀態(tài)不是周期態(tài)。

當(dāng)取參數(shù)(λ,k)＝(2π,100)時(shí)，sc-cmcm與sine映射隨參數(shù)μ(μ1)變化的排列熵復(fù)雜度如圖7所示?？梢?，sc-cmcm系統(tǒng)的排列熵復(fù)雜度接近于理想值1，且遠(yuǎn)大于sine映射的復(fù)雜度。因此，該系統(tǒng)能產(chǎn)生高復(fù)雜度的偽隨機(jī)序列。

上述實(shí)例僅為清楚地說明本發(fā)明所作的舉例，而并非是對(duì)其實(shí)施方式的限定，對(duì)于所屬領(lǐng)域的技術(shù)人員來說，在上述說明的基礎(chǔ)上還可以做出以下幾種不同形式的變化。

(1)可以選用不同的一維混沌映射作為原始混沌系統(tǒng)。目前已經(jīng)采用sine、logistic、icmic、cubic、chebyshev等一維離散混沌映射兩兩組合構(gòu)造出了多個(gè)新的混沌映射系統(tǒng)。

(2)切換反饋控制函數(shù)為g(·)。例如，對(duì)于si-cmcm系統(tǒng)，切換icmic映射為反饋控制函數(shù)后得到icmicsine閉環(huán)調(diào)制耦合映射(icmicsineclose-loopmodulationcouplingmap,is-cmcm)的系統(tǒng)方程為

(3)選用不同的系統(tǒng)維數(shù)n值。例如，對(duì)于si-cmcm系統(tǒng)，選用系統(tǒng)維數(shù)n＝3時(shí)，可以得到其三維表達(dá)式為

其中x(n)、y(n)、z(n)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

(4)基于兩個(gè)簡單的一維離散混沌映射，采用閉環(huán)調(diào)制耦合方法，構(gòu)造出高維離散混沌系統(tǒng)。為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的復(fù)雜性與多樣性，可建立基于多個(gè)一維混沌映射的閉環(huán)調(diào)制耦合模型。已知兩個(gè)一維混沌映射簇：f＝[f1,f2,...,fn],g＝[g1,g2,...,gn],分別用f簇中的系統(tǒng)調(diào)制g簇中的系統(tǒng)，并形成一個(gè)閉環(huán)耦合，便得到多系統(tǒng)閉環(huán)調(diào)制耦合模型，其表達(dá)式為

整個(gè)系統(tǒng)的維數(shù)為第i行表示系統(tǒng)簇i，且總共有m個(gè)系統(tǒng)簇。在系統(tǒng)簇i中，分別采用fi映射調(diào)制gi映射，并將結(jié)果擴(kuò)展為ni維，且在各個(gè)等式之間建立耦合，使得狀態(tài)變量xj+1與xj相關(guān)聯(lián)。之后建立簇間耦合，使得系統(tǒng)簇i+1的第1個(gè)狀態(tài)變量與第i簇的最后一個(gè)狀態(tài)變量相關(guān)聯(lián)，i＝1,2,...,m-1，而第1簇的第1個(gè)狀態(tài)變量與第m簇的最后個(gè)狀態(tài)變量相關(guān)聯(lián)，從而形成閉環(huán)耦合。若取m＝n1＝n2＝2，即系統(tǒng)維數(shù)為n1+n2＝4，函數(shù)f1(x)為sine映射，g1(x)為無限折疊迭代混沌映射(iterativechaoticmapwithinfinitecollapse,icmic)，f2(x)為sine映射，g2(x)為logistic映射(其系統(tǒng)方程為x(n+1)＝μx(n)(1-x(n)))，即可得到多系統(tǒng)閉環(huán)調(diào)制耦合映射i(multi-systemclose-loopmodulationcouplemap-i,mmcm-i)的系統(tǒng)方程為

其中x(n)、y(n)、z(n)、w(n)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，μ、λ、c、α、β為系統(tǒng)參數(shù)。

表1還列出了一些基于典型一維離散混沌映射及通過閉環(huán)調(diào)制耦合方法設(shè)計(jì)出的新型高維離散混沌映射的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)、參數(shù)個(gè)數(shù)、pe復(fù)雜度及工作狀態(tài)?？梢?，利用閉環(huán)調(diào)制耦合方法設(shè)計(jì)出的新系統(tǒng)具有更高的復(fù)雜度，更大的參數(shù)空間及更復(fù)雜的超混沌行為。從而驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)方法的有效性。

表1不同混沌映射的狀態(tài)變量和工作狀態(tài)