專利名稱：一種加速rsa私鑰尋找的算法的制作方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及一種信息安全加密的私鑰加速生成算法，尤其是RSA算法私鑰的生成 過程加速。
背景技術(shù)：
RSA即非對稱密鑰加密體系的一種加解密方法，其利用素?cái)?shù)的特性來進(jìn)行加密和 解密。其技術(shù)特征如下對于兩個素?cái)?shù)ρ和q，其乘積記為n，即η = pq，令t = (p_l) (q_l)。另外在找兩個素?cái)?shù)d和e，使得0 < e < d < η,同時使得d、e均與p、q互素，且與 t互素。如果d和e滿足下式d*e = 1 (modt) (1)則對于任意的明文M < n，均可以通過下式得到密文C Me = C (mod η) (2)同時，可以通過下式從密文C得到明文M Cd = M (mod η) (3)此時，以η禾Π e可以作為公鑰發(fā)布給任意人，而η禾Π d作為私鑰保存。從η和e推導(dǎo)出d通常被認(rèn)為是不可能，因而各種暴力尋找的方法都是從分解η 入手，現(xiàn)在2048位的RSA算法還被公認(rèn)為安全的。大素?cái)?shù)分解的復(fù)雜度在理論上被認(rèn)為是 等同于RSA的安全性。本專利尋找一種途徑以便從來試圖推導(dǎo)出d，在知道ρ和q的時候能夠非常 迅速地推導(dǎo)出d，這是本專利的主要用途；而其也是可用于一種對RSA強(qiáng)度的評價方式。事 實(shí)證明，本專利闡述的方法屬于0(n°_5)，這表明RSA仍然是可靠的，但是RSA不是NP完全 的，也不是多項(xiàng)式安全的。下面兩個公式后面可能會用到，這里用％來表示mod運(yùn)算(A*B) % N = ((A% N)*B) % N = ((A% N)*(B% N)) % N (4)(A+B) % N = ((A% N) +B) % N = ((A% N) + (B% N)) % N (5)這兩個公式可以根據(jù)取模數(shù)的性質(zhì)得到，這里涉及到的符號均為正整數(shù)。我們假設(shè)％運(yùn)算對于B = C可以等價為A = k*B+C (6)數(shù)學(xué)論述中常把k記為gcd，我們假設(shè)其為滿足上式的整數(shù)。

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明提出一種加速尋找d的方法，能夠結(jié)合作為η和e的關(guān)系，利用取模的性質(zhì) 和內(nèi)在要求。在知道P和q的情況下可以快速推導(dǎo)出d ；在P和q未知的情況下可以通過 窮舉來推知d。本發(fā)明的原理為
對于(1)式，我們可以利用(6)式的表述方法，將其表述為待定系數(shù)的形式d氺e = k氺t+1 = k(p-l) (q_l)+l = k氺ri_k氺(p+q)+k+1 (1，)我們可以把e從等式左邊移去，即在等式右邊除以e。由于上述變量均要求是整 數(shù)，即要求等式右邊是e的倍數(shù)，即[k* (n- (p+q) +1) +1] % e = 0 (7)(7)式表明，如果我們知道p+q，是可以推導(dǎo)出k的取值規(guī)律的。利用(5)式和(6) 式，我們可以得到⑵式可以化為{(k% e)*[ (n+1) % e_(p+q) % e]+l} % e = 0 (8)其中(k% e)為不大于e的整數(shù)，(n+1) % e為不大于e的常數(shù)，對于我們所是已 知參數(shù)。P、q是兩個素?cái)?shù)，其和是合數(shù)，對于我們來說是一個未知數(shù)，( +0%6小于 對 于利用RSA實(shí)現(xiàn)的軟件來說，如果為了生成d，可以保留t和利用(p+q) % e的值即可加速 d的生成過程。令u = k%e，v = (p+q) % e, c = (n+1) % e，這意味著[u* (c-v) +1] % e = 0 (9)因此可以得到u*(c_v) = w*e_l (10)利用(10)式，我們可以在知道ρ和q的時候確定u和ν同時得到W。若ρ和q不 可知，仍然可以利用U、V、c均小于e，且均為整數(shù)的內(nèi)在屬性，我們可以數(shù)值求解的方法得 到可能的u和V。一般是改變w求得u和c-v，如果c < ν的時候給c加e后再進(jìn)行運(yùn)算。可以得到這個推導(dǎo)過程的復(fù)雜度上限為0(e2)，由于e小于η且理論上不定，這個 算法的復(fù)雜度上限為0 (η2)。如果e比較小(事實(shí)上也是如此)，我們可以很快推導(dǎo)出上述 幾個參數(shù)。然后把u和ν帶入d = (χ氺e+u)氺(ri+l_v_y氺e)+l (11)= _x氺y氺e+(U氺y+n氺x+x_v氺χ)氺e+u氺(n+1-v)+1= z*e+[u*(n+l-v)+l]其中x、y均為相關(guān)取模運(yùn)算的根，為整數(shù)。ζ為整數(shù)，e較小的時候可以窮舉V，即 可視U*(n+l-v)+l為已知。(11)式表明，我們只要利用某個已知常數(shù)和e即可探索到d的 值，此時只要滿足d加解密過程即可，且ζ還滿足某個關(guān)系式ζ = -X*y+(u*y+n*X+X-V*X)， 能夠更快地進(jìn)行搜尋。如果p+q事先已知，事情就演化為根據(jù)n、e、p和q求k，由(9)式可以求得U從而 很快求得d，只要下面公式中k取最小即可d = [k(n-(p+q)+l)+l]/e (12)一般為了計(jì)算中利于加密或者解密過程的計(jì)算，選擇很小的e或者d來進(jìn)行，其中 有以e < d居多，這意味著雖然我們從e推導(dǎo)u和ν的過程復(fù)雜度上限是二次項(xiàng)的，但是計(jì) 算過程并不復(fù)雜，選擇較大的e可以避免這個情況。由(11)式可以看出，由于χ—般取0，得 到全部u、v的復(fù)雜度為0(e)，得到d的時間復(fù)雜度為0(ez) =0(ey+v) = 0(p+q) 0(n°_5)， 這個表明RSA并不是多項(xiàng)式安全的，但是對于目前來說RSA還是相對安全的。從上面的分析可以看出，可以利用本專利提出的方法，在已知p+q的情況下來加 速生成RSA的私鑰，或者在已知私鑰的時候計(jì)算公鑰。對于某些要求快速生成私鑰的特殊場合意義非常大。
具體實(shí)施例方式如果p+q已知，可以利用(10)式直接推導(dǎo)出u，k = x*e+u，一般來說χ等于0，U 即為k，帶入(12)式就可以求得d。如果不知道p+q，則利用(10)式確定u和V，再利用(11)式來推導(dǎo)d，其中ζ可以 用ζ = _x*y+ (u*y+n*x+x-v*x)來加速。對每一個d進(jìn)行解密驗(yàn)證，滿足M和C之間關(guān)系的 d就是私鑰，這個過程的復(fù)雜度為0(n°_5)，目前來說還是比較難計(jì)算的。
權(quán)利要求
一種用于加速RSA私鑰生成過程的算法，其特點(diǎn)在于已知p+q的時候，利用L＝t％e，u*L＝w*e 1來改變w求得最小的u，再利用d＝[(x*e+u)*t+1]/e來改變x求得d；停止對x搜索的條件是n、e和d通過任意明文加解密測試。其中t＝n (p+q)+1；而u、w和x均為非負(fù)整數(shù)，且均小于e。其他確定u和x的方法不改變本專利的特性。未知p+q的時候，利用c＝(n+1)％e和u*(c v)＝w*e 1來確定u和v所有的組合。再窮盡這些u和v的組合，利用d＝z*e+[u*(n+1 v)+1]來改變z搜索d；停止的條件是n、e和d通過任意明文加解密測試。其中z可以利用z＝ x*y+(u*y+n*x+x v*x)來加速搜尋工作；其他停止條件和加速條件不改變本專利的特性。
全文摘要
本發(fā)明公開一種信息安全領(lǐng)域的RSA體系私鑰加速生成方法。1、已知p+q時，利用歐拉指標(biāo)函數(shù)t和L＝t％e、u*L＝w*e-1來改變w求得最小的u，再利用d＝[(x*e+u)*t+1]/e來改變x求得私鑰d；停止條件是n、e和d通過任意明文加解密測試。這是算法主要用途。2、未知p+q時，利用v＝(p+q)％e，c＝(n+1)％e和u*(c-v)＝w*e-1來確定u和v所有組合；再對u、v每組合利用d＝z*e+[u*(n+1-v)+1]來改變z搜索d；停止條件同(1)。其中z可以利用z＝-x*y+(u*y+n*x+x-v*x)來加速搜尋工作。尋找d的復(fù)雜度為O(n0.5)u、x、y、z等為非負(fù)整數(shù)。
文檔編號H04L9/32GK101902330SQ20091018410
公開日2010年12月1日 申請日期2009年8月25日 優(yōu)先權(quán)日2009年8月25日
發(fā)明者不公告發(fā)明人 申請人:彭艷兵